高中数学选修2-2教学设计8：1.1.3 导数的几何意义教案

高中数学选修2-2教学设计 1 1.1.3 导数的几何意义 教学目标 1.知识与技能 理解导数的几何意义，初步体会“以直代曲”的辩证思想；掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法． 2．过程与方法 培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生合作学习、创新能力． 3．情感、态度与价值观 经过Flash动画演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图象的切线“形成”过程，获得函数图象的切线的意义；增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心． 教学重点、难点 重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程． 难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理解——在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解． 教学方案设计 教学建议 为了更好的完成本节课的教学目标，帮助学生理解本节课内容，突出重点，突破难点，宜设计了如下的教法和学法： (1)教学设计：探讨教学法，即教师通过问题→诱导→演示→讨论→探索结果→归纳总结． (2)学法设计：自主思考，参与探究、合作交流、形成共识． (3)教学手段：以“多媒体辅助教学手段”为辅，以“问题的探讨，学生发言、演板，老师黑板板书”为主． 课前自主学习： 自主导学： 知识点1：导数的几何意义 问题导思 1．我们知道，导数f′(x0)表示函数f(x)在x0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x＝x0附近的变化情况，那么，导数f′(x0)是否有一定的几何意义呢？

答：f′(x0)有几何意义．

2．如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？ 高中数学选修2-2教学设计 2 答：点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT.

3．第2题图中割线PPn的斜率kn＝f(xn)－f(x0)xn－x0，当点Pn无限趋近于点P时，此斜率与切线PT的斜率有何大小关系？ 答：kn无限趋近于切线PT的斜率．

1．设点P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT

称为过点P的切线，且PT的斜率k＝limΔx→0f(xn)－f(x0)xn－x0＝f′(x0)．

2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

知识点2：导函数的概念 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x变化

时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数，即f′(x)＝y′＝limΔx→0

f(x＋Δx)－f(x)

Δx.

问题导思 导函数f(x)与函数在x＝x0处的导数f′(x0)相同吗？它们有什么区别与联系？

答：不相同．(1)两者的区别：由导数的定义知，f′(x0)是一个具体的值，f′(x)是由于f(x)

在某区间I上每一点都存在导数而定义在I上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数． (2)两者的联系：在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数.

例题讲解： 类型1：导数几何意义的理解 高中数学选修2-2教学设计 3 例1：若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )

思路探究：(1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明y＝f(x)图象的切线有什么特点？ [解析]因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合． [答案]A 规律方法： 1．f′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率． 2．若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分． 变式训练： 已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )

A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＝f′(xB) C．f′(xA)＜f′(xB) D．f′(xA)与f′(xB)大小不能确定 [解析]由y＝f(x)的图象可知，kA＞kB，根据导数的几何意义有：f′(xA)＞f′(xB)． [答案]A 类型2：求曲线的切线方程 高中数学选修2-2教学设计 4 例2：(1)求曲线y＝x2＋x＋1在点(1,3)处的切线方程． (2)求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．

[解析](1)所给点是切点吗？ (2)若是切点，该如何求切线方程？若不是切点该怎么办？

解： (1)y′＝limΔx→0

x＋Δx2＋x＋Δx＋1－x2＋x＋1

Δx

＝2x＋1， ∵(1,3)在曲线上， ∴切线斜率k＝y′|x=1＝2×1＋1＝3.

∴所求切线方程为y－3＝3(x－1)，即3x－y＝0. (2)y′＝2x＋1， ∵点(－1,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0，y0)，

则切线斜率为k＝2x0＋1＝y0x0＋1.

∵y0＝x20＋x0＋1，

∴x0＝0或x0＝－2.

当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0，

当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，

即3x＋y＋3＝0， 故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. 规律方法： 1．如果所给点P(x0，y0)就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)，即得切线的斜率k＝f′(x0)，再根据点斜式得出切线方程．

2．如果所给点P不是切点，应先设出切点M(x0，y0)，再求切线方程．要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上．

变式训练：求曲线y＝1x在点A(12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程． 解：∵Δy＝f(12＋Δx)－f(12)

＝21＋2Δx－2＝－4Δx1＋2Δx， ∴ΔyΔx＝－41＋2Δx， ∴切线的斜率k＝12xy＝limΔx→0 －41＋2Δx＝－4. 高中数学选修2-2教学设计 5 ∴切线方程为y－2＝－4(x－12)，即4x＋y－4＝0.

类型3：导数几何意义的综合应用 例3：抛物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，求P点的坐标及切线方程． 解：设P点坐标为(x0，y0)，

y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx

＝limΔx→02x·Δx＋Δx2Δx ＝limΔx→0 (2x＋Δx)＝2x.

∴0xxy＝2x0，

又由切线与直线4x－y＋2＝0平行， ∴2x0＝4，∴x0＝2，

∵P(2，y0)在抛物线y＝x2上，∴y0＝4，

∴点P的坐标为(2,4)， ∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 规律方法： 1．导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点． 2．导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题． 变式训练：已知曲线C：y＝x3.求：

(1)曲线C上横坐标为1的点处的切线方程； (2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 解：(1)将x＝1代入曲线C的方程，得y＝1， ∴切点为P(1,1)．

∵y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 x＋Δx3－x3Δx

＝limΔx→0 3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3Δx ＝limΔx→0[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2， ∴y′|x＝1＝3.

∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0.