高中数学选修2-2模块综合测试题-(4)

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1、函数2x y =在区间]2,1[上的平均变化率为（ ） （A ）2 （B ）3 （B ）4 （D ）52曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为（ ）（A ）38 （B ）37 （C ）35（D ）343、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ ） （A ）e1 （B ）e1-（C ）e2 （D ）e2-4、设ai b bi a ++,,1是一等比数列的连续三项，则b a ,的值分别为（ ）（A ）21,23±=±=b a （B ）23,21=-=b a（C ）21,23=±=b a （D ）23,21-=-=b a5、方程)(04)4(2R a ai x i x ∈=++++有实根b ，且bi a z +=，则=z （ ）（A ）i 22- （B ）i 22+（C ）i 22+- （D ）i 22--6、已知三角形的三边分别为c b a ,,，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为a s (21=rc b )++；四面体的四个面的面积分别为4321,,,s s s s ，内切球的半径为R 。

类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）（A ）R s s s s V )(214321+++= （B ）Rs s s s V )(314321+++=（C ）Rs s s s V )(414321+++= （D ）R s s s s V )(4321+++=7、数列 ,4,4,4,4,3,3,3,2,2,1的第50项是（ ）（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）118、在证明12)(+=x x f 为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是小前提；④函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（ ）（A ）①② （B ）②④ （C ）①③ （D ）②③9、若R b a ∈,，则复数i b b a a )62()54(22-+-++-表示的点在（ ） （A ）在第一象限 （B ）在第二象限（C ）在第三象限 （D ）在第四象限 10、用数学归纳法证明不等式“)2(2413212111>>+++++n nn n ”时的过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（ ）（A ）增加了一项)1(21+k（B ）增加了两项)1(21121+++k k（C ）增加了两项)1(21121+++k k ，又减少了11+k ；（D ）增加了一项)1(21+k ，又减少了一项11+k ；11、如图是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致 图象，则2221x x +等于（ ） （A ）32 （B ）34 （C ）38 （D ）31212、对于函数233)(x x x f -=，给出下列四个命题：①)(x f 是增函数，无极值；②)(x f 是减函数，有极值；③)(x f 在区间]0,(-∞及),2[+∞上是增函数；④)(x f 有极大值为0，极小值4-；其中正确命题的个数为（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4班级： 姓名：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间]0,3[-上的最大值与最小值分别为：14、若i z 311-=，i z 862-=，且21111z z z =+，则z 的值为 ；15、用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 .16、物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为12-=t v （v 的单位是s m /，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为t v 81+=，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动。

高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是导学号 10510897( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2D ．y ＝x －22．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在导学号 10510898( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是导学号 10510899( )4．定义复数的一种运算z 1*z 2=|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为导学号 10510900( )A.92B.322C.32D ．945．(2016·宜春高二检测)已知函数f (x )＝sin x ＋e x ＋x 2015，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，则f 2016(x )＝导学号 10510901( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋e xC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x6．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是导学号 10510902( ) A.12 B ．－1 C ．0D ．17．(2016·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k 个格点，则称函数为k 阶格点函数．已知函数：①y ＝sin x; ②y ＝cos(x ＋π6)；③y ＝e x －1;④y ＝x 2.其中为一阶格点函数的序号为导学号 10510903( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②④8．(2016·淄博高二检测)下列求导运算正确的是导学号 10510904( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1 B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )29．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是导学号 10510905( )A ．289B ．1024C ．1225D ．137810．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a ＝导学号 10510906( )A ．64B ．32C ．16D ．811．(2016·全国卷Ⅲ理，12)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有导学号 10510907( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个12．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是导学号 10510908( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.导学号 1051090914．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________.导学号 1051091015．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：导学号 10510911 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．16．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.导学号 10510912三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·大连高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .导学号 10510913(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．18．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值.导学号 1051091419．(本题满分12分)已知A n (n ，a n )为函数y 1＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y 2＝x 的图象上的点，设c n ＝a n －b n ，其中n ∈N *.导学号 10510915(1)求证：数列{c n }既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较c n 与c n ＋1的大小．20．(本题满分12分)设函数f (x )＝x ln x .导学号 10510916 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[18，12]上的最大值和最小值．21．(本题满分12分)(2016·贵州高二检测)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….导学号 10510917(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．22．(本题满分12分)(2016·北京文，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .导学号 10510918 (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．高中数学选修2-2综合测试试题答案解析1．[答案] D[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.2． [答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.3． [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ； 又f (x )的顶点在第四象限，∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A.4．[答案] B[解析] 由题意可得z *z －＝|a ＋b i|＋|a －b i|2＝a 2＋b 2＋a 2＋(－b )22＝a 2＋b 2，∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9，由二次函数可知当a ＝32时，上式取最小值322.故选B.5．[答案] A[解析] f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2015x 2014，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ＋e x ＋2015× 2014x 2013， f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ＋e x ＋2015×2014×2013x 2012，…，∴f 2016(x )＝sin x ＋e x .6．[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7． [答案] C[解析] 对于①，注意到y ＝sin x 的值域是[－1,1]；当sin x ＝0时，x ＝k π(k ∈Z )，此时相应的整数x ＝0；当sin x ＝±1时，x ＝k π＋π2(k ∈Z )，此时没有相应的整数x ，因此函数y ＝sin x 仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y ＝cos(x ＋π6)不是一阶格点函数．对于③，令y ＝e x －1＝k (k ∈Z )得e x ＝k ＋1>0，x ＝ln(k ＋1)，仅当k ＝0时，x ＝0∈Z ，因此函数y ＝e x －1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y ＝x 2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y ＝x 2不是一阶格点函数．综上所述知选C.8．[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x)′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x )′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.9．[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.10．[答案] A[解析] y ′＝－12x －32，∴k ＝－12a －32，切线方程是y －a －12＝－12a －32(x －a )，令x ＝0，y ＝32a －12，令y ＝0，x ＝3a ，∴三角形的面积是S ＝12·3a ·32a －12＝18，解得a ＝64.11． [答案] C[解析] 由题意可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．12．[答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ， 当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1.∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上为减函数 而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6； 当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0得，t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 13． [答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.14．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立，∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0， ∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .15． [答案] 15[解析] 依题意得n 2＝10×(1＋19)2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋m (m －1)2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0，又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.16． [答案] 1－ln2[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln2.17． [解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．18． [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝3π2.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(3π2，2π)，单调减区间为(π，3π2)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (3π2)＝3π2.19． [解析] (1)证明：依题意，a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，c n ＝n 2＋1－n . 假设{c n }是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，∴2(5－2)＝2－1＋10－3. ∴25＝2＋10，产生矛盾， ∴{c n }不是等差数列．假设{c n }是等比数列，则c 22＝c 1c 3，即(5－2)2＝(2－1)(10－3)．有6＝65－32－10，产生矛盾， ∴{c n }也不是等比数列．(2)解：∵c n ＋1＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)>0，c n ＝n 2＋1－n >0， ∴c n ＋1c n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)， 0<n 2＋1<(n ＋1)2＋1， 又0<n <n ＋1，∴n 2＋1＋n <(n ＋1)2＋1＋n ＋1， ∴0<n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1，∴c n ＋1c n<1，即c n ＋1<c n . 20． [解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，令f ′(x )>0，得x >1e ，令f ′(x )<0，得0<x <1e，∴f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f (18)＝18ln 18＝38ln 12，f (12)＝12ln 12，f (1e )＝1e ln 1e ＝－1e ， 又12ln 12<38ln 12， ∴求f (x )在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e .21． [解析] (1)由题意，当n ≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a(－2)n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a >0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a ·(－12)n －1＝a(－2)n －1. 方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a ·(－12)1－1，结论a n ＝a (－2)n －1成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，a n ＝a (－2)n －1成立，即a k＝a ·(－12)k －1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a ·(－12)k －1＝a ·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a(－2)n －1成立． 由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a ·(－12)n －1，n ∈N *.22． [解析] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c >0且c －3227<0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈(－2，－23)，x 3∈(－23，0)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈(0，3227)时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)当Δ＝4a 2－12b <0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b >0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点． 当Δ＝4a 2－12b ＝0时， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增；所以f (x )不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b >0. 故a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b >0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件．因此a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．。

高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。

2.复数就像向量，有大小和方向。

3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。

4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。

改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。

一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。

②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。

③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。

其中类比得到的结论正确的是：A。

①③B。

②④C。

②③D。

①④2.删除明显有问题的段落。

3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。

14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。

4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。

0)和(2.+∞)。

2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。

又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。

新课改高二数学选修2-2模块综合测试题（本科考试时间为120分钟，满分为100分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30分，试卷Ⅱ分值为70分。

第I 卷一．选择题（本大题有10小题，每小题3分,共30分） 1．在“近似替代”中，函数在区间上的近似值（ ）)(x f ],[1+i i x x （A ）只能是左端点的函数值（B ）只能是右端点的函数值)(i x f )(1+i x f （C ）可以是该区间内的任一函数值）（D ）以上答案均正确()∈i i f ξξ(],[1+i i x x 2．已知，其中m 为实数，i 为虚数单位，若，则m 的22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，120z z -=值为 （ ）(A) 4(B)(C) 6(D) 01-3．已知,下列各式成立的是 （ ）1,1x y <<（A ） （B ） （C ） （D ）2x y x y ++->221x y +<1x y +<1xy x y+>+4．设f (x )为可导函数，且满足=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是(1)(1)lim2x f f x x→--（ ）（A ）2（B ）－1（C ）（D ）－2125．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）必要条件6．函数在处有极值10, 则点为（ ）223)(a bx ax x x f +--=1=x ),(b a （A ）（B ）（C ） 或 （D ）不存在)3,3(-)11,4(-)3,3(-)11,4(-7．，则的最小值为（ ）1x y z ++=22223x y z ++(A)1(B)(C)(D)34611588．曲线， 和直线围成的图形面积是 （ ）xy e =xy e -=1x =(A)(B)(C)(D) 1e e --1e e -+12e e ---12e e -+-9．点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（ ）P x x y ln 2-=P 2y x =-(A) １ (B) (C) ２ (D) 10．设（），当时，的最大值为，则的最小值为2()f x x ax b =++,a b R ∈[]11,x ∈-()f x m m （ ）(A) (B) １ (C) (D) ２1232第I 卷二．填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）11．定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数a b ad bc c d =-z 112z zi-=i．z =12．如图,数表满足:⑴第行首尾两数均为;⑵表中递推关系类似杨辉三角,n n 记第行第2个数为.根据表中上下两行数据关系,(1)n n >()f n 可以求得当时, ．2n …()f n =13．设函数f (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f (x )在［0,1］上的最大值为．14．设，，，且，，则的i a R +∈i x R +∈12,,i n = 222121n a a a ++= 222121n x x x ++= 1212,,,n na a a x x x 值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是 ．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1三 解答题（本大题共5小题，共54分）15（本小题满分10分）(1)求定积分的值；(2)若复数，，1222x dx --⎰12()z a i a R =+∈234z i =-且为纯虚数，求12z z 1z12 234 34 7 7 4… … …16（本小题满分10分）现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，求高为多少？l 17（本小题满分12分）已知函数11()ln()x f x x x =+-+（1）求的单调区间；()f x （2）求曲线在点（1，）处的切线方程；()y f x =1()f （3）求证：对任意的正数与，恒有．a b 1ln ln b a b a-≥-18（本小题满分10分）（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）（1）设，，，且i a R +∈i b R +∈12,,i n = 12122n n a a a b b b ++=++= 求证：2221211221n n na a a ab a b a b +++≥+++ （2）设（）求证：i a R +∈12,,i n = 21212222122334122()()n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++≤++++++++ 19（本小题满分12分）设数列满足{}n a 211123,,,,,n n n a a na n +=-+= （1）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；12a =234,,a a a {}n a （2）当时，证明对所有，有13a ≥1n ≥ ①2n a n ≥+②1211111112n a a a ++≤+++新课改高二数学选修2-2模块综合测试题参考答案一 选择题1 C2 B3 D4 D5 A6 B7 C8 D9 B 10 A二 填空题11 1-i 1213 14 ③⑤222n n -+242()n n n ++三 解答题15 (1)（2）10316 当高时， h =3max V =17 （1）单调增区间 ，单调减区间0(,)+∞10(,)- （2）切线方程为 44230ln x y -+-=（3）所证不等式等价为10ln a bb a+-≥而，设则，由（1）结论可得，1111()ln()f x x x =++-+1,t x =+11()ln F t t t=+-由此，所以即011()(,)(,)F t +∞在单调递减，在单调递增，10min ()()F t F ==10()()F t F ≥=，记代入得证。

一、选择题1．给出下列函数：①())ln f x x =；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．设113a x dx -=⎰，1121b x dx =-⎰，130c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a3．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 4．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A．．9-．323 D ．3535．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 6．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J7．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3-B ．4ln3+C ．4ln3-D ．3298．已知函数()[](]sin ,,00,1x x f x x π⎧∈-=∈，则()1f x dx π-=⎰（ ） A ．2π+ B ．2πC ．22π-+D ．24π-9．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（ ）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值10．10)x dx ⎰=（ ）A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 11．下列积分值最大的是（ ） A ．222sin +1x x dx -⎰（）B ．()22cos x dx ππ--⎰C ．224x dx --⎰D ．11edx x12．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22二、填空题13．定积分211dx x⎰的值等于________. 14．定积分21d 1x x ⎰-的值为__________．15．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.16．设函数()f x 的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数()sin f x nx =在0,2n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为1n()*n N ∈，则函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为__________．17．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．18．已知平面区域(){}2,|04x y y x Ω=≤≤-，直线:2l y mx m =+和曲线2:4C y x =-有两个不同的交点，直线l 与曲线C 围成的平面区域为M ，向区域Ω内随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2(),12P M ππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是___________. 19．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________．20．曲线2y x 和曲线y x =________．三、解答题21．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=， 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由. 22．如图，函数()sin()f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ，M 为QR 的中点，且M 的纵坐标为34-.（1）求()f x 的解析式；（2）求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积. 23．梯形ABCD 顶点B 、C 在以AD 为直径的圆上，AD =2米，(1)如图1，若电热丝由AB ，BC ，CD 这三部分组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；(2)如图2，若电热丝由弧,AB CD 和弦BC 这三部分组成，在弧,AB CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．24．一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程? 25．已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R. (1)当a ＝4时，求f (x )的极值点；(2)讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间．26．已知函数()xae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aaxx a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足 故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．A解析：A 【解析】借助定积分的计算公式可算得1121330033|22a x dx x -===⎰，1131220022111|1333b x dx x =-=-=-=⎰，13410011|44c x dx x ===⎰，所以a b c >>，应选答案A 。

一、选择题1．给出下列函数：①()()2ln 1f x x x =+-；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（ ）A ．10B ．11C ．12D ．133．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．24．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 5．3侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．23B ．43C ．23D ．236．22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 17．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．83B ．73C ．53D ．438．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．29．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．50 10．已知10(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）A ．1,9B ．1,1,9C ．1,[1,)9D ．()1,+∞11．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（ ） A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．23二、填空题13．若112lim 22n nn n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.14．曲线,,0x y e y e x ===围成的图形的面积S =______15．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________． 16．已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________． 17．定积分()12xx e dx +=⎰__________．18．曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________.19．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．20．若，则的值是__________．三、解答题21．已知二次函数()f x 满足(0)0f =，且对任意x 恒有(1)()22f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()'()g x f x f x λ=-，其中'()f x 为()f x 的导函数.若对任意[0,1]x ∈，函数()y g x =的图象恒在x 轴上方，求实数λ的取值范围.22．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()(010)25kc x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值. 23．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围. 24．计算曲线223y x x =-+与直线3y x所围图形的面积．25．在(332x x11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，求1x α⎰d x26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aax x a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足 故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．D解析：D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选：D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．3．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 4．B解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．5．B解析：B 【解析】设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2ah =，底面中心到顶点的距离2d =，由勾股定理可得2221()()22a a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积21242323V =⨯⨯=，故应选答案B ．6．B解析：B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.7．A解析：A 【解析】 试题分析：()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积()2238323S x dx =-=⎰.考点：1、切线方程；2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()22320328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰；第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.8．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e ++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2x f x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线9．B解析：B 【解析】由定积分的物理意义，得，即力做的功为46．考点:定积分的物理意义．10．C解析：C 【分析】本题可以先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设abt ，则312t a b，再然后根据构造法得出a 、b 为方程23102t xx t 的根，最后根据判别式即可得出结果． 【详解】112(31)()(33)ax x b dx ax abx x b dx 1223331()02222abx x ab ax bx a b =+++=+++=，即3210ab a b，设ab t ，则312t a b，a 、b 为方程23102t xx t 的根，有231402t t ，解得19t 或1t ≥， 所以1,[1,)9a b ，故选C ．【点睛】本题考查定积分的运算法则以及构造法，能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键，考查韦达定理的使用，是中档题．11．B解析：B 【解析】由31x x=，得1x =±，则图象的交点为(1,1)--，(1,1) ∵()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∴根据对称性可得函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积为143401141111|ln |ln 42ln 201444x dx dx x x x +=+=+=+⎰⎰ 故选B12．D解析：D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BE ⊥平面ABCD ，2BE =，则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】利用数列的极限的运算法则转化求解即可【详解】解：当|t|≥2时可得可得t ＝﹣2当|t|＜2时可得：综上可得：实数t 的取值范围是：﹣22）故答案为﹣22）【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的 解析：[)2,2-【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解即可． 【详解】解：当|t |≥2时，n+1nn n-1n 2-t lim =22+t→∞，可得2n 22()11t lim 2121n t t t→∞⨯--==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，可得t ＝﹣2． 当|t |＜2时，n+1nn n-1n 2-t lim =22+t→∞可得： 22()2lim 211?()2n n tt t →∞+=+ ， 综上可得：实数t 的取值范围是：[﹣2，2）． 故答案为[﹣2，2）． 【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．14．【解析】【分析】先求出两曲线的交点再由面积与定积分的关系利用定积分即可求解【详解】由题意令解得交点坐标为所以曲线围成的图形的面积【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积其中解答中根据题设中的 解析：1【解析】 【分析】先求出两曲线,x y e y e ==的交点，再由面积与定积分的关系，利用定积分即可求解． 【详解】由题意，令x y ey e=⎧⎨=⎩，解得交点坐标为(1,)e ， 所以曲线,,0xy e y e x ===围成的图形的面积110()()|1x xS e e dx ex e =-=-=⎰．【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题设中的条件建立面积的积分表达式，利用定积分的计算准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2解析：2 【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积ππsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰，故答案为2.16．【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填解析：90,8⎛⎫⎪⎝⎭【解析】2()32f x tx x -'=+，由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根，即2320tx x -+=在()0,+∞有两个不等根，所以302980tt ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩，解得908t <<，填90,8⎛⎫⎪⎝⎭ 17．e 【解析】点睛：1求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围从而确定积分的上下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和即各积分解析：e 【解析】1212120(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．18．【解析】试题分析：联立交点所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域面积为考点：1定积分的应用---求曲边梯形的面积；2微积分基本定理【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图在直角坐标系中画出直 解析：323【解析】 试题分析：联立2{230y x x y =--=,交点(1,1)A -,(9,3)B ,所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域,面积为322332111132(23)(3)|(399)(13)333S y y dy y y y --=+-=+-=+---+=⎰.考点：1.定积分的应用---求曲边梯形的面积；2.微积分基本定理.【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出直线或曲线的大致图象；②联立方程，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示为若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案.由于本题中，若对x 进行定积分，2,y x y x ==±，有些麻烦，这里就转化为对y 进行定积分，要容易很多.19．或【解析】试题分析：展开后第二项系数为时时考点：1定积分；2二项式定理解析：3或73【解析】试题分析：展开后第二项系数为233122a a -=-∴=±，1a =时3121|33x -==，1a =-时 31217|33x --== 考点：1．定积分；2．二项式定理20．2【解析】试题分析：∵易得故答案为考点：定积分的计算解析：2 【解析】 试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.三、解答题21．（1）()2f x x x =+；（2）{|0}λλ<【解析】分析：（1）设2()f x ax bx c =++，代入已知，由恒等式知识可求得,,a b c ； （2）由（1）得()g x ，题意说明()0<g x 在[0,1]x ∈上恒成立，由分离参数法得221x x x λ+<+，问题转化为求22([0,1])21x x x x +∈+的最小值． 详解：（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，()00f =，0c ∴=. 于是()()()()22111f x f x a x b x ax bx +-=+++--222ax a b x =++=+.解得1a =，1b =.所以()2f x x x =+. （2）由已知得()()221g x x x x λ=+-+ 0>在[]0,1x ∈上恒成立. 即221x x x λ+<+在[]0,1x ∈上恒成立. 令()221x x h x x +=+，[]0,1x ∈ 可得()()()()()22222212221'02121x x x x x h x x x +-+++==>++. ∴函数()h x 在[]0,1单调递增，∴ ()()min 00h x h ==.∴ λ的取值范围是{|0}λλ<.点睛：本题考查用导数研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题通常伴随着考查转化与化归思想，例如常用分离参数法化为()()g h x λ≤，这样只要求得()h x 的最小值min ()h x ，然后再解min ()()g h x λ≤，即得λ范围．22．（1）800()4(010)25f x x x x =+≤≤+；（2）当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元.【解析】试题分析：（I ）根据c （0）=8计算k ，从而得出f （x ）的解析式；（II ）利用基本不等式得出f （x ）的最小值及等号成立的条件．试题（1）当0x =时，()085k c ==，∴40k =. 由题意知，()4020425f x x x ⨯=++，即()()800401025f x x x x =+≤≤+. （2）∵()()800401025f x x x x =+≤≤+∴()()21600'425f x x -=++，令()'0f x =，即()242516000x +-=， ∴7.5x =. 当[)0,7.5x ∈时，()'0f x <，当(]7.5,10x ∈时，()'0f x >，当7.5x =时，()f x 取得最小值. ()min 80047.57027.55f x =⨯+=⨯+. 所以，当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元. 23．(Ⅰ)3a=-,2b =-；(Ⅱ)[]4,16-；(Ⅲ)124t ≤≤ 【解析】试题分析：(Ⅰ)由导函数研究原函数切线的方法得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得3a =-,2b =-；(Ⅱ)将不等式恒成立的问题分类讨论可得实数t的取值范围是124t ≤≤+ 试题（Ⅰ）()232f x x ax '=+ ∴()1323f a =+=-' ∴3a =- ∴()323f x x x =-因为()113f b =-= ∴2b =- （Ⅱ）由（Ⅰ）得()323f x x x =- ∴()236f x x x '=- 令()0f x '= 解得120,2x x ==()()()()14,00,24,416f f f f -=-==-=∴()f x 的值域是[]4,16- （Ⅲ）因为[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立∴()22160tx t x -++≥在[]1,4上恒成立，令()()2216h x tx t x =-++ 对称轴为1t x t +=因为0t >∴11t x t+=> ∴()21441240t t t t +⎧<⎪⎨⎪∆=+-≤⎩或()()144168160t t h t t +⎧≥⎪⎨⎪=-++≥⎩ 解得：t的取值范围为124t ≤≤+ 24．92． 【解析】【详解】试题分析：利用定积分计算曲线所围成面积，先画出图象，再找到图象交点的横坐标，然后写出定积分式子，注意被积函数为上方的图象对应的函数减图象在下方的函数． 试题由23{23y x y x x =+=-+解得03x x ==及．从而所求图形的面积332200[(3)(23)](3)S x x x dx x x dx =+--+=-+⎰⎰3230139=|322x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 考点：定积分． 25．67 【分析】 先求()332x x -11展开式的通项公式，其中有2项有理项，确定概率1α6=，根据定积分的计算法则，先求出被积函数x α的原函数，再分别将积分上下限代入求差，即可求出结果.【详解】解：T r ＋1＝11r C ·(3x )11－r ·()32x -r ＝11r C ·311－r ·(－2)r ·，r ＝0,1，…，11，共12项其中只有第4项和第10项是有理项，故所求概率为21α126==. 111716600066=|=77x dx x dx x α∴=⎰⎰ 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项式展开式的特定项问题、考查古典概型的概率公式，考查定积分的计算.解题关键是熟练应用二项式展开式的通项公式，找出符合条件的项数.26．（1）1m ≤-；（2）4a ≤.【解析】试题分析：(1)求导，利用导数对t 的范围进行分类讨论求最值.(2)本小题实质是22ln 3x x x ax ≥-+-在()0,x ∈+∞上恒成立，进一步转化为3 2ln a x x x ≤++在()0,x ∈+∞上恒成立,然后构造函数()32ln (0)h x x x x x=++>利用导数研究h(x)的最小值即可.注意不要忽略x>0的条件,导致求导数的方程时产生增根. 试题（1）()f x 定义域为()0,+∞，()()ln 1f x x m '=++，因为()f x 在()1,+∞上为单调函数，则方程()ln 10x m ++=在()1,+∞上无实根. 故10m +≥，则1m ≤-.（2）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x ≤++，对一切()0,x ∈+∞恒成立. 设()32ln (0)h x x x x x =++>，则()()()231'x x h x x +-=， 当()()()0,1,'0,x h x h x ∈<单调递减，当()()()1,,'0,x h x h x ∈+∞>单调递增.()h x 在()0,+∞上，有唯一极小值()1h ，即为最小值.所以()()min 14h x h ==，因为对任意()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成成立，故4a ≤.点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.。

高中数学选修2-2综合测试题(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3iD ．1－3i2．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B ．锐角 C.π2D ．钝角3．用反证法证明命题“若函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，那么|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”时，反设正确的是( )A ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都不小于12B ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12C ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有两个小于12D ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有一个小于124．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a5.由①y ＝2x ＋5是一次函数；②y ＝2x ＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①6.如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r)×2π×R ＋r2，所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M ＝{}(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2(其中0<r<d)绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A ．2πr 2dB ．2π2r 2dC ．2πrd 2D ．2π2rd 27．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 015的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D ．8 1258．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2＝a 2，可以类比得到复数z 的性质：|z |2＝z 2；③方程ax 2＋bx ＋c ＝0，(a ，b ，c ∈R ，且a ≠0)有两个不同的实数根的条件是b 2－4ac >0，类比可得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，(a ，b ，c ∈C 且a ≠0)有两个不同的复数根的条件是b 2－4ac >0；④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到的结论正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①④9．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ＞B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ≤B10．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii，则|z |＝________.12．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为________． 13．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示：第n 个正方形数是________．14．若O 为△ABC 内部任意一点，连接AO 并延长交对边于A ′，则AO AA ′＝S 四边形ABOCS △ABC，同理连接BO ，CO 并延长，分别交对边于B ′，C ′，这样可以推出AO AA ′＋BO BB ′＋COCC ′＝________；类似地，若O 为四面体ABCD 内部任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO 并延长，分别交相对的面于A ′，B ′，C ′，D ′，则AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＋DODD ′＝________.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)已知F (x )＝1x－t (t －4)d t ，x ∈(－1，＋∞)．(1)求F (x )的单调区间； (2)求函数F (x )在[1,5]上的最值．16．(本小题满分12分)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝13是函数f (x )的极值点，是否存在实数b ，使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点？若存在，请求出b 的取值范围；若不存在，试说明理由．18．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n. (1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．高中数学选修2-2综合测试题参考答案1．选D ∵z ＝10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.2．选D f ′(x )＝e x ·cos x ＋e x ·(－sin x )＝e x (cos x －sin x )．当x ＝1时，cos x －sin x ＜0，故f ′(1)＜0，所以倾斜角为钝角．3．选B “|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”的反设为“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12”． 4．解析：选A 由题意可得a ＝⎠⎛01x －13d x ＝x 113－＋－13＋110＝32x 2310＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－x 323210＝1－⎝⎛⎭⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 4410＝14.综上，a ＞b ＞c .5．选B 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y ＝2x ＋5是一次函数(小前提)，y ＝2x ＋5的图象是一条直线(结论)．6．选B 平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体类似于为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr 2)为底，以O 为圆心、d 为半径的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .7．选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝8 125， 58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…∴5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 015)＝f (502× 4＋7)＝f (7)．∴52 015与57的末四位数字相同，均为8 125.8．选D ②中|z |2∈R ，但z 2不一定是实数．③中复数集不能比较大小，不能用b 2－4ac 来确定根的个数．9．选Cx 1＋x ＋y 1＋y ＞x 1＋x ＋y ＋y1＋x ＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y.10．选C 由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值可知x <－2，f ′(x )<0，则xf ′(x )>0；x >－2，f ′(x )>0，则－2<x <0时，xf ′(x )<0，x >0时，xf ′(x )>0.11．解析：∵z ＝3＋i i －i ＝(3＋i )(－i )－i 2－i ＝－i 2－3i －i ＝1－4i ，∴z ＝1＋4i.∴|z |＝12＋42＝17.答案：1712．解析：∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a .∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ×1＋13＝13＋a ×1＋b ， k ＝3×12＋a ，解得a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1. 答案：113．解析：观察前5个正方形数，正好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 答案：n 214．解析：根据面积公式，在△ABC 中， AO AA ′＝AA ′－OA ′AA ′＝1－OA ′AA ′ ＝1－S △OBC S △ABC ＝S 四边形ABOC S △ABC ，所以AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＝3－S △OBC ＋S △OAC ＋S △OABS △ABC＝3－S △ABCS △ABC＝2.根据体积分割方法，同理可得在四面体ABCD 中， AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＋DODD ′＝4－V O -ABD ＋V O -ACD ＋V O -ABC ＋V O -BCDV A -BCD＝4－V A -BCDV A -BCD ＝3.答案：2 3 15．解：F(x )＝1x⎰－ (t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 21x -＝13x 3－2x 2－⎝⎛⎭⎫－13－2 ＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4； 由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4， ∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)和(4，＋∞)， 单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F(x )在[1,4]上递减，在[4,5]上递增，∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253.16． 证明：如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC2.所以1AD 2＝1AB 2＋1AC2.猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想四面体A -BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 17．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0， ∴－a3≤1，且f ′(1)＝2a ≥0.∴a ≥0.故实数a 的取值范围为[0，＋∞)． (2)由题意知f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，即13＋2a3－3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3＋4x 2－3x .若函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，即方程x 3＋4x 2－3x ＝bx 恰有3个不等实根．∵x ＝0是其中一个根，∴方程x 2＋4x －(3＋b )＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b )>0，－(3＋b )≠0.∴b >－7，且b ≠－3.∴满足条件的b 存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)． 18．解：(1)由a n ＋1＝12－a n 可得a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝12－12－a ＝2－a3－2a，a 4＝12－a 3＝12－2－a 3－2a＝3－2a 4－3a . (2)推测a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝a ， 右边＝(1－1)－(1－2)a 1－(1－1)a＝a ，结论成立．②假设n ＝k 时等式成立，有a k ＝(k －1)－(k －2)ak －(k －1)a ，则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝12－a k＝12－(k －1)－(k －2)a k －(k －1)a＝k －(k －1)a2[k －(k －1)a ]－[(k －1)－(k －2)a ]＝k －(k －1)a(k ＋1)－ka.故当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，对任何n ∈N *都有a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a.。

一、选择题1．计算211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（ ）A ．34B ．3ln 22+ C ．55ln 22+ D ．3ln 2+2．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-3．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-24．设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（ ）A ．240B ．240-C ．60-D ．605．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A ．23 B ．923- C ．323 D ．3536．324xdx -=⎰（ ）A ．213 B ．223 C ．233 D ．2537．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．83B ．73C ．53D ．438．若在R 上可导,,则( )A ．B ．C ．D ．9．121(1)x x dx --=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π 10．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 11．已知402cos 2d t x x π=⎰，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那么输出的n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．23二、填空题13．计算 121dx x--⎰=_____________． 14．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为__________．15．12021sin x dx xdx π--=⎰⎰______16．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______． 17．由3x π=-，3x π=，0y =，cos y x =四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．18．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.19．1202x xdx -+=⎰__________20．定积分120124x x dx π⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰的值______. 三、解答题21．已知函数f （x ）=x 3+32x 2+mx 在x=1处有极小值， g （x ）=f （x ）﹣23x 3﹣34x 2+x ﹣alnx ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有1212()()1g x g x x x ->-恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 22． 求曲线2yx 和直线y x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．23．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-. （1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m ≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围. 24．已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值；（II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+12x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围. 25．已知函数()121f x x x a =+--+ （1）当0a =时，解不等式()0f x ≥；（2）若二次函数2814y x x =-+-的图象在函数()y f x = 的图象下方，求a 的取值范围·26．已知()[](]22122f x 1x 24x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，，，，，求k 的值，使()3k40f x dx 3=⎰.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据牛顿莱布尼茨公式，即可代值求解. 【详解】根据牛顿莱布尼茨公式211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2211()2x lnx =+1142122ln ln ⎛⎫=⨯+-+ ⎪⎝⎭ 322ln =+. 故选：B. 【点睛】本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用，属基础题.2．A解析：A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。

高二数学选修2-2模块综合测试题（本科考试时间为120分钟，满分为150分）一．选择题（本大题有10小题，每小题5分,共50分）1．在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ）（A ）只能是左端点的函数值)(i x f （B ）只能是右端点的函数值)(1+i x f （C ）可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）（D ）以上答案均正确2．已知22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，，其中m 为实数，i 为虚数单位，若120z z -=，则m 的值为 ( ) (A) 4(B) 1-(C) 6(D) 03．已知1,1x y <<,下列各式成立的是 （ ）（A ）2x y x y ++-> （B ）221x y +< （C ）1x y +< （D ）1xy x y +>+ 4．设f (x )为可导函数，且满足0(1)(1)lim2x f f x x→--=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是（ ）（A ）2 （B ）－1 （C ）12（D ）－2 5．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0” 的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）必要条件 6．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ） （A ）)3,3(- （B ）)11,4(- （C ） )3,3(-或)11,4(- （D ）不存在 7．1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 （ ）(A)1 (B)34 (C)611 (D)588． 曲线xy e =，x y e -= 和直线1x =围成的图形面积是 （ ）(A)1e e -- (B) 1e e -+ (C) 12e e --- (D) 12e e -+-9．点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（ ）(A) １ (B)(C) ２ (D)10．设2()f x x ax b =++（,a b R ∈），当[]11,x ∈-时，()f x 的最大值为m ，则m 的最小值为 （ ） (A)12 (B) １ (C) 32(D) ２ 二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分） 11．定义运算a b ad bc c d=-,若复数z 满足112zzi-=,其中i 为虚数单位,则复数z = ．12．如图,数表满足:⑴第n 行首尾两数均为n ;⑵表中递推关系类似杨辉三角, 记第(1)n n >行第2个数为()f n .根据表中上下两行数据关系, 可以求得当2n …时,()f n = ．13．设函数f (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f (x )在［0,1］上的最大值为 ．14．设i a R +∈，i x R +∈，12,,i n =L ，且222121n a a a ++=L ，222121n x x x ++=L ，则1212,,,n na a a x x x L 的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是 ．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1三 解答题（本大题共6小题，共80分）15、（本小题12分）已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z ． 12 234 3 4 7 7 4 … … …16（本小题满分14分） (1) 求定积分1222x dx --⎰的值；(2) (2)若复数12()z a i a R =+∈，234z i =-，且12z z 为纯虚数，求1z17（本小题满分12分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。

高中数学选修2-2模块测试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”， 上面推理的错误是（ ）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错2．设O 是原点，向量OA OB ，对应的复数分别为2332i i --+，，那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i - 3．函数x x x f ln )(=，则（ ）A ．在(0)∞，上递增B ．在(0)∞，上递减C ．在1(0)e ，上递增 D ．在1(0)e，上递减 4．如右图，阴影部分面积为（ ） A ．[()()]ba f x g x dx -⎰B ．[()()][()()]c bacg x f x dx f x g x dx -+-⎰⎰C ．[()()][()()]c bacf xg x dx g x f x dx -+-⎰⎰D ．[()()]bag x f x dx -⎰5．证明：2111111(1)22342n n n n+<+++++<+>，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1 B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 6．42xe dx -⎰的值等于（ ）A ．42e e -- B ．42e e + C ．422e e +- D ．422e e -+-7．函数2sin(2)y x x =+导数是（ ）A ．2cos(2)x x + B ．22sin(2)x x x + C ．2(41)cos(2)x x x ++ D ．24cos(2)x x +8．抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与其平行直线0bx y c ++=间的距离是（ ）A ．24B ．22C ．322D ．29．'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +>二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11．若复数()()22563m m m m i -++-是纯虚数，则实数m =_________． 12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是_________． 13．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '-=_________．14．已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是_________．15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为216l ”，可猜想关于长方体的相应命题为：．三、解答题（共6小题，共75分）16．（本小题满分10分）已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求a b +的值．17．（本小题满分11分）设2(0)()cos 1(0)x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ≤，，试求π21()f x dx -⎰．18．（本小题满分12分）设a b c ，，均为大于1的正数，且10ab =．求证：log log 4lg a b c c c +≥． 19．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，113a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍*()n ∈N ． （1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明． 20．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2f x x x =+． （1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值； （2）求证：在区间(1)+∞，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方．21．（本小题满分14分）已知函数3()31f x x ax =+-，()()5g x f x ax '=--，其中()f x '是()f x 的导函数． （1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；（2）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADDBDCCCDC二、填空题11．2 12．1秒或2秒 13．3 14．12a <≤15．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为236S ⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题 16．解：2i 33i 3i1i 2i 2iz +--===-++，2(1i)(1i)1i a b ∴-+-+=+，()(22i)1i a b ∴++--=+，1a b ∴+=． 17．解：ππ02211()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰π0221(cos 1)x dx x dx -=+-⎰⎰1π4π13232=+-=-． 18．证明：由于1a >，1b >，故要证明log log lg a b c c c +4≥， 只需证明lg lg 4lg lg lg c cc a b+≥，又1c >，lg 0c >， 所以只需证明11lg lg a b +4≥，即lg lg 4lg lg a b a b+≥． 因为10ab =，所以lg lg 1a b +=，故只需证明14lg lg a b≥．①由于1a >，1b >，所以lg 0a >，lg 0b >，所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<= ⎪⎝⎭≤．即①式成立，所以原不等式成立．19．解：（1）由已知113a =，123(21)n n a a a a n a n ++++=-，分别取2345n =，，，，得2111153515a a ===⨯， 312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111()4491199a a a a a =+++==⨯，所以数列的前5项是113a =，2115a =，3135a =，4163a =，5199a =；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+．下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立． ②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+．那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立．由①和②知，对一切*n ∈N ，都有1(21)(21)n a n n =-+成立．20．（1）解：由已知1()f x x x'=+，当[1e]x ∈，时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[1e]，上单调递增， 所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2e (e)12f =+，1(1)2f =， 所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2e 12+，最小值为12； （2）证明：设2312()ln 23F x x x x =+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=．因为1x >，所以()0F x '<，所以函数()F x 在区间(1)+∞，上单调递减，又1(1)06F =-<，所以在区间(1)+∞，上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<， 所以在区间(1)+∞，上函数()f x 的图象在函数32()3g x x =图象的下方．21．解：（1）由题意，得22()335(3)35g x x ax a x a x =-+-=-+-， 设2()(3)35a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤．对11a -≤≤中任意a 值，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，(1)0(1)0ϕϕ<⎧∴⎨-<⎩，，即2232080x x x x ⎧--<⎪⎨3+-<⎪⎩，，解得213x -<<．故213x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <． （2）22()33f x x m '=-，①当0m =时，3()1f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点． ②当0m ≠时，列表：()()f x f m ∴==极小．又()f x 的值域是R ，且在()m +∞，上单调递增，∴当x m >时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点； 当x m <-时，恒有()()f x f m -≤．由题意，得()3f m -<，即3221213m m m -=-<，解得33(20)(02)m ∈-，，．综上，m 的取值范围是33(22)-，．极大值最小值。

选修2-2综合测试题2一、选择题1．在数学归纳法证明“1211(1)1n na a a a a n a+*-++++=≠∈-N ，”时，验证当1n =时，等式的左边为（ ） Ａ．1Ｂ．1a -Ｃ．1a +Ｄ．21a -2．已知三次函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在()x ∈-+，∞∞上是增函数，则m 的取值范围为（ ）Ａ．2m <或4m > Ｂ．42m -<<- Ｃ．24m << Ｄ．以上皆不正确3．设()()sin ()cos f x ax b x cx d x =+++，若()cos f x x x '=，则a b c d ，，，的值分别为（ ） Ａ．1，1，0，0Ｂ．1，0，1，0Ｃ．0，1，0，1Ｄ．1，0，0，14．已知抛物线2y ax bx c =++通过点(11)P ，，且在点(21)Q -，处的切线平行于直线3y x =-，则抛物线方程为（ ） Ａ．23119y x x =-+Ｂ．23119y x x =++ Ｃ．23119y x x =-+Ｄ．23119y x x =--+5．数列{}n a 满足1120212112n n n n na a a a a +⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，，，，≤≤≤若167a =，则2004a 的值为（ ）Ａ．67Ｂ．57Ｃ．37Ｄ．176．已知a b ，是不相等的正数，2a b x +=，y a b =+，则x ，y 的关系是（ ）Ａ．x y > Ｂ．y x >Ｃ．2x y >Ｄ．不确定7．复数2()12m iz m i-=∈-R 不可能在（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限8．定义A B B C C D D A ****，，，的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（ ）的运算的结果Ａ．B D *，A D *Ｂ．B D *，A C * Ｃ．B C *，A D *Ｄ．C D *，A D *9．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）Ａ．a ，b 都能被5整除 Ｂ．a ，b 都不能被5整除Ｃ．a 不能被5整除 Ｄ．a ，b 有1个不能被5整除 10．下列说法正确的是（ ）Ａ．函数y x =有极大值，但无极小值 Ｂ．函数y x =有极小值，但无极大值 Ｃ．函数y x =既有极大值又有极小值 Ｄ．函数y x =无极值11．对于两个复数12α=+，12β=-，有下列四个结论：①1αβ=；②1αβ=；③1αβ=；④331αβ+=．其中正确的个数为（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．412．设()f x 在[]a b ，上连续，则()f x 在[]a b ，上的平均值是（ ） Ａ．()()2f a f b + Ｂ．()ba f x dx ⎰Ｃ．1()2baf x dx ⎰ Ｄ．1()baf x dx b a -⎰ 二、填空题13．若复数222log (33)log (3)z x x i x =--+-为实数，则x 的值为 ． 14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006年圆中有实心圆的个数为 ．15．函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>在区间[12]-，上的最大值为3，最小值为29-，则a ，b 的值分别为 ．16．由24y x =与直线24y x =-所围成图形的面积为 ． 三、解答题17．设n *∈N 且sin cos 1x x +=-，求sin cos n n x x +的值．（先观察1234n =，，，时的值，归纳猜测sin cos n n x x +的值．） 18．设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=， （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；（2）证明：对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根．19．设0t ≠，点(0)P t ，是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．（1）用t 表示a b c ，，；（2）若函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，求t 的取值范围．20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a b c >>，且0a b c ++=，则21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x ，(00.048)x ∈，，则当x 为多少时，银行可获得最大收益？22．已知函数()0)f x x >，数列{}n a 满足1()a f x =，1()n n a f a +=．（1）求234a a a ，，；（2）猜想数列{}n a 的通项，并予以证明． 参考答案一、选择题：CCDAC,BABBBD二、填空题：13、4， 14、61， 15、2,3 16、9 17、解：当1n =时，sin cos 1x x +=-； 当2n =时，有22sin cos 1x x +=；当3n =时，有3322sin cos (sin cos )(sin cos sin cos )x x x x x x x x +=++-，而sin cos 1x x +=-， 12sin cos 1x x +=∴，sin cos 0x x =． 33sin cos 1x x +=-∴． 当4n =时，有4422222sin cos (sin cos )2sin cos 1x x x x x x +=+-=． 由以上可以猜测，当n *∈N 时，可能有sin cos (1)n n n x x +=-成立．18、解：（1）设实数根为a ，则2(tan )(2)0a i a i θ-+-+=， 即2(tan 2)(1)0a a a i θ---+=．由于a ，tan θ∈R ，那么21tan tan 20tan 111a a a a θθ=-⎧--=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，，． 又π02θ<<， 得1π4a θ=-⎧⎪⎨=⎪⎩，．（2）若有纯虚数根()i ββ∈R ，使2()(tan )()(2)0i i i i βθβ-+-+=，即2(2)(tan 1)0i βββθ-+--+=，由β，tan θ∈R ，那么220tan 10βββθ⎧-+-=⎨+=⎩，，由于220ββ-+-=无实数解． 故对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根19、解：（1）因为函数()f x ，()g x 的图象都过点(0)t ，，所以()0f t =，即30t at +=． 因为0t ≠，所以2a t =-． ()0g t =，即20bt c +=，所以c ab =． 又因为()()f x g x ，在点(0)t ，处有相同的切线，所以()()f t g t ''=，而2()3f x x a '=+，()2g x bx '=，所以232t a bt +=．将2a t =-代入上式得b t =． 因此3c ab t ==-． 故2a t =-，b t =，3c t =-． （2）3223()()y f x g x x t x tx t =-=--+，2232(3)()y x tx t x t x t '=--=+-． 当(3)()0y x t x t '=+-<时，函数()()y f x g x =-单调递减． 由0y '<，若0t >，则3t x t -<<； 若0t <，则3t t x <<-．由题意，函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，则(13)3tt ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭，，或(13)3tt ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭，，． 所以9t -≤或3t ≥．又当93t -<<时，函数()()y f x g x =-在(13)-，上不是单调递减的．所以t 的取值范围为(][)93--+，，∞∞． 20、解：此命题是真命题． 0a b c ++=∵，a b c >>，0a >∴，0c <．要证， 即证223b ac a -<，也就是证22()3a c ac a +-<， 即证()(2)0a c a c -+>． 0a c ->∵，2()0a c a c a b a +=++=-+>， ()(2)0a c a c -+>∴成立， 故原不等式成立．21、解：由题意，存款量2()f x kx =，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即0.012x =时，1.44y =；由21.44(0.012)k =·，得10000k =，那么2()10000f x x =，银行应支付的利息3()()10000g x x f x x ==·，设银行可获收益为y ，则2348010000y x x =-，由于296030000y x x '=-，则0y '=，即2960300000x x -=，得0x =或0.032x =． 因为，(00.032)x ∈，时，0y '>，此时，函数2348010000y x x =-递增；(0.0320.048)x ∈，时，0y '<，此时，函数2348010000y x x =-递减；故当0.032x =时，y 有最大值，其值约为0.164亿．22、解：（1）由1()a f x =，得21()a f a ===，32()a f a ====43()a f a ===（2）猜想：)n a n *=∈N ，证明：（1）当1n =时，结论显然成立； （2）假设当n k =时，结论成立，即k a那么，当1n k =+时，由1()k k a f a +===，这就是说，当1n k =+时，结论成立； 由（1），（2）可知，n a =()n n *∈N 都成立．。

模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(1＋i)16－(1－i)16＝() A ．－256B ．256i C ．0 D ．256解析：(1＋i)16－(1－i)16＝[(1＋i)2]8－[(1－i)2]8＝(2i)8－(－2i)8＝0. 答案：C2．已知函数f (x )＝ln x －x ，则函数f (x )的单调递减区间是() A ．(－∞，1) B ．(0，1)C ．(－∞，0)，(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝1x －1＝1－xx，x >0.令f ′(x )<0，解得x >1.答案：D3．设f (x )＝10x＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10解析：f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，所以f ′(1)＝10ln 10＋1ln 10＝10ln 10＋lg e. 答案：B4．若函数f (x )满足f (x )＝e xln x ＋3xf ′(1)－1，则f ′(1)＝() A ．－e 2B ．－e3C ．－eD ．e解析：由已知可得f ′(x )＝e xln x ＋exx＋3f ′(1)，令x ＝1，则f ′(1)＝0＋e ＋3f ′(1)，解得f ′(1)＝－e2.答案：A5．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”． 答案：B6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：因为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又因为在x ＝1处有极值，所以a ＋b ＝6，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值等于9.答案：D7．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10B ．14C ．13D ．100解析：设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n （n ＋1）2≤100，即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：B8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D.答案：D8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．答案：D10．证明不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即 k 2＋k ≤k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝ k 2＋3k ＋2≤k 2＋3k ＋2＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1时验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.答案：D11.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13B.43 C ．2D.83解析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2， 设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0， 所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2. 故所求面积S ＝－∫0－2(x 2＋2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2|0－2＝43.答案：B12．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值X 围为()A ．(－1，2) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D ．(－2，1) 解析：因为f (x )是奇函数，所以不等式xf ′(x )<f (－x )等价于xf ′(x )<－f (x )，即xf ′(x )＋f (x )<0，即F ′(x )<0.当x ∈(－∞，0]时，函数F (x )单调递减；由于F (x )＝xf (x )为偶函数，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增．所以F (3)>F (2x －1)等价于F (3)>F (|2x －1|)， 即3>|2x －1|，解得－1<x <2. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. 答案：514．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AO →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________．解析：将“△ABC ”类比为“四面体A ­BCD ”，将“D 为边BC 的中点”类比为“△BCD 的重心”，于是有类比结论：在四面体A ­BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)．答案：在四面体A ­BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)15．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝____________.解析：f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －a ＝0，x ≠－1.又f (x )在x ＝1处取得极值，所以x ＝1是x 2＋2x －a ＝0的根，所以a ＝3.答案：316．下列四个命题中，正确的为________(填上所有正确命题的序号)． ①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且|z |＝1，则|z －i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，＋∞)，都有x >sin x ； ④定积分∫π0π－x 2d x ＝π24.解析：①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a ＋b ＋c <3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z |＝1，则由|z －i|≤|z |＋|－i|＝2，可得|z －i|的最大值等于2，故②正确；③令y ＝x －sin x ，其导数为y ′＝1－cos x ，y ′≥0，所以y ＝x －sin x 在R 上为增函数，当x ＝0时，x －sin x ＝0，所以对任意x ∈(0，＋∞)，都有x －sin x >0，故③正确．④定积分∫π0π－x 2d x 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ∈R，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3. －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1. 知z 的实部为正数，虚部为负数， 所以复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2）， 因为a 2－2a ＝(a －1)2－1≥－1， 所以x ＝a 2－2a ＋4≥3，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)， 所以复数z 对应点的轨迹是一条射线， 其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)． 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b ∈(0，＋∞)． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.证明：(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，只需证明1a b＋2＋1b a＋2≤23， 只需证明b a ＋2b ＋ab ＋2a ≤23，即证b 2＋4ab ＋a 22a 2＋5ab ＋2b 2≤23，即证(a －b )2≥0，这显然成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23.(2)假设af (b )，bf (a )都小于或等于12，即a b ＋2≤12，b a ＋2≤12，所以2a ≤b ＋2，2b ≤a ＋2，两式相加得a ＋b ≤4， 这与a ＋b >4矛盾，所以af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ex ＋2(x 2－3)．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数y ＝f (x )的极值． 解：(1)函数f (x )＝e x ＋2(x 2－3)，则f ′(x )＝ex ＋2(x 2＋2x －3)＝ex ＋2(x ＋3)(x －1)，故f ′(0)＝－3e 2，又f (0)＝－3e 2，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＋3e 2＝－3e 2(x －0)，即3e 2x ＋y ＋3e 2＝0.(2)令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝－3， 如下表：↗↘↗所以当x ＝－3时，函数取极大值，极大值为f (－3)＝e ，当x ＝1时，函数取极小值，极小值为f (1)＝－2e 3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值，最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3图象的下方．解：(1)由f (x )＝12x 2＋ln x 有f ′(x )＝x ＋1x ，当x ∈[1，e]时，f ′(x )>0，所以f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.f (x )min ＝f (1)＝12.(2)设F (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝（1－x ）（1＋x ＋2x 2）x，当x ∈[1，＋∞)时，F ′(x )<0，且F (1)＝－16<0故x ∈[1，＋∞)时F (x )<0，所以12x 2＋ln x <23x 3，得证．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )； (3)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由已知，得f ′(x )＝x ＋1－a －a x ＝x 2＋（1－a ）x －ax＝（x ＋1）（x －a ）x.若a ≤0，则f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则令f ′(x )＝0，得x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)令g (x )＝f (a ＋x )－f (a －x )，则g (x )＝12(a ＋x )2＋(1－a )(a ＋x )－a ln(a ＋x )－ [12(a －x )2＋(1－a )(a －x )－a ln(a －x )]＝2x －a ln(a ＋x )＋a ln(a －x )．所以g ′(x )＝2－a a ＋x －aa －x ＝2x2x 2－a 2.当0<x <a 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，a )上是减函数． 而g (0)＝0，所以g (x )<g (0)＝0.故当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )．(3)由(1)可知，当a ≤0时，函数f (x )至多有一个零点， 故a >0，从而f (x )的最小值为f (a )，且f (a )<0. 不妨设0<x 1<x 2，则0<x 1<a <x 2，所以0<a －x 1<a . 由(2)得f (2a －x 1)<f (x 1)＝0＝f (x 2)， 从而x 2>2a －x 1，于是x 1＋x 22>a .由(1)知，f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)． (1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式． 解：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2) 因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1. 所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． (2)①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即S k ＝2k k ＋1， 当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1， 所以a k ＋1＝2（k ＋2）（k ＋1），所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2（k ＋1）k ＋2＝2（k ＋1）（k ＋1）＋1.所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证．所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立． 由S n ＝n 2a n ，得2n n ＋1＝n 2a n ，所以a n ＝2n （n ＋1）.。