四川大学 川大 1996年高等数学 考研真题及答案解析

6 （12分）一质量为m的物体，最初静止于x0处，在力F＝－k/x2 的作用下沿直线运动，试求物体在任意位置x处的速度．
7 （13分）质量为m的摩托车，在恒定的牵引力F的作用下工作， 它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是vm．试计 算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程．
3 求下列不定积分（共50分）： （1） （2）
（3）
（4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
4 用级数展开计算下列积分的近似值（计算前三项）（共20 分）：
（1） （2）
5 （5分）甲乙两船同时从一码头出发，甲船以30km/h的速度向北 行驶，乙船以40km/h的速度向东行驶，求两船间距离增加的速度为多 少？
2012年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2013年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2014年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2015年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2016年四川大学690高等数学（川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
1 请写出下列初等函数的级数展开式（共20分）： （1）ax （2）sin（x/2） （3） （4）ln（1＋x） （5）1/（1＋x）
2 求下列平面图形的面积（共30分）： （1）曲线y＝x3与y轴和直线y＝1所围成的图形； （2）曲线y＝x2与y＝2－x2所围成的图形．
目 录
2012年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2013年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2014年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2015年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2016年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2017年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题

+
2
¶2z ¶u¶v
+
¶2z ¶v2
,
¶2z ¶x¶y
=
-2
¶2z ¶u 2
+
(a
-
2)
¶2z ¶u¶v
+
a
¶2z ¶v2
,
¶2z ¶y 2
=
4
¶2z ¶u 2
-
4a
¶2z ¶u¶v
+
a2
¶2z ¶v2
.
……4 分
将上述结果代入原方程，经整理后得 (10 + 5a)
¶2z ¶u¶v
+
(6 +
a
-
a2)
【答】 应选 (D) .
【解】 根据拉普拉斯展开定理，得
原式=
a2 b3
b2 a3
(-1)2+3+2+3 ×
a1 b4
b1 a4
= (a2a3 - b2b3 )(a1a4 - b1b4 ) ，故选 (D) .
三、（本题共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分）
(1) 求心形线 r = a (1 + cosq ) 的全长,其中 a > 0 .
S
Dyz
Dyz
Dxy
= -4òò òò z - y2 dydz + (x2 + y2)dxdy
Dyz
Dxy
……2 分
1996 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1996 年数学试题详解及评分参考
òò ò ò ò ò 其中 Dyz
z - y2dydz = 1 dy 1 -1 y2
a1 0 0 b1 (5) 四阶行列式 0 a2 b2 0 的值等于

高数第一册 第一章习题1.13.(1)(,1)(1,)(2){|1,}1(1,1)(1,)(3)(1,1)x x x R -∞-⋃-+∞≠±∈∞-⋃-⋃+∞-或（-，） （4）22903[3,1)(1,3]10x x x x x ⎧⎫-≥⇒-⎪⎪⇒--⋃⎨⎬-⇒⎪⎪⎩⎭≤ ≤3＞＞1或＜-1 2222(5)(,3)(6)sin 0,,()241(7)114(1),11(1)3x x k x k k z x x x x x x πππ-∞≠≠≠∈⎡⎤≤⇒≤⇒≤+⇒-⎢⎥++⎣⎦（8）0ln 0x x x x x ⎧⎫⇒⇒⎨⎬⇒⎩⎭＞ ＞0＞1＞＞1(9)[1,2]-（10）21()x x x f x x x x x x x x ⎧⎫⇒⎪⎪⎪⎪=⇒⇒≠⇒∴⎨⎬⎪⎪⎪⎪⇒⎩⎭-1 ＜00≤≤10即0＜＜1 ＜ 0和0＜≤2e 1≤≤27．(1)(2)(3)(4)(5)奇函数偶函数偶函数偶函数非奇非偶 （6）2()()f x f x -==偶函数 （7）11()lnln ()11x xf x f x x x+--==-=--+奇函数） （8）2112()()2112x xxxf x f x -----===-++奇函数 （9）()sin cos f x x x -=--非奇非偶 13．（1）22(())(2)24,(())2,xxxx f x f f x x R ϕϕ====∈（2）11(())(0,1)111x f f x x xx-==≠-- （3）32221,()(1)3(1)256()56(1)(1)5(1)6x t f t t t t t f x x x f x x x +==---+=-+∴=-++=+-++则x=t-1,或：14．[]22(1)(0)0.(2)0,111111(3)01(4)1lg ,lg 1,lg 1,.1(5)11()(6)1log (16)y x x y x y y x y x x y y y xx y x y y x xy xx x y x x x =≤≤+∞=≥=-++===≠-+==-=--=≠-+∞⎧=≤≤∞反函数反函数x=,x-1=,x=1+反函数y ，定义域反函数定义域x ＞0反函数,定义域（x ）－＜＜1反函数16)＜＜+⎫⎪⎬⎪⎩⎭习题1.22。

96年97年98年99年00年01年02年03年04年05年06年07年08年09年10年11年12年13年5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ） A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6.矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（ ）A. 0,2a b ==B. 0,a b = 为任意常数C. 2,0a b ==D. 2,a b = 为任意常数13.设A=(a ij )是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，A ij 为a ij 的代数余子式.若a ij +A ij =0(i,j=1,2,3），则｜A ｜＝ 。

20.（本题满分11分）设101,101a A B b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当a,b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B,并求所有矩阵C 。

21.（本题满分11分）设二次型22123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123b b b β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

（1） 证明二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+；（2） 若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22122y y +。

14年。