空间向量二面角的向量求法专题

空间向量求立体几何二面角中准确快速写出坐标的技巧技巧：
一、用“叉乘”结合三角函数求解立体几何二面角：
1、先求空间向量的叉乘，叉乘结果的方向量D是二个空间向量的法向量。

2、计算该法向量D的坐标与另一空间向量的点积，就可以得到立体几何二面角的三角函数形式。

3、由计算的三角函数，使用反三角函数，计算出来的角度值就是二面角的度数，这就是求出坐标的技巧。

二、使用质心坐标系求解立体几何二面角：
1、先求两个空间向量的质心坐标系，即二质心坐标的差值。

2、把这个差值换成极坐标形式，这样就可以求出二面角的三角函数形式。

3、由计算的三角函数，使用反三角函数，计算出来的角度值就是二面角的度数，这就是求出坐标的技巧。

- 1 -。

＝|cos 〈u，n〉|＝
·

＝
·

.
例1 [2023·河北沧州模拟]如图，在三棱锥P - ABC中，AB是△ABC外
接圆的直径，△PAC是边长为2的等边三角形，E，F分别是PC，PB的
中点，PB＝AB，BC＝4.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求直线AB与平面AEF所成角的正弦值．
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
答案：ABD
)
2.[2022·新高考Ⅰ卷 ]如 图，直三棱柱ABC - A1B1C1 的体积为4 ，
△A1BC的面积为2 2.
(1)求A到平面A1BC的距离；
＝2.
(1)证明：BD⊥EA.
(2)求平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值．
题型三 (空间距离)点到平面的距离
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过
点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P
到平面α的距离就是AP到直线l上的投影向量QP的长度．因此PQ＝
(1)证明：A1C⊥AB1；
(2)若三棱锥B1 -
2 2
A1AC的体积为 ，求二面角A1
3
- B1C - A的大小．
题后师说
用法向量求二面角的关键是正确写出点的坐标和法向量，再利用两
个平面的夹角公式求解．
巩固训练2
[2023·河南安阳模拟]在多面体EF - ABCD中，平面EDCF⊥平面
ABCD，EDCF是面积为 3的矩形，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB

1、如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1 =4,点 D 是 AB 的中点C1B1A1CBDA（1）求证：AC BC 1 ；（2）求证：AC 1 //平面 CDB 1 ； （3）求二面角 B-DC-B1 的余弦值．2、如图，在长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中，AA1=2, AD = 3, E 为 CD 中点，三棱 锥 A1-AB1E 的体积是 6. (1) 设 P 是棱 BB1 的中点，证明：CP//平面 AEB1; (2) 求 AB 的长； (3)求二面角 B—AB1-E 的余弦值.试卷第 1 页，总 3 页3、如图，正方形 与梯形 所在的平面互相垂直，，，，， 为 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面平面 ；（3）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.4、如图所示，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形，D 是 A1C1 的中点，且 AA1⊥平面 ABC，AA1=3． （Ⅰ）求证：A1B∥平面 B1DC； （Ⅱ）求二面角 D﹣B1C﹣C1 的余弦值．试卷第 2 页，总 3 页5 、 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ,PA⊥ 底 面 ABCD, 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,过 AD 的平面分别交 PB,PC 于 M,N 两点.(1)求证:MN∥BC; (2)若 M,N 分别为 PB,PC 的中点, ①求证:PB⊥DN; ②求二面角 P-DN-A 的余弦值.6、如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 D 是棱 AB 的中点，BC 1, AA1 3 ．AD CBA1 C1B1（1）求证： BC1 // 平面 A1DC ； （2）求二面角 D A1C A 的平面角的正弦值．试卷第 3 页，总 3 页1、【答案】（1）AC BC 1 ；参考答案（2）AC //平面 CDB ；113 34 （3）二面角 B-DC-B1 的余弦值为 34试题分析：（1）考虑到第三问要求二面角的大小，故需要在空间直角坐标系中用法向量 的方法求解，因此可提前建系，（1）（2）问也可方便证明，因为是直三棱柱可以以 C 为 坐标原点，直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量证明 AC • BC1 0 即可得证；（2）要证明线面平行，必须证明线线平行；（3）分别求出平面 BDC 和平面 DCB1 的法向量，求出法向量的夹角的余弦值即为二面角 B-DC-B1 的余弦 值（注意值的正负判断） 试题解析：因为直三棱柱的底面三边长分别为 3、4、5 所以 AC, BC,CC1 两两垂直，以 C 为坐标原 点，直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（1）因为 AC 3,0,0, BC1 0, 4, 4 ，所以 AC • BC1 0 ，即 AC BC1（2）设CB1C1BE,则E 0, 2,2,故DE 3 2, 0,2 ,AC13, 0,4所以DE1 2AC1,即DE//AC1因为 DE 平面 CDB1 , AC1 平面 CDB1 ,所以 AC 1 //平面 CDB 1（3）可求得平面 CDB1 的一个法向量为 n1 4,3,3 ，取平面 CDB 的一个法向量为n2 0,0,1 ，则 cosn1, n2 3 343 3434 ，由图可知，二面角 B-DC-B1 的余弦值为 34考点：1.直线与平面平行的判定及性质；2.利用空间直角坐标系求二面角的求法；答案第 1 页，总 9 页2、【答案】3、【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3） . 试题分析：本题主要考查中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、 二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，作答案第 2 页，总 9 页出辅助线 MN，N 为 中点，在 中，利用中位线得到，且，结合已知条件，可证出四边形 ABMN 为平行四边形，所以，利用线面平行的判定，得 ∥平面 ；第二问，利用面面垂直的性质，判断 面 ，再利用已知的边长，可证出，则利用线面垂直的判定得 平面 BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面 ；第三问，可以利用传统几何法证明二面角的平面角，也可以利用向量法 建立空间直角坐标系，求出平面 BEC 和平面 ADEF 的法向量，利用夹角公式计算即可.（1）证明：取 中点 ，连结．在△ 中， 分别为 的中点，所以 ∥ ，且．由已知 ∥ ，，所以∥ ，且．所以四边形 为平行四边形，所以 ∥ ．又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ∥平面 ．4 分（2）证明：在正方形 中，．又因为平面平面 ，且平面平面，所以 平面 ．所以．6 分在直角梯形 中，， ，可得．答案第 3 页，总 9 页在△ 中，，所以．7 分所以 平面 ．8 分又因为 平面 ，所以平面平面 ．9 分（3）（方法一）延长 和 交于 ．在平面内过 作于 ,连结 ．由平面∥，，平面平面 = ，得，于是．又， 平面 ，所以，于是 就是平面 与平面 平面角.12 分所成锐二面角的平面 ，由，得.又，于是有.在中，.所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．14 分答案第 4 页，总 9 页（方法二）由（2）知 平面 ，且．以 为原点，所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系．易得.平面 的一个法向量为的一个法向量，因为，所以所以为平面 的一个法向量．１２分设平面 与平面 所成锐二面角为 ．.设为平面，令 ，得．则．所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为． 【考点】中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、二面角. 4、【答案】 证明：（1）连结 BC1，B1C，交于点 O，连结 OD， ∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形，D 是 A1C1 的中点， ∴OD∥A1B， ∵A1B？平面 B1DC，OD？平面 B1DC， ∴A1B∥平面 B1DC． （2）∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形，D 是 A1C1 的中点，且 AA1⊥平面 ABC，AA1=3． ∴以 D 为原点，DC1 为 x 轴，DB1 为 y 轴，过 D 作平面 A1B1C1 的垂线为 z 轴，建立空间直 角坐标系， 则 D（0，0，0），B1（0， ，0），C（1，0，3），C1（1，0，0），答案第 5 页，总 9 页=（﹣1， ，﹣3）， =（﹣1，0，﹣3）， 设平面 B1DC 的法向量 =（x，y，z），=（0，0，﹣3），则，取 z=1，得 =（﹣3，0，1），设平面 B1CC1 的法向量 =（a，b，c），则，取 b=1，得 =（），设二面角 D﹣B1C﹣C1 的平面角为 θ，则 cosθ===．∴二面角 D﹣B1C﹣C1 的余弦值为．5、【答案】（1）见解析；（2）见解析， 试题分析：（1）先证明 BC∥平面 ADNM，再证明 MN∥BC.（2）①先证明 PB⊥平面 ADNM， 再证明 PB⊥DN.②以 A 为坐标原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AD 为 y 轴,直线 AP 为 z 轴,建立 空间直角坐标系 A-xyz,利用向量法求二面角 P-DN-A 的余弦值. 【详解】 (1)证明因为底面 ABCD 为直角梯形,所以 BC∥AD.因为 BC 平面ADNM, AD 平面ADNM ,所以 BC∥平面 ADNM. 因为 BC 平面 PBC,平面 PBC∩平面 ADNM=MN,所以 MN∥BC. (2)①证明因为 M,N 分别为 PB,PC 的中点,PA=AB,所以 PB⊥MA. 因为∠BAD=90°,所以 DA⊥AB.答案第 6 页，总 9 页因为 PA⊥底面 ABCD,所以 DA⊥PA. 因为 PA∩AB=A,所以 DA⊥平面 PAB. 所以 PB⊥DA. 因为 AM∩DA=A,所以 PB⊥平面 ADNM. 因为 DN 平面 ADNM,所以 PB⊥DN.②如图,以 A 为坐标原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AD 为 y 轴,直线 AP 为 z 轴,建立空间直角 坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由①知,PB⊥平面 ADNM,所以平面 ADNM 的法向量为 =(-2,0,2). 设平面 PDN 的法向量为 n=(x,y,z),因为 =(2,1,-2), =(0,2,-2),所以令 z=2,则 y=2,x=1. 所以 n=(1,2,2),所以 cos<n, >=.所以二面角 P-DN-A 的余弦值为 . 【点睛】 (1)本题主要考查二面角的向量求法，考查空间线面位置关系的证明，意在考查学生对 该知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.（2）二面角的求法方法一：（几何法）找 作（定义法、三垂线法、垂面法） 证（定义） 指 求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量 ；再代入公式（其中 分别是两个平面的法向量， 是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“ ” 号）.6、【答案】（1）证明见解析；（2） 2 13 ． 13答案第 7 页，总 9 页试题分析：（1）连结1AC 交1A C 于点G ，连结DG ，利用四边形11ACC A 是平行四边形，进而证明出DG ∥1BC ，即可利用线面平行的判定定理，证得//1BC 平面DC A 1；（2）分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，分别求解平面1DA C 和平面1A CA 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角1DAC A的平面角的余弦值，进而求解其正弦值．试题解析：（Ⅰ）证明：连结1AC 交1A C 于点G ，连结DG ． 在正三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形，∴1AG GC =． ∵AD DB =，∴DG ∥1BC ．∵DG ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴1BC ∥平面1A DC ． （2）过点A 作AO BC ⊥交BC 于O ，过点O 作OE BC ⊥交11B C 于E ．因为平面ABC ⊥平面11CBB C ，所以AO ⊥平面11CBB C ．分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为11,3BCAA ，ABC ∆是等边三角形，所以O 为BC 的中点．则()0,0,0O ，B 0，0） （Ⅰ）设平面1A DC 的法向量为(),,n x y z =，则10,0.n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∵3(,0,CD =，11(A C =-⎪⎩，得平面1A DC 的一个法向量为(3,1,n =-1BC =（10）1BC ·n =0∴∴1BC ∥平面1A DC ．（Ⅱ）可求平面1ACA 的一个法向量为(13,0,n =设二面角1D AC A 的大小为θ，则16,n n <>∵()0,θπ∈，213sin 13DEDFEDF 考点：直线与平面平行的判定与证明；二面角的求解．。

用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。

而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。

向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。

根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。

一．规定法向量的指向方向1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，如：图1中的向量。

1n 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的向量。

2n 二．法向量的夹角和二面角大小的关系1.设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量21,n n βα,βα--l θ的夹角为，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有21,n n ϕ（图2）；πϕθ=+2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时（图3）ϕθ=图2图3三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向1.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等条βα--l α)3,4,4(=n 件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需n 做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。

α2.若平面法向量，同理可做出从原点出发的法向量，如图5α)1,3,4(--=n 所示，显然，方向是指向二面角的外面。