第二章导数与微分练习题及习题详细解答

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1 第二章导数与微分练习题及习题详细解答练习题2.1 1．已知质点作直线运动的方程为23st，求该质点在5t时的瞬时速度．解由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度d2dsvtt．代入5t，得10v．

2．求曲线cosyx在点π3(,)62处的切线方程和法线方程．解由导数的几何意义知，曲线cosyx在π3(,)62点切线的斜率 ππ66

1(cos)(sin)2xxkxx，

所以，切线方程为31π()226yx，即61263π=0xy．法线方程为3π2()26yx，即126332π=0xy． 3．讨论函数32,0()31,013,1xfxxxxx在0x和1x处的连续性与可导性．解在0x处，00lim()lim22xxfx，00lim()lim(31)1xxfxx，由于00lim()lim()xxfxfx，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导．在1x处，11lim()lim(31)4xxfxx，311lim()lim(3)4xxfxx，(1)4f，所以连续．又00(1)(1)3(1)limlim3xxfxfxfxx， 2300(1)(1)33()()(1)limlim3xxfxfxxxfxx



，

所以可导． 2

4．已知函数()fx在点0x处可导，且0()fxA，求下列极限： 000(5)()(1)limxfxxfxx； 000(2)()(2)limhfxhfxh



解（1）0000000(5)()(5)()55()55limlimxxfxxfxfxxfxfxAxx; (2) 0000000(2)()(2)()22()22limlimhhfxhfxfxhfxfxAhh． 5．求抛物线2yx上平行于直线43yx的切线方程．解由于切线平行于43yx，所以斜率为4k．又2kyx，所以2x．对应于抛物线上的点为(2,4)，所以切线方程为44(2)yx，即440xy．练习题2.2 1．求下列函数的导数：（1）100(21)yx；（2）22exxy；（3）sin(3π)yx；（4）2cosyx；（5）2esinxyx；（6）2ln(1)yx；（7）tan2yx；（8）cot3yx；（9）arctan(31)yx；（10）arcsin(41)yx．解（1）9999100(21)(21)200(21)yxxx；（2）22222e(2)e(41)xxxxyxxx；（3）cos(3π)(3π)3cos(3π)yxxx；（4）2cos(cos)2sincossin2yxxxxx；（5）22222(e)sine(sin)2esinecose(2sincos)xxxxxyxxxxxx；（6）22212(1)11xyxxx；（7）22sec2(2)2sec2yxxx；（8）22csc3(3)3csc3yxxx； 3

（9）2213(31)1(31)1(31)yxxx；（10）2214(41)1(41)1(41)yxxx． 2．设3(1)(2)(3)(4)xxyxx，求ddyx．解对于3(1)(2)(3)(4)xxyxx两边取对数，得 1lnln(1)ln(2)ln(3)ln(4)3yxxxx

两边对x求导，得 111111()31234yyxxxx



所以

31(1)(2)1111()3(3)(4)1234xxyxxxxxx



3．求曲线31xtyt上，点(1,0)处的切线方程．解点(1,0)对应参数t的值为0．设k为曲线上对应(1,0)点的切线斜率，则 32000d()30d(1)1tttyttkxt



，

于是，所求切线方程为 0y，即x轴．

4．求由方程3330yxxy所确定的隐函数的导数ddyx．解方程两边对x求导，可得 22333()0yyxyxy

由上式解出y，便得隐函数的导数为 4

22xyyyx



（20yx）．

练习题2.3 1．求下列函数的微分：（1）22sin34yxxx；（2）2lnyxxx；（3）2(arccos)1yx；（4）arctanyxx；（5）lntan2xy；（6）sinln57xyxxxx；（7）1cos2xy；（8）3(ee)xxy．解（1）22d(sin34)d(2sin23)dyxxxxxxx；（2）2d(ln)d(ln12)dyxxxxxxx；（3）222arccosd((arccos)1)dd1xyxxxx；（4）2d(arctan)d(arctan)d1xyxxxxxx；（5）2111d(lntan)dsecddcscd222sintan2xxyxxxxxxx；

（6）2sincossind(ln57)d(ln6)dxxxxyxxxxxxxx；（7）11coscosd(2)d2ln2sectandxxyxxxx；（8）32d(ee)d3(ee)(ee)dxxxxxxyxx． 2．填空．（1）23dd()xx （2）21dd()1xx （3）2cos2dd()xx （4）21dd()xx 解（1）3xC；（2）arctanxC；（3）sin2xC；（4）1Cx． 3．求65的近似值．解由于65641，故令()fxx，并取064x，1x． 5

因为 000()()()fxxfxfxx，1()()2fxxx．所以 116564164188.062516264． 4．半径为10m的圆盘，当半径改变1cm时，其面积大约改变多少？解圆盘面积函数为2SπR，并取0R10m，R1cm0.01m．因为 S2πR 所以面积改变量 2SdS2πRR2π100.010.2π0.628m

．

习题二 1．如果函数()fx在点0x可导，求：（1）000()()limhfxhfxh；（2）000()()limhfxhfxhh．解（1）0000000()()()()limlim()hhfxhfxfxhfxfxhh；（2）00000000()()()()()()limlimhhfxhfxhfxhfxfxfxhhh 0000000()()()()limlim()()hhfxhfxfxhfxfxhh





2．求函数3yx在点(2,8)处的切线方程和法线方程．解由导数的几何意义，得 3222()312xxkxx



切，112k法．

所以，切线方程为 812(2)yx 即 12160xy．

法线方程为 18(2)12yx 6

即 12980xy．

3．设2, 1(), 1xxfxaxbx，试确定,ab的值，使()fx在1x处可导．解若()fx在1x处可导，则必在1x处连续． 1lim()1xfx，1lim()xfxab，

11lim()lim()xxfxfx，即1ab．

又2111()(1)1(1)limlimlim(1)211xxxfxfxfxxx， 111()(1)1(1)(1)limlimlim111xxxfxfaxbaxfaxxx



所以 2a，1b． 4．求下列各函数的导数：（1）231251yxxx；（2）2sinyxx；（3）1cosyxx；（4）1ln1lnxyx．解（1）23413(251)45yxxxxx；（2）22(sin)2sincosyxxxxxx；（3）221(cos)sin1()cos(cos)(cos)xxxyxxxxxx；

（4）21ln(1ln)(1ln)(1ln)(1ln)()1ln(1ln)xxxxxyxx

2211(1ln)(1ln)2(1ln)(1ln)xxxxxxx

 ．

5．求下列函数的导数：（1）36()yxx；（2）21xyx；

高数考研基础练习题：第二章导数与微分

高数考研基础练习题：第二章导数与微分
练习题
【注1】本次练习是高等数学《导数与微分》内容的考研复习基础练习题，适用于高等数学课程学习和考研复习打基础，建议自己在草
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【注2】参考解题过程与答案不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望您能不吝指出！如果您有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给我们，我们将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
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练习题参考答案
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导数与微分习题及答案

导数与微分习题及答案导数与微分习题及答案在数学学科中，导数与微分是非常重要的概念。

它们不仅在数学分析中有广泛的应用，还在物理、经济学等领域中起着重要的作用。

本文将为大家提供一些导数与微分的习题，并附上详细的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。

1. 习题一：求函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数。

解答：根据导数的定义，我们有f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。

代入函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 和 x = 2，得到f'(2) = lim(h→0) [(2+h)^2 + 3(2+h) - 2 - (2^2 + 3(2) - 2)] / h。

化简后得到f'(2) = lim(h→0) [4h + h^2 + 6h] / h = lim(h→0) (h^2 + 10h) / h = lim(h→0) (h + 10) = 10。

因此，函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数为 10。

2. 习题二：求函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 在点x = π/4 处的导数。

解答：同样地，我们可以利用导数的定义来求解。

根据定义，g'(x) = lim(h→0) [g(x+h) - g(x)] / h。

代入函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 和x = π/4，得到g'(π/4) = lim(h→0) [2sin(π/4+h) + cos(π/4+h) - (2sin(π/4) + cos(π/4))] / h。

化简后得到g'(π/4) = lim(h→0) [2(sin(π/4)cos(h) + cos(π/4)sin(h)) + (cos(π/4)cos(h) -sin(π/4)sin(h))] / h。

第2章导数与微分

第2章导数与微分习题一导数概念一、是非题 1''00()[()]f x f x =；（）2、曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'0()f x 一定存在；（）3、若''()()f x g x >，则()()f x g x >；（） 4、周期函数的导数仍为周期函数；（） 5、偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数；（）6、()y f x =在0x x =处连续，则'()f x 一定存在。

（）二、填空题1、设()f x 在0x 处可导，则000()()lim_______,x f x x f x x →--=000()()lim________;h f x h f x h h →+--=若'(0)f 存在且(0)0f =，则0()lim______;x f x x →=已知22,0,(),,0x x f x x x ⎧>=⎪=⎨-<⎪⎩则'(0)f =_____；当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T=T （t ），则该物体在时刻t 的冷却速度为_____；在曲线xy =上取横坐标10x =,及21x =网点,作过这两点的割线,则曲线xy =在点_____处的切线_____平行于这条割线;三、选择题1、函数()f x 的'0()f x 存在等价于（）A 、001lim [()()]n n f x f x n →∞+-存在B 、000()()limh f x h f x h →--存在C 、000()()limx f x x f x x x →+--存在D 、000(3)()limx f x x f x x x→+-+存在2、若函数 ()f x 在点0x 处可导，则|()f x |在点0x处（）A 、可导B 、不可导C 、连续但未必可导D 、不连续3、设λ是常数，函数11cos ,1,(1)1()0, 1.x x x f x x λ⎧>⎪--=⎨⎪<=⎩若 '(1)f 存在，必有（）A 、λ〈1B 、-1〈=λ〈0C 、0〈=λ〈1D 、λ〉=1四、求y =的'()y x 及'(1).y五、设()x ϕ在x=a 处连续，()()()f x x a x ϕ=-，求'().f a六、已知2,1,(), 1.x x f x ax b x ⎧<==⎨+>⎩ 1、确定a,b 使f(x)在实数域内处处可导；2、将上一问中求出a,b 的值代入f(x)，求f(x)的导数。