2007年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）当x →+0时，与x 等价的无穷小量是（ ）. (D) ３.[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，)24)(x f 处连续，下列命题错误的是（0)0(=f存在，则0)0(=f (C) 若xx f x )(lim 0→存在，则0)0('=f 存在(D) 若xx f x f x )()(lim 0--→存在，则0)0('=f 存.（5）设函数)(x f 在（0，+∞）上具有二阶的导数，且0)0(>''f 令)2,1)((Λ==n n f u n ，则下列结论正确的是（ ）(A) 若,21u u >则{}n u 必收敛。
(B) 若,21u u >则{}n u 必发散。
(C) 若,21u u <则{}n u 必收敛。
(D) 若,21u u <则{}n u 必发散。
（6）设曲线L ：),((1),(y x f y x f =具有一阶的连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和Ⅳ象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分小于零的是（ ）(A).),(⎰Γdx y x f (B).),(⎰Γdy y x f(C) .),(⎰Γds y x f . (D).),(),(⎰Γ'+'dy y x f dx y x f y x（７）设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）(A),,,133221a a a a a a --- (B) ,,,133221a a a a a a +++ (C) ,2,2,2133221a a a a a a ---. (D) ,2,2,2133221a a a a a a +++.（８）设矩阵，，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=000010001211121112B A 则Ａ与Ｂ（ ）(A) 合同，且相似 (B) 合同但不相似(C) 不和同，但相似. (D) 既不合同，也不相似（９）某人向同一目标独立的重复射击，每次射击命中目标的概率为p （)10(<<p ，则此人第４次射击恰好第２次命中的概率为（ ）(A)2)1(3p p - (B) 2)1(6p p - (C) 22)1(3p p -. (D) 22)1(6p p -（１０）设随机变量（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)(),(y f x f y X 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的条件概率密度)|(|Y X f Y X 为（ ） (A) )(x f X (B) )(y f y (C) )()(y f x f y X . (D).)()(y f x f Y X二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （11）1231x e dx x=⎰１ （12） 设(,)f u v 为二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂=∂ （13） 二阶常系数非齐次线性方程2432x y y y e '''-+=的通解为y ＝(20) （本题满分10分）设幂级数nn n a x∞=∑在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===(Ⅰ)证明22,1,2,;1n n a a n n +==+L (Ⅱ)求()y x 的表达式 (21) （本题满分11分） 设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共的解,求a 的值及所有的公共解.(22) （本题满分11分）.设三阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Ta λλλ===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵.(Ⅰ) 验证1a 是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量; (Ⅱ) 求矩阵B.(23) （本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为2,01,01,(,)0x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他(Ⅰ) 求{}P X>2Y ;(Ⅱ) 求z X Y =+的概率密度()z f z (24)（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;)1,2(1),0x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他,其中参数(01)θθ<<未知.12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本,X 是样本均值.(Ⅰ) 求参数θ的矩估计量ˆθ4X是否为2θ的无偏估计量，并说明理由。
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：110:小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 当0x +→ ）A .1- .ln(1B + 1C .1D -【答案】(B)【考点】等价无穷小 【难易度】★★【详解】解析：方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，当0x +→0→，所以1(1-::211,2-:可以排除A 、C 、D ，所以选（B ）.方法2：==ln 1⎛⎫+ ⎝当0x +→时，11→0→，又因为0x →时，()ln 1x x +:，所以)ln 1~~1~x ⎛= ⎝B ）.（2） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是( )A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C 若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则'(0)f 存在 【答案】( D)【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念 【难易度】★★【详解】解析：方法1:论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确。
由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以0(0)lim ()x f f x →=0000()()()lim()lim lim 0lim x x x x f x f x f x x x x x x→→→→==⋅=⋅0=，所以（A ）正确； 由选项（A ）知，(0)0f =，所以00()(0)()lim lim0x x f x f f x x x→→-=-存在，根据导数定义，()(0)'(0)limx f x f f x →-=-存在，所以（C ）也正确；由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而[]0lim ()()lim ()lim ()(0)(0)2(0)x x x f x f x f x f x f f f →→→+-=+-=+=0000()()()()()()2(0)lim lim lim 0lim 0x x x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x →→→→+-+-+-⎡⎤=⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦，即有(0)0f =.所以（B ）正确，故此题选择（D ）.方法2：举例法，举例说明（D ）不正确，例如取()f x x =，有0()()limlim 00x x x x f x f x x x→→----==-存在 而()()0000lim lim 100x x f x f x x x --→→---==---，()()0000lim lim 100x x f x f x x x +-→→--==--，左右极限存在但不相等，所以()f x x =在0x =的导数()0f '不存在. （D ）不正确，选（D ）.（3） 如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（ ）.A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--【答案】( C)【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数【难易度】★★★【详解】解析：由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =⎰⎰⎰，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而20(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，32302(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以3232333(3)()()()(2)288424F f t dt f t dt f t dt F ππππ==+=-==⋅=⎰⎰⎰ 所以3(3)(3)(2)4F F F -==，选择( C)（4） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（ ）.A 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰【答案】( B)【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换 【难易度】★★【详解】解析：画出该二次积分所对应的积分区域D ，:2sin 1x D x y ππ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩交换为先x 后y ，则积分区域可化为：arcsin 01y x y ππ-≤≤⎧⎨≤≤⎩所以11sin 0sin 2(,)(,)xarc ydx f x y dy dy f x y dx ππππ-=⎰⎰⎰⎰， 所以选择(B).（5） 设某商品的需求函数为1602Q p =-，其中Q ，p 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40【答案】(D)【考点】导数的经济意义 【难易度】★★【解析】解析：|需求弹性|'()2 1.()160280Q P PP P Q P P P-====-- 若180PP =-，80P P =-，无意义；若180P P=-，解得：40.P =所以选(D) （6） 曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 3【答案】( D)【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★★【详解】解析：001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1lim lim ln(1)000x x x e x →-∞→-∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令21ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+ln(1)0lim x x e x →+∞+=+1lim 11xx x e e →+∞+ =洛必达法则令()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()()1limlim ln(1)0lim ln(1)x x x x x e x e x x →+∞→+∞→+∞=++-=++- ()1ln lim ln(1)ln lim ln()xxxxx x x e x e e e e→+∞→+∞+ = +-=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==所以y ax b x =+=是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（D ） （7） 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是( )A .12αα-2331,,αααα--B .12αα+2331,,αααα++C .1223312,2,2αααααα---D .1223312,2,2αααααα+++【答案】(A)【考点】向量组线性相关的判别法 【难易度】★★★【详解】解析：方法1：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立，则称123,,ααα线性相关.因 1223310αααααα-+-+-=，故122331αααααα---，，线性相关，所以选择（A ）. 方法2：排除法因 [][][]1223311231232101,,,,110,,,011C αααααααααααα⎡⎤⎢⎥+++==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中2101110011C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 2101110011C =11101111(1)20111111111011+-⨯-+-=-=⨯-⨯-行行（）（）20=≠.故2C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 2C 右乘[]123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(,,)(,,)3r r ααααααααα+++==故122331,,αααααα+++线性无关，排除（B ）.因 [][][]12233112312331022,2,2,,210,,,021C αααααααααααα-⎡⎤⎢⎥---=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中3102210021C -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，3102210021C -=--111021410141112421021+--⨯-=-=⨯--⨯---行2+2行（）（）（）≠=-70.故3C 是可逆矩阵，故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα---==故1223312,2,2αααααα---线性无关，排除（C ）.因[][][]12233112312341022,2,2,,210,,,021C αααααααααααα⎡⎤⎢⎥+++==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中4102210021C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 4102210021C =11102141(2)20141112421021+-⨯-+-=-=⨯-⨯-行行（）（）90.=≠故4C 是可逆矩阵，故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα+++==故1223312,2,2αααααα+++线性无关，排除（D ）. 综上知应选（A ）.（8） 设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，100010000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 与B （ ） A . 合同，且相似 B . 合同，但不相似C . 不合同，但相似D . 既不合同，也不相似【答案】（B ）【考点】相似矩阵的概念，矩阵合同的判定 【难易度】★★ 【详解】解析：211121112E A λλλλ--=--112312112λλλλλ--、列分别加到列 111121112λλλλ--提出1111103112λλλ⨯---行（）+2行11111033λλλ⨯---行（）+3行113103λλλ+-=--（）()230λλ=-=则的A 特征值为3，3，0;B 是对角阵，对角元素即是其特征值，则B 的特征值为1，1，0.,A B 的特征值不相同，由相似矩阵的特征值相同知，A B 与不相似.由,A B 的特征值可知，,A B 的正惯性指数都是2，又秩都等于2可知负惯性指数也相同，则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数，知A 与B合同，应选（B ）.(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01),p p <<则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )A .23(1)p p -B . 26(1)p p -C .223(1)p p -D .226(1)p p -【答案】()C【考点】事件独立性的性质，独立重复试验 【难易度】★★【详解】解析：把独立重复射击看成独立重复试验.射中目标看成试验成功. 第4次射击恰好是第2次命中目标可以理解为：第4次试验成功而前三次试验中必有1次成功，2次失败.根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为123(1).C p p -再加上第4次是成功的，其概率为p . 根据独立性原理，若事件1,,n A A L 独立，则{}{}{}{}1212n n P A A A P A P A P A =I I L I L 所以，第4次射击为第二次命中目标的概率为12223(1)3(1).C p p p p p -⋅=-所以应选（C ）(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y f x y 为( )A .()X f xB .()Y f yC .()()X Y f x f yD .()()X Y f x f y 【答案】()A【考点】二维正态分布的性质、二维连续型随机变量的条件密度 【难易度】★★★【详解】解析：二维正态随机变量(,)X Y 中，X 与Y 的独立等价于X 与Y 不相关.而对任意两随机变量X 与Y ，如果它们相互独立，则有(,)()()X Y f x y f x f y =.由于二维正态随机变量(,)X Y 中X 与Y 不相关，故X 与Y 独立，且(,)()()X Y f x y f x f y =.根据条件概率密度的定义，当在Y y =条件下，如果()0,Y f y ≠则(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =()()()()X Y X Y f x f y f x f y ==.现()Y f y 显然不为0，因此(|)().X X Y f x y f x = 所以应选(A).二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim(sin cos )____________2x x x x x x x →+∞+++=+ 【答案】0【考点】洛必达法则，无穷小量的性质 【难易度】★★【解析】解析：由洛必达法则，3231lim 2x x x x x →+∞+++()2223262lim lim 2ln 232ln 26x x x x x x x x x→+∞→+∞∞+∞+ ∞+∞+ ()36lim 0,2ln 26x x →+∞∞ =∞+ 而1sin 1x -≤≤，1cos 1x -≤≤，所以(sin cos )x x +是有界变量，根据无穷小量乘以有界量仍是无穷小量，所以3231lim (sin cos )0.2x x x x x x x →∞+++=+ （12）设函数123y x =+，则()(0)___________n y = 【答案】1(1)2!3n n n n +- 【考点】高阶导数 【难易度】★★ 【详解】解析：()112323y x x -==++，()()()111111'(1)232(1)1!223y x x x ----'=-⋅+⋅=-⋅⋅⋅+，()()321222''(1)(2)223(1)2!223,,y x x ---=-⋅-⋅⋅+=-⋅⋅+L由数学归纳法可知()1()(1)2!23,n n nnyn x --=-+把0x =代入得：()1(1)2!(0)3n n n n n y +-= （13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y xz f x y=则z zxy x y∂∂-=∂∂_________ 【答案】''122()y x f f x y-+ 【考点】多元复合函数一阶偏导数的求法【难易度】★★【详解】121221''''x y y z y x f f f f x x x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪⎪∂⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅+⋅=⋅-+⋅ ⎪∂∂∂⎝⎭，12'x y y z x f f y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭'=⋅+⋅=∂∂∂1221''x f f x y ⎛⎫⋅+⋅- ⎪⎝⎭把z x ∂∂，zy∂∂代入z z x y x y ∂∂-∂∂，则： 12122211''''z z y x x y x f f y f f x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫-=⋅⋅-+⋅-⋅+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 1212''''y x y x f f f f x y x y ⎛⎫=-⋅+⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭''122()y x f f x y =-+（14）微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为y=_____________【考点】变量可分离的微分方程 【难易度】★★ 【解析】令,y ux =有(),d ux dy du du ux x u x dx dx dx dx'==+=+ 原方程化为31,2du u xu u dx +=- 即 32,du dxu x=- 此式为变量可分离的微分方程，两边积分，32du dx u x =-⎰⎰121ln x C u⇒-=-+得 21ln x C u =+把y u x=代入上式得：22ln x y x C =+再把(1,1)代入上式得：1,C =所以得特解y =（其中因为11x y ==，所以y ≠.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿＿＿＿【答案】1【考点】矩阵的秩 【难易度】★★ 【详解】解析：2010001000010*********001000100010000000000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32001001000001000100100000000000010000000000000000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⋅== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知()3 1.r A = (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于12的概率为＿＿＿＿＿＿. 【答案】3.4【考点】几何型概率 【难易度】★★【详解】解析：不妨假定随机地抽出两个数分别为X Y 和，它们应是相互独立的.如果把,X Y （）看成平面上一个点的坐标，则由于01,01,X Y <<<<所以,X Y （）为平面上正方形： 01,01X Y <<<<中的一个点. X Y 和两个数之差的绝对值小于12对应于正方形中12X Y -<的区域.所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y ，可以被看成上图中单位正方形里的点.12X Y -<的区域就是正方形中阴影的面积D .根据几何概率的定义： 211132.214D P X Y ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-<=== ⎪⎝⎭的面积单位正方形面积三、解答题：17－24小题，共86分。
2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是(A) 1xe-. (B) 1ln1x x+-. (C)11x +-. (D) 1c o s x -. [ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当0x +→时，有1(1)~xxee x -=---；111~2x x +-；2111c o s~().22x x x -=利用排除法知应选(B).(2) 曲线1ln (1)xy e x=++，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim [ln (1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim [ln (1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln (1)ln (1)limlim []limxxx x x y e e xxxx→+∞→+∞→+∞++=+==lim11x xx ee→+∞=+，1lim [1]lim [ln (1)]xx x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim [ln (1)]xx e x →+∞+-=lim [ln (1)]lim ln (1)0x xxx x e ex e--→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t d t =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
