2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(3月份)

2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．（4分）若集合{|320}A x R x =∈+>，2{|230}B x R x x =∈-->，则(A B =I ) A ．{|1}x R x ∈<- B ．2{|1}3x R x ∈-<<-C ．2{|3}3x R x ∈-<< D ．{|3}x R x ∈>2．（4分）向量a r ，b r ，c r 在正方形网格中的位置如图所示．若向量a b λ+r r 与c r共线，则实数(λ= )A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（4分）设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（4分）某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为()A ．4B ．5C ．6D ．75．（4分）若抛物线22(0)y px p =>上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是()A ．1p <B ．1p >C ．2p <D ．2p >6．（4分）已知函数()cos(2)(f x x ϕϕ=+为常数）为奇函数，那么cos (ϕ= ) A ．2B ．0C 2D ．17．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为( )A ．4B ．22C ．7D ．28．（4分）已知函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-=⎨->⎩„，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞B ．(-∞，1]C ．(0,1)D ．[0，)+∞9．（4分）定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个1x ，212()x x x ≠，均有1212|()()|||f x f x k x x --„成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件．若函数()(1)f x x x =…满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．1 D ．1210．（4分）在边长为1的正方体中，E ，F ，G ，H 分别为11A B ，11C D ，AB ，CD 的中点，点P 从G 出发，沿折线GBCH 匀速运动，点Q 从H 出发，沿折线HDAG 匀速运动，且点P 与点Q 运动的速度相等，记E ，F ，P ，Q 四点为顶点的三棱锥的体积为V ，点P 运动的路程为x ，在02x 剟时，V 与x 的图象应为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）代数式5(1)(1)x x -+的展开式中3x 的系数为 ．12．（5分）在复平面内，复数12z i =-对应的点到原点的距离是 ．13．（5分）已知函数若42||,04,()1025, 4.log x x f x x x x <⎧=⎨-+>⎩„，a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且f（a ）f =（b ）f =（c ）f =（d ），则abcd 的取值范围是 ．14．（5分）已知双曲线2222:1x y C a b -=的一条渐近线的倾斜角为60︒，且与椭圆2215x y +=有相等焦距，则C 的方程为15．（5分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n = ． 16．（5分）如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x „，且存在两个不相等的自变量值1y ，2y ，使得12()()f y f y =，就称()f x 为定义域上的不严格的增函数．则 ①,1()0,11,1x x f x x x x ⎧⎪=-<<⎨⎪-⎩…„，②1,2()sin ,22x f x x x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩„，③1,1()0,111,1x f x x x ⎧⎪=-<<⎨⎪--⎩…„，④,1()1,1x x f x x x ⎧=⎨+<⎩…，四个函数中为不严格增函数的是 ，若已知函数()g x 的定义域、值域分别为A 、B ，{1A =，2，3}，B A ⊆，且()g x 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的()g x 有个．三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17．（13分）已知{}n a 是各项为正数的等差数列，n S 为其前n 项和，且24(1)n n S a =+． （Ⅰ）求1a ，2a 的值及{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列7{}2n n S a -的最小值．18．（14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=︒，BE BC =，F 为CE 的中点，（1）求证：//AE 平面BDF ； （2）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；（3）2AE EB =，在线段AE 上找一点P ，使得二面角P DB F --的余弦值为10，求AP 的长．19．（13分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率； （2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果）20．（14分）已知函数1()f x x alnx x=-+． （Ⅰ）求()f x 在(1，f （1）)处的切线方程（用含a 的式子表示） （Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．21．（13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切． （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于)S ，直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点．求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值． 22．（13分）给定一个n 项的实数列*12,,,()n a a a n N ⋯∈，任意选取一个实数c ，变换T （c ）将数列1a ，2a ，⋯，n a 变换为数列1||a c -，2||a c -，⋯，||n a c -，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第*()k k N ∈次变换记为()k k T c ，其中k c 为第k 次变换时选择的实数．如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称11()T c ，22()T c ，⋯，()k k T c 为“k 次归零变换”． （Ⅰ）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中4k …； （Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；（Ⅲ）对于数列1，22，33，⋯，n n ，是否存在“1n -次归零变换”？请说明理由．2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．（4分）若集合{|320}A x R x =∈+>，2{|230}B x R x x =∈-->，则(A B =I ) A ．{|1}x R x ∈<- B ．2{|1}3x R x ∈-<<-C ．2{|3}3x R x ∈-<<D ．{|3}x R x ∈>【解答】解：2{|}3A x R x =∈>-，{|1B x R x =∈<-，或3}x >；{|3}A B x R x ∴=∈>I ．故选：D ．2．（4分）向量a r ，b r ，c r 在正方形网格中的位置如图所示．若向量a b λ+r r 与c r共线，则实数(λ= )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：根据图形可看出2a b c +=r r r ；满足2a b +r r 与c r共线；2λ∴=．故选：D ．3．（4分）设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：C 的方程为2214y x -=，则双曲线的渐近线方程为2y x =±，即充分性成立，双曲线2214y x -=的渐近线方程也是2y x =±，即必要性不成立，故“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的充分不必要条件，故选：A ．4．（4分）某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为()A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，A 选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A 不成立，B 选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B 不成立， C 选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C 成立，D 选项：76>，故不为最少人数，故不成立，故选：C ．5．（4分）若抛物线22(0)y px p =>上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是()A ．1p <B ．1p >C ．2p <D ．2p >【解答】解：Q 设P 为抛物线的任意一点， 则P 到焦点的距离等于到准线：2px =-的距离， 显然当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p ． ∴12p>，即2p >． 故选：D ．6．（4分）已知函数()cos(2)(f x x ϕϕ=+为常数）为奇函数，那么cos (ϕ= ) A ．2-B ．0C ．2 D ．1【解答】解：由于函数()cos(2)(f x x ϕϕ=+为常数）为奇函数， 则2k πϕπ=+，k z ∈，cos 0ϕ∴=，故选：B ．7．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为( )A ．4B ．22C 7D ．2【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥S ABCD -， 由侧视图可知棱锥底面ABCD 是边长为2的正方形， 顶点S 在底面ABCD 上的射影M 为CD 的中点， 由主视图可知3SM ，5AM ∴2222SA AM SM =+=由对称性可知22SB SA == ∴几何体最长的棱为2故选：B ．8．（4分）已知函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-=⎨->⎩„，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞B ．(-∞，1]C ．(0,1)D ．[0，)+∞【解答】解：函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-=⎨->⎩„的图象如图所示，当1a <时，函数()y f x =的图象与函数y x a =+的图象有两个交点， 即方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根． 故选：A ．9．（4分）定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个1x ，212()x x x ≠，均有1212|()()|||f x f x k x x --„成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件．若函数()(1)f x x x =…满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．1 D ．12【解答】解：由已知中中利普希茨条件的定义 若函数()(1)f x x x =…满足利普希茨条件，所以存在常数k ，使得对定义域[1，)+∞内的任意两个1x ，212()x x x ≠，均有1212|()()|||f x f x k x x --„成立，不妨设12x x >，则121212x x k x x -=+…．而12102x x <<+，所以k 的最小值为12． 故选：D ．10．（4分）在边长为1的正方体中，E ，F ，G ，H 分别为11A B ，11C D ，AB ，CD 的中点，点P 从G 出发，沿折线GBCH 匀速运动，点Q 从H 出发，沿折线HDAG 匀速运动，且点P 与点Q 运动的速度相等，记E ，F ，P ，Q 四点为顶点的三棱锥的体积为V ，点P 运动的路程为x ，在02x 剟时，V 与x 的图象应为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：（1）当102x剟时，点P 与点Q 运动的速度相等根据下图得出：面OEF 把几何体PEFQ 分割为相等的几何体，111122OEF S ∆=⨯⨯=Q ，P 到面OEF 的距离为x ，112223263PEFQ P OEF x xV V x -==⨯⨯==g ，23（2）当1322x <„时，P 在AB 上，Q 在11C D 上，P 到12，111122OEF S ∆=⨯⨯=， 1111223226PEFQ P OEF V V -==⨯⨯⨯==定值．（3）当322x <„时，111122OEF S ∆=⨯⨯=，P 到面OEF 的距离为2x -， 112122(2)3233PEFQ P OEF V V x x -==⨯⨯⨯-=-，1,032113,622213,2332xx V x x x ⎧<⎪⎪⎪=<⎨⎪⎪-⎪⎩„„剟故选：C ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）代数式5(1)(1)x x -+的展开式中3x 的系数为 0 ．【解答】解：50122334455555555(1)(1)(1)()x x x C C x C x C x C x C x -+=-+++++Q g g g g g ，5(1)(1)x x ∴-+ 展开式中3x 的系数为3255110C C ⨯-⨯=．故答案为：0．12．（5分）在复平面内，复数12z i =-对应的点到原点的距离是5 ．【解答】解：复数12z i =-对应的点(1,2)-到原点的距离221(2)5d =+-=． 故答案：5．13．（5分）已知函数若42||,04,()1025, 4.log x x f x x x x <⎧=⎨-+>⎩„，a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且f（a ）f =（b ）f =（c ）f =（d ），则abcd 的取值范围是 (24,25) ． 【解答】解：先画出函数42||,04,()1025, 4.log x x f x x x x <⎧=⎨-+>⎩„的图象，如图：a Q ，b ，c ，d 互不相同，不妨设a b c d <<<．且f （a ）f =（b ）f =（c ）f =（d ）， 而44log log a b -=，即有44log log 0a b +=， 可得1ab =， 则abcd cd =，由10c d +=，可得2()252c d cd +<=， 且2(10)(5)25cd c c c =-=--+，当4c =时，6d =，24cd =，但此时b ，c 相等， 故abcd 的范围为(24,25)． 故答案为：(24,25)．14．（5分）已知双曲线2222:1x y C a b -=的一条渐近线的倾斜角为60︒，且与椭圆2215x y +=有相等焦距，则C 的方程为 2213y x -=【解答】解：由椭圆的方程可得焦距为4，再由双曲线的渐近线方程可得：tan 60ba=︒=由题意可得224a b +=，解得：21a =，23b =，所以双曲线的方程为：2213y x -=；故答案为：2213y x -=．15．（5分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n = 8 ．【解答】解：Q 等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =， 则22(1)2n n n S n n -=+=， 22(2)n S n +=+， 由236n n S S +-=，得22(2)2(22)36n n n +-=+=，解得：8n =． 故答案为：8．16．（5分）如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x „，且存在两个不相等的自变量值1y ，2y ，使得12()()f y f y =，就称()f x 为定义域上的不严格的增函数．则 ①,1()0,11,1x x f x x x x ⎧⎪=-<<⎨⎪-⎩…„，②1,2()sin ,22x f x x x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩„，③1,1()0,111,1x f x x x ⎧⎪=-<<⎨⎪--⎩…„，④,1()1,1x x f x x x ⎧=⎨+<⎩…，四个函数中为不严格增函数的是 ①③ ，若已知函数()g x 的定义域、值域分别为A 、B ，{1A =，2，3}，B A ⊆，且()g x 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的()g x 有个．【解答】解：由已知中：函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x „，且存在两个不相等的自变量值1y ，2y ，使得12()()f y f y =， 就称()f x 为定义域上的不严格的增函数．①,1()0,11,1x x f x x x x ⎧⎪=-<<⎨⎪-⎩…„，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数；②1,2()sin ,22x f x x x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩„，当12x π=-，2(2x π∈-，)2π，12()()f x f x >，故不是不严格的增函数；③1,1()0,111,1x f x x x ⎧⎪=-<<⎨⎪--⎩…„，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数；④,1()1,1x x f x x x ⎧=⎨+<⎩…，当112x =，23(1,)2x ∈，12()()f x f x >，故不是不严格的增函数；故已知的四个函数中为不严格增函数的是①③；Q 函数()g x 的定义域、值域分别为A 、B ，{1A =，2，3}，B A ⊆，且()g x 为定义域A 上的不严格的增函数， 则满足条件的函数()g x 有：g （1）g =（2）g =（3）1=， g （1）g =（2）g =（3）2=， g （1）g =（2）g =（3）3=， g （1）g =（2）1=，g （3）2=， g （1）g =（2）1=，g （3）3=， g （1）g =（2）2=，g （3）3=， g （1）1=，g （2）g =（3）2=， g （1）1=，g （2）g =（3）3=， g （1）2=，g （2）g =（3）3=，故这样的函数共有9个， 故答案为：①③；9．三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17．（13分）已知{}n a 是各项为正数的等差数列，n S 为其前n 项和，且24(1)n n S a =+． （Ⅰ）求1a ，2a 的值及{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列7{}2n n S a -的最小值．【解答】解：（Ⅰ）Q 24(1)n n S a =+， ∴当1n =时，2114(1)a a =+，解得11a =，当2n =时，2224(1)(1)a a +=+，解得21a =-或23a =， {}n a Q 是各项为正数的等差数列， 23a ∴=，得{}n a 的公差212d a a =-=， ∴数列{}n a 的通项公式1(1)21n a a n d n =+-=-；（Ⅱ）Q 24(1)n n S a =+，∴22(211)4n n S n -+==，∴222777735(21)7()22224n n S a n n n n n -=--=-+=--，当3n =或4n =时，72n n S a -取得最小值为172-．18．（14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=︒，BE BC =，F 为CE 的中点，（1）求证：//AE 平面BDF ； （2）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；（3）2AE EB =，在线段AE 上找一点P ，使得二面角P DB F --的余弦值为10，求AP 的长．【解答】证明：（1）设AC BD G =I ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，F Q 是EC 中点．∴在ACE ∆中，//FG AE ，⋯（2分）AE ⊂/Q 平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，//AE ∴平面BFD ．⋯（4分）（2）Q 平面ABCD ⊥平面ABE ，BC AB ⊥， 平面ABCD ⋂平面ABE AB =，BC ∴⊥平面ABE ，又AE ⊂Q 平面ABE ， BC AE ∴⊥，又AE BE ⊥Q ，BC BE B =I ，AE ∴⊥平面BCE ，即AE BF ⊥，⋯（6分）在BCE ∆中，BE CB =，F 为CE 的中点， BF CE ∴⊥，AE CE E =I ，BF ∴⊥平面ACE ，又BF ⊂平面BDF ，∴平面BDF ⊥平面ACE ．⋯（8分）（3）如图建立坐标系，设1AE =，则(2B ，0，0)，(0D ，1，2)，(2C ，0，2)，(1F ，0，1)， 设(0P ，a ，0)，(2,1,2)BD =-u u u r ，(1,0,1)BF =-u u u r ，(2,,0)PB a =-u u u r设1n ⊥u u r 面BDF ，且1111(,,)n x y z =u u r， 则由1n BD ⊥u u r u u u r得111220x y z -++=， 由1n BF ⊥u u r u u u r得110x z -+=，令11z =得11x =，10y =，从而1(1,0,1)n =⋯u u r（10分） 设2n ⊥u u r面BDP ，且2222(,,)n x y z =u u r ，则 由2n BD ⊥u u r u u u r得222220x y z -++=， 由2n PB ⊥u u r u u u r得2220x ay -=，令22y =得2x a =，21z a =-，从而2(,2,1)n a a =-u u r，122212||10cos ||||24(1)n n n n a a θ===++-u u r u u r g u u r u u r g g ，解得0a =或1a =（舍) 即P 在E 处．⋯（14分）19．（13分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率； （2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果）【解答】解：（1）由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个，∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为35．（2）结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个，ξ的可能取值为0，1，2．34361(0)5C P C ξ===，2142363(1)5C C P C ξ===g ，1242361(2)5C C P C ξ===g ， ξ∴的分布列为：131()0121555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．（3）由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近， 安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而12x x >． 20．（14分）已知函数1()f x x alnx x=-+． （Ⅰ）求()f x 在(1，f （1）)处的切线方程（用含a 的式子表示） （Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．【解答】解：（Ⅰ）1()(0)f x x alnx x x=-+>Q 221()(0)x ax f x x x -+-∴'=>∴当1x =时，f （1）0=，f '（1）2a =-+，设切线方程为(2)y a x b =-++，代入(1,0)，得2b a =-，()f x ∴在(1，f （1）)处的切线方程为2y x a =+-．（Ⅱ）函数的定义域为(0,)+∞，函数的导数221()x ax f x x -+-'=-，设2()1g x x ax =-+-，注意到(0)1g =-，①当0a …时，()0g x <恒成立，即()0f x '<恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上是减函数； ②当0a >时，判别式△24a =-，1︒当02a <„时，△0„，即()0g x „，即()0f x '„恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上是减函数；2︒当2a >时，令()0f x '>x <<； 令()0f x '<，得：0x <x >∴当2a >时，()f x 在区间，单调递增，在，，)+∞单调递减；综上所述，综上当2a „时，()f x 在(0,)+∞上是减函数， 当2a >时，在，，)+∞上是减函数，在区间上是增函数． （Ⅲ）（2）由（1）知2a >，1201x x <<<，121x x =， 则1211221211()()[]f x f x x alnx x alnx x x -=-+--+ 2112121()(1)()x x a lnx lnx x x =-++- 21122()()x x a lnx lnx =-+-，则12121212()()()2f x f x a lnx lnx x x x x --=-+--， 则问题转为证明12121lnx lnx x x -<-即可，即证明1212lnx lnx x x ->-， 则11111lnx lnx x x ->-， 即11111lnx lnx x x +>-， 即证11112lnx x x >-在(0,1)上恒成立， 设11()2h x lnx x x =-+，(01)x <<，其中h （1）0=，求导得222222121(1)()10x x x h x x x x x -+-'=--=-=-<，则()h x 在(0,1)上单调递减， ()h x h ∴>（1），即120lnx x x-+>， 故12lnx x x>-， 则1212()()2f x f x a x x -<--成立．21．（13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切． （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于)S ，直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点．求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值． 【解答】解（Ⅰ）由题意得：12c e a ==，b 222a b c =+，解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程：22143x y +=；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，(2,0)S ，右焦点(1,0)F 由题意得，直线l 的斜率不为零，设直线l 为：1x my =+，设(,)P x y ''，(,)Q x y ''''，联立直线l 与椭圆的方程整理得：22(43)690m y my ++-=，2643my y m-'''∴+=+，2943y y m -'''=+；2PF y k x '='-Q ，设直线:(2)2y FP y x x '=-'-，与4x =联立，得22y y x '='-，即22A y y x '='-， 同理可得：22B y y x ''=''-，22222364443643996(2)(2)(1)(1)()1414343A B y y y y y y m y y m m x x my my m y y m y y m m m -'''''''''-+∴======-''''''''''''-------++-+++，为定值，所以A ，B 两点的纵坐标之积为定值9-．22．（13分）给定一个n 项的实数列*12,,,()n a a a n N ⋯∈，任意选取一个实数c ，变换T （c ）将数列1a ，2a ，⋯，n a 变换为数列1||a c -，2||a c -，⋯，||n a c -，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第*()k k N ∈次变换记为()k k T c ，其中k c 为第k 次变换时选择的实数．如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称11()T c ，22()T c ，⋯，()k k T c 为“k 次归零变换”． （Ⅰ）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中4k „； （Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；（Ⅲ）对于数列1，22，33，⋯，n n ，是否存在“1n -次归零变换”？请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）方法11:T （4）：3，1，1，3；2T （2）：1，1，1，1；3T （1）：0，0，0，0．方法12:T （2）：1，1，3，5；2T （2）：1，1，1，3；3T （2）：1，1，1，1；4T （1）：0，0，0，0．．⋯（4分）（Ⅱ）经过k 次变换后，数列记为()()()12,,,k k k n a a a ⋯，1k =，2，⋯．取1121()2c a a =+，则(1)(1)12121||2a a a a ==-，即经11()T c 后，前两项相等；取(1)(1)2231()2c a a =+，则(2)(2)(2)(1)(1)123321||2a a a a a ===-，即经22()T c 后，前3项相等；⋯设进行变换()k k T c 时，其中(1)(1)11()2k k k k k c a a --+=+，变换后数列变为()()()()()()12312,,,,,,,k k k k k k k k n a a a a a a ++⋯⋯，则()()()()1231k k k k k a a a a +===⋯=；那么，进行第1k +次变换时，取()()1121()2k k k k k c a a +++=+， 则变换后数列变为(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)123123,,,,,,,,k k k k k k k k k k na a a a a a a ++++++++++⋯⋯， 显然有(1)(1)(1)(1)(1)12312k k k k k k k a a a a a +++++++===⋯==；⋯经过1n -次变换后，显然有(1)(1)(1)(1)(1)1231n n n n n n na a a a a ------===⋯==； 最后，取(1)n n n c a -=，经过变换()n n T ð后，数列各项均为0．所以对任意数列，都存在“n 次归零变换”． ⋯（9分） （Ⅲ）不存在“1n -次归零变换”． ⋯（10分）证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换()j j T c 时，1{j c min a <，2a ，⋯，}n a ，那么此变换次数便不是最少．这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行()j j T c 后，再进行11()j j T c ++，由11|||||()|i j j i j j a c c a c c ++--=-+，即等价于一次变换1()j j j T c c ++，同理，进行某一步()j j T c 时，1{j c max a >，2a ，⋯，}n a ；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的i ð满足1{min a ，2a ，⋯，1}{n i a max a 剟ð，2a ，⋯，}n a ． 以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“1n -次归零变换”． （1）当2n =时，对于1，4，显然不存在“一次归零变换”，结论成立． （由（Ⅱ）可知，存在“两次归零变换”变换：1253(),())22T T（2）假设n k =时成立，即1，22，33，⋯，k k 不存在“1k -次归零变换”． 当1n k =+时，假设1，22，33，⋯，k k ，1(1)k k ++存在“k 次归零变换”．此时，对1，22，33，⋯，k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知1，22，33，⋯，k k 不存在“1k -次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换i ð一定满足1k i c k 剟，1i =，2，⋯，k ． 因为1111212|||(1)|||(1)()(1)0k k k k k k k c c c k c c c k k k +++⋯+---⋯-=+-++⋯++->g … 所以，1(1)k k ++绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾． 所以，当1n k =+时不存在“k 次归零变换”． 由（1）（2）命题得证． ⋯（13分）。