2019年秋苏科版数学八年级上册作业(二十) [2.5 第2课时 等腰三角形的判定、等边三角形及其性质与判定]

2.2．2等腰三角形性质及判定【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.举一反三：【变式】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．类型二、等腰三角形的操作题2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B 有怎样的数量关系时才能完成以上作图？（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想∠B与∠A的关系：（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想∠B与∠A的关系：举一反三：【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．类型三、等腰三角形性质判定综合应用3、如图，在△ABC中，AD是BC 边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F.求证：AF＝EF【总结升华】证明不在同一个三角形的两条线段相等，而它们所在的三角形不全等，可以利用辅助线将它们转移到同一个三角形中，然后通过等腰三角形来证明.举一反三：【变式】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．4、如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.求证：BE＝12 AD.【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决．举一反三：【变式】已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M. 求证：AM＝12(AB＋AC) ．。

《2.5 等腰三角形的轴对称性》（2）一、选择题1．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（）A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．AC=AF D．CH=HD4．若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形5．如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题6．由“△ABC中，∠A=∠B”提供的信息可知：不但△ABC是等腰三角形，而且知道它的底边是______，顶角是______．7．在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则△ABC是______三角形．8．在直角三角形中一个锐角是30°，则斜边上的中线把直角分别两部分，它的度数分别是______，______．9．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=______．10．一灯塔P在小岛A的北偏西25°，从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛B，此时测得灯塔P在北偏西50°方向，则P与小岛B相距______海里．三、解答题11．如图，已知：AD∥BC，∠EAC=2∠C，BD平分∠ABC，AC=4cm，求AD长．12．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC交AB于D，交AC于E．BD、CE、DE之间存在怎样的关系？说明理由．13．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，FB平分∠ABC交AD于E，交AC于F．求证：AE=AF．《2.5 等腰三角形的轴对称性》（2）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（）A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，可得∠AOC=∠BOC，又因为CD∥OB，求得∠C=∠AOC，则CD=OD可求．【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC；又∵CD∥OB，∴∠C=BOC，∴∠C=∠AOC；∴CD=OD=3cm．故选A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理和性质定理以及平行线的性质，注意等腰三角形的判定定理：等角对等边．2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理．【分析】由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．3．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．AC=AF D．CH=HD【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据角的平分线的性质，得CE=EF，两直线平行，内错角相等，得∠AEF=∠CHE，用AAS判定△ACE≌△AEF，由全等三角形的性质，得∠CEH=∠AEF，用等角对等边判定边相等．【解答】解：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故正确；B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE∴CH=CE=EF，故正确；C、∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，又∵∠ACB=∠AFE=90°，AE=AE，∴△ACE≌△AEF，∴CE=EF，∠CEA=∠AEF，AC=AF，故正确；D、点H不是CD的中点，故错误．故选D．【点评】本题是一道综合性较强的题目，需要同学们把直角三角形的性质和三角形全等的判定等知识结合起来解答．4．若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【考点】三角形的外角性质．【分析】直接根据三角形外角的性质进行解答即可．【解答】解：∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∴若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，则与之不相邻的两个内角相等，∴这个三角形是等边三角形．故选D．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．5．如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】等腰三角形的判定．【分析】首先根据∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，利用等角对等边可得到：AB=AC，AD=AE，再利用内角与外角的关系可得∠B=∠BAD，∠C=∠EAC，从而进一步得到：AE=EC，AD=BD，从而得到答案．【解答】解；∵∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴△ADE是等腰三角形，∵∠ADE=2∠B，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴△ABD是等腰三角形，∵∠AED=2∠C，∴∠C=∠EAC，∴AE=EC，∴△AEC是等腰三角形，∵∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．故选C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是根据角相等得到边相等．二、填空题6．由“△ABC中，∠A=∠B”提供的信息可知：不但△ABC是等腰三角形，而且知道它的底边是AB ，顶角是∠C ．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等角对等边解答．【解答】解：∵△ABC中，∠A=∠B，∴它的底边是AB，顶角是∠C．故答案为：AB，∠C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的形状是解题的关键，作出图形更形象直观．7．在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则△ABC是锐角三角形．【考点】等腰三角形的判定．【分析】运用三角形的内角和定理求出∠C=36°，进而求出∠A=∠B=72°，即可解决问题．【解答】解：在△ABC中，∵∠A=∠B=2∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴5∠C=180°，∠C=36°，∴∠A=∠B=72°，∴△ABC是锐角等腰三角形．故答案为锐角．【点评】该题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理及其应用问题；灵活运用三角形的内角和定理来解题是关键．8．在直角三角形中一个锐角是30°，则斜边上的中线把直角分别两部分，它的度数分别是30°，60°．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】作出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD，再根据等边对等角求出∠ACD=∠A，然后求出∠BCD即可．【解答】解：如图，∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴CD=AD=BD，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠BCD=90°﹣30°=60°．故答案为：30°，60°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．9．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC= 1：1 ．【考点】等腰三角形的判定．【分析】首先根据三角形的内角和定理求得：∠C的度数，再根据等角对等边得到，AB=BC，从而不难求得两者的比值．【解答】解：∵∠A=65°，∠B=50°∴∠C=65°=∠A∴AB=BC∴AB：BC=1：1．故填1：1．【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定．由三角形的内角和求角度是正确解答本题的关键．10．一灯塔P在小岛A的北偏西25°，从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛B，此时测得灯塔P在北偏西50°方向，则P与小岛B相距30 海里．【考点】等腰三角形的判定；方向角．【专题】应用题．【分析】作出图形，利用角与角之间的关系求出△PBA为等腰三角形，从而得出PB=AB．【解答】如图，已知∠A=25°，∠DBP=50°，AB=30，求PB的长．解：延长AB∵∠DBP=50°∴∠PBA=130°∵∠A=25°∴∠P=25°∴PB=AB=30．故填30．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及方向角问题；正确画出图形，得到等腰三角形是解答本题的关键．三、解答题11．如图，已知：AD∥BC，∠EAC=2∠C，BD平分∠ABC，AC=4cm，求AD长．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EAC=∠ABC+∠C，然后求出∠ABC=∠C，根据等角对等边可得AB=AC，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠D，然后求出∠ABD=∠D，再利用等角对等边可得AD=AB，从而得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠EAC=∠ABC+∠C，∵∠EAC=2∠C，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC=4cm，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABD=∠D，∴AD=AB=4cm．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．12．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC交AB于D，交AC于E．BD、CE、DE之间存在怎样的关系？说明理由．【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】探究型．【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可证得：BD=DF，EF=EC，结合图形即可得出结论．【解答】解：DE=BD+CE．理由：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC．∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB．∴DB=DF．同理EF=EC．∴DB+EC=DF+FE=DE．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义及等角对等边等知识．13．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，FB平分∠ABC交AD于E，交AC于F．求证：AE=AF．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC与FB平分∠ABC，根据等角的余角相等，易得∠AFE=∠BED，又由对顶角相等，可得∠AEF=∠AFE，则可证得AE=AF．【解答】证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ABF+∠AFB=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠EBD+∠BED=90°，∵FB平分∠ABC，∴∠ABF=∠EBD，∴∠BED=∠AFE，∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．【点评】此题考查了等腰三角形的判定以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．。

2019-2020年八年级数学上册2.5 等腰三角形的轴对称性同步测试2（新版）苏科版一、细心选一选．1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为 ( )A．70° B．80° C．40° D．30°2．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的值为 ( )A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，M为BC的中点．已知EF=5，BC=8，则△EFM的周长是 ( )A．21 B．18 C．13 D．154．若a，b，c是三角形的三条边，且满足a2+ac=ab+bc，则该三角形的形状为． ( ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形5．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 ( )A．6条 B．7条 C．8条 D．9条6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为 ( )A．6 B．7 C．8 D．9二、认真填一填．7． (1) 如图①，若AD平分∠BAC，CE∥DA，则△是等腰三角形；(2) 如图②，若AD平分∠BAC，DE∥BA，则△是等腰三角形；(3) 如图③，若AD平分∠BAC，CE∥AB，交AD的延长线于点E，则△是等腰三角形；(4) 如图④，若AD平分∠BAC，且AD∥EC，EG交AB于点F，则△是等腰三角形．8．如图，B，D，F在AN上，C，E在AM上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，∠A=20°，则∠FEM 度数是9．如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为°．10．△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角是40°，则底角∠B= .11．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10 cm，动点P从点C出发沿CB以2 cm ／s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1 cm／s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t (s)表示移动的时间，当t= 时，△POQ是等腰三角形．三、耐心解一解．12．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．求证：(1) ∠EDC=∠ECD；(2) OC=OD；(3) OE是线段CD的垂直平分线．13．已知：如图，在四边形ABCD中∠ABC=∠ADC=90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证：(1) DM=BM；(2) MN⊥BD．14．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC=10，EF=4．(1) 求△MEF的周长；(2) 若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求△EFM的三个内角的度数．15．如图，在△ABC中，M，N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB，BE⊥AC．求证：MN⊥EF．16．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B，∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC 于E，F．(1) 图中有几个等腰三角形? 猜想：EF与BE，CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2) 如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗? 如果有，分别指出它们在第(1)问中EF与BE，CF间的关系还存在吗?(3) 如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗? EF与BE，CF关系又如何?说明你的理由．参考答案1．D 2．C 3．C 4．A 5．B 6．D 7．△ACE △ADE△ACE △AEF8．100° 9．60° 10．65°或25° 11．10或 12．证△EDO≌△ECO(AAS)得出OC=OD，ED=EC→∠EDC=∠ECD，∴EO垂直平分DC，则OE是CD的中垂线． 13．略 14．(1) △MEF周长为14．(2) 三个内角度数分别为40°，70°，70°15．证明：如图，连接MF，ME，∵MF，ME分别为Rt△FBC 是和Rt△EBC斜边上的中线，∴MF=ME=BC，在△MEF中，MF=ME，点N是EF的中点，∴MN⊥EF．且这两个三角形均为等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+CF；(2) 还有两个等腰三角形，为△BEO，△CFO，如图②所示，∵EF∥BC，∴∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠1=3，∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．∴EF=BE+CF存在． (3)有等腰三角形：△BEO，△CFO，此时EF=BE－CF，∵如图③所示，OE∥BC，∴∠5=∠6，又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴△BEO是等腰三角形，在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，∵BE=EO，OF=FC，∴BE=EF+FO=EF+CF，∴EF=BE－CF．。

§ 等腰三角形的轴对称性（1） 姓名【学习目标】1.等腰三角形的基本概念，2.等腰三角形的轴对称性及结论【学习重点】 等腰三角形的轴对称性【学习难点】 利用等腰三角形的轴对称性解题。

例题讲解：1. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 在BC 上，且AD = BD .请说明∠3=∠BAC2. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，且BC =BD =AD ，求△ABC 各角的度数【课堂小结】【拓展延伸】1.如图，在△ABC 中，AB =AC , D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，试说明：DE =DF .2.如图在等腰△ABC 中，AB =AC ，D 、E 在底边BC 上且AD =AE ，你能说明BD 与CE 相等吗？ 为什么？【自我检测】1．等腰三角形的两边长为4、9．则它的周长是 ( )A ．17B ．17或22C ．20D ．222．若等腰三角形的一个内角等于88°，则另外两个角的度数分别为 ( )A ． 88°、4°B ．88°、24°C ． 46°、46°D ． 46°、46°或88°、4°3．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于 ( ) 321A B C D E D CB AA．80°B．70°C．60°D．50°5．如右图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DF＝EF，则∠DEF等于( )A．90°B．75°C．70°D．60°6．在△ABC中．AB＝AC，(1)如果∠A＝70°，则∠C＝_______，∠B＝_______．(2)如果∠A＝90°，则∠B＝______，∠C＝_______．(3)如果有一个角等于120°，则其余两个角分别是_______度．(4)如果有一个角等于55°，则其余两个角分别是_______度．7．(1)等腰三角形的周长为10，一边长为4，那么另外两边长为_______．(2)等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm，则它的周长为______．8．如图，已知AC＝CD＝DA＝CB＝DE，则此图中共有_______个等腰三角形．9．如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形外作等边三角形CDF，则∠AEB＝_______．10．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB＝AC＝BD，则∠1和∠2的数量关系是_______．12.如图△ABC中AB=AC=32,DE是AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,（1）若∠C=70°，求∠ABE和∠BCE的度数（2）若BC=21 cm,求△BCE的周长教学反思：等腰三角形性质小学已经学过，但是是感官上的，现在是系统的，理论上的认识和证明。