高中数学第三章3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大小值与导数讲义含解析新人教A版选修1_1

1 3．3.3 函数的最大(小)值与导数

预习课本P96～98，思考并完成以下问题

1．什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？

2．函数的最值与极值有什么关系？

3．求函数最值的方法和步骤是什么？

[新知初探]

1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

[点睛] 对函数最值的三点说明

(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值. 若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．

(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．

(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件．

2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在(a,_b)内的极值．

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最2 大值，最小的一个是最小值．

[点睛] 函数极值与最值的关系

(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．

(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．

(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的最大值一定是函数的极大值( )

(2)开区间上的单调连续函数无最值( )

(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得( )

答案：(1)× (2)√ (3)×

2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )

A．－2 B．0

C．2 D．4

答案：C

3．函数f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为________．

答案：1

4．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．

答案：(－4，－2)

求函数的最值

[典例] 求下列函数的最值．

(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；

(2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π]．

[解] (1)f′(x)＝12x2＋6x－36，令f′(x)＝0，

得x1＝－2，x2＝32.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 3 x －2 －2， 32 32 32，＋∞

f′(x) 0 － 0 ＋

f(x) 57 －1154

由于当x＞32时，f′(x)＞0，所以f(x)在32，＋∞上为增函数．因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－1154，无最大值．

(2)f′(x)＝12＋cos x，令f′(x)＝0，且x∈[0,2π]，

解得x＝2π3或x＝4π3.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x 0 0，2π3 2π3 错误! 4π3 4π3，2π 2π

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x) 0 极大值

π3＋32 极小值

2π3－32 π

∴当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；

当x＝2π时，f(x)有最大值，为f(2π)＝π.

求函数最值的四个步骤

第一步：求函数的定义域．

第二步：求f′(x)，解方程f′(x)＝0.

第三步：列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．

第四步：求极值、端点值，确定最值．

[注意] 不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．

[活学活用]

已知函数f(x)＝1－xx＋ln x，求f(x)在12，2上的最大值和最小值．

解：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)， 4 f(x)＝1－xx＋ln x＝1x－1＋ln x，

∴f′(x)＝－1x2＋1x＝x－1x2.

令f′(x)＝0，得x＝1.

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

x 12 12，1 1 (1,2)

2

f′(x) － 0 ＋

f(x)

1－ln 2

极小值0 －12＋ln 2

∴在12，2上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)＝0.

又f12＝1－ln 2，f(2)＝－12＋ln 2，

∴f12－f(2)＝32－2ln 2＝12×(3－4ln 2)

＝12ln e316＞0，∴f12＞f(2)，

∴f(x)在12，2上的最大值为f12＝1－ln 2，最小值为f(1)＝0.

由函数的最值求参数

[典例] 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29.求a，b的值．

[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．

求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，

令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．

当a＞0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2

f′(x) ＋ 0 －

f(x) －7a＋b b －16a＋b

由表可知，当x＝0时f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.

又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3＜f(－1)，

∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2. 5 当a＜0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，

∴f(0)＝b＝－29.

又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29＞f(－1)，

∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.

综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.

已知函数最值求参数的步骤

(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；

(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；

(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．

[活学活用]

已知函数f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值．

解：由题意知f′(x)＝4－ax2＝4x2－ax2.

又x＞0，a＞0，令f′(x)＝0，得x＝a2，

当0＜x＜a2时，f′(x)＜0；当x＞a2时，f′(x)＞0.

故f(x)在0，a2上单调递减，在a2，＋∞上单调递增，

即当x＝a2时，f(x)取得最小值，则a2＝3，解得a＝36.

与最值有关的恒成立问题

[典例] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1处都取得极值．

(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间．

(2)若x∈[－1,2]，不等式f(x)

[解] (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，

得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，

f′－23＝43－43a＋b＝0，解得a＝－12，b＝－2，

所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表： 6 x －∞，－23 －23 －23，1 1 (1，＋∞)

f′(x) ＋ 0 －

0 ＋

f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

所以函数f(x)的递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)；

递减区间为－23，1.

(2)由(1)知，f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－23时，f－23＝2227＋c为极大值，

因为f(2)＝2＋c，

所以f(2)＝2＋c为最大值．

要使f(x)f(2)＝2＋c，

解得c<－1或c>2.

故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

[一题多变]

1．[变设问]若本例中条件不变，把(2)中“x∈[－1,2]，不等式f(x)

解：由典例解析知当x＝1时，f(1)＝c－32为极小值，

又f(－1)＝12＋c>c－32，

所以f(1)＝c－32为最小值．

因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)

所以只需c2>f(1)＝c－32，

即2c2－2c＋3＞0，解得c∈R.

2．[变条件，变设问]已知函数f(x)＝13x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－43.

(1)求f(x)的单调递增区间．

(2)若f(x)≤m2＋m＋103在[－4,3]上恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)f′(x)＝x2＋a，由f′(2)＝0，得a＝－4；

再由f(2)＝－43，得b＝4.