新课改高中数学选修2-3模块质量测试卷

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·山西大学附中月考)某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有()A．510种B．105种C．50种D．3 024种【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式，故选A.【答案】 A2．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()A．32B．－32C．0D．－64【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.【答案】 B3．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年^＝7.19x＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，龄(单位：岁)的线性回归方程y有关叙述正确的是()A．身高一定为145.83 cmB．身高大于145.83 cmC．身高小于145.83 cmD．身高在145.83 cm左右^＝7.19x＋73.93，得y^＝145.83，但这种预测不一定【解析】将x＝10代入y准确．实际身高应该在145.83 cm 左右．故选D.【答案】 D4．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()A.16 B ．11 C ．2.2 【解析】 由表格可求E (X )＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】 A5．正态分布密度函数为f (x )＝12 2πe －(x －1)28，x ∈R ，则其标准差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】 根据f (x )＝1σ 2πe －(x －μ)22σ2，对比f (x )＝12 2πe －(x －1)28知σ＝2.【答案】 B6．独立性检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系，则在H 0成立的情况下，P (K 2≥6.635)＝0.010表示的意义是( )A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%B ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9%C ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%D ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99%【解析】 由题意知变量X 与Y 没有关系的概率为0.01，即认为变量X 与Y 有关系的概率为99%.【答案】 D7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有( ) A ．18种 B ．24种 C ．45种 D ．90种【解析】 不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C 26·C 24·C 22＝90(种)． 【答案】 D8．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x n 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )A ．15B ．－15C ．20D ．－20【解析】 由题意知n ＝6，T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r·(－x )r＝(－1)r C r 6x 32r －6，由32r －6＝0，得r ＝4， 故T 5＝(－1)4C 46＝15，故选A. 【答案】 A9．设随机变量ξ～B (n ，p )，若E (ξ)＝2.4，D (ξ)＝1.44，则参数n ，p 的值为( ) 【导学号：97270066】A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1 【解析】 由二项分布的均值与方差性质得 ⎩⎨⎧ np ＝2.4，np (1－p )＝1.44，解得⎩⎨⎧n ＝6，p ＝0.4，故选B. 【答案】 B10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是( )A.16B.18C.112D.124【解析】 由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A 44A 22＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P ＝112.【答案】 C 11．有下列数据：A ．y ＝3×2x －1B ．y ＝log 2xC ．y ＝3xD ．y ＝x 2【解析】 当x ＝1,2,3时，代入检验y ＝3×2x －1适合．故选A.【答案】 A 12.图1(2016·孝感高级中学期中)在如图1所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，若各保险匣之间互不影响，则当开关合上时，电路畅通的概率是( )A.551720B.29144C.2972D.2936【解析】 “左边并联电路畅通”记为事件A ，“右边并联电路畅通”记为事件B .P (A )＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝56.P (B )＝1－15×16＝2930.“开关合上时电路畅通”记为事件C . P (C )＝P (A )·P (B )＝56×2930＝2936，故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．(2016·石家庄二模)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a ＝0无实根的概率为________．【解析】 ∵方程无实根，∴Δ＝1－4a <0，∴a >14， ∴所求概率为34. 【答案】 3414．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400<X <450)＝0.3，则P (550<X <600)＝________.【解析】 由下图可以看出P (550<X <600)＝P (400<X <450)＝0.3.【答案】 0.315．(2015·重庆高考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________(用数字作答)．【解析】 ∵T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 5·x 15－3r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r·x －r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 5·x 30－7r 2(r ＝0,1,2,3,4,5)，由30－7r 2＝8，得r ＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 25＝52.【答案】 52 16.图2将一个半径适当的小球放入如图2所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________. 【导学号：97270067】【解析】 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.【答案】 34三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法： (1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？【解】 (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47＝604 800(种)不同排法．(2)法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18A 88)＝2 943 360(种)排法．法二：无条件排列总数A 1010－⎩⎨⎧甲在首，乙在末A 88，甲在首，乙不在末A 99－A 88，甲不在首，乙在末A 99－A 88，甲不在首，乙不在末，共有A 1010－2A 99＋A 88＝2 943 360(种)排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010A 33＝604 800(种)．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010＝1 814 400(种)排法．18．(本小题满分12分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的学生人数占总人数的比例； (2)成绩在80～90分内的学生人数占总人数的比例．【解】 (1)设学生的得分为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10. 分数在60～80之间的学生的比例为 P (70－10<X ≤70＋10)＝0.683， 所以不及格的学生的比例为12×(1－0.683)＝0.158 5，即成绩不及格的学生人数占总人数的15.85%. (2)成绩在80～90分内的学生的比例为12[P (70－2×10<X ≤70＋2×10)]－12[P (70－10<X ≤70＋10)]＝12(0.954－0.683)＝0.135 5.即成绩在80～90分内的学生人数占总人数的13.55%.19．(本小题满分12分)口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次取出的都是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率是多少？ 【解】 记事件A ：第一次取出的是红球； 事件B ：第二次取出的是红球． (1)第一次取出红球的概率 P (A )＝4×56×5＝23.(2)第一次和第二次取出的都是红球的概率P (A ∩B )＝4×36×5＝25.(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率为 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝2523＝35.20．(本小题满分12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等．(1)求n ；(2)求展开式中x 的一次项的系数．【解】 (1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得C 3n ＝C 8n ，解得n ＝11.(2)由(1)知，展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 11(x )11－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k 11x 11－3k 2. 令11－3k2＝1，得k ＝3.此时T 3＋1＝(－2)3C 311x ＝－1 320x ， 所以展开式中x 的一次项的系数为－1 320. 21．(本小题满分12分)对于表中的数据：(1)(2)求线性回归方程．【解】 (1)如图，x ，y 具有很好的线性相关性． (2)因为x ＝2.5，y ＝5，∑4i ＝1x i y i ＝60，∑4i ＝1x 2i ＝30，∑4i ＝1y 2i ＝120.04. 故b^＝60－4×2.5×530－4×2.52＝2，a^＝y －b ^ x ＝5－2×2.5＝0， 故所求的回归直线方程为 y ^＝2x .22．(本小题满分12分)(2016·丰台高二检测)“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是8 15.(1)请将上面的列联表补充完整(在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？(2)若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．【解】(1)k＝30×(10×8－6×6)216×14×16×14≈1.158<3.841，所以没有把握认为爱好运动与性别有关．(2)X的取值可能为0,1,2.P(X＝0)＝C28C214＝413，P(X＝1)＝C16C18C214＝4891，P(X＝2)＝C26C214＝1591.所以X的分布列为：X的数学期望为E(X)＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.。

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·山西大学附中月考)某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有()A．510种B．105种C．50种D．3 024种【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式，故选A.【答案】 A2．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()A．32B．－32C．0D．－64【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.【答案】 B3．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)^＝7.19x＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身对年龄(单位：岁)的线性回归方程y高，有关叙述正确的是()A．身高一定为145.83 cmB．身高大于145.83 cmC．身高小于145.83 cmD．身高在145.83 cm左右^＝7.19x＋73.93，得y^＝145.83，但这种预测不一定【解析】将x＝10代入y准确．实际身高应该在145.83 cm 左右．故选D.【答案】 D4．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()A.16 B．11 C．2.2【解析】由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】 A5．正态分布密度函数为f(x)＝12 2πe－(x－1)28，x∈R，则其标准差为()A．1 B．2 C．4 D．8【解析】根据f(x)＝1σ2πe－(x－μ)22σ2，对比f(x)＝12 2πe－(x－1)28知σ＝2.【答案】 B6．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(K2≥6.635)＝0.010表示的意义是()A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99%【解析】由题意知变量X与Y没有关系的概率为0.01，即认为变量X与Y 有关系的概率为99%.【答案】 D7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有()A．18种B．24种C．45种D．90种【解析】不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C26·C24·C22＝90(种)．【答案】 D8．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x n 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )A ．15B ．－15C ．20D ．－20【解析】 由题意知n ＝6，T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r ·(－x )r＝(－1)r C r 6x 32r －6，由32r －6＝0，得r ＝4， 故T 5＝(－1)4C 46＝15，故选A. 【答案】 A9．设随机变量ξ～B (n ，p )，若E (ξ)＝2.4，D (ξ)＝1.44，则参数n ，p 的值为( ) 【导学号：97270066】A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1 【解析】 由二项分布的均值与方差性质得 ⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝2.4，np (1－p )＝1.44，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，p ＝0.4，故选B. 【答案】 B10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是( )A.16B.18C.112D.124【解析】 由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A 44A 22＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P ＝112.【答案】 C11．有下列数据：x 1 2 3 Y35.9912.01A ．y ＝3×2x －1B ．y ＝log 2xC ．y ＝3xD ．y ＝x 2【解析】 当x ＝1,2,3时，代入检验y ＝3×2x －1适合．故选A. 【答案】 A 12.图1(2016·孝感高级中学期中)在如图1所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，若各保险匣之间互不影响，则当开关合上时，电路畅通的概率是( )A.551720B.29144C.2972D.2936【解析】 “左边并联电路畅通”记为事件A ，“右边并联电路畅通”记为事件B .P (A )＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝56.P (B )＝1－15×16＝2930.“开关合上时电路畅通”记为事件C . P (C )＝P (A )·P (B )＝56×2930＝2936，故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．(2016·石家庄二模)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a ＝0无实根的概率为________．【解析】 ∵方程无实根，∴Δ＝1－4a <0，∴a >14， ∴所求概率为34. 【答案】 3414．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400<X <450)＝0.3，则P (550<X <600)＝________.【解析】 由下图可以看出P (550<X <600)＝P (400<X <450)＝0.3.【答案】 0.315．(2015·重庆高考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________(用数字作答)．【解析】 ∵T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 5·x 15－3r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r·x －r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 5·x 30－7r 2(r＝0,1,2,3,4,5)，由30－7r 2＝8，得r ＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 25＝52.【答案】 52 16.图2将一个半径适当的小球放入如图2所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________. 【导学号：97270067】【解析】 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.【答案】 34三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法： (1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？【解】 (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47＝604 800(种)不同排法．(2)法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18A 88)＝2 943 360(种)排法．法二：无条件排列总数A 1010－⎩⎪⎨⎪⎧甲在首，乙在末A 88，甲在首，乙不在末A 99－A 88，甲不在首，乙在末A 99－A 88，甲不在首，乙不在末，共有A 1010－2A 99＋A 88＝2 943 360(种)排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010A 33＝604 800(种)．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010＝1 814 400(种)排法．18．(本小题满分12分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的学生人数占总人数的比例； (2)成绩在80～90分内的学生人数占总人数的比例．【解】 (1)设学生的得分为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10. 分数在60～80之间的学生的比例为 P (70－10<X ≤70＋10)＝0.683， 所以不及格的学生的比例为12×(1－0.683)＝0.158 5，即成绩不及格的学生人数占总人数的15.85%. (2)成绩在80～90分内的学生的比例为12[P (70－2×10<X ≤70＋2×10)]－12[P (70－10<X ≤70＋10)]＝12(0.954－0.683)＝0.135 5.即成绩在80～90分内的学生人数占总人数的13.55%.19．(本小题满分12分)口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次取出的都是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率是多少？【解】 记事件A ：第一次取出的是红球； 事件B ：第二次取出的是红球． (1)第一次取出红球的概率 P (A )＝4×56×5＝23. (2)第一次和第二次取出的都是红球的概率P (A ∩B )＝4×36×5＝25. (3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率为 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝2523＝35.20．(本小题满分12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等．(1)求n ；(2)求展开式中x 的一次项的系数．【解】 (1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得C 3n ＝C 8n ，解得n ＝11.(2)由(1)知，展开式的第k ＋1项为 T k ＋1＝C k 11(x )11－k ⎝⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－2)k C k11x 11－3k 2. 令11－3k2＝1，得k ＝3.此时T 3＋1＝(－2)3C 311x ＝－1 320x ， 所以展开式中x 的一次项的系数为－1 320. 21．(本小题满分12分)对于表中的数据：(1)作散点图，你从直观上得到什么结论？ (2)求线性回归方程．【解】 (1)如图，x ，y 具有很好的线性相关性． (2)因为x ＝2.5，y ＝5，∑4i ＝1x i y i ＝60，∑4i ＝1x 2i ＝30，∑4i ＝1y 2i ＝120.04. 故b ^＝60－4×2.5×530－4×2.52＝2，a^＝y －b ^ x ＝5－2×2.5＝0， 故所求的回归直线方程为 y ^＝2x .22．(本小题满分12分)(2016·丰台高二检测)“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性 女性 总计 爱好 10 不爱好 8 总计30已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是815.(1)请将上面的列联表补充完整(在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？(2)若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．【解】(1)k＝30×(10×8－6×6)216×14×16×14≈1.158<3.841，所以没有把握认为爱好运动与性别有关．(2)X的取值可能为0,1,2.P(X＝0)＝C28C214＝413，P(X＝1)＝C16C18C214＝4891，P(X＝2)＝C26C214＝1591.所以X的分布列为：X的数学期望为E(X)＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.。

1绝密★启用前高中数学选修2-3数学测试卷试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一．选择题（共14小题）1．定义在R 上的函数f （x ）的导函数为f'（x ），f （0）=0若对任意x ∈R ，都有f （x ）＞f'（x ）+1，则使得f （x ）+e x ＜1成立的x 的取值范围为（ ） A ．（0，+∞） B ．（﹣∞，0） C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，1）2．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ∈（0，+∞）时，都有不等式f （x ）﹣xf′（x ）＜0成立，若a=f （1），b=20.4f （2﹣0.4），c=（log 4）f （log 4），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b3．函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数f′（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．设f′（x ）是函数f （x ）的导函数，y=f′（x ）的图象如图所示，则y=f （x ）的图象最有可能的是（）A ．B ．C．D ．5．若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1） B．f（0）+f（2）＞2f（1） C．f（0）+f（2）≤2f（1） D．f（0）+f（2）≥2f（1）6．观察下列各式：=2•，=3，=4•，…，若=9•，则m=（）A．80 B．81 C．728 D．7297．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A ．B ．C ．﹣ D．28．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件9．甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）种．A．30 B．36 C．60 D．7210．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）23A ．360B ．520C ．600D ．720 11．若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．120C ．90D ．4512．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（ ） A ．240种 B ．192种 C ．120种 D ．96种13．（x +）（2x ﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） A ．﹣40 B ．﹣20C ．20D ．4014．若的展开式中第四项为常数项，则n=（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．填空题（共1小题） 15．观察式子，…，则可归纳出 ．三．解答题（共6小题）16．已知函数f （x ）=alnx ﹣ax ﹣3（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g （x ）=x 3+x 2（f'（x ）+）在区间（t ，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围； （Ⅲ）求证：×××…×＜（n ≥2，n ∈N *）．17．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=ax ++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．19．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．20．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C 每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．21．已知n∈N*，nf（n）=C n0C n1+2C n1C n2+…+nC n n﹣1C n n．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．高中数学选修2-3数学测试卷高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）=0若对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，则使得f（x）+e x＜1成立的x的取值范围为（）4A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，可得g′（x）=＜0，函数g（x）在R单调递减，利用其单调性即可得出．【解答】解：构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．∵对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，∴g′（x）==＜0，∴函数g（x）在R单调递减，由f（x）+e x＜1化为：g（x）=＜﹣1=g（0），∴x＞0．∴使得f（x）+e x＜1成立的x的取值范围为（0，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了构造函数法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，都有不等式f（x）﹣xf′（x）＜0成立，若a=f（1），b=20.4f（2﹣0.4），c=（log 4）f （log 4），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，判断函数的单调性，结合函数单调性的性质进行比较即可．【解答】解：∵当x∈（0，+∞）时不等式f（x）﹣xf′（x）＜0成立，∴（）′=＞0，∴g（x）=在（0，+∞）上是增函数．则b=20.4f（2﹣0.4）==g（2﹣0.4），c=log 4f（log 4）=﹣f（﹣2）=﹣=g（﹣2），5a=f（1）==g（1），又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（x）=是定义在R上的偶函数，则g（﹣2）=g（2），∵0＜2﹣0.4＜1，∴2﹣0.4＜1＜2，∵g（x）在（0，+∞）上是增函数，∴g（2﹣0.4）＜g（1）＜g（2），即g（2﹣0.4）＜g（1）＜g（﹣2），则b＜a＜c，故选：D．【点评】本题考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系，判断函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．3．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点．从而问题得解．【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．【点评】本题考察了函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．4．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）6的图象最有可能的是（）A ．B ．C．D ．【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选：C．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．5．若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1） B．f（0）+f（2）＞2f（1） C．f（0）+f（2）≤2f（1） D．f（0）+f（2）≥2f（1）【分析】对x分段讨论，解不等式求出f′（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项．【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）≥0∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数∴f（2）≥f（1）7f（0）≥f（1）∴f（0）+f（2）≥2f（1）故选：D．【点评】利用导函数的符号能判断函数的单调性，当导函数大于0则函数递增；当导函数小于0则函数单调递减．6．观察下列各式：=2•，=3，=4•，…，若=9•，则m=（）A．80 B．81 C．728 D．729【分析】观察每个等式可以发现每个被开方数的分数部分的分母是分子的立方减去1所得，从而可求m．【解答】解：：=2•=2•，=3，，=4•=4，…，所以，所以=9•=9，所以m=93﹣1=729﹣1=728；故选：C．【点评】本题考查了归纳推理，关键是由具体的前几个发现与序号的关系，总结出规律，猜想一般结论．7．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A ．B ．C ．﹣ D．28【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b．【解答】解：==+i由=﹣得b=﹣．故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．8．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数；当z 为纯虚数时，a=±1，不能推出a=1．【解答】解：当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数．当复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i是一个纯虚数时，a2﹣1=0 且a﹣2≠0，a=±1，故不能推出a=1．故选：A．【点评】本题考查复数的基本概念，充分条件、必要条件的定义，是一道基础题．9．甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）种．A．30 B．36 C．60 D．72【分析】“至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同，再利用分步计数原理，即可求得结论．【解答】解：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：1、甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C42C22=6种．2、甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有C41=4种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从9最后剩余的2门中任选1门有C31C21=6种选法，由分步计数原理此时共有C41C31C21=24种．综上，由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．故选：A．【点评】本题考查排列组合知识，合理分类、正确分步是解题的关键．10．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．720【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C53•A44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况；则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，故选：C．【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．11．若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180 B．120 C．90 D．45【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由题意可得只有第六项的二项式系数最大，∴n=10．=••2r•x﹣2r=2r ••，故展开式的通项公式为T r+110令=0，求得r=2，故展开式中的常数项是22=180，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（）A．240种B．192种C．120种D．96种【分析】利用甲必须站正中间，先安排甲，甲的两边，每边三人，不妨令乙丙在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数．【解答】解：不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A22种站法，再取一人站左侧有C41×A22种站法，余下三人站右侧，有A33种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A22×C41×A22×A33=192，故选：B．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，解题的关键是理解题中所研究的事件，并正确确定安排的先后顺序，此类排列问题一般是谁最特殊先安排谁，俗称特殊元素特殊位置优先的原则．13．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立a 的方程，解出a的值，然后再由规律求出常数项．【解答】解：令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x﹣）5故其常数项为﹣22×C53+23C52=40．故选：D．【点评】本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要．14．若的展开式中第四项为常数项，则n=（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由T4=••为常数项，即可求得n的值．【解答】解：依题意，T4=••∵其展开式中第四项为常数项，∴﹣1=0，∴n=5．故选：B．【点评】本题考查二项式定理，突出考查二项展开式的通项公式，属于中档题．二．填空题（共1小题）15．观察式子，…，则可归纳出（n≥1）．【分析】根据已知中，分析左边式子中的数与右边式了中的数之间的关系，由此可写出结果．【解答】解：根据题意，每个不等式的右边的分母是n+1．不等号右边的分子是2n+1，∴1+…+＜（n≥1）．故答案为：（n≥1）．【点评】本题考查归纳推理．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．三．解答题（共6小题）16．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2（f'（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：×××…×＜（n≥2，n∈N*）．【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．【解答】解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【点评】本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况．含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题．17．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（I）求出g（x）的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出a的值．（II）求出g（x）的导数在x=﹣1的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程．（III）求出不等式，分离出参数A，构造函数h（x），利用导数求出h（x）的最大值，令a大于等于最大值，求出a的范围．【解答】解：（I）g′（x）=3x2+2ax﹣1由题意3x2+2ax﹣1＜0的解集是即3x2+2ax﹣1=0的两根分别是．将x=1或代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1．∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2．（4分）（II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x2﹣2x﹣1，∴g′（﹣1）=4，∴点p（﹣1，1）处的切线斜率k=g′（﹣1）=4，∴函数y=g（x）的图象在点p（﹣1，1）处的切线方程为：y﹣1=4（x+1），即4x﹣y+5=0．（8分）（III）∵2f（x）≤g′（x）+2即：2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立可得对x∈（0，+∞）上恒成立设，则令h′（x）=0，得（舍）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0∴当x=1时，h（x）取得最大值﹣2∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．（13分）【点评】解决不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围．18．已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．【分析】（1）通过函数的导数，利用导数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出b，c即可．（2）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；（3）由（1）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当时，在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论．解法二：利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．【解答】解：（1）∵，∴∴f（1）=a+a﹣1+c=2a﹣1+c．又∵点（1，f（1））在切线y=x﹣1上，∴2a﹣1+c=0⇒c=1﹣2a，∴．（2）∵，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min≥0，又∵，而当时，．1°当即时，g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴；2°当即时，g'（x）=0时；且时，g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0；则①，又∵与①矛盾，不符题意，故舍．∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．（3）证明：由（2）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当时，在[1，+∞）上恒成立，令x依次取…时，则有，，…，由同向不等式可加性可得，即，也即，也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．解法二：①当n=1时左边=1，右边=ln2+＜1，不等式成立；②假设n=k时，不等式成立，就是1+++…+＞ln（k+1）+（k≥1）．那么1+++…++＞ln（k+1）++=ln（k+1）+．由（2）知：当时，有f（x）≥lnx （x≥1）令有f（x）=（x≥1）令x=得∴∴1+++…++＞这就是说，当n=k+1时，不等式也成立．根据（1）和（2），可知不等式对任何n∈N*都成立．【点评】本题是难题，考查函数与导数的关系，曲线切线的斜率，恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想．19．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（I）根据题意知每位乘客在第2层下电梯的概率都是，至少有一名乘客在第2层下电梯的对立事件是没有人在第二层下电梯，根据对立事件和相互独立事件的概率公式得到结果．（II）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，得到变量符合二项分布，根据二项分布的公式写出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，…（1分）由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，…（3分）则．…（6分）（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，…（7分）由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，所以，．…（9分）…（11分）．…（13分）【点评】本题看出离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是看出变量符合二项分布的特点，后面用公式就使得运算更加简单20．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【分析】（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为；……（4分）（2）因为每人可被录用的概率为，所以，，，；故随机变量X的概率分布表为：…………（8分）所以，X的数学期望为．……（10分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题．21．已知n∈N*，nf（n）=C n0C n1+2C n1C n2+…+nC n n﹣1C n n．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．【分析】（1）在条件中，分别令n取1，2，3，求得f（1），f（2），f（3）的值．（2）猜想f（n）=．要证猜想成立，只要证等式n=•+2•+…+n•成立．由（1+x）n=+x+x2+…+x n ①，两边同时对x求导数，可得n（1+x）n﹣1=+2x+3x2+n x n﹣1②，把①、②相乘，根据等式左右两边x n的系数相等，可得结论．【解答】解：（1）由条件，nf（n）=C C C C①，在①中令n=1，得f（1）=1．在①中令n=2，得2f（2）=6，得f（2）=3．在①中令n=3，得3f（3）=30，故f（3）=10．（2）猜想f（n）=．要证猜想成立，只要证等式n=•+2•+…+n•成立．由（1+x）n=+x+x2+…+x n①，两边同时对x求导数，可得n（1+x）n﹣1=+2x+3x2+n x n﹣1②，把等式①和②相乘，可得n（1+x）2n﹣1=（+x+x2+…+x n）•（+2x+3x2+n x n﹣1）③．等式左边x n的系数为n，等式右边x n的系数为•+•2+•3+…+n•n=•+2•+3•+…+n•=C C C C，根据等式③恒成立，可得n=C C C C．故f（n）=成立．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，用猜证法证明恒等式，求函数的导数，属于难题．。

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·山西大学附中月考)某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有( )A．510种B．105种C．50种 D．3 024种【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式，故选A.【答案】 A2．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为( )A．32 B．－32 C．0 D．－64【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.【答案】 B3．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程y^＝7.19x＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是( )A．身高一定为145.83 cmB．身高大于145.83 cmC．身高小于145.83 cmD．身高在145.83 cm左右【解析】将x＝10代入y^＝7.19x＋73.93，得y^＝145.83，但这种预测不一定准确．实际身高应该在145.83 cm 左右．故选D.【答案】 D4．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于( )A.16 B．11 C．【解析】由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】 A5．正态分布密度函数为f(x)＝12 2πe－x－128，x∈R，则其标准差为( )A．1 B．2 C．4 D．8【解析】根据f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，对比f(x)＝12 2πe－x －128知σ＝2.【答案】 B6．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(K2≥6.635)＝0.010表示的意义是( )A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99%【解析】由题意知变量X与Y没有关系的概率为0.01，即认为变量X与Y 有关系的概率为99%.【答案】 D7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有( )A．18种 B．24种 C．45种 D．90种【解析】不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C26·C24·C22＝90(种)．【答案】 D8．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x n的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )A ．15B ．－15C ．20D ．－20【解析】 由题意知n ＝6，T r ＋1＝C r6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r·(－x )r＝(－1)r C r6x 32r －6，由32r －6＝0，得r ＝4，故T 5＝(－1)4C 46＝15，故选A. 【答案】 A9．设随机变量ξ～B (n ，p )，若E (ξ)＝2.4，D (ξ)＝1.44，则参数n ，p 的值为( ) 【导学号：97270066】A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1 【解析】 由二项分布的均值与方差性质得 ⎩⎨⎧np ＝2.4，np 1－p 1.44，解得⎩⎨⎧n ＝6，p ＝0.4，故选B.【答案】 B10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是( )A.16B.18C.112D.124【解析】 由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A 44A 22＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P ＝112. 【答案】 C 11．有下列数据：A ．y ＝3×2x －1B ．y ＝log 2xC ．y ＝3xD ．y ＝x 2【解析】 当x ＝1,2,3时，代入检验y ＝3×2x －1适合．故选A. 【答案】 A 12.图1(2016·孝感高级中学期中)在如图1所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，若各保险匣之间互不影响，则当开关合上时，电路畅通的概率是( )A.551720 B.29144 C.2972 D.2936【解析】 “左边并联电路畅通”记为事件A ，“右边并联电路畅通”记为事件B .P (A )＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝56. P (B )＝1－15×16＝2930.“开关合上时电路畅通”记为事件C . P (C )＝P (A )·P (B )＝56×2930＝2936，故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．(2016·石家庄二模)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a ＝0无实根的概率为________．【解析】 ∵方程无实根，∴Δ＝1－4a <0，∴a >14，∴所求概率为34.【答案】3414．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400<X <450)＝0.3，则P (550<X <600)＝________.【解析】 由下图可以看出P (550<X <600)＝P (400<X <450)＝0.3.【答案】 0.315．(2015·重庆高考)⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________(用数字作答)．【解析】 ∵T r ＋1＝C r5·(x 3)5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 5·x 15－3r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r·x －r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 5·x 30－7r 2(r ＝0,1,2,3,4,5)，由30－7r 2＝8，得r ＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 25＝52. 【答案】 5216.图2将一个半径适当的小球放入如图2所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________. 【导学号：97270067】【解析】 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.【答案】34三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法： (1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？【解】 (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47＝604 800(种)不同排法．(2)法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18A 88)＝2 943 360(种)排法．法二：无条件排列总数A 1010－⎩⎨⎧甲在首，乙在末A 88，甲在首，乙不在末A 99－A 88，甲不在首，乙在末A 99－A 88，甲不在首，乙不在末，共有A 1010－2A 99＋A 88＝2 943 360(种)排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010A 33＝604 800(种)．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A1010＝1 814 400(种)排法．18．(本小题满分12分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的学生人数占总人数的比例；(2)成绩在80～90分内的学生人数占总人数的比例．【解】(1)设学生的得分为随机变量X，X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10.分数在60～80之间的学生的比例为P(70－10<X≤70＋10)＝0.683，所以不及格的学生的比例为12×(1－0.683)＝0.158 5，即成绩不及格的学生人数占总人数的15.85%.(2)成绩在80～90分内的学生的比例为12[P(70－2×10<X≤70＋2×10)]－12[P(70－10<X≤70＋10)]＝12(0.954－0.683)＝0.135 5.即成绩在80～90分内的学生人数占总人数的13.55%.19．(本小题满分12分)口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次取出的都是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率是多少？【解】记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球．(1)第一次取出红球的概率P(A)＝4×56×5＝23.(2)第一次和第二次取出的都是红球的概率P(A∩B)＝4×36×5＝25.(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率为P (B |A )＝P A ∩B P A＝2523＝35. 20．(本小题满分12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等．(1)求n ；(2)求展开式中x 的一次项的系数．【解】 (1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得C 3n ＝C 8n ，解得n ＝11.(2)由(1)知，展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 11(x )11－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k 11x11－3k2. 令11－3k2＝1，得k ＝3. 此时T 3＋1＝(－2)3C 311x ＝－1 320x ，所以展开式中x 的一次项的系数为－1 320. 21．(本小题满分12分)对于表中的数据：(1)(2)求线性回归方程．【解】 (1)如图，x ，y 具有很好的线性相关性．(2)因为x ＝2.5，y ＝5，∑4i ＝1x i y i ＝60，∑4i ＝1x 2i ＝30，∑4i ＝1y 2i ＝120.04. 故b ^＝60－4×2.5×530－4×2.52＝2，a ^＝y －b ^ x ＝5－2×2.5＝0， 故所求的回归直线方程为 y ^＝2x .22．(本小题满分12分)(2016·丰台高二检测)“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是815. (1)请将上面的列联表补充完整(在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？(2)若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X ，求X 的分布列、数学期望．【解】 (1)k ＝3010×8－6×6216×14×16×14≈1.158<3.841，所以没有把握认为爱好运动与性别有关．(2)X 的取值可能为0,1,2.P(X＝0)＝C28C214＝413，P(X＝1)＝C16C18C214＝4891，P(X＝2)＝C26C214＝1591.所以X的分布列为：X的数学期望为E(X)＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.。