人教版数学高二-人教A版选修4-5模块综合检测(一)

第二讲讲明不等式的基本方法复习课学习目标 1.系统梳理证明不等式的基本方法.2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法.3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范．1．比较法作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件．证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判断结果的符号．2．综合法综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理的基本理论．证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．3．分析法分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．4．反证法反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：①直接证明困难；②需要分成很多类进行讨论；③“唯一性”“存在性”的命题；④结论中含有“至少”“至多”否定性词语的命题．5．放缩法放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③用基本不等式放缩.类型一 比较法证明不等式例1 若x ，y ，z ∈R ，a ＞0，b ＞0，c ＞0.求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )． 证明 ∵b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2－2(xy ＋yz ＋zx ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bax 2＋a by 2－2xy ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c by 2＋b cz 2－2yz ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c z 2＋c a x 2－2zx ＝⎝⎛⎭⎪⎫b ax －a b y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c by －b c z 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a cz －c a x 2≥0， ∴b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )成立． 反思与感悟 作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．跟踪训练1 设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2.证明 a 2m ＋b 2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn ≥0，∴a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2. 类型二 综合法与分析法证明不等式例2 已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证： (1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋cab≥3(a ＋b ＋c )．证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c ∈R ＋， 因此只需证(a ＋b ＋c )2≥3，即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，根据条件，只需证a 2＋b 2＋c 2≥1＝ab ＋bc ＋ca ， 由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)可知，原不等式成立． (2)a bc ＋b ac＋c ab ＝a ＋b ＋c abc， 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥3， ∵ab ＋bc ＋ca ＝1， ∴要证原不等式成立，只需证1abc≥a ＋b ＋c ，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1＝ab ＋bc ＋ca . ∵a ，b ，c ∈R ＋，a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤ac ＋bc2，∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (a ＝b ＝c ＝33时取等号)成立， ∴原不等式成立．反思与感悟 证明比较复杂的不等式时，考虑分析法与综合法的结合使用，这样使解题过程更加简洁．跟踪训练2 已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. 证明 方法一 要证1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0， 只需证1a －b ＋1b －c ＞1a －c. ∵a ＞b ＞c ，∴a －c ＞a －b ＞0，b －c ＞0， ∴1a －b ＞1a －c ，1b －c＞0，∴1a －b ＋1b －c ＞1a －c成立， ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0成立． 方法二 ∵a ＞b ＞c ， ∴a －c ＞a －b ＞0，b －c ＞0， ∴1a －b ＞1a －c ，1b －c ＞0， ∴1a －b ＋1b －c ＞1a －c ， ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. 类型三 反证法证明不等式例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx<2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2或1＋y x<2中至少有一个成立．反思与感悟 反证法的“三步曲”：(1)否定结论．(2)推出矛盾．(3)肯定结论．其核心是在否定结论的前提下推出矛盾．跟踪训练3 已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )＜f (b )＋f (－a )，求证：a ＜b .证明 假设a ＜b 不成立，则a ＝b 或a ＞b .当a ＝b 时，－a ＝－b ，则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )， 于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )与已知矛盾．当a ＞b 时，－a ＜－b ，由函数y ＝f (x )的单调性，可得f (a )＞f (b )，f (－b )＞f (－a )， 于是有f (a )＋f (－b )＞f (b )＋f (－a )与已知矛盾．故假设不成立． ∴a ＜b .类型四 放缩法证明不等式例4 已知n ∈N ＋，求证：2(n ＋1－1)＜1＋12＋13＋…＋1n＜2n .证明 ∵对k ∈N ＋，1≤k ≤n ，有 1k ＝22k＞2k ＋k ＋1＝2(k ＋1－k )，∴1k＞2(k ＋1－k )． ∴1＋12＋13＋…＋1n＞2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n ＋1－n )＝2(n ＋1－1)．又∵对于k ∈N ＋，2≤k ≤n ，有 1k ＝22k＜2k ＋k －1＝2(k －k －1)，∴1＋12＋13＋…＋1n＜1＋2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n －n －1)＝2n －1＜2n . ∴原不等式成立．反思与感悟 放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的．跟踪训练4 设f (x )＝x 2－x ＋13，a ，b ∈[0,1]， 求证：|f (a )－f (b )|≤|a －b |. 证明 |f (a )－f (b )|＝|a 2－a －b 2＋b | ＝|(a －b )(a ＋b －1)|＝|a －b ||a ＋b －1|， ∵0≤a ≤1,0≤b ≤1，∴0≤a ＋b ≤2， －1≤a ＋b －1≤1，|a ＋b －1|≤1. ∴|f (a )－f (b )|≤|a －b |.1．已知p: ab ＞0，q ：b a ＋a b≥2，则p 与q 的关系是( ) A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．以上答案都不对 答案 C解析 由ab ＞0，得b a ＞0，a b＞0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2， 又b a ＋a b≥2，则b a ，a b必为正数， ∴ab ＞0.2．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数 B ．a ，b ，c 都大于1 C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12答案 D解析 假设a ，b ，c 都小于12，则a ＋2b ＋c <2与a ＋2b ＋c ＝2矛盾． 3．若a ＝lg22，b ＝lg33，c ＝lg55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c答案 C解析 a ＝3lg 26＝lg 86，b ＝2lg 36＝lg 96，∵9＞8，∴b ＞a .b 与c 比较：b ＝lg 33＝lg 3515，c ＝lg 55＝lg 5315，∵35＞53，∴b ＞c .a 与c 比较：a ＝lg 2510＝lg 3210，c ＝lg 2510，∵32＞25，∴a ＞c .∴b ＞a ＞c ，故选C.4．已知a，b∈R＋，n∈N＋，求证：(a＋b)(a n＋b n)≤2(a n＋1＋b n＋1)．证明∵(a＋b)(a n＋b n)－2(a n＋1＋b n＋1)＝a n＋1＋ab n＋ba n＋b n＋1－2a n＋1－2b n＋1＝a(b n－a n)＋b(a n－b n)＝(a－b)(b n－a n)．(1)若a＞b＞0，则b n－a n＜0，a－b＞0，∴(a－b)(b n－a n)＜0.(2)若b＞a＞0，则b n－a n＞0，a－b＜0，∴(a－b)(b n－a n)＜0.(3)若a＝b＞0，(b n－a n)(a－b)＝0.综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)(a n＋b n)≤2(a n＋1＋b n＋1)．1．比较法证明不等式一般有两种方法：作差法和作商法，作商法应用的前提条件是已知不等式两端的代数式同号．2．由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，两者是对立统一的两种方法．3．证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养．一、选择题1．a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是( )A.ab＋ba≥2 B.b2a＋a2b≥a＋bC.ba2＋ab2≤a＋babD.1a2＋1b2≥2ab答案 C解析A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab 得到的，D正确．2．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝11－x中最大的是( )A．c B．bC．a D．随x取值不同而不同答案 A解析∵0<x<1，∴b＝x＋1>2x>2x＝a，∵11－x－(x＋1)＝1－(1－x2)1－x＝x21－x>0，∴c>b>a.3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4 (a≥0)，则P与Q的大小关系为( ) A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案 C解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2<Q 2，即P <Q .4．设a ＝(m 2＋1)(n 2＋4)，b ＝(mn ＋2)2，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≤b D ．a ≥b答案 D解析 ∵a －b ＝(m 2＋1)(n 2＋4)－(mn ＋2)2＝4m 2＋n 2－4mn ＝(2m －n )2≥0， ∴a ≥b .5．已知a ，b ，c ，d 为实数，ab ＞0，－c a ＜－d b，则下列不等式中成立的是( ) A ．bc ＜ad B ．bc ＞ad C.a c ＞b d D.a c ＜b d答案 B解析 将－c a ＜－d b两边同乘以正数ab ，得－bc ＜－ad ，所以bc ＞ad . 6．若A ，B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ＝2R ，又A ，B 为三角形的内角， ∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 二、填空题7．lg9·lg11与1的大小关系是________．答案 lg9·lg11＜1 解析 ∵lg9＞0，lg11＞0，∴lg9·lg11＜lg9＋lg112＜lg992＜lg1002＝1.∴lg9·lg11＜1.8．当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系是________． 答案 x 3＞x 2－x ＋1解析 ∵x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)，且x ＞1， ∴(x －1)(x 2＋1)＞0. ∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0， 即x 3＞x 2－x ＋1.9．用反证法证明“在△ABC 中，若∠A 是直角，则∠B 是锐角”时，应假设________． 答案 ∠B 不是锐角解析 “∠B 是锐角”的否定是“∠B 不是锐角”．10．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元． 答案 1760解析 设水池底长为x (x ＞0)m ， 则宽为82x ＝4x(m)．水池造价y ＝82×120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ×2＋8x ×2×80＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋1 280＝1 760(元)， 当且仅当x ＝2时取等号． 三、解答题11．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明 因为1n2＜1n (n －1)＝1n －1－1n(n ∈N ＋，n ≥2)，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)·n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n＜2. 所以原不等式得证．12．已知a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N ＋)，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22. 证明 ∵n (n ＋1)＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＞1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 又n (n ＋1)＜(n ＋1)＋n 2＝2n ＋12， ∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＜32＋52＋…＋2n ＋12＝n 2＋2n 2＜(n ＋1)22. ∴n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22. 四、探究与拓展13．已知a ，b 是正数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，若a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，则等号成立的条件为________． 答案 ay ＝bx解析 a 2x ＋b 2y －(a ＋b )2x ＋y＝a 2y (x ＋y )＋b 2x (x ＋y )－xy (a ＋b )2xy (x ＋y )＝(ay －bx )2xy (x ＋y )≥0， 当且仅当ay ＝bx 时等号成立．14．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13. (1)解 令n ＝1，得S 21－(－1)S 1－3×2＝0，即S 21＋S 1－6＝0，所以(S 1＋3)(S 1－2)＝0，因为S 1＞0，所以S 1＝2，即a 1＝2.(2)解 由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，得(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0，因为a n ＞0(n ∈N ＋)，S n ＞0，从而S n ＋3＞0，所以S n ＝n 2＋n ，所以当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ，又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n (n ∈N ＋)．(3)证明 设k ≥2，则1a k (a k ＋1)＝12k (2k ＋1)＜1(2k －1)(2k ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1－12k ＋1， 所以1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋1a 3(a 3＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜12×3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝16＋16－12(2n ＋1)＜13. 所以1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13.。

学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋c >b ＋d B ．a －c >b －d C ．ac >bdD.a d >b c【解析】 ∵a >b ，c >d ，∴a ＋c >b ＋d . 【答案】 A2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．b ＋a >0D.a 2－b 2<0【解析】 a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0.故选C. 【答案】 C3．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a >1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |>0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12b【解析】 考查不等式的基本性质及其应用．取a ＝－2，b ＝－1验证即可求解．【答案】 B4．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么( ) A ．a ＞ab ＞ab 2 B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D.ab ＞ab 2＞a【解析】 ab 2－ab ＝ab (b －1)，∵a＜0，－1＜b＜0，∴b－1＜0，ab＞0，∴ab2－ab＜0，即ab2＜ab；又ab2－a＝a(b2－1)，∵－1＜b＜0，∴b2＜1，即b2－1＜0.又a＜0，∴ab2－a＞0，即ab2＞a.故ab＞ab2＞a.【答案】 D5．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1a”的()【导学号：32750004】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵0＜ab＜1，当a＜0且b＜0时可推得b＞1a，所以“0＜ab＜1”不是“b＜1a”的充分条件，①反过来，若b＜1a，当b＜0且a＞0时，有ab＜0，推不出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”也不是“b＜1a”的必要条件，②由①②知，应选D.【答案】 D二、填空题6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．【解析】f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．【答案】＞7．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.能得出1a<1b成立的有________．(填序号)【解析】1a<1b⇔1a－1b<0⇔b－aab<0，∴①②④可推出1a<1b成立．【答案】①②④8．已知α，β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．【解析】设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，可解得λ＝－1，μ＝2，∴α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．又－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，∴1≤α＋3β≤7.【答案】[1,7]三、解答题9．(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：3ad＜3bc；(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：e(a－c)2＞e(b－d)2.【证明】(1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∴0＜－1c＜－1d.又a＞b＞0，∴－ad＞－bc＞0，∴3－ad＞3－bc，即－3ad＞－3bc.两边同乘以－1，得3ad＜3bc.(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴1(a－c)2＜1(b－d)2.又∵e＜0，∴e(a－c)2＞e(b－d)2.10．设x，y为实数，且3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，求x3y4的取值范围．【解】由4≤x2y≤9，得16≤x4y2≤81. ①又3≤xy2≤8，∴18≤1xy2≤13. ②由①×②得18×16≤x4y2·1xy2≤81×13，即2≤x3y4≤27，因此x3y4的取值范围是[2,27]．[能力提升]1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜1b成立，如果a＜0，则b＜0，b＞1a成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜1b 或b＞1a”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜1b或b＞1a”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分而不必要条件．【答案】 A2．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①ca＞cb；②ac＜b c；③log b(a－c)＞log a(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③ D.①②③【解析】由a＞b＞1，c＜0，得1a＜1b，ca＞cb；幂函数y＝x c(c＜0)是减函数，所以a c＜b c；因为a－c＞b－c，所以log b(a－c)＞log a(a－c)＞log a(b－c)，①②③均正确．【答案】 D3．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中能推出log b 1b＜log a1b＜log a b成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号) 【解析】∵log b1b＝－1，若1＜a＜b，则1b＜1a＜1＜b，∴log a1b＜log a1a＝－1，故条件①不可以；若0＜a＜b＜1，则b＜1＜1b＜1a，∴log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b ， 故条件②可以；若0＜a ＜1＜b ，则0＜1b ＜1， ∴log a 1b ＞0，log a b ＜0，条件③不可以．故应填②. 【答案】 ②4．已知f (x )＝ax 2＋c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围.【导学号：32750005】【解】 由－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，得 ⎩⎪⎨⎪⎧－4≤a ＋c ≤－1，－1≤4a ＋c ≤5.设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝v －u 3，c ＝4u －v 3， ∴f (3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v . 又⎩⎪⎨⎪⎧－4≤u ≤－1，－1≤v ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403，∴－1≤－53u ＋83v ≤20， 即－1≤f (3)≤20.∴f (3)的取值范围为[－1,20].。

模块综合检测(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( )A ．{4}B ．{14}C ．{4,6}D ．{14,2}解析：选C 由C x 14＝C 2x －414得x ＝2x －4或x ＋2x －4＝14，解得x ＝4或x ＝6.经检验知x ＝4或x ＝6符合题意．2．设X 是一个离散型随机变量，则下列不能成为X 的概率分布列的一组数据是( ) A ．0，12，0,0，12 B ．0.1,0.2,0.3,0.4C ．p,1－p (0≤p ≤1) D.11×2，12×3，…，17×8解析：选D 利用分布列的性质推断，任一离散型随机变量X 的分布列都具有下述两共性质：①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；②p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n ＝1.选C 如图，由正态曲线的对称性可得P (a ≤X <4－a )＝1－2P (X <a )＝0.36. 3．已知随机变量X ～N (2，σ2)，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X <4－a )等于( ) A ．0.32 B ．0.68 C ．0.36 D ．0.64解析：选C 如图，由正态曲线的对称性可得P (a ≤X <4－a )＝1－2P (X <a )＝0.36.4．已知x ，y 取值如下表：x 0 1 4 5 6 8 y1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ，则a 等于( ) A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.80解析：选B 依题意得，x －＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y －＝16×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直线y ^＝0.95x ＋a 必过样本中心点(x －，y －)， 即点(4，5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ， 由此解得a ＝1.45.5．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是( )A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75 解析：选D 目标被击中P 1＝1－0.4×0.5＝0.8， ∴P ＝0.60.8＝0.75. 6．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法有( ) A ．36种 B ．30种 C ．42种 D ．60种解析：选A 直接法：选出3名志愿者中含有1名女生和2名男生或2名女生和1名男生，故共有C 12C 26＋C 22C 16＝2×15＋6＝36种选法；间接法：从8名同学中选出3名，减去全部是男生的状况，故共有C 38－C 36＝56－20＝36种选法．7.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的开放式中只有第6项二项式系数最大，则开放式中的常数项是( )A ．180B ．90C ．45D ．360 解析：选A 由已知得，n ＝10，T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r ·C r 10x 5－52r ，令5－52r ＝0，得r ＝2，T 3＝4C 210＝180.8．(四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种解析：选B 当最左端排甲时，不同的排法共有A 55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C 14A 44种．故不同的排法共有A 55＋C 14A 44＝9×24＝216种．9．箱子里有5个黑球和4个白球，每次随机取出一个球．若取出黑球，则放回箱中，重新取球，若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49C.35×14D ．C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49解析：选B 记“从箱子里取出一球是黑球”为大事A ，“从箱子里取出一个球是白球”为大事B ，则P (A )＝59，P (B )＝49，在第4次取球后停止，说明前3次取到的都是黑球，第4次取到的是白球，又每次取球是相互独立的，由独立大事同时发生的概率公式，在第4次取球后停止的概率为59×59×59×49＝⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49.10．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得k ＝13.079.则其两个变量间有关系的可能性是90%. 其中错误的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由方差的定义知①正确，由线性回归直线的特点知③正确，②④⑤都错误． 11．对两个变量y 和x 进行线性相关检验，已知n 是观看值组数，r 是相关系数，且已知： ①n ＝10，r ＝0.953 3；②n ＝15，r ＝0.301 2；③n ＝17，r ＝0.999 1；④n ＝3，r ＝0.995 0. 则变量y 和x 具有线性相关关系的是( ) A ．①和② B ．①和③ C ．②和④D ．③和④解析：选B 相关系数r 的确定值越接近1，变量x ，y 的线性相关性越强．②中的r 太小，④中观看值组数太小．12．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，接受独立性检验法抽取3 000人，计算发觉k ＝6.023，则依据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是( )P (K 2≥k )… 0.25 0.15 0.10 0.025 0.010 0.005 … k…1.3232.0722.7065.0246.6357.879…A.90% B ．95% C ．97.5%D ．99.5%解析：选C ∵k ＝6.023＞5.024，∴可断言市民收入增减与旅游欲望有关的把握为97.5%. 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担当语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必需担当语文科代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：由题意知，从剩余7人中选出4人担当4个学科的科代表，共有A 47＝840(种)选法． 答案：84014．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后剩余子弹数目的均值是________．解析：设ξ为命中后剩余子弹数目，则P (ξ＝3)＝0.6，P (ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P (ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096，P (ξ＝0)＝0.4×0.4×0.4＝0.064，E (ξ)＝3×0.6＋2×0.24＋0.096＝2.376.答案：2.37615．抽样调查表明，某校高三同学成果(总分750分)X 近似听从正态分布，平均成果为500分．已知P (400＜X ＜450)＝0.3，则P (550＜X ＜600)＝________.解析：由下图可以看出P (550＜X ＜600)＝P (400＜X ＜450)＝0.3.答案：0.316．某高校“统计初步”课程的老师随机调查了选该课的一些同学状况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业 男 13 10 女720为了推断主修统计专业是否与性别有关系，依据表中的数据，计算得到K 2＝________(保留三位小数)，所以判定________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系．解析：依据供应的表格得 K 2＝50×13×20－7×10223×27×20×30≈4.844>3.841.所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系． 答案：4.844 能三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫6x ＋16x n开放式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列．(1)求n 的值．(2)此开放式中是否有常数项？为什么？解：(1)T k ＋1＝C k n·⎝⎛⎭⎫6x n －k·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16x k ＝C kn ·x n －2k 6，由题意可知C 1n ＋C 3n ＝2C 2n ，即n 2－9n ＋14＝0， 解得n ＝2(舍)或n ＝7.∴n ＝7. (2)由(1)知T k ＋1＝C k7·x 7－2k6. 当7－2k 6＝0时，k ＝72，由于k ∉N *， 所以此开放式中无常数项．18．(本小题满分12分)某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场竞赛，每场均决出胜败，设这支篮球队与其他篮球队竞赛胜场的大事是独立的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了2场的概率； (2)求这支篮球队在6场竞赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场竞赛中胜场数的均值和方差．解：(1)这支篮球队首次胜场前已负2场的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＝427.(2)这支篮球队在6场竞赛中恰好胜3场的概率为P ＝C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝20×127×827＝160729.(3)由于X 听从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝43.故在6场竞赛中这支篮球队胜场的均值为2，方差为43.19．(本小题满分12分)某商场经销某商品，依据以往资料统计，顾客接受的付款期数X 的分布列为商场经销一件该商品，接受250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y 表示经销一件该商品的利润．(1)求大事：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位接受1期付款”的概率P (A )； (2)求Y 的分布列及E (Y )．解：(1)由A 表示大事“购买该商品的3位顾客中至少有1位接受1期付款”知，A 表示大事“购买该商品的3位顾客中无人接受1期付款”．P (A )＝(1－0.4)3＝0.216， P (A )＝1－P (A )＝1－0.216＝0.784.(2)Y 的可能取值为200元，250元，300元．P (Y ＝200)＝P (X ＝1)＝0.4，P (Y ＝250)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P (Y ＝300)＝1－P (Y ＝200)－P (Y ＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2， Y 的分布列为E (Y )20．(本小题满分12分)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)． 解：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元， 两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－12×1－16－23＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512. (2)由题意得，ξ全部可能的取值为0,40,80,120,160.P (ξ＝0)＝14×16＝124， P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14， P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512， P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14， P (ξ＝160)＝14×16＝124， ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×12＋120×4＋160×24＝80.21．(本小题满分12分)甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，接受分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量．(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175，且y ≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估量乙厂生产的优等品的数量．(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值． 解：(1)乙厂生产的产品总数为5÷1498＝35. (2)样品中优等品的频率为25，乙厂生产的优等品的数量为35×25＝14.(3)ξ＝0,1,2，P (ξ＝i )＝C i 2C 2－i3C 25(i ＝0,1,2)，ξ的分布列为ξ 0 1 2 P31035110均值E (ξ)＝1×35＋2×110＝45.22．(本小题满分12分)某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L 1，L 2两条巷道通往作业区(如下图)，L 1巷道有A 1，A 2，A 3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是12；L 2巷道有B 1，B 2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为34，35.(1)求L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；(2)若L 2巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及均值E (X )，并依据“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，请你挂念救援队选择一条抢险路线，并说明理由．解：(1)设“L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为大事A ，则P (A )＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＝110， P (X ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920，所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 P110920920E (X )＝0×110＋1×920＋2×920＝2720.法一：设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则Y 的可能取值为0,1,2,3，P (Y ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (Y ＝1)＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P (Y ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝38， P (Y ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18， 所以，随机变量Y 的分布列为Y0 1 2 3 P18383818E (Y )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝2，由于E (X )<E (Y )，所以选择L 2巷道为抢险路线为好．法二：设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则随机变量Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， 所以，E (Y )＝3×12＝32，由于E (X )<E (Y )，所以选择L 2巷道为抢险路线为好．。

第一讲等式和绝对值不等式单元检测(B)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．函数y ＝x 2＋3x (x ＞0)的最小值是( )．A B ．32 C D 2．设6＜a ＜10，2a≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( )．A ．9＜c ＜30B ．0≤c ≤18C ．0≤c ≤30D ．15＜c ＜303．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ＜－1B ．|a |≤1C ．|a |＜1D ．a ≥14．下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则a lg c ＞b lg c;②若a ＞b ，c ＞0，则a lg c ＞b lg c ；③若a ＞b ，则a ·2c ＞b ·2c ；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则>cca b .其中，正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．45．函数2y 的最小值是( )．A ．2B ．4C ．1D ．6．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 等于( )．A ．8B ．2C ．－4D ．－87．当π0<<2x 时，函数21cos28sin ()sin2x xf x x ＋＋＝的最小值为( )．A ．2B ．C ．4D ．8．若正实数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的取值范围是( )．A ．[9，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(6，＋∞)D ．(9，＋∞)9．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为()． A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)10．设a ＞0，b ＞0是3a 与3b 的等比中项，则11a b ＋的最小值为( )．A ．8B ．4C ．1D ．14二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|＜a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________．12．定义运算：x x y x y y x y ≤⎛⋅ >⎝，，＝，，若|m －1|·m ＝|m －1|，则m 的取值范围是________． 13．函数422331x x y x ＋＋＝＋的最小值为__________． 14．不等式|1|1|2|x x ≥＋＋的解集为________． 三、解答题(本大题共4小题，15,16,17小题每小题12分，18小题14分，共50分)15．设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝m ，求证：1231119a a a m≥＋＋. 16．设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.17．已知m ∈R ，解关于x 的不等式：1－x ≤|x －m |≤1＋x .18．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1. 答案：A解析：2233322y x x x x x ≥＝＋＝＋＋，当232x x＝，即x 时，等号成立． 2. 答案：A解析：因为2a ≤b ≤2a ，所以32a ≤a ＋b ≤3a. 又因为6＜a ＜10，所以32a ＞9,3a ＜30. 所以9＜32a ≤a ＋b ≤3a ＜30，即9＜c ＜30. 3. 答案：B解析：当x ＞0时，a ≤||x x ＝1，当x ＜0时，a ≥||x x＝－1． 4. 答案：C解析：①正确，因为c＞1，lg c＞0；②不正确，因为0＜c＜1时，lg c＜0；③正确，因为2c＞0；④正确，因为由a＜b＜0，得110>>a b.5.答案：B解析：设tt≥，于是21 y tt＋＋，因为当t≥时，函数1y tt＝＋单调递增，所以miny＝.6.答案：C解析：由|ax＋2|＜6⇒－8＜ax＜4.当a＞0时，84<<xa a-.∵解集是(－1,2)，∴8142.aa⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，＝解得82aa⎧⎨⎩＝，＝，两值矛盾．当a＜0时，48<<xa a-.由4182aa⎧--⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝，＝解得a＝－4.7.答案：C解析：∵π0<<2x，∴tan x＞0.∴2222cos8sin14tan1 ()4tan 42sin cos tan tanx x xf x xx x x x≥＋＋＝＝＝＋，当且仅当14tantanxx＝，即1tan2x＝时，等号成立．8.答案：B解析：∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＋b＝ab－3≤232a b⎛⎫⎪⎝⎭＋－，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0.∴a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时，等号成立，∴a ＋b 的取值范围[6，＋∞)．9. 答案：A解析：因为－4≤|x ＋3|－|x －1|≤4，且|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意x 恒成立， 所以a 2－3a ≥4，即a 2－3a －4≥0，解得a ≥4，或a ≤－1．10. 答案：B解析：因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1，1111()a b a b a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝＋＋2224b a baa b a b ≥⋅＝＋＋＋＝，当且仅当baa b ＝，即12a b ＝＝时，“＝”号成立．11. 答案：(－1，＋∞)解析：∵||x －3|－|x －4||≤|x －3＋4－x |＝1，∴|x －3|－|x －4|的最小值是－1．∴a ＞－1．12. 答案：12m ≥解析：依题意，有|m －1|≤m ，∴－m ≤m －1≤m .∴12m ≥.13. 答案：3解析：42222223311111x x x x y x x ()()＋＋＋＋＋＋＝＝＋＋＝x 2＋1＋211x ＋＋1≥2＋1＝3.当且仅当x 2＋1＝211x ＋，即x ＝0时，等号成立．14. 答案：322x x x ⎧⎫≤-≠-⎨⎬⎭⎩，且解析：|1|1|2|x x ≥＋＋|1||2|20x x x ≥⎧⎨≠⎩＋＋＋22122x x x ⎧()≥()⎨≠-⎩＋＋，322.x x ⎧≤-⎪⎨⎪≠-⎩，∴原不等式的解集为322x x x ⎧⎫≤-≠-⎨⎬⎭⎩，且 15. 证明：123111a a a ＋＋ 1231231111()a a a m a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋＋＋＋ 33122121323113a a a a a a m a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝＋＋＋＋＋＋ ≥1m (3＋2＋2＋2)＝9m， 当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝3m 时，等号成立． 16. 证明：3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )． 因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2＞0.从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0.即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.17. 解：原不等式等价于11x m x x m x m x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，－－，－＋或11x m x m x m x x <⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，－－，－＋， 即121x m m x m ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪≥-⎪⎩，＋，①或121.x m m x m <⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩，－，② 由①得1m x <⎧⎨∈∅⎩，，或1112m m x -≤<⎧⎪⎨≥⎪⎩，＋，或1.m x m ≥⎧⎨≥⎩， 由②得1m x <-⎧⎨∈∅⎩，，或11.2m m x m ≥⎧⎪⎨≤<⎪⎩，－ 即1m x <-⎧⎨∈∅⎩，，或1112m m x -≤<⎧⎪⎨≥⎪⎩，＋，或11.2m m x ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，－ 综上所述，当m ＜－1时，解集为；当－1≤m＜1时，解集为12m⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭＋，；当m≥1时，解集为12m⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭－，.18.解法一：(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以3135aa-⎧⎨⎩－＝，＋＝，解得a＝2.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|. 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝21,3, 5,32, 21, 2.x xxx x-<-⎧⎪-≤≤⎨⎪>⎩－＋所以当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．解法二：(1)同解法一．(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，则g(x)＝|x－2|＋|x＋3|.由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．。

模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，2x －1＞0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2＞0 C ．∃x ∈R ，lg x ＜1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解析：当x ＝1∈N *时，x －1＝0，不满足(x －1)2＞0，所以 B 为假命题． 答案：B2．“a ＝－1”是“函数f (x )＝ax 2＋(a －1)x －1有且只有一个零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－1时，易知函数f (x )有且只有一个零点，故充分性成立；当a ＝0时，函数f (x )也有且只有一个零点，故必要性不成立．答案：A3．与双曲线y 25－x 2＝1共焦点，且过点(1，2)的椭圆的标准方程为()A.x 28＋y 22＝1B.x 210＋y 24＝1C.y 28＋x 22＝1 D.y 210＋x 24＝1 解析：由题知，焦点在y 轴上，排除A ，B ，将(1，2)代入C ，D 可得C 正确，故选C. 答案：C4．函数f (x )＝e xln x 在点(1，f (1))处的切线方程是() A ．y ＝2e(x －1) B ．y ＝e x －1 C ．y ＝e(x －1) D ．y ＝x －e 解析：因为f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ，所以f ′(1)＝e.又f (1)＝0， 所以所求的切线方程为y ＝e(x －1)． 答案：C5．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF ⊥x 轴，知点P ，F 的横坐标相等，再根据点P 在曲线y ＝k x上求出k .因为y 2＝4x ，所以F (1，0)．又因为曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，所以P (1，2)． 将点P (1，2)的坐标代入y ＝k x(k >0)得k ＝2.故选D. 答案：D6．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下叙述正确的是()A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，选C.答案：C7．函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)＜f (1) C ．f (－1)＞f (1)D ．无法确定解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以 f ′(1)＝－2.所以 f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)＝x 2－4x .f (1)＝－3，f (－1)＝5. 所以 f (－1)＞f (1)． 答案：C8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为()A ．y ＝±12x B ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析：由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以b a ＝12，故双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±12x .答案：A9．若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是()A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴为x ＝－b2a<0，且函数图象开口向下，所以在区间(0，＋∞)上单调递减．答案：B10．以正方形ABCD 的相对顶点A ，C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为( )A.10－23 B.5－13 C.5－12D.10－22解析：设正方形的边长为m ，则椭圆中的2c ＝2m ，2a ＝ 12m ＋m 2＋14m 2＝1＋52m ，故椭圆的离心率为c a ＝221＋5＝10－22. 答案：D11．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( ) A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12解析：函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个极根，由数形结合易知0＜a ＜12且0＜x 1＜1＜x 2.因为在(x 1，x 2)上f (x )递增，所以f (x 1)＜f (1)＜f (x 2)，即f (x 1)＜－a ＜f (x 2)， 所以f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12.答案：D12．已知抛物线y 2＝4x 的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且与椭圆交于A ，B两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，则椭圆的离心率为( )A.23B.12C.13D.14解析：因为抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，抛物线y 2＝4x 的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，所以椭圆的左焦点坐标为(－1，0)，所以c ＝1， 因为O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，所以12×2b 2a ×1＝32，所以b 2a ＝a 2－1a ＝32，整理得2a 2－3a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－12(舍)，所以e ＝c a ＝12.故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．椭圆x 264＋y 248＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝10，则S △PF 1F 2＝________．解析：由已知：a 2＝64，b 2＝48，c 2＝16， 又因为P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝16. 因为|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝6.因为|F 1F 2|＝2c ＝8，所以△PF 1F 2为直角三角形， 且∠PF 2F 1＝90°，所以S △PF 1F 2＝12×6×8＝24.答案：2414．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .当k <0时，f ′(x )<0在区间(0，4)上恒成立， 即f (x )在区间(0，4)上是减函数，故k <0满足题意．当k ≥0时，则由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，f ′（4）≤0，解得0≤k ≤13.综上，k 的取值X 围是k ≤13.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 15．设F 1，F 2是椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos∠F 1PF 2＝________．解析：椭圆焦点在y 轴上，a 2＝4，b 2＝3，c ＝1，又P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以cos ∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－42×52×32＝35. 答案：3516．在下列结论中：①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ③“p 或q ”为真是“¬p ”为假的必要不充分条件； ④“¬p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件． 正确的结论为________(填序号)．解析：①中p 且q 为真⇒p ，q 都为真⇒p 或q 为真，p 或q 为真p 且q 为真；②中p且q 为假p 或q 为真；③中p 或q 为真⇒p ，q 至少有一个为真¬p 为假，¬p 为假⇒p 为真⇒p 或q 为真；④中p 且q 为假¬p 为真．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：f (x )＝x ＋a x在区间[1，＋∞)上是增函数；命题q ：g (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋1在R 上有极值．若命题“p ∨q ”为真命题，某某数a 的取值X 围．解：因为f (x )＝x ＋a x在区间[1，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )＝1－a x2≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≤x 2在[1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤(x 2)min ，所以a ≤1. 所以命题p 为真时：A ＝{a |a ≤1}．要使得g (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋1在R 上有极值， 则g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3＝0有两个不相等的实数解，Δ＝4a 2－4×3×3>0，解得a <－3或a >3.所以命题q 为真时：B ＝{a |a <－3或a >3}． 因为命题“p ∨q ”为真命题， 所以p 真或q 真或p 、q 都为真． 因为A ∪B ＝{a |a ≤1或a >3}．所以所某某数a 的取值X 围为(－∞，1]∪(3，＋∞)．18．(本小题满分12分)如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2，0)，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆上，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过点A 作斜率为k (k >0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C .(1)求椭圆E 的标准方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求k 的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋94b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程l AB 为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，所以x A ·x B ＝－2x B ＝16k 2－123＋4k2，所以x B ＝－8k 2＋63＋4k 2，所以y B ＝k (x B ＋2)＝12k3＋4k 2，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2，12k 3＋4k 2.若k ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，又F 1(－1，0)，所以kCF 1＝－34，所以F 1C 与AB 不垂直，所以k ≠12.因为F 2(1，0)，kBF 2＝4k 1－4k 2，kCF 1＝－1k AB ＝－1k ， 所以直线BF 2的方程lBF 2为y ＝4k1－4k2(x －1)， 直线CF 1的方程lCF 1为y ＝－1k(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4k 1－4k 2（x －1），y ＝－1k （x ＋1），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－1，y ＝－8k ，所以C (8k 2－1，－8k )．又点C 在椭圆上，则（8k 2－1）24＋（－8k ）23＝1，即(24k 2－1)(8k 2＋9)＝0，解得k 2＝124.因为k >0，所以k ＝612. 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－x (x －a )2(x ∈R)，其中a ∈R 且a ≠0，求函数f (x )的极大值和极小值．解：f ′(x )＝－(3x －a )(x －a )， 令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝a3.现分两种情况讨论如下：(1)若a >a3，即a >0，则x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 3时，f ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 时，f ′(x )>0；x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0. 因此，函数f (x )在x ＝a 3处取得极小值－427a 3，在x ＝a 处取得极大值0.(2)若a <a3，即a <0，则x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 3时，f ′(x )>0； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )<0. 因此，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值－427a 3，在x ＝a 处取得极小值0.20．(本小题满分12分)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．解：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，得a ＝2b .①设椭圆上任一点M 的坐标为(x ，y )，点M 到点P 的距离为d ，则x 2＝a 2－a 2y 2b2，且d 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝a 2－a 2b 2y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝－3y 2－3y ＋4b 2＋94＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3，其中－b ≤y ≤b .如果b <12，则当y ＝－b 时，d 2取得最大值，即有(7)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322， 解得b ＝7－32>12与b <12矛盾．如果b ≥12，则当y ＝－12时，d 2取得最大值，即有(7)2＝4b 2＋3.②由①②可得b ＝1，a ＝2. 所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.由y ＝－12可得椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12. 21．(本小题满分12分)直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：不存在．理由如下：设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，所以y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， 所以y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，② 由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2. 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2.③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0， 所以x 1＋x 2＝2a 3－a 2.④把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2＝2，解得a ＝32， 所以k AB ＝32，而k l ＝2，所以k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a .22．(本小题满分12分)请设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S (单位：cm 2)最大，试求此时x 的值；(2)若厂商要求包装盒容积V (单位：cm 3)最大，试求此时x 的值，并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：(1)S ＝4×2x ·60－2x 2＝240x －8x 2(0<x <30)，所以S ′＝240－16x .令S ′＝0，则x ＝15. 当0<x <15时，S ′>0，S 递增； 当15<x <30时，S ′<0，S 递减． 所以当x ＝15时，S 取最大值．所以，当x ＝15 cm 时，包装盒侧面积最大． (2)V ＝(2x )2·22(60－2x )＝22x 2(30－x )(0<x <30)， 所以V ′＝62x (20－x )．令V ′＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20.当0<x <20时，V ′>0；当20<x <30时，V ′<0. 所以，当x ＝20时，V 最大．此时，包装盒的高与底面边长的比值为22（60－2x ）2x ＝12.。

第二讲 讲明不等式的基本方法达标检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用分析法证明不等式的推论过程一定是( ) A ．正向、逆向均可进行正确的推理 B ．只能进行逆向推理 C ．只能进行正向推理D ．有时能正向推理，有时能逆向推理解析：在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件，故只能进行逆向推理． 答案：B2．已知a >2，b >2，则有( ) A ．ab ≥a ＋b B ．ab ≤a ＋b C ．ab >a ＋b D ．ab <a ＋b解析：作商比较法.a ＋b ab ＝1b ＋1a，又a >2，b >2， ∴1a <12，1b <12，∴a ＋b ab <12＋12＝1. 答案：C3．用反证法证明命题“如果a <b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3bB ．3a <3bC.3a ＝3b 且3a >3bD ．3a ＝3b 或3a <3b解析：3a 与3b 的大小关系包括3a >3b ，3a ＝3b ，3a <3b ， ∴应假设的内容为3a ＝3b 或3a <3b . 答案：D4．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b解析：∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 由题中两式相减，得b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a . 答案：A5．已知a >b >c >0，A ＝a 2a b 2b c 2c，B ＝a b ＋c b c ＋a c a ＋b，则A 与B 的大小关系是( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．不确定解析：∵a >b >c >0，∴A >0，B >0.∴A B ＝a a a a b b b b c c c c a b a c b c b a c a cb ＝a a －b a a －c b b －c b b －a c c －a c c －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c .∵a >b >0，∴a b>1，a －b >0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b >1. 同理⎝ ⎛⎭⎪⎫b cb －c >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c >1.∴A B>1，∴A >B . 答案：A6．若0<x <y <1，则( ) A ．3y<3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 解析：∵y ＝3x在R 上是增函数，且0<x <y <1， ∴3x<3y，故A 错误．∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数且0<x <y <1， ∴log 3x <log 3y <log 3 1＝0，∴0>1log 3x >1log 3y ，∴log x 3>log y 3，故B 错误．∵y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增函数且0<x <y <1， ∴log 4x <log 4y ，故C 正确．∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在R 上是减函数，且0<x <y <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y，故D 错误． 答案：C7．设a 、b 、c ∈R ，且a 、b 、c 不全相等，则不等式a 3＋b 3＋c 3≥3abc 成立的一个充要条件是( )A ．a ，b ，c 全为正数B ．a ，b ，c 全为非负实数C ．a ＋b ＋c ≥0D ．a ＋b ＋c >0解析：a 3＋b 3＋c 3－3abc ＝(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc )＝12(a ＋b ＋c )[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]，而a 、b 、c 不全相等⇔(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2>0.∴a 3＋b 3＋c 3－3abc ≥0⇔a ＋b ＋c ≥0. 答案：C8．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值是( ) A ．18 B ．6 C ．2 3D ．243解析：3a＋3b≥23a·3b＝2·3a ＋b＝2×3＝6(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)．答案：B9．要使3a －3b <3a －b 成立，a ，b 应满足的条件是( ) A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b 解析：3a －3b <3a －b⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b <a －b ⇔3ab 2<3a 2b ， ∴当ab >0时，有3b <3a ，即b <a . 当ab <0时，有3b >3a ，即b >a . 答案：D10．已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.则ac ＋bd 的X 围为( ) A ．[－1,1] B ．[－1,2) C ．(－1,3]D ．(1,2]解析：因为a ，b ，c ，d 都是实数， 所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22＝1.所以－1≤ac ＋bd ≤1. 答案：A11．在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 所对的角，且a ，b ，c 成等差数列，则B 适合的条件是( ) A ．0<B ≤π4B ．0<B ≤π3C ．0<B ≤π2D ．π2<B <π解析：∵b ＝a ＋c2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝3a 2－2ac ＋3c 28ac＝3a 8c ＋3c 8a －14≥2·38－14＝12， ∵余弦函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数，∴0<B ≤π3，选B.答案：B12．若a ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，54π，M ＝|sin α|，N ＝|cos α|，P ＝12|sin α＋cos α|， Q ＝12sin 2α，则它们之间的大小关系为( ) A ．M >N >P >Q B ．M >P >N >Q C ．M >P >Q >ND ．N >P >Q >M解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4，∴0>sin α>cos α，∴|sin α|<|cos α|， ∴P ＝12|sin α＋cos α|＝12(|sin α|＋|cos α|)>12(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M ，排除A 、B 、C ，故选D 项．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是________． 解析：a －b ＝3－2－6＋5＝3＋5－(2＋6)， 而(3＋5)2＝8＋215，(2＋6)2＝8＋212， ∴3＋5>2＋ 6.∴a －b >0，即a >b . 同理可得b >c .∴a >b >c . 答案：a >b >c14．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的反设是________． 解析：三角形的内角中钝角的个数可以为0个，1个，最多只有一个即为0个或1个，其对立面是“至少两个”．答案：三角形中至少有两个内角是钝角 15．已知a ，b ，c ，d 都为正数，且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋da ＋b ＋d，则S 的取值X 围是________． 解析：由放缩法，得aa ＋b ＋c ＋d <a a ＋b ＋c <aa ＋c；b a ＋b ＋c ＋d <b b ＋c ＋d <bd ＋b；c a ＋b ＋c ＋d <c c ＋d ＋a <cc ＋a ；da ＋b ＋c ＋d <d d ＋a ＋b <dd ＋b.以上四个不等式相加，得1<S <2. 答案：(1,2)16. 请补全用分析法证明不等式“ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2”时的推论过程：要证明ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2，①______________________________________________________________， 只要证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，即要证：a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2， 即要证：a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd .②________________________________________________________________. 解析：对于①只有当ac ＋bd ≥0时，两边才能平方，对于②只要接着往下证即可． 答案：①因为当ac ＋bd ≤0时，命题显然成立，所以当ac ＋bd ≥0时 ②∵(ab －bc )2≥0，∴a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴命题成立三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )． 证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋3≥23a ，b 2＋3≥23b ；将此三式相加得2(a 2＋b 2＋3)≥2ab ＋23a ＋23b ， ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．18．(12分)已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m ， 即证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0， 即证(a －b )2≥0. 而(a －b )2≥0显然成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 19．(12分)已知a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b 的大小．解析：∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b >0. 又∵a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a 2－b 2a ＋ba 2＋b 2a －b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2aba 2＋b 2>1， ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 20．(12分)若0<a <2,0<b <2,0<c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a ，不能同时大于1. 证明：假设三数能同时大于1， 即(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1那么2－a＋b2≥2－a b>1，①同理2－b＋c2>1，②2－c＋a2>1，③由①＋②＋③得3>3，上式显然是错误的，∴该假设不成立，∴(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1.21．(13分)求证：2(n＋1－1)<1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N＋)．证明：∵1k>2k＋k＋1＝2(k＋1－k)，k∈N＋，∴1＋12＋13＋…＋1n>2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)] ＝2(n＋1－1)．又1k<2k＋k－1＝2(k－k－1)，k∈N＋，∴1＋12＋13＋…＋1n<1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n－n－1)] ＝1＋2(n－1)＝2n－1<2n.故原不等式成立．22．(13分)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)设＝a2n·b n，证明当n≥3时，＋1<.解析：(1)∵S n＝2n2＋2n，∴当n≥2时，S n－1＝2(n－1)2＋2(n－1)，∴a n＝S n－S n－1＝4n(n≥2)．当n ＝1时，S 1＝4，符合上式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .又∵T n ＝2－b n ，∴当n ≥2时，T n －1＝2－b n －1， ∴b n ＝T n －T n －1＝2－b n ＋b n －1－2， 即2b n ＝b n －1. ∴b n b n －1＝12. 而T 1＝b 1＝2－b 1，∴b 1＝1.∴数列{b n }的通项公式为b n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)证明：由(1)，知＝(4n )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝16n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴＋1＝16(n ＋1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∴＋1＝16n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 16n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2.当n ≥3时，1＋1n ≤43<2，∴＋1<12×(2)2＝1，又由＝a 2n ·b n 可知，＋1和均大于0， ∴＋1<.。

选修1-1模块综合测试（一）(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若命题p ：∀x∈R,2x 2＋1>0，则¬p 是( ) A ．∀x ∈R,2x 2＋1≤0 B ．∃x ∈R,2x 2＋1>0 C ．∃x ∈R,2x 2＋1<0 D ．∃x ∈R,2x 2＋1≤0 解析：¬p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0. 答案：D2．不等式x －1x>0成立的一个充分不必要条件是( )A. －1<x <0或x >1B. x <－1或0<x <1C. x >－1D. x >1解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的图象，两图象的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x －1x>0⇔－1<x <0或x >1 (*)，显然x >1⇒(*)；但(*)x >1，故选D.答案：D3．[2014·某某模拟]命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b D ．若a ＋1<b ，则a <b解析：“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C4．[2014·某某省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( ) A. ∀x ∈R ，x 2－x －1>0B. ∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin βC. 函数y ＝2sin(x ＋π5)的图象的一条对称轴是x ＝45πD. 若“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，则a 的取值X 围为(－2,2)解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所以A 错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 错误；当x ＝4π5时，y ＝0，故C 错误；因为“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，所以“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1>0”为真命题，即Δ<0，即a 2－4<0，解得－2<a <2，即a 的取值X 围为(－2,2)．故选D.答案：D5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知 |BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23， 所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC | ＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 答案：C6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D. y 22－x 24＝1解析：与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.答案：D7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值X 围是( )A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <2解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c2>a ，∴c a>2.答案：C8．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )A. 1∶πB. 2∶πC. 1∶2D. 2∶1解析：设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π(6－x 2π)2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)． 当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4， (6－x )∶x ＝4∶2＝2∶1. 答案：D9．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x2＋1±bax ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4， ∴c 2a2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．[2014·某某五校联考]设函数f (x )＝e x(sin x －cos x )(0≤x ≤2012π)，则函数f (x )的各极小值之和为( )A. －e 2π1－e2012π1－e 2πB. －e 2π1－e1006π1－eπC. －e 2π1－e1006π1－e2πD. －e 2π1－e2010π1－e2π解析：f ′(x )＝(e x)′(sin x －cos x )＋e x(sin x －cos x )′＝2e xsin x ，若f ′(x )<0，则x ∈(π＋2k π，2π＋2k π)，k ∈Z ；若f ′(x )>0，则x ∈(2π＋2k π，3π＋2k π)，k ∈Z .所以当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，f (x )取得极小值，其极小值为f (2π＋2k π)＝e2k π＋2π[sin(2π＋2k π)－cos(2π＋2k π)]＝e2k π＋2π×(0－1)＝－e2k π＋2π，k ∈Z .因为0≤x ≤2012π，又在两个端点的函数值不是极小值，所以k ∈[0,1004]，所以函数f (x )的各极小值构成以－e 2π为首项，以e 2π为公比的等比数列，共有1005项，故函数f (x )的各极小值之和为S 1005＝－e 2π－e 4π－…－e2010π＝e2π1－e2010π1－e2π.答案：D11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)． 设A (x 0，y 0)，如下图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.答案：B12．[2013·某某高考]如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C. 32D.62解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0) ①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意a 2＋b 2＝3＝c 2②，|OA |＝|OF 1|＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线C 2上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y ＝13ax 3－12ax 2(a ≠0)在区间(0,1)上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：y ′＝ax 2－ax ＝ax (x －1)，∵x ∈(0,1)，y ′>0，∴a <0. 答案：a <014．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值X 围是__________．解析：p 是假命题，则¬p 为真命题，¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0，所以有Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.答案：(0,1)15．[2014·某某质检]已知a ∈R ，若实数x ，y 满足y ＝－x 2＋3ln x ，则(a －x )2＋(a ＋2－y )2的最小值是________．解析：(a －x )2＋(a ＋2－y )2≥x －a ＋a ＋2－y22＝x ＋x 2－3ln x ＋222.设g (x )＝x＋x 2－3ln x (x >0)，则g ′(x )＝1＋2x －3x＝2x ＋3x －1x，易知g (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故g (x )≥g (1)＝2，(a －x )2＋(a ＋2－y )2≥2＋222＝8.答案：816．[2013·某某省某某一中月考]F 1、F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×|PF 2|×r ＝12×|PF 1|×r －12λ×|F 1F 2|×r ⇒|PF 1|－|PF 2|＝λ|F 1F 2|，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：45三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －3<0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，p 是q 的什么条件？(2)若q 是p 的必要条件，某某数a 的取值X 围． 解：(1)A ＝{x |x －2x －3<0}＝{x |2<x <3}， 当a ＝12时，B ＝{x |12<x <94}，故p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ， 由a 2＋2>a ，故B ＝{a |a <x <a 2＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2.18．(12分)已知c >0，设p ：y ＝c x为减函数；q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值X 围．解：由y ＝c x为减函数，得0<c <1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知：f (x )＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2，若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1且c ≤12，所以0<c ≤12.若p 假q 真，则c ≥1且c >12，所以c ≥1.综上：c ∈(0，12]∪[1，＋∞)．19．(12分)[2014·海淀期末]已知函数f (x )＝(x ＋a )e x，其中a 为常数． (1)若函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，某某数a 的取值X 围； (2)若f (x )≥e 2在x ∈[0,2]时恒成立，某某数a 的取值X 围． 解：(1)f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x，x ∈R .因为函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，所以f ′(x )≥0，即x ＋a ＋1≥0在[－3，＋∞)上恒成立． 因为y ＝x ＋a ＋1是增函数，所以满足题意只需－3＋a ＋1≥0，即a ≥2. (2)令f ′(x )＝0，解得x ＝－a －1，f (x )，f ′(x )的变化情况如下：f (0)≥e 2，解得a ≥e 2，所以此时a ≥e 2；②当0<－a －1<2，即－3<a <－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (－a －1)， 若满足题意只需f (－a －1)≥e 2，求解可得此不等式无解， 所以a 不存在；③当－a －1≥2，即a ≤－3时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (2)，若满足题意只需f (2)≥e 2，解得a ≥－1，所以此时a 不存在．综上讨论，所某某数a 的取值X 围为[e 2，＋∞)．20．(12分)已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点．求|PA |＋|PF 1|的最大值．解：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 所以|PF 1|＝6－|PF 2|，这样|PA |＋|PF 1|＝6＋|PA |－|PF 2|.求|PA |＋|PF 1|的最大值问题转化为6＋|PA |－|PF 2|的最大值问题， 即求|PA |－|PF 2|的最大值问题， 如图在△PAF 2中，两边之差小于第三边，即|PA |－|PF 2|<|AF 2|，连接AF 2并延长交椭圆于P ′点时， 此时|P ′A |－|P ′F 2|＝|AF 2|达到最大值， 易求|AF 2|＝2，这样|PA |－|PF 2|的最大值为2， 故|PA |＋|PF 1|的最大值为6＋ 2.21．(12分)已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是椭圆M 的一个焦点，又点A (1，2)在椭圆M 上．(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线l 的方向向量为(1，2)，若直线l 与椭圆M 交于B 、C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－2＝1.将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1a 2－2＝1，整理得a 4－5a 2＋4＝0，解得a 2＝4或a 2＝1(舍去)． 故所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线BC 的方程为y ＝2x ＋m ， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，代入椭圆方程并化简得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 由Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0， 可得m 2<8.由x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，故|BC |＝3|x 1－x 2|＝3×16－2m22.又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3，故S △ABC ＝12|BC |·d ＝m216－2m24≤142×2m 2＋16－2m22＝ 2.因此△ABC 面积的最大值为 2.22．(12分)[2014·某某质检]已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值；(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值． 解：(1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex ，又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解之得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．(3)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x .令g (x )＝f (x )－(kx －1)＝(1－k )x ＋1ex ，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解．当k >1时，g (0)＝1>0，g (1k －1)＝－1＋1e 1k －1<0， 又函数g (x )的图象在定义域R 上连续，由零点存在定理，可知g (x )＝0至少有一实数解，与“方程g (x )＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1.当k ＝1时，g (x )＝1e x >0，知方程g (x )＝0在R 上没有实数解．所以k 的最大值为1.。

第一讲 不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.2 基本不等式A 级 基础巩固一、选择题1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析：当a ，b 都是负数时，A 不成立；当a ，b 一正一负时，B 不成立；当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 是正确的．答案：C2．下列各式中，最小值等于2的是( )A.x y ＋y xB.x 2＋5x 2＋4 C ．tan θ＋1tan θ D ．2x ＋2－x解析：因为2x ＞0，2－x ＞0，所以2x ＋2－x ≥22x 2－x ＝2.当且仅当2x ＝2－x ，即x ＝0时，等号成立．3．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( )A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当x ＝y ＝52时，等号成立． 答案：D4．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( ) A ．6B ．9C ．12D ．15解析：x ，y 为正数，(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时，等号成立，选B. 答案：B5．(2015·福建卷)若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为直线x a ＋y b ＝1过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1. 又a ，b 均大于0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．二、填空题6．设x ＞0，则函数y ＝3－3x －1x的最大值是________． 解析：y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23， 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立． 所以y max ＝3－2 3.答案：3－2 37．已知函数f (x )＝2x，点P (a ，b )在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，那么f (a )·f (b )的最小值是________．解析：点P (a ，b )在函数y ＝1x(x ＞0)的图象上，所以有ab ＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以f (a )·f (b )＝2a ·2b ＝2a ＋b ≥22ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．答案：48．当x ＞0时，f (x )＝2x x 2＋1的值域是________． 解析：因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2，所以0＜1x ＋1x ≤12. 所以0＜2x ＋1x ≤1. 又因为f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x， 所以0＜f (x )≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立．故f (x )的值域是(0，1]．答案：(0，1]三、解答题9．已知x ＜0，求2x ＋1x的最大值． 解：由x ＜0，得－x ＞0，得－2x ＋1－x ≥2（－2x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ＝22， 所以2x ＋1x≤－22， 当且仅当－2x ＝1－x， 即x ＝－22时等号成立． 故2x ＋1x取得最大值－2 2. 10．若a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：8abc ≤(1－a )·(1－b )(1－c )．证明：因为a ＋b ＋c ＝1，所以1－a ＝b ＋c ＞0，1－b ＝a ＋c ＞0，1－c ＝a ＋b ＞0.所以(1－a )(1－b )(1－c )＝(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )．因为a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，a ＋c ≥2ac ＞0，三式相乘，得(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． 所以8abc ≤(1－a )(1－b )(1－c )．B 级 能力提升1．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立， 则1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1≥9， 所以a ≥2或a ≤－4(舍去)．所以正实数a 的最小值为4.答案：B2．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy， 所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋（2y ）2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy ＝22xy 2xy＝ 2. 其中x ＞0，y ＞0，当且仅当x 2＝2y 2，即x ＝2y 时等号成立． 答案： 23．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？解：(1)由题意可设3－x ＝k t ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2. 所以x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，年生产成本为32x ＋3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3， 当销售x 万件时，年销售收入为150%×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）(t ≥0)． (2)y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤ 50－2 t ＋12·32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42， 所以当促销费定在7万元时，年利润最大．。

学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4x D ．－23x 3＋x答案 D解析 选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.故选D.2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝| y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是綈Q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， ∴P ⇒綈Q ，但綈Q ⇒/P ，∴P 是綈Q 的充分不必要条件，选A.4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 因为全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定綈p 是特称命题：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，所以綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故选C.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题 答案 C解析 对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10， 即8>1，故命题p 为真命题； 对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题， 命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题， 故选C.6．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C ：x 24－y 212＝1，则下列双曲线中与C 是“相近双曲线”的为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．y 2－2x 2＝1 D.y 29－x 272＝1 答案 B解析 双曲线C 的离心率为2，对于A ，其离心率为2，不符合题意；对于B ，其离心率为3，符合题意；对于C ，其离心率为62，不符合题意；对于D ，其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定 答案 B解析 ∵F 1T 是圆的切线， ∴OT ⊥TF 1，∵|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，∴|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . 设接双曲线的右焦点为F 2， 连接PF 2，则|OM |＝12|PF 2|，又∵|F 1M |＝|MP |，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴12|PF 1|－12|PF 2|＝a ， ∴|PM |－|OM |＝a ， ∴b ＋|TM |－|OM |＝a ， ∴|OM |－|TM |＝b －a ，故选B.8．函数y ＝x 2e x的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0) 答案 D解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x的单调递减区间是(－2,0)．故选D.9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 因为f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0，故选C.10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π答案 C解析 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.11．如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析 延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，在等腰三角形APF 1中，|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝12|AF 2|＝a .12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |， 又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x ”的否定为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∀x ∈{正实数}，使x ≥x 假解析 原命题的否定为“∀x ∈{正实数}，使x ≥x ”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥A B →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.答案5－12解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c ，∵B F →⊥B A →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1， ∴e ＝5－12. 15．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a.又a >12，∴0<1a<2.当f ′(x )>0时，x <1a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增；当f ′(x )<0时，x >1a，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.16．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于________．答案223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k 2＝5，∴k 2＝89，经检验Δ>0，又∵k >0，∴k ＝223.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，某某数a 的取值X 围； (2)若命题p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围． 解 ∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}． (1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值X 围为a ≤3.18．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈[－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，命题q ：∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，若命题p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解 因为∃x 0∈ [－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，所以只需(x 20＋x 0－a ＋1)max ＞0，即3－a ＞0，所以命题p 真时，a ＜3.因为∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，所以t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＋1＞1，t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＞0，即(t －a )[t －(a ＋2)]＞0，对t ∈(0,1)恒成立，只需a ＋2≤0或a ≥1，得a ≤－2或a ≥1， 所以命题q 为真时，a ≤－2或a ≥1.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 两个命题一真一假． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，－2＜a ＜1，所以－2＜a ＜1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤－2或a ≥1，所以a ≥3.综上所述：a 的取值X 围是(－2,1)∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1. (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴x ＝k3，且过点(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0， 即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ，M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0 得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0， ∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0， ∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ， 最大值M ＝－2k 3－k .20．(本小题满分12分)设椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心及C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：(1)求曲线C 1，C 2(2)设直线l 过抛物线C 2的焦点F ，l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，当OM →·ON →＝0时，求直线l 的方程．解 (1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值X 围，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在椭圆上． 设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由此可得a ＝2，24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.由点(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，知抛物线开口向右． 设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴12＝6p ，∴p ＝2， ∴抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由(1)，知F (1,0)．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 2＝1，得l 与椭圆C 1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∴OM →·ON →＝14≠0，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)·4k 2－41＋4k 2－k 2·8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2，∴直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值X 围．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值X 围是[1,9]．22．(本小题满分12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.word - 11 - / 11。

高中数学学习材料唐玲出品不等式选讲练习1一、选择题1．不等式x2－|x|－2<0(x∈R)的解集是()A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2或x>2}C．{x|－1<x<1} D．{x|x<－1或x>1}2．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，||f（x1）－f（x2）＜||x2－x1恒成立”的只有()A．f(x)＝1x B．f(x)＝|x|C．f(x)＝2x D．f(x)＝x23．(2013·淮安模拟)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}．若A ⊆B，则实数a，b必满足()A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥34．(2013·江门模拟)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，则a的值为()A．－2 B．2C．－1 D．15．(2013·许昌模拟)对于任意实数a、b，若|a－b|≤1，|2a－1|≤1，则|4a－3b＋2|的最大值为()A．3 B．4C．5 D．66．若|a－c|<b，则下列不等式不成立的是()A．|a|<|b|＋|c| B．|c|<|a|＋|b|C．b>|c|－|a| D．b<|a|－|c|二、填空题7．已知a和b是任意非零实数，则|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为____________．8．(2013·黄冈中学训练题)已知不等式|x－3|≤x＋a2(a∈R)的解集为A，若A≠∅，则a 的取值范围是____________．9．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．10．(2013·天津模拟)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝____________．三、解答题11. 已知f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－1时，解关于x 的不等式f (x )>5；(2)已知关于x 的不等式f (x )＋a <2 014(a 是常数)的解集是非空集合，求实数a的取值范围．12．函数f (x )＝ax ＋b ，当|x |≤1时，都有|f (x )|≤1，求证：|b |≤1，|a |≤1.13．(2013·郑州模拟)设f (x )＝2|x |－|x ＋3|.(1)画出函数y ＝f (x )的图象，并求不等式f (x )≤7的解集S ；(2)若关于x 不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．不等式选讲练习21．(2013·鸡西模拟)若实数x 、y 满足1x 2＋1y 2＝1，则x 2＋2y 2有( ) A ．最大值3＋2 2 B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值62．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( ) A ．M ＝1 B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定3．(2013·广东调研)已知a ，b 为实数，且a >0，b >0.则⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．104．设a >b >c ，n ∈N ，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值( ) A ．2 B ．3C ．4D ．6 5．设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝（1a －1）（·1b －1）（1c－1） 则必有( )A ．0≤M <18 B.18≤M <1 C ．1≤M <8 D ．M ≥86．(2014·黄冈模拟)若不等式t t 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0，2]上恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤16，1 B.⎣⎡⎦⎤213，1 C.⎣⎡⎦⎤16，413 D.⎣⎡⎦⎤16，22 二、填空题7 .若0<α<β<π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则a 与b 的大小关系是________.8．若P ＝x 1＋x ＋y 1＋y ＋z 1＋z(x >0，y >0，z >0)，则P 与3的大小关系为________. 9．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y 的最小值为________．10．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则a ＋1＋b ＋1的最大值为________．三、解答题11．(2014·茂名质检)若实数x 、y 、m 满足|x －m |＞|y －m |，则称x 比y 远离m .(1) 若x 2－1比1远离0，求x 的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a ，b ，证明：a 3＋b 3比a 2b ＋ab 2远离2ab ab .12. 已知a ，b 为实数，且a >0，b >0，c >0.证明：a 2＋b 2＋c 2＋2111()a b c++≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．13．(2013·南昌调研)已知x ＋y >0，且xy ≠0.(1)求证：x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x ；(2)如果x y 2＋y x 2≥m 211()x y+恒成立，试求实数m 的取值范围或值．。

第一讲 不等式和绝对值不等式讲末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a >b ，c >d ，则下列命题中正确的是( )A ．a －c >b －dB ．a d >b cC ．ac >bdD ．c －b >d －a 解析：选D.因为a >b ，c >d ，所以a ＋c >b ＋d ，所以c －b >d －a .2．不等式|x |＞2x －1的解集为( ) A ．{x |x ＞2或x ＜－1} B ．{x |－1＜x ＜2}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D ．{x |1＜x ＜2} 解析：选C.|x |＞2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2x －1，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜21－x ，x ＜0，解得x ＜1或x ＞2. 3．不等式1<|x ＋1|<3的解集为( )A ．(0，2)B ．(－2，0)∪(2，4)C ．(－4，0)D ．(－4，－2)∪(0，2)解析：选D.1<|x ＋1|<3⇔－3<x ＋1<－1或1<x ＋1<3⇔－4<x <－2或0<x <2.4．在下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x 5＋5x(x ∈R 且x ≠0) B ．y ＝lg x ＋1lg x(1＜x ＜10) C ．y ＝3x ＋3－x(x ∈R )D ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2 解析：选C.A 中，当x ＜0时，y ＜0；B 中，因为1＜x ＜10，所以y ＞2；故A ，B 中最小值都不是2.D 中，0＜sin x ＜1，所以sin x ＋1sin x ＞2.无最小值．只有C 正确． 5．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．b a ＋a b＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b | 解析：选D.法一(特殊值法)：令a ＝－1，b ＝－2，代入A ，B ，C ，D ，知D 不正确．法二：由1a ＜1b＜0，得b ＜a ＜0，所以b 2＞ab ，ab ＞a 2，故A ，B 正确． 又由b a ＞1，a b ＞0，且b a ≠a b ，即b a ＋a b＞2正确．从而A ，B ，C 均正确，对于D ，由b ＜a ＜0⇔|a |＜|b |.即|a |－|b |＜0，而|a －b |≥0，故D 错． 6．已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则t ＝ ( ) A ．0B ．－1C ．－2D ．－3解析：选A.因为|2x －t |＋t －1<0，即|2x －t |<1－t ，所以t －1<2x －t <1－t ，所以2t －1<2x <1，所以t －12<x <12，依题意t －12＝－12，所以t ＝0. 7．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A ．23B ．223C ．33D ．233 解析：选B.因为正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，所以3xy ＝1－x 2，则y ＝1－x 23x ， 所以x ＋y ＝x ＋1－x 23x ＝13x ＋2x 3≥213x ·2x 3＝223.当且仅当13x ＝2x 3，即x ＝22时取等号．故x ＋y 的最小值是223. 8．关于x 的不等式|x ＋log a x |<|x |＋|log a x |(a >1)的解集是( )A ．(0，a )B ．(0，1)C ．(－∞，a )D ．(1，＋∞)解析：选B.由|a ＋b |<|a |＋|b |的条件是ab <0，可知|x ＋log a x |<|x |＋|log a x |成立的条件是x >0，且log a x <0.又a >1，所以0<x <1，所以该不等式的解集为{x |0<x <1}．9．若不等式|x －1|＋|x －5|＋|x ＋3|>m 对任意实数x 恒成立，则m 的取值X 围是( )A ．m ≤8B ．m <8C ．m ≤4D ．m <4解析：选B.f (x )＝|x －1|＋|x －5|＋|x ＋3|的几何意义是数轴上的点到1，5，－3的距离之和，其最小值为8，所以m <8.10．不等式|sin x ＋tan x |＜a 的解集为N ；不等式|sin x |＋|tan x |＜a 的解集为M ，则解集M 与N 的关系是( )A ．N ⊆MB ．M ⊆NC ．M ＝ND ．M N解析：选B.|sin x ＋tan x |≤|sin x |＋|tan x |，则M ⊆N (当a ≤0时，M ＝N ＝∅)． 11．设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，若a 2x ＋b 21－x≥m 恒成立，则m 的最大值是( ) A ．(a －b )2 B ．(a ＋b )2C ．a 2b 2D ．a 2 解析：选B.由a 2x ＋b 21－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 21－x [x ＋(1－x )] ＝a 2＋b 2＋a 2（1－x ）x ＋b 2x 1－x ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当a 2（1－x ）x ＝b 2x 1－x时等号成立， 所以m ≤(a ＋b )2，m 的最大值为(a ＋b )2.12．已知P (a ，b )为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，则1a 2＋4b2最小时，a 2的值为( ) A ．45B ．2C ．43D ．3 解析：选C.因为P (a ，b )为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，所以a 2＋b 2＝4.设a ＝2cos θ，b ＝2sin θ，则1a 2＋4b 2＝14cos 2θ＋44sin 2θ＝sin 2θ＋cos 2θ4cos 2θ＋4（sin 2θ＋cos 2θ）4sin 2θ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 2θ＋1＋4＋4tan 2θ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 2θ·4tan 2θ＋5＝94，当且仅当tan 2θ＝2时取等号，此时a 2＝4cos 2θ＝4cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan 2θ＋1＝43.故选C. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的解集为________． 解析：因为|x ＋1||x ＋2|≥1，所以|x ＋1|≥|x ＋2|，x ≠－2， 所以x 2＋2x ＋1≥x 2＋4x ＋4，所以2x ＋3≤0，所以x ≤－32且x ≠－2. 答案：{x |x ≤－32且x ≠－2} 14．定义运算x ⊗y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤y ，y ，x ＞y ，若|m －1|⊗m ＝|m －1|，则m 的取值X 围是________． 解析：依题意，有|m －1|≤m ，所以－m ≤m －1≤m ，所以m ≥12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 15．若正数a ，b 满足a 2b ＝12，则a ＋b 的最小值是________． 解析：因为a ＞0，b ＞0，a 2b ＝12，所以a ＋b ＝12a ＋12a ＋b ≥3312a ·12a ·b ＝3318＝32， 当且仅当12a ＝12a ＝b ，即a ＝1，b ＝12时，等号成立． 故a ＋b 的最小值是32. 答案：3216．已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，则m 的取值X 围是________．解析：函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，于是得m <5，即m 的取值X 围是(－∞，5)．答案：(－∞，5)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ac ＝4，求证：1a ＋1b ＋1c ≥332. 证明：由1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ac abc＝4abc . 又因为ab ＋bc ＋ac ＝4≥33a 2b 2c 2，得 abc ≤833(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)． 所以1a ＋1b ＋1c ＝4abc ≥332. 18．(本小题满分12分)已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]．(1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.解：(1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m －|x －3|，不等式f (x )＞2的解集为(2，4)．(1)某某数m 的值；(2)若关于x 的不等式|x －a |≥f (x )恒成立，某某数a 的取值X 围．解：(1)因为f (x )＝m －|x －3|，所以不等式f (x )＞2，即m －|x －3|＞2.所以5－m ＜x ＜m ＋1.而不等式f (x )＞2的解集为(2，4)，所以5－m ＝2且m ＋1＝4，解得m ＝3.(2)关于x 的不等式|x －a |≥f (x )恒成立⇔关于x 的不等式|x －a |≥3－|x －3|恒成立⇔|x －a |＋|x －3|≥3恒成立⇔|a －3|≥3恒成立．由a －3≥3或a －3≤－3，解得a ≥6或a ≤0.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －1|＋|2x ＋2|.(1)解不等式f (x )>5.(2)若不等式f (x )<a (a ∈R )的解集为空集，求a 的取值X 围．解：(1)根据条件f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x >1，x ＋3，－1≤x ≤1，－3x －1，x <－1.当x >1时，f (x )>5⇔3x ＋1>5⇔x >43， 又x >1，所以x >43； 当－1≤x ≤1时，f (x )>5⇔x ＋3>5⇔x >2，又－1≤x ≤1，此时无解；当x <－1时，f (x )>5⇔－3x －1>5⇔x <－2，又x <－1，所以x <－2.综上，f (x )>5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >43或x <－2. (2)由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x >1，x ＋3，－1≤x ≤1，－3x －1，x <－1，可得f (x )的值域为[2，＋∞)．又不等式f (x )<a (a ∈R )的解集为空集，所以a 的取值X 围是(－∞，2]．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥2的解集；(2)若不等式f (x )≤|a －2|的解集为R ，某某数a 的取值X 围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，当x ≤－1时，f (x )≥2不成立；当－1<x <2时，由f (x )≥2，得2x －1≥2，所以32≤x <2. 当x ≥2时，f (x )≥2恒成立．所以不等式f (x )≥2的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2)因为f (x )＝|x ＋1|－|x －2|≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以|a －2|≥3.所以a ≥5或a ≤－1.所以a 的取值X 围是(－∞，－1]∪[5，＋∞)．22．(本小题满分12分)某小区要建一座八边形的休闲小区，如图所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为每平方米4 200元，并在四周的四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元．(1)设总造价为S 元，AD 长为x m ，试求S 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，S 取得最小值？并求出这个最小值．解：(1)设DQ ＝y m ，又AD ＝x m ，故x 2＋4xy ＝200，即y ＝200－x 24x . 依题意，得S ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×2y 2＝4 200x 2＋210(200－x 2)＋160⎝ ⎛⎭⎪⎫200－x 24x 2＝38 000＋4 000x 2＋400 000x2. 依题意x >0，且y ＝200－x 24x>0， 所以0<x <10 2.故所求函数为S ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x2，x ∈(0，102)． (2)因为x >0，所以S ≥38 000＋2 4 000x 2·400 000x 2＝118 000， 当且仅当4 000x 2＝400 000x2， 即x ＝10时取等号．所以当x ＝10∈(0，102)时，S min ＝118 000元．故AD ＝10m 时，S 有最小值118 000元．。

模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2． ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件．] 2．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x 0≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x 0≤1 B [命题p 为全称命题，所以p 为∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．故选B ．]3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54B [由题意，1－b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52．]4．已知空间向量a ＝(t,1，t )，b ＝(t －2，t,1)，则|a －b |的最小值为( ) A ． 2 B ． 3 C ．2D ．4C [|a －b |＝2(t －1)2＋4≥2，故选C ．] 5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有()A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对D [对于x 2a 2＋y 29＝1，有a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D ．]6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1-AB -C 为( ) A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．π4D [以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0,1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1-AB -C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D ．]7．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5C [∵∀x ∈[1,2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C ．]8．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8xB [由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0．又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．] 9．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫43，43，43B ．⎝⎛⎭⎫83，43，83 C ．⎝⎛⎭⎫43，43，83D ．⎝⎛⎭⎫83，83，43C [点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )，则DA →＝(1－a,2－a,3－2a )，DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →取最小值，此时OD →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83．] 10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13B ．13C ．±13D ．±12C [由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C ．]11．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A ．55B ．155C ．2155D ．1520B [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B ．]12．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是( ) A ． 3 B ．32 C ．33D ．34C [如图．设|AF |＝r 1，|BF |＝r 2，则|MN |＝r 1＋r 22．在△AFB 中，因为|AF |＝r 1，|BF |＝r 2且∠AFB ＝2π3，所以由余弦定理，得|AB |＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 2π3＝r 21＋r 22＋r 1r 2，所以|MN ||AB |＝r 1＋r 22r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×(r 1＋r 2)2r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×1＋r 1r 2r 21＋r 22＋r 1r 2≤12×1＋r 1r 23r 1r 2＝33，当且仅当r 1＝r 2时取等号．故选C ．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →．其中正确的是________．(填序号)①②③[∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，②正确；由①②可得AP →是平面ABCD 的法向量，③正确；由③可得AP →⊥BD →，④错误．]14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________．x 25－y 220＝1[由已知得ba ＝2，所以b ＝2a ．在y ＝2x ＋10中令y ＝0得x ＝－5，故c ＝5，从而a 2＋b 2＝5a 2＝c 2＝25，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的方程为x 25－y 220＝1．] 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程为________．x 23＋y 2＝1[由e ＝c a＝23，得c 2＝23a 2，所以b 2＝a 2－c 2＝13a 2， 设P (x ，y )是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，所以x 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＝a 2－3y 2．|PQ |＝x 2＋(y －2)2＝a 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋a 2＋6，当y ＝－1时，|PQ |有最大值a 2＋6．由a 2＋6＝3，可得a 2＝3，所以b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．]16．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．31717[如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，则重心G ⎝⎛⎭⎫23，23，0，因此DP →＝(0,0,1)，GP →＝⎝⎛⎭⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．[解]∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A ．当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12．综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12．18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0．[解](1)由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，又双曲线过点(4，－10)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x 2－y 2＝6．(2)证明：由双曲线的方程为x 2－y 2＝6，可得a ＝b ＝6，c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．由点M (3，m )，得MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，又点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，解得m 2＝3，所以MF 1→·MF 2→＝m 2－3＝0．19．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．[解] (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图①．①∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k ． 在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ． 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD ． 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1．(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图②所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，②∴AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1． 20．(本小题满分12分)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．[解](1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ．(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2． ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x ．21．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED ．(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．[解](1)证明：∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2，∴P A 2＋AD 2＝PD 2， 即P A ⊥AD ．又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD ．(2)以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，23，13，AC →＝(1,1,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23，13．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)．假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)， 使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0．又∵BF →＝BC →＋CF →＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ．(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．[解](1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝⎛⎭⎫43，13， ∴169a 2＋19b2＝1， ∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． (2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F 1为(－c,0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c＝b 33a 2c ＋c 3， 又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55．。

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数．．．．为( )A．i B．－iC．1 D．－1【解析】因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.【答案】 A2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为( )A．工序流程图B．程序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】 B3．利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量K2的值( )【导学号：19220070】A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小C．越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大D．与“X与Y有关系”成立的可能性无关【解析】由K2的意义可知，K2越大，说明X与Y有关系的可能性越大．【答案】 A4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．【答案】 B5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【解析】 一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】 C6．(2015·安徽高考)设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【解析】2i1－i＝2i 1＋i 1－i 1＋i＝2i －12＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】 B7．(2016·深圳高二检测)在两个变量的回归分析中，作散点图是为了( ) A ．直接求出回归直线方程 B ．直接求出回归方程C ．根据经验选定回归方程的类型D ．估计回归方程的参数【解析】 散点图的作用在于判断两个变量更近似于什么样的函数关系，便于选择合适的函数模型．【答案】 C8．给出下面类比推理：①“若2a <2b ，则a <b ”类比推出“若a 2<b 2，则a <b ”； ②“(a ＋b )c ＝ac ＋bc (c ≠0)”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b ”； ④“a ，b ∈R ，若a －b >0，则a >b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b >0，则a >b (C 为复数集)”．其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.【答案】 B9．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图1的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )图1A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C. 【答案】 C10．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( ) A ．3 B ．－3 C ．6D ．－6【解析】 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3，a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6，…观察可知{a n }是周期为6的周期数列，故a 33＝a 3＝3. 【答案】 A11．(2016·青岛高二检测)下列推理合理的是( ) A ．f (x )是增函数，则f ′(x )＞0B ．因为a ＞b (a ，b ∈R )，则a ＋2i ＞b ＋2i(i 是虚数单位)C ．α，β是锐角△ABC 的两个内角，则sin α＞cos βD ．A 是三角形ABC 的内角，若cos A ＞0，则此三角形为锐角三角形【解析】 A 不正确，若f (x )是增函数，则f ′(x )≥0；B 不正确，复数不能比较大小；C 正确，∵α＋β＞π2，∴α＞π2－β，∴sin α＞cos β；D 不正确，只有cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，才能说明此三角形为锐角三角形．【答案】 C12．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y 与平均气温x 之间线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数b ^＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元【解析】 x ＝－2－3－5－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)． 因为b ^＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ^＝15.4， 所以线性回归方程为y ^＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．) 13．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________.【导学号：19220071】【解析】 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， ∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 【答案】 0或114．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：“否”)．【解析】 因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba ＋b ＝1858，dc ＋d ＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．【答案】 是15．(2016·天津一中检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】 已知等式可改写为：13＋23＝(1＋2)2；13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可得第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21216．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论________．【解析】 由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.【答案】 10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)(2016·哈三中模拟)设z ＝1－4i1＋i ＋2＋4i3＋4i，求|z |.【解】 z ＝1＋i －4i ＋4＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i ，∴|z |＝|7＋i||3＋4i|＝525＝ 2.18．(本小题满分12分)我校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部．请画出学生会的组织结构图．【解】 学生会的组织结构图如图．19．(本小题满分12分)给出如下列联表：患心脏病 患其他病 总计 高血压 20 10 30 不高血压 30 50 80 总计5060110(参考数据：P (K 2≥6.635)＝0.010，P (K 2≥7.879)＝0.005) 【解】 由列联表中数据可得 k ＝110×20×50－10×30230×80×50×60≈7.486.又P (K 2≥6.635)＝0.010，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系． 20．(本小题满分12分)已知非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a，1b ，1c不能构成等差数列.【导学号：19220072】【证明】 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则2b ＝1a ＋1c，因此b (a ＋c )＝2ac .而由于a ，b ，c 构成等差数列，且公差d ≠0，可得2b ＝a ＋c ， ∴(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ， 这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾． 故假设不成立，即1a ，1b ，1c不能构成等差数列．21．(本小题满分12分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：ax ＋by ≤1(分别用综合法、分析法证明)．【证明】 综合法：∵2ax ≤a 2＋x 2,2by ≤b 2＋y 2， ∴2(ax ＋by )≤(a 2＋b 2)＋(x 2＋y 2)． 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2(ax ＋by )≤2，∴ax ＋by ≤1. 分析法：要证ax ＋by ≤1成立， 只要证1－(ax ＋by )≥0， 只要证2－2ax －2by ≥0， 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，∴只要证a 2＋b 2＋x 2＋y 2－2ax －2by ≥0， 即证(a －x )2＋(b －y )2≥0，显然成立．22．(本小题满分12分)某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x －.【解】 (1)散点图如图，(2)x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑i ＝15x i y i ＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.∑i ＝15x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. 所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625.a ^＝y －b ^x －≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以y 对x 的回归直线方程是y ^＝0.625x ＋22.05.(3)x ＝96，则y ^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82分．。

第一讲不等式和绝对值不等式(本卷满分150分，考试时间120分钟)一、选择题(每小题5分，共60分)1.下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是A.a＞b＋1B.a＞b－1C.a2＞b2D.a3＞b3解析A项：若a＞b＋1，则必有a＞b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但不能推出a＞b＋1，故a＞b＋1是a＞b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足a＞b－1，反之，由a＞b－1不能推出a＞b；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但a＞b 不成立；D项：a＞b是a3＞b3的充要条件，综上所述答案选A.答案A2.若a>b，x>y，则下列不等式不正确的是A.a＋x>b＋yB.y－a<x－bC.|a|x>|a|yD.(a－b)x>(a－b)y答案C3.不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是A.[－5，7]B.[－4，6]C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)D.(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析解法一当x≤－3时，不等式化为5－x－x－3≥10，即x≤－4；当－3＜x＜5时，不等式化为5－x＋x＋3≥10，即8≥10，故x∈∅；当x≥5时，不等式化为x－5＋x＋3≥10，即x≥6.综上，原不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)，故选D.解法二利用绝对值的几何意义，即在数轴上的点x到5和－3的距离之和不小于10，所以x≤－4或x≥6，故选D.答案D4.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为 A.(0，＋∞) B.(－1，0)∪(2，＋∞) C.(2，＋∞)D.(－1，0)解析f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x 2－x －2）x，则f ′(x )＞0，也就是2（x 2－x －2）x＞0，得－1＜x ＜0或x ＞2，又f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＞0的解集为{x |x ＞2}，故选C. 答案C5.若实数x ，y 满足1x 2＋1y2＝1，则x 2＋2y 2有A.最大值3＋2 2B.最小值3＋2 2C.最大值6D.最小值6解析 由题意知，x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＝3＋2y 2x 2＋x 2y 2≥3＋22，当且仅当x 2y 2＝2y 2x2时，等号成立，故选B.答案B6.函数y ＝3x ＋12x2(x >0)的最小值是A.6B.66C.9D.12解析y ＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥ 333x 2·3x 2·12x2＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当3x 2＝12x 2，即x ＝2时，等号成立. 答案C7.设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是A.3B.3－3 2C.3－2 3D.－1 解析y ＝3－3x －1x＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立.答案C8.若a 、b ∈R，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是 A.a 2＋b 2＞2abB.a ＋b ≥2abC.1a ＋1b＞2abD.b a ＋ab≥2解析 对A ：当a ＝b ＝1时满足ab ＞0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错；对B 、C ：当a ＝b ＝－1时满足ab ＞0，但a ＋b ＜0，1a ＋1b＜0，而2ab ＞0，2ab＞0，显然B 、C 不对；对D ：当ab ＞0时，由均值定理b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，故选D. 答案D9.某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9n，则此人应选A.1楼B.2楼C.3楼D.4楼解析 设第n 层总的不满意度为f (n )， 则f (n )＝n ＋9n ≥29＝6，当且仅当n ＝9n，即n ＝3时等号成立. 答案C10.已知f (x )是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数， f (2)＝0，则不等式xf (x )<0的解集是A.{x |－2<x <0，或x >2}B.{x |x <－2，或0<x <2}C.{x |x <－2，或x >2}D.{x |－2<x <0，或0<x <2} 解析 画出草图，(图略)则当0＜x ＜2或x ＜－2时，f (x )＜0； 当x ＞2或－2＜x ＜0时，f (x )＞0.所以x ·f (x )＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＜0x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＞0x ＜0，即为0＜x ＜2或－2＜x ＜0. 答案D11.若0＜x ＜12，则x 2(1－2x )有A.最小值127B.最大值127C.最小值13D.最大值13答案B12.设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，若a 2x ＋b 21－x≥m 恒成立，则m 的最大值是A.(a －b )2B.(a ＋b )2C.a 2b 2D.a 2解析a 2x ＋b 21－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 21－x [x ＋(1－x )]＝a 2＋b 2＋a 2（1－x ）x ＋b 2x 1－x≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当x 1－x ＝ab时取等号. 由a 2x ＋b 21－x≥m 恒成立，可知m ≤(a ＋b )2. 故m 的最大值是(a ＋b )2. 答案B二、填空题(每小题5分，共20分)13.不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________. 解析 由题意得|x ＋1|≥|x －3|， ∴(x ＋1)2≥(x －3)2，即8x ≥8，∴x ≥1. 答案 [1，＋∞)14.已知不等式|2x －t |＋t －1＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则t 的值为________. 解析 |2x －t |＜1－t ，t －1＜2x －t ＜1－t ，2t －1＜2x ＜1，t －12＜x ＜12.∴t ＝0.答案 015.设x ，y 为实数.若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________. 解析 依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105. 当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 达到最大值2105. 答案210516.下面四个命题：①若a >b ，c >1，则a lg c >b lg c ； ②若a >b ，c >0，则a lg c >b lg c ； ③若a >b ，则2c a >2cb ； ④若a <b <0，c >0，则c a >c b. 其中正确命题的个数为________.解析 ①正确，∵c >1，lg c >0，∴a lg c >b lg c ；②不正确，由于当0<c <1时，lg c <0，a lg c <b lg c ；③正确，∵2c >0，∴2c a >2c b ；④正确，∵a <b <0，∴0>1a >1b ，又c >0，∴c a >c b.答案 3三、解答题(共70分)17.(10分)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值.解析 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3. 18.(12分)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值.解析 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}. (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，则a ＝2.故a 的值为2.19.(12分)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1），当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤43. (2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4， 得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34. 因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－14≤x ≤34. 故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x [f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14.20.(12分)(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值X 围.解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}. (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立. 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值X 围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).21.(12分)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，求证： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件. 证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件.22.(12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a).(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值X围.解析(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1).当x＜1时，f(x)＝－2(x－1)2＜0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)＜0的解集为(－∞，1).(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0. 所以，a的取值X围是[1，＋∞).。

模块测试题本检测题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b ＞b ＋1a B.b a ＞b ＋1a ＋1C ．a －1b ＞b －1a D.2a ＋b a ＋2b ＞a ba ＞b ＞0⇒1b ＞1a ＞0，∴a ＋1b ＞b ＋1a . 故应选A. A2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且ab ＞0，－c a ＜－db ，则下列各式恒成立的是( )A ．bc ＜adB ．bc ＞adC. a c ＞b dD. a c ＜b d对－c a ＜－db 两边同乘以－ab ，由－ab ＜0，得bc ＞ad . B3．若a ，b ，x ，y ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＞a ＋b ，(x －a )(y －b )＞0是⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，y ＞b ，成立的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件若⎩⎨⎧x ＋y ＞a ＋b ， ①(x －a )(y －b )＞0. ②由②知x －a 与y －b 同号；又由式①得 (x －a )＋(y －b )＞0.∴x －a ＞0，y －b ＞0，即x ＞a 且y ＞b . 故充分性成立．若⎩⎨⎧x ＞a ，y ＞b ，则⎩⎨⎧x －a ＞0，y －b ＞0，∴⎩⎨⎧x ＋y ＞a ＋b ，(x －a )(y －b )＞0.故必要性亦成立．综合(1)(2)知，应选C. C4．已知a ＞b ＞0且ab ＝1，设c ＝2a ＋b ，P ＝logc a ，N ＝log c b ，M ＝log c ab ，则( )A ．P ＜M ＜NB ．M ＜P ＜NC ．N ＜P ＜MD ．P ＜N ＜M 方法一：因为a ＞b ＞0且a ·b ＝1，所以a ＞1,0＜b ＜1，a ＋b ＞2ab ＝2，c ＝2a ＋b ＜1.所以log c a ＜log c ab ＜log c b ，即P ＜M ＜N .故选A. 方法二(特值法)：令a ＝2，b ＝12，所以c ＝22＋12＝45.A5．使不等式|x －4|＋|3－x |＜a 有解的条件是( ) A ．0＜a ＜110 B ．0＜a ≤1C.110＜a ＜1 D ．a ＞1 要使不等式成立，需 a ＞(|x －4|＋|3－x |)min .由|x －4|＋|3－x |的几何意义，知数轴上动点x 到定点(4,3)的距离和的最小值为1，所以a ＞1.故应选D. D6．给出三个条件：①ac 2＞bc 2；②a c ＞bc ；③a 2＞b 2.其中能成为a ＞b 的充分条件的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 ①ac 2＞bc 2⇒a ＞b ，而a ＞b ⇒／ac 2＞bc 2，故ac 2＞bc 2是a ＞b 的充分条件；②a c ＞bc ⇒／a ＞b ，故不合题意；③a 2＞b 2⇒／a ＞b ，也不合题意，综上所述只有①适合题意，故选B.B 7．已知a1－a＞0，且x ＞1，则下列不等式成立的是( ) A ．a x ＜x 1a ＜log a x B ．log a x ＜a x ＜x 1aC ．log 1a x ＜x 1a ＜a xD ．a x ＜log a x ＜x 1a由a 1－a ＞0，x ＞1得0＜a ＜1，且log a x ＜0＜a x＜1＜x 1a . B8．若a ，b ，c ＞0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A.3－1B.3＋1 C ．23＋2 D ．23－2 由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23， 得(a ＋b )(a ＋c )＝4－2 3. ∵a ，b ，c ＞0，∴(a ＋c )(a ＋b )≤(2a ＋b ＋c2)2(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”号)．∴2a ＋b ＋c ≥24－23＝2(3－1)＝23－2.故应选D. D9．如果实数x ，y 满足|tan x |＋|tan y |＞|tan x ＋tan y |，且y ∈(π，3π2)，则|tan x －tan y |等于( )A ．tan x －tan yB ．tan y －tan xC ．tan x ＋tan yD ．|tan y |－|tan x |由|tan x |＋|tan y |＞|tan x ＋tan y |，得tan x 和tan y 异号；且y ∈(π，3π2)，得tan y ＞0. 所以|tan x －tan y |＝tan y －tan x . 故应选B. B10．设a 1，a 2，…，a 5都是正数，b 1，b 2，…，b 5是a 1，a 2，…，a 5的任一排列，则a 1b －11＋a 2b －12＋…＋a 5b －15的最小值是( )A ．1B ．5C ．25D ．无法确定设a 1≥a 2≥…≥a 5＞0.可知a －15≥a －14≥…≥a －11，由排序原理，得a 1b －11＋a 2b －12＋…＋a 5b －15≥a 1a －11＋a 2a －12＋…＋a 5a －15≥5. 故应选B. B11．若k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱有对角面的个数为( )A．2f(k) B．k－1＋f(k)C．f(k)＋k D．f(k)＋2由n＝k到n＝k＋1时增加的对角面的个数与底面上由n＝k 到n＝k＋1时增加的对角线一样，设底面为a1a2…a k，n＝k＋1时底面为a1a2a3…a k a k＋1，增加的对角线为a2a k＋1，a3a k＋1，a4a k＋1，…，a k－1a k＋1，a1a k，共有k－1条，因此，对角面也增加了k－1个．B12．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M，当|x1|≤1，|x2|≤1时，|f(x1)－f(x2)|≤4|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1，则g(x)与M的关系是()A．g(x)M B．g(x)∈MC．g(x)∉M D．不能确定g(x1)－g(x2)＝x21＋2x1－x22－2x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)，|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤4|x1－x2|，所以g(x)∈M.故应选B.B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．若x≥1，y≥1，z≥1，xyz＝10，且x lg x·y lg y·z lg z≥10，则x＋y ＋z ＝__________.lg(x lg x ·y lg y ·z lg z )≥1⇒lg 2x ＋lg 2y ＋lg 2z ≥1，而lg 2x ＋lg 2y ＋lg 2z ＝(lg x ＋lg y ＋lg z )2－2(lg x lg y ＋lg y lg z ＋lg z lg x )＝[lg(xyz )]2－2(lg x lg y ＋lg y lg z ＋lg z lg x ) ＝1－2(lg x lg y ＋lg y lg z ＋lg z lg x )≥1， 即lg x lg y ＋lg y lg z ＋lg z lg x ≤0， 而lg x ，lg y ，lg z 均不小于0， ∴lg x lg y ＋lg y lg z ＋lg z lg x ＝0.此时，lg x ＝lg y ＝0，或lg y ＝lg z ＝0，或lg z ＝lg x ＝0. ∴x ＝y ＝1，z ＝10或y ＝z ＝1，x ＝10，或x ＝z ＝1，y ＝10， ∴x ＋y ＋z ＝12. 1214．要挖一个面积为432 m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为 3 m,4m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为__________，宽为__________．设长为x ，宽为432x ，占地面积为S ，则S ＝(8＋x )(432x ＋6)，用基本不等式求解．24 m 18 m15．已知0＜α＜π2，0＜β＜π2，M ＝1cos 2α＋1sin 2α·sin 2β·cos 2β，则M 的取值范围是__________．M ≥916．下列四个命题：①a ＋b ≥2ab ；②sin 2x ＋4sin 2x≥4；③设x ，y 都是正数，若1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值是12；④若|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，则|x －y |＜2ε.其中所有真命题的序号是__________．①不正确，a ，b 符号不定；②不正确，sin 2x ∈(0,1]，利用函数y ＝x ＋4x 的单调性可求得sin 2x ＋4sin 2x ≥5；③不正确，(x ＋y )(1x ＋9y )＝10＋y x ＋9xy ≥10＋6＝16；④正确，|x －y |＝|x －2＋2－y |≤|x －2|＋|2－y |＜ε＋ε＝2ε.④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋b ＋a －cc ≥3. ∵a 、b 、c ∈R ＋，b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋b ＋a －c c ＝b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋b c ＋a c －1≥2·3－3＝3， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 18．(本小题满分12分) 设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －5|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．(1)令y ＝|2x ＋1|－|x －5|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －6，x ≤－12，3x －4，－12＜x ＜5，x ＋6，x ≥5.作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －5|的图象，它与直线y ＝2的交点为(－8,2)和(2,2)．所以|2x ＋1|－|x －5|＞2的解集为(－∞，－8)∪(2，＋∞)． (2)由函数y ＝|2x ＋1|－|x －5|的图象可知， 当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|－|x －5|取得最小值－112.19．(本小题满分12分)设a 、b ∈(0，＋∞)且1a ＋1b ＝1，求证：对于任何n ∈N ＋，有(a ＋b )n －a n －b n ≥22n －2n ＋1成立．①n ＝1时，原不等式显然成立； ②设n ＝k 时原不等式成立，即(a ＋b )k －a k －b k ≥22k －2k ＋1， 则n ＝k ＋1时， (a ＋b )k ＋1－a k ＋1－b k ＋1＝(a ＋b )[(a ＋b )k －a k －b k ]＋ab k ＋a k b ≥(a ＋b )(22k －2k ＋1)＋ab k ＋a k b ， 由1＝1a ＋1b ≥2ab，可得ab ≥4，a ＋b ≥2ab ≥4. ∴ab k ＋a k b ≥2a k ＋1b k ＋1≥2(4)k ＋12＝2k ＋2.∴(a ＋b )k ＋1－a k ＋1－b k ＋1 ≥(a ＋b )(22k －2k ＋1)＋ab k ＋a k b ≥4(22k －2k ＋1)＋2k ＋2 ＝22(k ＋1)－2(k ＋1)＋1，即n ＝k ＋1时原不等式成立．由①②可知，对于任何n ∈N ＋原不等式成立． 20．(本小题满分12分)某自来水厂要制作容积为500 m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a、b、c.由题意，可得abc＝500，长方体水箱的表面积为S＝2bc＋2ac＋ab.由平均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥332bc·2ac·ab＝334×5002＝300，当且仅当2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5时，S＝2bc＋2ca＋ab＝300为最小，这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：图(1)进一步剪拼成图(2)的长30 m，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．(1)(2)(3)可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．21．(本小题满分12分)设x 1，x 2，x 3，…，x n 都是正实数，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝S .求证：x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2nS －x n ≥S n －1.方法1：根据柯西不等式，得 左边＝x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2n S －x n＝[(S －x 1)＋(S －x 2)＋…＋(S －x n )]×1(n －1)S (x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2n S －x n) ＝1(n －1)S[(S －x 1)2＋(S －x 2)2＋…＋(S －x n )2]×[(x 1S －x 1)2＋(x 2S －x 2)2＋…＋(x nS －x n )2]≥1(n －1)S [(S －x 1×x 1S －x 1)＋(S －x 2×x 2S －x 2)＋…＋(S －x n×x n S －x n)]2＝1(n －1)S (x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1(n －1)S ×S 2＝Sn －1＝右边．∴原不等式成立．方法2：∵a ∈R ＋，则a ＋1a ≥2，∴a ≥2－1a .∴x 2iS －x i ＝x i n －1×(n －1)x i S －x i ≥x i n －1×[2－S －x i (n －1)x i ]＝2x i n －1－S －x i (n －1)2. n 个式子相加，有x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2nS －x n ≥2x 1n －1＋2x 2n －1＋…＋2x n n －1－[S －x 1(n －1)2＋S －x 2(n －1)2＋…＋S －x n(n －1)2] ＝2S n －1－nS －S (n －1)2＝S n －1. ∴原不等式成立．方法3：x 2iS －x i ＋1(n －1)2(S －x i ) ≥2x 2iS －x i ·1(n －1)2(S －x i )＝2x i n －1.∴x 2iS －x i ≥2x i n －1－S －x i (n －1)2， ∴∑ni ＝1 x 2iS －x i ≥∑n i ＝1 2x i n －1－∑n i ＝1 S －x i (n －1)2＝2S n －1－(n －1)S (n －1)2＝S n －1. ∴原不等式成立． 22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝12a n (4－a n )，n ∈N.(1)求证：a n ＜a n ＋1＜2，n ∈N ； (2)求数列{a n }的通项公式a n . (1)证法1：用数学归纳法证明： ①当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32，∴a 0＜a 1＜2，命题正确．②假设n ＝k (k ∈N ＋)时，有a k －1＜a k ＜2，则n ＝k ＋1时，a k －a k ＋1＝12a k －1(4－a k －1)－12a k (4－a k )＝2(a k －1－a k )－12(a k －1－a k )(a k －1＋a k )＝12(a k －1－a k )(4－a k －1－a k )． 而a k －1－a k ＜0,4－a k －1－a k ＞0， ∴a k －a k ＋1＜0.又a k ＋1＝12a k (4－a k )＝12[4－(a k －2)2]＜2，∴n ＝k ＋1时命题正确．由①和②可知，对一切n ∈N 时都有a n ＜a n ＋1＜2. 证法2：用数学归纳法证明：①当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32，∴0＜a 0＜a 1＜2；②假设n ＝k (k ∈N ＋)时，有a k －1＜a k ＜2成立，令f (x )＝12x (4－x )，由f (x )在[0,2]上单调递增，所以由假设有f (a k －1)＜f (a k )＜f (2)，即12a k－1(4－a k －1)＜12a k (4－a k )＜12×2×(4－2)，也即当n ＝k ＋1时，a k ＜a k＋1＜2成立．所以对一切n ∈N ，有a n ＜a n ＋1＜2.(2)a n ＋1＝12a n (4－a n )＝12[－(a n －2)2＋4]，所以2(a n ＋1－2)＝－(a n －2)2， 令b n ＝a n －2，则b n ＝－12b 2n －1＝－12(－12b 2n －2)2＝－12·(12)2b 22n －2＝…＝－(12)1＋2＋…＋2n －1b 22n，又b 0＝－1，所以b n ＝－(12)2n－1即a n ＝2＋b n ＝2－(12)2n－1.。

评估验收卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式|x－2|<3的解集为()A．{x|x>5或x<－1}B．{x|－1<x<5}C．{x|x<－1} D．{x|x>5}解析：由|x－2|<3得－3<x－2<3，解得－1<x<5，故原不等式的解集为{x|－1<x<5}．答案：B2．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为()A．(0，2) B．(－2，0)∪(2，4)C．(－4，0) D．(－4，－2)∪(0，2)解析：1＜|x＋1|＜3⇔－3＜x＋1＜－1或1＜x＋1＜3⇔－4＜x＜－2或0＜x＜2.答案：D3．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由|x－2|＜1解得1＜x＜3.因为“1＜x＜2”能推出“1＜x ＜3”，“1＜x＜3”推不出“1＜x＜2”，所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分而不必要条件．答案：A4．不等式|x ＋log 3x |<|x |＋|log 3x |的解集为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(0，1)解析：在|a ＋b |≤|a |＋|b |中，当ab >0或至少有一者为零时取等号， 所以当|a ＋b |<|a |＋|b |时，ab <0，所以x ·log 3x <0，因为x >0，所以log 3x <0，故0<x <1.答案：D5．不等式|2x －log 2x |＜|2x |＋|log 2x |的解为( )A ．1＜x ＜2B ．0＜x ＜1C ．x ＞1D ．x ＞2解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ·log 2x ＞0，x ＞0，所以log 2x ＞0，解得x ＞1.答案：C6．不等式|x |＞2x －1的解集为( )A ．{x |x ＞2或x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜2}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D ．{x |1＜x ＜2}解析：|x |＞2x －1⇒⎩⎨⎧x ＞2x －1，x ≥0或⎩⎨⎧x ＜21－x ，x ＜0，解得x ＜1或x ＞2.答案：C7．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是() A ．3 B ．4C.92D.112解析：因为2xy ＝x ·(2y )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22， 所以上式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0.又因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋2y ≥4.当x ＝2，y ＝1时取等号，故选B.答案：B8．若实数x ，y 满足1x 2＋1y 2＝1，则x 2＋2y 2有( ) A ．最大值3＋2 2B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值6 解析：由题意知，x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＝3＋2y 2x 2＋x 2y 2≥3＋22，当且仅当x 2y 2＝2y 2x 2时，等号成立，故选B. 答案：B9．关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1的解集是空集，则a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(1，2)D ．(－∞，－1)解析：|x －1|＋|x －2|的最小值为1，故只需a 2＋a ＋1＜1，所以－1＜a ＜0.答案：B10．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＞|a －5|＋1对一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )A ．RB ．a ＞5C ．4＜a ＜6D ．4≤a ≤5解析：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ≥2 |x |·1|x |＝2， 所以|a －5|＋1＜2，即|a －5|＜1，所以4＜a ＜6.答案：C11．不等式|sin x ＋tan x |<a 的解集为N ，不等式|sin x |＋|tan x |<a 的解集为M ，则解集M 与N 的关系是( )A ．N ⊆MB ．M ⊆NC ．M ＝ND ．M N解析：|sin x ＋tan x |≤|sin x |＋|tan x |，则M ⊆N (当a ≤0时，M ＝N ＝∅)．答案：B12．若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C ．(－4，2)D ．[－4，1]解析：|x －1|＋|x ＋m |表示数轴上x 对应的点到1和－m 对应的点的距离之和，它的最小值等于|1＋m |.由题意可得|1＋m |>3，解得m >2或m <－4，故实数m 的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．不等式|x －4|＋|x －3|≤a 有实数解的充要条件是________． 解析：a ≥|x －4|＋|x －3|有解⇔a ≥(|x －4|＋|x －3|)min ＝1.答案：a ≥114．定义运算x ⊗y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤y ，y ，x ＞y ，若|m －1|⊗m ＝|m －1|，则m 的取值范围是________.解析：依题意，有|m －1|≤m ，所以－m ≤m －1≤m ，所以m ≥12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 15．已知∀x ∈R ，都有不等式log 2(4－a )＋3≤|x ＋3|＋|x －1|恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为∀x ∈R ，都有不等式log 2(4－a )＋3≤|x ＋3|＋|x －1|恒成立，所以log 2(4－a )＋3≤(|x ＋3|＋|x －1|)min ，易知|x ＋3|＋|x －1|≥4，所以log 2(4－a )≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－a >0，4－a ≤2，故实数a 的取值范围是[2，4)． 答案：[2，4)16．已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，则m 的取值范围是________．解析：f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|＞－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|＞m 恒成立．又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，于是得m ＜5，即m 的取值范围是(－∞，5)．答案：(－∞，5)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ，b ∈R ，且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4.求|a |＋|b |的最大值．解：|a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b ＋1|＋|1|≤2，|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5|≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5≤3＋2×4＋5＝16.①若ab ≥0，则|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2；②若ab <0，则|a |＋|b |＝|a －b |≤16.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝1，a ＋2b ＋4＝－4，即a ＝8，b ＝－8时，|a |＋|b |取得最大值，且|a |＋|b |＝|a －b |＝16.18．(2018·江苏卷)(本小题满分12分)若x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋2z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．解：由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)≥(x ＋2y ＋2z )2.因为x ＋2y ＋2z ＝6，所以x 2＋y 2＋z 2≥4，当且仅当x 1＝y 2＝z 2时，不等式取等号， 此时x ＝23，y ＝43，z ＝43， 所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.19．(本小题满分12分)已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.(1)解：由|x ＋1|＋|x －1|<4，得⎩⎨⎧x ≥1，2x <4或⎩⎨⎧－1≤x <1，2<4或⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－2x <4，解得－2<x <2，所以M ＝(－2，2)．(2)证明：要证2|a ＋b |<|4＋ab |，只需证4(a 2＋2ab ＋b 2)<a 2b 2＋8ab ＋16，只需证a 2b 2－4a 2－4b 2＋16>0，即证(a 2－4)(b 2－4)>0.因为a ，b ∈(－2，2)，所以a 2<4，b 2<4，所以a 2－4<0，b 2－4<0， 所以(a 2－4)(b 2－4)>0，所以原不等式成立．20．(2018·全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0，1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1.2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >12. (2)当x ∈(0，1)时，|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0，1)时|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <2a ， 所以2a≥1，故0<a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0，2]．21．(2018·全国卷Ⅲ)(本小题满分12分)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)解关于x 的不等式f (x )>2；(2)若不等式f (x )≥ax ＋a 2－112恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5，x ≥4，3x －3，－12<x <4，－x －5，x ≤－12.当x ≥4时，由x ＋5>2，得x >－3，则x ≥4；当－12<x <4时，由3x －3>2，得x >53，则53<x <4； 当x ≤－12时，由－x －5>2，得x <－7，则x <－7. 综上，不等式f (x )>2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－7或x >53. (2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5，x ≥4，3x －3，－12<x <4，－x －5，x ≤－12，画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，令y ＝ax ＋a 2－112，则y ＋112＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－112.由于函数y ＝f (x )的最小值为－92，不等式f (x )≥ax ＋a 2－112恒成立，所以y ＝ax ＋a 2－112的图象恒在y ＝f (x )的图象的下方，所以－1≤a ≤1.。