1.1复数的概念讲义

《复数的模与共轭复数》讲义一、复数的基本概念在数学中，我们为了解决一些实际问题，引入了复数的概念。

复数通常可以表示为＄a ＋ bi$ 的形式，其中＄a$ 和＄b$ 都是实数，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$ 。

实数＄a$ 被称为复数的实部，记作＄Re(z)＄；实数＄b$ 被称为复数的虚部，记作＄Im(z)＄。

例如，＄3 ＋ 2i$ 就是一个复数，其中实部为＄3$，虚部为＄2$。

二、复数的模对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，它的模记作＄｜z|＄，定义为：＼｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。

例如，对于复数＄z ＝ 2 ＋ 3i$，其模为：＼｜z| ＝＼sqrt{2^2 ＋ 3^2} ＝＼sqrt{13}＼复数模的性质：1、非负性：对于任意复数＄z$，有＄｜z| ＼geq 0$，当且仅当＄z ＝ 0$ 时，＄｜z| ＝ 0$。

2、三角不等式：对于任意两个复数＄z_1$ 和＄z_2$，有＄｜z_1 ＋ z_2| ＼leq ｜z_1| ＋｜z_2|＄。

3、乘法性质：若＄z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i$，＄z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i$，则＄｜z_1z_2| ＝｜z_1|｜z_2|＄。

三、共轭复数对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，其共轭复数记作＄＼overline{z}＄，定义为＄＼overline{z} ＝ a bi$。

也就是说，共轭复数的实部相同，虚部互为相反数。

例如，复数＄3 ＋ 2i$ 的共轭复数是＄3 2i$。

共轭复数的性质：1、＄z ＋＼overline{z} ＝ 2a$，即复数与其共轭复数的和为实部的两倍。

2、＄z ＼overline{z} ＝ 2bi$，即复数与其共轭复数的差为虚部的两倍乘以＄i$ 。

3、若＄z$ 是实数，则＄z ＝＼overline{z}＄；若＄z$ 是纯虚数，则＄z ＝＼overline{z}＄。

四、复数的模与共轭复数的关系1、对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，有＄｜z|＾2 ＝ z\overline{z}＄。

知识内容一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于，即；1-21i =-（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:i 就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i ．1-21x =-21x =-（4）i 的周期性：， ， ， ．41n i i +=421n i +=-43n i i +=-41n i =2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3．复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做i()a b a b +∈R ，a b 复数集，用字母表示C 4．复数的代数形式:通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．z ()z a bi a b R =+∈，a bi +5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：0对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数()a bi a b R +∈，0b =()a bi a b R +∈，a 0b ≠叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数z a bi =+0a =0b ≠z bi =0a b ==z 0复数h i n6．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C ÜÜÜÜ7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，a ， ，，那么，a b d ，，c d ∈R i ia b c d +=+⇔a c =b d =二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横i()z a b a b =+∈R ，()a b ，Z 坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来a b i()z a b a b =+∈R ，()Z a b ，表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表x y 示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是()00，表示是实数．00i 0z =+=除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数复平面内的点z a bi =+←−−−→一一对应()Z a b ，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数与的和的定义：1z 2z 12z z +=()()i i a b c d +++=()()ia cb d +++2．复数与的差的定义：1z 2z 12z z -=()()i i a b c d +-+=()()ia cb d -+-3．复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4．复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++5．乘法运算规则：设，(、、、)是任意两个复数，1i z a b =+2i z c d =+a b c d ∈R 那么它们的积()()()()12i i izz a b c dac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与2i 1-虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z =（2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()1231213z z z z z z z +=+7．复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：()()()i i i c d x y a b ++=+x yi +x y ∈R a bi +c di +或者()()a bi c di +÷+a bi c di++8．除法运算规则：设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，i a b +a b ∈R i c d +c d ∈R i x y +x y ∈R 即∵()(i)i i a b c d x y +÷+=+()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++∴()()i icx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知解这个方程组，得cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adic d c d +-=+++②利用于是将的分母有理化得：()()22i i c d c d c d +-=+iia b c d ++原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+．222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d++-+-==++++∴(()(i)i a b c d +÷+=2222iac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，它们之积i c d +i c d --为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分1()()22c di c di c d +-=+母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

第九章复数复数是对实数域拓展得到的新的数域，然而复数其实并不算是全新的概念，它与已经学习的实数和向量都有直接联系。

根据实数的运算进一步推广即可得到复数的性质和运算规律；复数与向量在形式上具有诸多相同点并能建立起对应关系。

复数也具有显著的“数形结合”的特点，通过虚数单位i将“数”与“形”更加直接地结合了起来。

高中阶段对复数的学习和考察的内容较为基本，可以将学习本章当作对代数运算与向量知识的复习。

一、虚数与复数从用于计数的自然数开始，先根据加法和减法拓展到整数，再根据乘法和除法拓展到有理数，又根据乘方和开方拓展到实数，现在进一步拓展到复数。

1.1 实数与虚数解一元二次方程时，根据各项系数可以判断方程根的情况。

对于一元二次方程20ax bx c（0a ）配方得：2224 (24b b ac xa a等式左边是完全平方数，恒大于等于0，由此可得：若240b ac，则方程有2个不同的实根。

若240b ac，则方程有2个相同的实根，或称只有1个实根。

若240b ac，则方程有没有实根。

为了令一元二次方程总是有解，现在规定根号内也可为负数，即：虚数。

现在只简单生硬地规定：对于虚数的具体含义，接下来将根据该规定，结合具体运算进行推导。

为方便地表示虚数，再引入一个新的单位：虚数单位，一般用符号i 表示。

其定义式为：i将实数的乘法运算作用于虚数单位i 。

任意虚数都可以用一个实数与虚数单位i 的乘积表示：5i根据虚数单位的定义i ，可得到关于i 的一系列运算规律：221i321i i i i i4242()(1)1i i即：对于任意k Z ，都有：41k i ，41k i i ，421k i ，43k i i 虚数的表示方式也适用于实数，只是通常被省略了。

若将“1”看作“实数单位”，即：1 。

“实数单位”“1”1 。

可以将实数和虚数看作分别属于两个不同“空间”的数，实数以1）为单位，在“实在”的空间内；i ）为单位，在“虚拟”的空间内。

数学复数概念知识点总结1.复数的定义复数是由实数和虚数单位i组成的数，虚数单位i定义为i^2=-1。

因此，一个一般的复数可以表示为z=a+bi，其中a和b都是实数，a称为复数的实部，b称为复数的虚部。

显然，实数可以视作具有虚部为0的复数。

复数的虚部和实部分别在复平面上对应于y轴和x轴的坐标，这使得复数可以用平面上的点来表示，也被称为复平面。

2.复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面分别介绍这些运算的规则。

加法和减法：两个复数的加法和减法是按照实部和虚部分别进行运算的，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i和(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

乘法：两个复数的乘法可以通过分配律和虚数单位的定义进行计算，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=ac+(ad+bc)i-bd。

除法：复数的除法可以通过乘以共轭复数后再进行化简得到，即(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i。

复数的运算遵守了实数的运算规则，并且通过虚数单位i的定义可以很方便地进行计算。

3.复数的幅角表示复数在复平面上可以用极坐标形式表示，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数到原点的距离，θ为复数与实轴的夹角。

这种表示方式可以很方便地计算幂运算和求根运算，也称为辐角表示。

4.复数方程与不等式复数可用于解方程和不等式。

解复数方程和不等式时，通常要转化为复数运算后再进行计算。

方程的解：复数方程通常会有多个解，因为虚部的存在使得复数有无穷多个根。

例如，方程z^2=1有两个根z=1和z=-1。

对于高次复数方程，可以使用牛顿法和其他数值方法来求解。

不等式：复数的大小可以用模来表示，即|z|=√(a^2+b^2)，这便是复数的模。

因此，复数的比较大小可以转化为模的比较，即|z1|<|z2|表示z1的模小于z2的模。