对两道国家集训队试题的探究
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拔 考试 ）
由题 ｌ 及题 ３ 通 过类 比 ， 如下 推广 ． ， 有 题 ４ 在 首 项 系 数 为 ｌ的 凡（ 凡∈ Ｎ，
凡 ２ 次 实 系 数 多 项 式 ．（ ） ， 出 使 １ ＞ ） 厂 中 找 Ｍ ＝ ｍ ｘ 厂 ）取 得 最 小 值 的 函 数 表 达 ａ Ｉ（ Ｉ
２
一
吉 （２１ ＝ ２一 ）
Ｉｃ ｓ２ ＝ ｏ Ｉ
＝
ｃＳｎ （ Ｏ Ｏ＝ ｅ
）
Ｉ （ ０ ｉ “ Ｃ ｉ ｉ ［（ ＋ｉ ｎ ｓ ） ＋（Ｏ ０一 ｎ ］ Ｓ ｓ ）
＝
＝
ｃｓ２ ｒ ｏ ） 。（ ａ ｃｓ ， ｅ
⑦
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中 等 数 学
解 决 趑 ４的 雄 任 于 ： 们 知 道 对 于 我
一
般 的 首项 系 数 为 Ｉ ／ 次 实 系数 多项 式 ， 的 ７ ， 又足 什 么样 子？ 文［］ １对题 ｌ文 ［ ］ 题 ３的 解 答 ， 我 、 ２对 使 注 意 到 ｎ （ ≤ ｉ ／一１ 的 ｆ 意 性 ， ０ ≤ ７ ） Ｅ ， 于
人 寻味 ． 题 １ 在首项 系数 为 ｌ的二 次 函数 ＋ ｌ ａ Ｘ＋ｑ中 ， 出使 Ｍ ＝ ｍ ｘ ＋ｌ 找 ａ ｌ ａ Ｘ＋ｑｌ 取 一 Nhomakorabea一
一 ２‘
当 仅 ／ ）一（） （ ） 且 当＿ ＝ ｆ ＝ 一 ＝ （ １
（ １即０ ｃ０ ＝ 时上 等 成 一） ＝ ＝， 号 ，式 号 ， ｂ
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２０ 第 ７期 ０６年
２ Ｉ
澍 渣画
（ 湖北 竹 城
Ｉ
数激越蛔
贺 斌
■级 ｌ ，４７０ ｌ ４ １０ ） Ｉ
１ 题好 解巧
易推 难证
≥
一 ＋． Ｉ － ｌ） ）２一） 一ｌ － ｊ 一 ） （
下 面 两道 国家 集训 队试 题及 其解 答颇 耐
是， 只须证 明
／ ＝ｌ （ ）ｃｓ ＋（ ） ４ ＋２ 一１ ｏ 一１”
：Ｊ ’
是 否存 在类 似式 ① 、 的恒 等式 ？ 如果 存在 ， ②
们猜 想恒 等 武① 、 ｒ所 涉 及 的 自变 量 的 值 ② ｆ ，
ｌ、ｌ ｌ 、 一应 隐 着 种 、一及 、 一 ｌ该 藏 某 ０ 吉 、
的解答 ） ：
对 于任 意首项 系数 为 ｌ的三 次实 系数 多
令 ，Ｘ ＝ 一 ’ ） （ １， ） 则
一ｂ ｘ—ｃ （一ｌ ≤ ≤
项 式 ， ） 有 ’ ， （
６ ） ｌＩ ｌ ） ＋ （
｛ （ｌ ） 一 ｉ ）
／） ．）２一 ） （１ ． 一（ ＋． Ｉ一 一 ＝ １ ／ ｆ ）３ Ｉ （
特 殊规 律 ． 仔细 推 敲后 发现 ， 果令 ＝ＣＳ０ 如 Ｏ
（ 凶为 Ｉ Ｉ １ ， ≤ ０≤７ 则 ｌ０、 ≤ ）０ ｒ ， 、 一ｌ及 Ｉ 、
Ｉ
、 一
：
』 ， 删； ＝
【 ０
，
Ｉ
、 一
ｌ 分 别 写 为 ｃＳ （ ＝０ ｌ２ 可 Ｏ ，，）
０ ≤ ／一ｌ ． ≤ ７ 时 ，
当 ０、 、 ｂ ｃ取遍 所 有实 数 时 ， Ｆ的最小 值 ． 求
文 ［］ １埘题 ｌ 的解 答 为 （ 表述 略 有改 动 ） ： 令 ／ ） ＋ｌ ＝ ａ Ｘ＋ｑ 一ｌ （ ≤ ≤ １，Ｕ ）贝 ４ Ｍ≥ Ｉ。 ） ＋２ｆＯ Ｉ ｆ 一１ Ｉ ／ １ Ｉ Ｉ（ ） ＋Ｉ（ ） （
２ 以退 为进 寻觅本 质
当且 仅
（ ）＝ 一ｆ（ ）＝／（ １ ， １ Ｏ ’ 一 ） 即
反思 文 ［］ １对题 ｌ文 ［ ］ 、 ２ 对题 ３的理 解过
程 ， 易发现 两 文 放缩 成 功 的关 键 在 于 如下 容
Ｐ＝０ ｑ＝ 一 时 ， ， 上式 等 号成立 ．
故 Ｍ ＝ ， 时 ， ） 一 ． １ 此 ／ ＝
式 的证 明 见文 ［ ］故 命题 ｌ ３， 成立 ．
下 面证 明命 题 ２ ．
及 （ｓ （ ０ Ｉ２ ３ ， Ｈ满 足 题 Ｉ 题 ３ ． ｋ： ， ， ， ） 而 ０ 、
证 明 ： ０ ｒｃｓ ． 记 ＝ａ ｏ 由欧拉 公式 有 ｅ
ｇ ） （ ＝
＝
的 多项式 可分 别 写 为
的两 个恒等 式成 立 ：
对 于任 意首项 系数 为 ｌ的二 次实 系 数 多
项式 ， ） 有 ‘ ， （
／ １ 一２’ ） ／ 一１ ＝２ ’ ） ／Ｏ ＋ ’ ） ． （ （ （ ①
文 ［］ ２ 注意 到 了题 ２与题 ３的等 价性 ， 并
给 出 了题 ３的解 答 （ 述 有 改 动 ， 略 去题 ２ 表 并
≥ Ｉ（ ） ／Ｏ ＋ 一１ Ｉ ． ｆ １ 一２ ） ／ ） ＝２
和 的最 小 值 ？ 仅 仅 通 过 简 单 模 仿 文 ［ ］ １、 ［ ］ 解 答 难 以 奏 效 ， 需 要 我 们 对 文 ［ ］ ２的 它 １、 ［］ 解法 有实 质性 理解 ， 进行 细致 探 究 ． ２的 并
式， 并求 的最 小值 ．
注 意到 ｌ ≤３ 一ｌ 一２ ｌ 题 ２ ≤ 甘 ≤ ≤ ，
叮等价 转 化为题 ３ ．
题 ３ 记 Ｆ＝ ｍ ｘ 一 ａ ｌ 一ｂ ｘ—ｃ ． １
题 ４在 凡 ≥４的 情 况 下 是 否 有 解？ 在 有 解 的情况 下 ， 如何 找 到满 足题 ４要求 的 ／ ） ‘ （
故 Ｆ ＝ ， 时， 此 ） ３ ＝ 一３
．
最 小值 的 函数表 达式 ．
（９０ 中国数学 奥 林 匹 克 国家 集训 队试 １９ ，
题） 题 ２ 记 Ｆ＝ ｌ ｘ Ｉ 一（ 一ｂ ｎ ａ Ｉ ｘ ｘ—ｃ ． Ｉ
立 ．
当 ０ ｂ ｃ 遍所 有 实数 时 ， Ｆ的最 小值 ． 、、取 求 （０ １ 中 国数学 奥林 匹克 国 家集 训 队选 ２０ ，
由题 ｌ 及题 ３ 通 过类 比 ， 如下 推广 ． ， 有 题 ４ 在 首 项 系 数 为 ｌ的 凡（ 凡∈ Ｎ，
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给 出 了题 ３的解 答 （ 述 有 改 动 ， 略 去题 ２ 表 并
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最 小值 的 函数表 达式 ．
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