几道高考试题的研究

解题过程中，如果我们的思维不局限于怎么解，结果是什么；而在纵深挖掘上，除了思考怎么解，再想想为什么这样解，还可以怎么解，为什么会有这样的问题，把问题的背景挖深、想透；在横向拓展上，思考还可以有什么样的问题，实现一题多解，多题一解，以期达到由点及面，解一题懂一类．由此实现教师个人专业素养的完善与提升．在教学实践中，依据不同时期，学生数学思维处于不同发展水平的特点，实施不同的教学方法与策略，以期有效培养学生的数学核心素养．以解析几何为例，在学生学习解析几何的初期，在教学实践中强化解析几何的核心思想，即用代数方法解决几何问题的基本思路，在解题教学中强调通性通法，强化代数运算、理清算理算法，培养学生数学运算、逻辑推理等数学核心素养．随着学习的深入，当学生对解析几何相关问题的处理方式已熟悉，并对相应的数学运算已经熟练掌握，甚至产生运算机械化的趋势时，解题教学可在运用代数法解决问题的同时，引导学生在相关条件的几何化上做积极的尝试，在知识的交汇点处寻求新生成．在回避复杂代数运算的同时，体会几何运动变化过程中的不变性，体会数学证明的简洁美，使学生的数学思维更贴近问题的本质，直面问题的本源，那是单纯的代数运算所无法获得的另一种成就感．在这样的引导过程中，培养学生多角度、多方向思考问题的能力，增强学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．在这样的教学实践中不断培养学生直观想象、数学抽象等核心素养，以期达到师生在数学核心素养层面的互相成就，共同成长．参考文献[1]卫小国，韩长峰．简约问题中的不凡伴生圆-探究2017年全国Ⅱ卷解析几何问题[J]．数学通讯：上半朋，2017（9）：25-26[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书（数学选修2-2）[M]．北京：人民教育出版社，2008（本文系2018年度福建省中青年教师教育科研项目（基础教育研究专项）《基于新高考的数学学科核心素养评价研究》（项目编号：JZ180231（福建教育学院资助））阶段性研究成果）平面方程在高中数学解题中的应用——由两道高考试题引发的思考与探究陈 言 福建省福州格致中学（350001）平面方程是“高观点”内容，在高考试题或日常习题中总能发现它的“踪影”，学习平面方程，可以从“高观点”角度分析试题与习题的背景，拓展解题思路，使问题的解决更加简便． 1 试题呈现 试题1 （2019年高考全国Ⅲ卷·理23）设x y z ，， ∈R ，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥成立，证明：3a ≤−或1a ≥−．试题2 （2018年高考江苏卷·21D ）若x y z ，，为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．这两道都是选考题，都涉及研究在给定线性方程条件下的最值问题，其中试题1还涉及对恒成立问题的考查，试题难度都不大，属于基础题，旨在考查柯西不等式或基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、分析问题和解决问题能力，试题1还考查解决恒成立问题的一般方法． 2 解法探究本文以试题1的第1问为例，解法如下．解法1 利用柯西不等式222222[(1)(1)(1)](111)x y z −++++++ 2[(1)(1)(1)]x y z ≥−++++ 2(1)4x y z =+++=，∴2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥， 等号成立当且仅当111x y z −=+=+，又已知1x y z ++=， 故解得当53x =，13y =−，13z =−时等号成立， 所以222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43．解法2 利用基本不等式 由于2[(1)(1)(1)]x y z −++++ 222(1)(1)(1)x y z =−++++2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y y z z x +−++++++−2223[(1)(1)(1)]x y z ≤−++++又 1x y z ++=， ∴2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥（以下同解法1）．解法3 利用向量的数量积设1(111)=，，z ，2(111)x y z =−++，，z ，则1||=z2||=z121112x y z ⋅=−++++=z z ．1212cos ⋅=<>，z z z z ，2≥，2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥，当21λ=z z ，0λ>时取等号（以下同解法1）． 思考与探究1 以上三种解法均源于教材，均是利用高中数学知识和方法解决问题，但从“源于教材、高于教材、活于教材”这一要求出发，从“高观点”的角度来分析试题，不难发现这是两道带有“高观点”背景的数学试题．我们知道，在空间解析几何中，平面α的一般式方程是220(Ax By Cz D A B +++=++20)C ≠，若点000()P x y z ，，为平面α外一点，则点P 到该平面α的距离d =．根据空间解析几何的上述知识，从数形结合的角度来审视这两道试题，就能发现题干中分别给出的条件1x y z ++=和226x y z ++=都可以看成是平面方程，而222(1)(1)(1)x y z −++++和222x y z ++可以分别看成是点(111)−−，，到平面1x y z ++=距离的平方，以及点(000)，，到平面226x y z ++=距离的平方，于是可以采用下列解法．解法4 利用平面方程设()P x y z ，，是方程1()x y z x y z ++=∈R ，，所表示的平面上任意一点，点(111)Q −−，，，则2||(PQ x =−2221)(1)(1)y z ++++，||PQ 的最小值就是定点Q 到平面1x y z ++=的距离，由距离公式得：min ||PQ==． ∴222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43．试题1的第（2）问同样可以利用平面方程证明如下：证明 设点()P x y z ，，是平面1x y z ++=上的动点，点Q (21)a ，，， 2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥， 2min 1||3PQ ∴≥，又min ||PQ =， 22min (2)1||33a PQ +∴=≥，2(2)1a +≥．解得3a ≤−或1a ≥−．思考与探究2 观察试题1与试题2中的几个平方和式子，联想到圆的标准方程222()()x a y b r −+−=左边的式子也是平方和形式，它们结构相同，仅是项数不同，运用类比推理可以得到球面方程2()x a −222()()y b z c r +−+−=，这时方程的左边也是三个平方和式子，由此获得启发并加深了对问题背景的认识．还是以试题1为例，若设222(1)(1)(1)x y z −++++2r =，则问题的几何意义就是当平面1x y z ++=与球面2222(1)(1)(1)x y z r −++++=有公共点时球心到平面的距离d r ≤，经计算不难得到答案．解法5 利用平面方程与球面方程设球面方程2222(1)(1)(1)x y z r −++++=， 球心到平面1x y z ++=的距离为d ， 由问题的几何意义可知d r ≤．r d ∴≥=， 222(1)(1)(1)x y z ∴−++++的最小值为43． 评注 解法1至解法3突出逻辑思维和数学运算，但不关注问题的背景知识，解法4和解法5则通过观察，发现问题的几何特征，并借助图形，形成解决问题的思路．笔者注意到多数以“高考试题汇编”为名的书籍中，这两道试题的解答几乎都采用解法1，解法2少见，其它解法未见．造成解法单一的主要原因是人们在解题中没有深入挖掘试题的背景知识，没有把握问题的本质，没有整合知识间的联系，因此就无法进行发散思维和创新思维．基于这一分析，笔者建议教师在日常解题教学中，应加强对审题能力的培养，认真研究试题背景，领悟试题内涵，还应学习掌握一些“高观点”知识和方法，通过一题多解和一题多变，提高分析与解决问题的能力．3 空间平面方程在解题中的应用举例 3.1 不等式证明问题例1 已知实数a b c d ，，，满足3a b c d +++=，2a 2222365b c d +++=，求证：12a ≤≤．分析 本题是湘教版教科书选修4-5不等式选讲第5章习题13第6题，解题的思路是先构造两组数，再运用柯西不等式进行证明．但若能挖掘习题的几何背景，利用平面方程和球面方程知识，从数形结合的角度去寻找证明思路，则可以培养学生直观想象与数学建模等核心素养．解 由已知得3b c d a ++=−， 22222365b c d a ++=−，3a =−，球面方程2222x y z r ++=，其中225r a =−．则所构造平面与球面有公共点)， 故球心到平面的距离d r ≤．|3|a r ∴−≤，222(3)5a r a −≤=−， 化简的2320a a −+≤， ∴12a ≤≤．3.2 球与几何体切接问题例2（2015年高考全国Ⅱ卷·理9改编）已知A B ，是球O 的球面上两点，90AOB ∠= ，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC −体积的最大值为36，则三棱锥O ABC −内切球的表面积为 ．分析 本题以球为背景，构造出一个动态的三棱锥模型，需要通过直观想象和逻辑推理来确定使三棱锥体积最大时顶点C 的位置，再通过数学运算得出球O 的半径以及三棱锥内切球的半径和表面积．若用高中数学知识和方法解答，则可以在求出球O 的半径R 之后运用等体积法求出三棱锥的内切球半径，若从“高观点”的角度分析问题，则本题可以用平面方程解答如下：解 如图1所示，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC −的体积最大，设球O 的半径为R ，此时23111326O ABC C AOB V V R R R −−==××== 36，故6R =，现以O 为坐标原点，分别以OA OB OC，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则平面ABC 的方程是6x y z ++=，设三棱锥内切球的球心为000()O x y z ′，，，内切球半径为r ，则O ′000x y z r ===． 0006x y z ++≤，0063x ∴−，从而03r x ==， 三棱锥O ABC −内切球的表面积为：2244π(3(48πS r =π==−．图1 图23.3 空间的平行与垂直问题例3 （2019年高考天津卷·理17改编）如图2，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AEBC ==．若平面BDF ⊥平面 BDE ，求线段CF 的长．分析 本题经过改编后，平面BDF 与平面BDE 成垂直关系，若采用高中的常规方法来解答，其解题思路是先根据条件建立空间直角坐标系，然后求出平面BDE 的法向量，再设点F 的坐标并用点F 的坐标表示平面BDF 的法向量，最后通过两个法向量数量积的计算得出答案．现尝试利用平面方程解答，平面的点法式方程是000)()()A x x B y y C z z −+−+−=（ 0，其中000()M x y z ，，是平面上的点，()A B C =，，n 是该平面的法向量．解 依题意，建立以A 为原点，分别以AB AD，，AE的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图2），可得(000)A ，，，(100)B ，，，(120)C ，，， (010)D ，，，(002)E ，，．(110)BD −，，，先求出平面BDE 的法向量(221)=，，n ， 设平面BDF 的法向量为()x y z =，，m ， 由00BD ⋅=⋅=，，m m n 得0220x y x y z −+= ++= ，， 令1x =，得(114)=−，，m ， A BC O ••••又点B 在平面BDF 内，故平面BDF 的点法式方程是： 1(1)1(0)4(0)0x y z ⋅−+⋅−−⋅−=， 化简得410()x y z +−−=∗，将(12)F h ，，的坐标代入方程（*）得12h =， 故12CF =． 3.4 点共面或线在面内的判定问题例4 （2019年高考北京卷·理16）如图3，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PAAD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．图3分析 本题第3问若用高中的数学知识和方法解答，则是先求出平面AEF 的一个法向量m ，再由计算得0AG ⋅=m ，最后作出“直线AG 在平面AEF 内”的判断．若从“高观点”的角度分析，则是先建立空间直角坐标系，再求出平面AEF 的方程以及点G 的坐标，最后通过检验点G 的坐标是否满足平面AEF 的方程做出判断．解 以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，AD AP ，方向为y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz −（如图3），易知：(00A ，， 0)，(210)B −，，，(020)D ，，，(002)P ，，，(011)E ，，，(000)A ，，，(210)B −，，，(020)D ，，，(002)P ，，，(0E ，11)，，由13PF PC =可得点F 的坐标为224()333F ，，，由23PG PB =可得422()333G −，，，平面AEF 的一个法向量为：(111)=−，，n ，则平面AEF 的方程为0x y z +−=，由于点G 的坐标满足0x y z +−=，且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内．3.5 实际应用问题例5 在空间直角坐标系中，已知(2800)A ，，，平面ABC 的法向量是(113)=−，，n ，一质点自点(111)P ，，沿着方向(122)=，，a 做等速直线运动，进过5秒后到达平面ABC ，然后立即又沿着方向(221)=−−，，b 以同样的速度等速直线前进，求再经过多少秒质点到达平面YOZ ．分析 本题以实际问题为背景，考查学生对物体运动方程、平面方程、向量、空间直角坐标系等相关知识的综合运用能力，考查数学建模与数学运算等核心素养．若质点沿规定的方向作直线运动，则其直线方程可以用参数形式表示，而质点的运动速度可以由质点到达平面ABC 所用的时间计算得到．解 质点由点(111)P ，，沿着方向(122)=，，a 做等速直线运动，经过5秒后质点的坐标是(15110v v ++，， 110)v +，其中v 表示质点沿a 方向运动的速度，此时质点到达平面ABC ，由已知得平面ABC 的点法式方程是(28)30x y z −−+=，化简得328x y z −+=，故有(15)(110)3(110)28v v v +−+++=，解得1v =，质点的运动轨迹与平面ABC 的交点是(61111)Q ，，，质点再沿着方向(221)=−−，，b 以同样的速度等速直线前进，轨迹方程为6211211x t y t z t =−=+ =− ，，，其中参数t 表示时间，令0x =， 得3t =，故再经过3秒质点到达平面YOZ ．4 教学启示空间平面方程还有许多其它运用，如求空间的角和距离、研究动态几何问题等，限于篇幅不在此赘述．从以上所列举的若干例子中可以看出，空间平面方程为我们研究和解决高中数学中的某些问题提供了新的思路和方法．比如在解证某些不等式问题时，借助平面方程，建立数与形之间的联系，使问题变得简明、形象，同时还能够由直观感知，获得解题思路，通过逻辑推理和数学运算获得结论，并作出几何解释．在解证某些立体几何问题时，运用平面方程，可以帮助我们正确判断空间点、线、面之间的位置关系，可以方便快捷地解决空间点、线、面之间的度量问题，可以化“定性”研究为“定量”分析，优化解题方案，降低解题难度．平面方程还为解决实际问题提供更多、更好的思路．根据2017年版数学课程标准的介绍，数学选修课程E 类中包括了大学数学先修课程，该课程有三个专题，其中的一个专题是“解析几何与线性代数”，平面方程是空间解析几何中的“高观点”内容．笔者认为应当为学生的发展适当开设一些“高观点”课程，指导学生学会运用“高观点”的思想方法，从“高观点”的角度研究问题，这样能使学生看清问题的背景，理解问题的本质，使问题的解决更加简便．教师也可以在日常教学中利用研究性学习活动，渗透“高观点”的数学知识和方法，化解学习难点、突破解题瓶颈，引领学生将数学思维向更高、更深的层次发展．（本文系福州市教育科学研究“十三五”规划2018年度课题“基于新课标学习主题，培养数学核心素养的实践研究”（课题立项编号：FZ2018ZX006）的阶段性研究成果）例谈核心素养理念下的“一题多解”连信榕 福建省福州时代中学（350007）高中数学课程标准定义数学核心素养为：具有数学基本特征思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现．笔者认为，一个具备数学核心素养的人能够独立思考，敢于创新，善于批判，是一个能够用数学的眼光对待生活、丰富生活的人．而高中数学教学更是肩负着培养提升学生综合素质的使命．进行有效的一题多解训练，不但能够带出多种数学知识与方法，而且能通过不同方法之间的比较，让学生感悟知识的内涵，方法的通用性与局限性，对提高学生的思维能力有极大的帮助．本文从两个经典例题出发，进行多角度思考与挖掘，渗透数学思想方法，进而达到培养提升学生的数学核心素养的目的． 案例1 已知圆的方程为222x y +=，点P 在直线122yx =−上运动，过点P 作圆的两条切线，切点为M N ，，试问：直线MN 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解法1 如图1，连接OM ON ，，因为90OMP ONP ∠=∠=，所以O M P N ，，，四点共圆． 因为点P 在直线122yx =−上运动， 设(2)2aP a −，，则以OP 为直径的圆为： 2222(2)2()[(1)]244aa a ax y +−−+−−=①，又因为直线MN 为圆①与圆222x y +=的公共弦，联立两圆得直线MN 方程2(4)40ax a y +−−=，从而过定点1(1)2−，．解法1将所求直线理解为两圆的公共弦，一切的出发点源自含参数的动点P ，通过运算，得到含参数的直线，从而找到定点．该法运用了转化与化归的数学思想方法，锻炼了学生逻辑推理与数学运算等数学核心素养． 解法2 如图2，以点P 为圆心，以PM 长为半径作圆，因为点P 在直线122y x =−上运动，设(2a P a ，2)−，该圆方程为2222()[(2)](2)22a a x a y a −+−−=+− 2−①．又因为直线MN 为圆①与圆222x y +=的公共弦，联立两圆得直线MN 方程：2(4)40ax a y +−−=，从而过定点1(1)2−，． 解法2与解法1思维类似，让学生感悟构造不同的圆，得到统一的结果．这不正是数学的发散思维的体现，不正是一题多解的魅力所在吗？图3解法3 如图3，设11()M x y ，，22()N x y ，， 则过M 点的切线方程为：112x x y y +=， 又因为点P 在直线122y x =−上运动， 设(2)2a P a −，，且点P 在切线上，代入有11(2)22a x a y +−=， 同理可得22(222a x a y +−=），所以过M N ，的直线为(2)22axa y +−=，。

高考物理三大题型试题解析高考物理三大题型试题解析选择题选择题中，纯粹考察基础知识的题目有大概5道，从以下章节中抽取：相对论、光学、原子物理、万有引力与航天、机械振动与机械波、交变电流。

这些考题的特点是：知识点相对独立，没有综合应用，题型简单、易掌握。

因此我们在复习的时候只需要把这些知识点吃透就没问题了。

而搞定这些知识点最好的办法，除了老师的讲解，就是做题，做历年北京市的高考原题、所有期中、期末的考试题，以及所以有区的模拟题，每章最多50道。

把这些题弄明白了，考试没有理由在这些提、题上丢分。

30分到手，轻而易举。

余下的三道选择题中，有两道会涉及到力学和电学的主干知识，需要较强的综合应用能力，比如机械能守恒定律、电磁感应等等。

这些问题需要较强的基础知识，如果后面的大题能解，那么这两道题根本就是小菜一碟。

最后一道选择题有很强的综合性，可能是考察一种解决问题的方法，比如2010年的，就是考察用图象法表示物理公式。

而2008、2009两年考察的是推测的能力。

可以说这道题完全是能力的体现，考的是智力和应变能力，知识点倒是次要的。

综上所述，一个成绩中等偏下的学生，在经过一个月的“特训”以后，选择题达到做对6道的水平是非常轻松的。

实验题再看实验题。

实验题会考两道，基本上一道电学一道力学，力学实验共有八个、电学实验七个。

并且上一年考过的实验，接下来的几年肯定不会再考。

因此只剩下十个左右的实验。

每个实验有三到五个固定的考点，也就是无论怎样出题，都离不开这几个知识点。

对于实验的复习，其实只有一个字，那就是“背”。

背完了把各城区的期中、期末考试、模拟考试上面的题研究明白。

16分以上，稳稳收入囊中。

至于花费的时间，一个月最多了。

好了，现在你还没做大题，分数大约是五十多分。

你答卷所花费是30分钟左右的时间。

用于复习的时间是两个月，每天拿出90分钟足矣，还是挺值的哦。

计算题计算题，就是我们整天学的那些东西吧，什么牛顿定律、曲线运动、动能定理、动量守恒、电场力做功、磁场中的曲线运动、电磁感应之类的。

2023年广东物理高考试题评析2023年广东物理高考试题在遵循新课程标准的基础上，全面考察了高中物理主干知识，注重考查学生的科学思维能力和实践探究能力。

试题命制体现了稳中求新、不偏不怪的原则，难度适中，区分度较强。

一、试卷结构与题型分布2023年广东物理高考试题共包括15道题目，其中7道单选题，3道多选题，2道实验题，以及3道大题。

题型结构与往年保持一致，单选题和多选题主要考查学生对物理概念、规律的理解和运用，实验题和大题则侧重考查学生的实践操作能力和综合分析能力。

二、试题特点与考查内容1. 贴近生活，注重情境设置2023年广东物理高考试题在情境设置上，紧密联系日常生活、生产实践和科学研究，考查学生将物理知识与实际问题相结合的能力。

例如，第1题以恒星塌缩成黑洞为背景，考查了常规三种射线穿透、电离能力相关问题；第6题以电动汽车充电为背景，考查了变压器相关问题。

2. 强调原理，注重知识运用试题命制强调对物理原理的掌握和运用，引导学生从解题向解决问题的转变。

如第9题电子墨水，以无光源显示技术为素材命题，需要学生在问题情境中分辨出带电粒子在电场中的运动模型；第15题医院药品自动配送情景，体现了科技在生活中的应用。

3. 考查思维过程，增加试题开放性试题在考查学生物理知识的同时，注重考查学生的思维过程，增加试题的开放性和创造性。

如第12题，以医院药品自动配送情景为背景，需要学生分析药品配送过程中的力学问题，考查学生的分析解决实际问题的能力。

4. 突出主干知识，重视学科交叉试题涵盖了力学、电磁学、热学、光学等多个物理学领域的主干知识，重视学科交叉的考查。

如第13题，以太阳系外的行星为背景，考查了匀速圆周运动相关问题，涉及天体物理学知识；第14题，以滑道运送货物为背景，考查了圆周模型中动能定理的应用，涉及机械能守恒和动力学知识。

三、教学建议1. 重视物理原理的讲授和运用，培养学生将物理知识与实际问题相结合的能力。

浅谈高考真题的解析与理解众所周知，高考真题由命题专家反复揣摩、巧妙构思后精心命制，所以有明确的导向性、权威性、规范性和科学性，加之命题专家队伍有一定的稳定性，因而试题的考查内容、形式等具有一定的延续性和规律性，对高考备考有重要的指导意义和借鉴价值。

所以不管是教师还是学生，真题可谓是备战高考最常见，也是最宝贵的资料。

但真题又像是一个巨大的宝藏库，我们都想找到它的正确打开方式，12道选择题、5道主观题被进行了无数次、N多种的排列组合，但还有一个不容忽视的问题：真题，学生真的会用吗？教学过程中，我们经常会被问到这样的问题：“老师，我真题都做了6遍了，答案都会背了，可为什么一做文综题，历史选择题还是错很多？大题还是无从下手？”学生的疑问带给我的最大反思便是“教师不仅要会深度解读高考真题，还应该教会学生怎样去使用它。

”学生在利用真题的过程中普遍存在这些问题：一是仅把真题当作练习题使用，查漏补缺。

二是挑着做，以为高考不常考的知识点略略带过，高频考点反复做，会的就可以不做。

三是只做真题，脱离教材，这个问题在备考的冲刺阶段最为普遍。

其实这些问题归结起来就是学生不会解读和利用真题。

学生总是认为那是老师该做的事情，学生只需跟着老师走即可。

这样做带来的结果就是学生听得懂，但一旦让他自己来讲这道题，就无所适从了。

其实教师和学生的知识背景、思维方式是有很大不同的，老师总结的不一定就适合所有学生，甚至有的学生会对老师所讲的方法技巧进行生搬硬套，所以“授之以鱼不如授之以渔”，我们要让学生试着去找到打开真题的正确解锁方式。

那么学生如何利用高考真题呢？其一，懂得分阶段利用。

大多数高中的高三历史复习教学都是分阶段进行的，多是一轮、二轮或三轮，我校历史复习教学多是一轮小主题通史，二轮大主题通史，三轮热点主题史，那么每个阶段真题的使用情况是不同的。

一轮教学重在夯实主干知识，有效拓宽教材视野。

此阶段真题应按照知识点进行练习，重点放在主干知识的记忆和拓展上。

解析几道以迭代数列为背景的高考题薛红利(长春第六中学ꎬ吉林长春１３００００)摘㊀要:迭代数列的极限是数学分析中的重要内容ꎬ而以迭代数列为背景的高考试题不在少数.文章先介绍数列的有关知识和迭代数列的极限ꎬ然后深度解析高考试题的高数背景.关键词:高考题ꎻ数列ꎻ迭代数列ꎻ极限ꎻ高数背景中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－００２８－０３收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:薛红利(１９７２.５－)ꎬ女ꎬ吉林省安图人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高考题一般都是大学老师命制的ꎬ所以高考题尤其是高考压轴题ꎬ有高等数学背景也是常有的事.这就要求一线教师不仅要会做高考压轴题ꎬ还要弄清楚高考压轴题的高数背景ꎬ这样才能看清试题的命制思路和背景ꎬ才能更好地服务于教学.１预备知识定义㊀称ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ 为迭代数列ꎬ称其中的ｆ(ｘ)为迭代函数.(以下均假设ｆ与ｎ无关)[１].定理１㊀设数列{ｘｎ}满足迭代公式ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ且已知ｌｉｍｎңɕｘｎ＝ｃꎬｌｉｍｎңɕｆ(ｘｎ)＝ｆ(ｃ)ꎬ则极限ｃ是方程ｆ(ｘ)＝ｘ的根(即ｆ(ｘ)的不动点).㊀注㊀条件ｌｉｍｎңɕｆ(ｘｎ)＝ｆ(ｃ)在ｆ(ｘ)于点ｃ处连续时就成立.定理的证明是显然的ꎬ但定理提供了一种方法ꎬ即在研究迭代数列时ꎬ先假设它收敛ꎬ看极限是什么ꎬ然后再证明这就是该数列的极限.定理２㊀设函数ｆ(ｘ)在区间Ｉ上单调ꎬ数列{ｘｎ}满足迭代公式ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎɪＮ∗ꎬ且ｘｎɪＩꎬｎɪＮ∗ꎬ则只有两种可能:(１)当ｆ(ｘ)为单调递增时ꎬ{ｘｎ}为单调数列ꎻ(２)当ｆ(ｘ)为单调递减时ꎬ{ｘｎ}的子列{ｘ２ｎ－１}和{ｘ２ｎ}是具有相反单调性的两个单调子列.其几何解释如下图:图１㊀定理２几何解释２高考试题及其背景分析例１[２]㊀(２０１４年重庆卷理)设ａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ａ２ｎ－２ａｎ＋２＋ｂ(ｎɪＮ∗).(１)若ｂ＝１ꎬ求ａ２ꎬａ３及数列{ａｎ}的通项公式ꎻ(２)若ｂ＝－１ꎬ问:是否存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有ｎɪＮ∗成立?证明你的结论.８２解析㊀(１)ａ２＝２ꎬａ３＝２＋１ꎬａｎ＝ｎ－１＋１. (２)解法１㊀设ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)２＋１－１ꎬ则ａｎ＋１＝ｆ(ａｎ).令ｃ＝ｆ(ｃ)ꎬ即ｃ＝(ｃ－１)２＋１－１ꎬ解得ｃ＝１４.下面用数学归纳法加强命题:ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１<１.当ｎ＝１时ꎬａ２＝ｆ(１)＝０ꎬａ３＝ｆ(０)＝２－１ꎬ所以ａ２<ｃ<ａ３<１成立.假设当ｎ＝ｋ(ｋȡ１)时命题成立ꎬ即ａ２ｋ<ｃ<ａ２ｋ＋１<１.因为ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ１]上单调递减ꎬ所以ｃ＝ｆ(ｃ)>ｆ(ａ２ｋ＋１)>ｆ(１)＝ａ２.所以１>ｃ>ａ２ｋ＋２>ａ２.所以ｃ＝ｆ(ｃ)<ｆ(ａ２ｋ＋２)<ｆ(ａ２)＝ａ３<１.所以ｃ<ａ２ｋ＋３<１.因此ａ２(ｋ＋１)<ｃ<ａ２(ｋ＋１)＋１<１ꎬ即当ｎ＝ｋ＋１时命题也成立.综上ꎬ存在ｃ＝１４使ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.背景分析㊀在解法１中ꎬ为何设ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ＋２－１?又为何设ｃ＝ｆ(ｃ)呢?本题以迭代数列为背景ꎬ考查迭代数列的极限.由定理１ꎬ先求出ｆ(ｘ)的不动点ꎬ即令ｃ＝ｆ(ｃ)ꎬ再证明ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.考查函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ＋２－１ꎬ易知ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ且当ｘɪ[０ꎬ１]时ꎬ有ｆ(ｘ)ɪ[０ꎬ１]成立.因为ａ１＝１ɪ[０ꎬ１]ꎬ由数学归纳法可知ａｎɪ[０ꎬ１].根据ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ且ａｎɪ[０ꎬ１]ꎬ知本题的高数背景是定理２的情况(２)ꎬ即{ａ２ｎ}和{ａ２ｎ－１}是两个具有相反单调性的数列.利用极限知识求出它们的极限即可ꎬ具体操作如下:计算可知ꎬａ２＝ｆ(ａ１)＝０ꎬａ３＝ｆ(ａ２)＝２－１.即有ａ１>ａ３成立.又因为ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ所以ａ２＝ｆ(ａ１)<ｆ(ａ３)＝ａ４.同理可得ꎬａ３＝ｆ(ａ２)>ｆ(ａ４)＝ａ５.一直下去ꎬ可得:ａ１>ａ３> >ａ２ｎ－１>ａ２ｎ＋１(ｎɪＮ∗)ꎬａ２<ａ４< <ａ２ｎ<ａ２ｎ＋２(ｎɪＮ∗).即{ａ２ｎ－１}ꎬ{ａ２ｎ}分别是两个单调有界的数列ꎬ利用单调有界定理可得:ｌｉｍｎңɕａ２ｎ＝Ａꎬｌｉｍｎңɕａ２ｎ＋１＝Ｂꎬ且ａ２ｎ<Ａꎬａ２ｎ＋１>Ｂ(ｎɪＮ∗).实际上ꎬ这里Ａ＝Ｂ＝１４.下面利用数列极限知识计算ＡꎬＢ的值.因为ａ２ｎ＋１＝ａ２２ｎ－２ａ２ｎ＋２－１ꎬａ２ｎ＋２＝ａ２２ｎ＋１－２ａ２ｎ＋１＋２－１ꎬ对以上两式两边取极限ꎬ可得Ｂ＝Ａ２－２Ａ＋２－１ꎬＡ＝Ｂ２－２Ｂ＋２－１.解得Ａ＝Ｂ＝１４.因此存在ｃ＝１４使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.解法２㊀当ｂ＝－１时由题意ꎬ得(ａｎ＋１＋１)２＝(ａｎ－１)２＋１.从而得到(ａ２ｎ＋１＋１)２＝(ａ２ｎ－１)２＋１.①假设存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有的ｎɪＮ∗都成立ꎬ又ａｎ＋１＋１ȡ１ꎬ则(ａ２ｎ＋１)２<(ｃ＋１)２<(ａ２ｎ＋１＋１)２.由①式得(ａ２ｎ＋１)２<(ｃ＋１)２<(ａ２ｎ－１)２＋１.由(ａ２ｎ＋１)２<(ａ２ｎ－１)２＋１ꎬ解得ａ２ｎ<１４.由①式得(ａ２ｎ＋１＋１)２＝(ａ２ｎ－１４)２－３２ａ２ｎ＋１５１６＋１>－３２ａ２ｎ＋１５１６＋１>－３２ˑ１４＋１５１６＋１＝２５１６.解得ａ２ｎ＋１>１４.综上ꎬ得ａ２ｎ<１４<ａ２ｎ＋１.故存在ｃ＝１４使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.９２例２㊀(２０１２年大纲全国卷理)函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ－３.定义数列{ｘｎ}如下:ｘ１＝２ꎬｘｎ＋１是过两点Ｐ(４ꎬ５)ꎬＱｎ(ｘｎꎬｆ(ｘｎ))的直线ＰＱｎ与ｘ轴的交点的横坐标.(１)证明:２ɤｘｎ<ｘｎ＋１<３ꎻ(２)求数列{ｘｎ}的通项公式.解析㊀由题意得ｘｎ＋１＝４ｘｎ＋３ｘｎ＋２.(１)参考答案用的是数学归纳法.(２)ｘｎ＝３－４３ ５ｎ－１＋１.过程略背景分析㊀由ｘ１＝２ꎬｘｎ＋１＝４－５ｘｎ＋２知ꎬ２ɤｘｎ<４.由于ｆ(ｘ)＝４ｘ＋３ｘ＋２＝４－５ｘ＋２在[２ꎬ４)上单调递增ꎬ根据定理２的情形(１)ꎬ知数列{ｘｎ}单调递增.由单调有界定理ꎬ知ｌｉｍｎңɕｘｎ存在ꎬ不妨设ｌｉｍｎңɕｘｎ＝Ａꎬ则ｌｉｍｎңɕｘｎ＋１＝Ａ.对ｘｎ＋１＝４ｘｎ＋３ｘｎ＋２两边取极限ꎬ得Ａ＝４Ａ＋３Ａ＋２ꎬ即(Ａ＋１)(Ａ－３)＝０ꎬ解得Ａ＝－１(舍)ꎬＡ＝３.所以２ɤｘｎ<ｘｎ＋１<３.例３㊀设数列{ａｎ}满足:ａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ｂ１＋ａｎꎬｎɪＮ∗.(１)若ｂ＝－１４ꎬ令ｂｎ＝ａｎ＋１２ꎬ求数列{ｂｎ}的通项公式ꎻ(２)若ｂ＝１ꎬ问:是否存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有ｎɪＮ∗成立?证明你的结论.解析㊀(１)ｂｎ＝３６ｎ－４.(２)方法类似于例１的解法２.背景分析㊀由于数列为正项数列ꎬ因此迭代函数ｆ(ｘ)＝１１＋ｘ在(０ꎬ１]上单调递减ꎬ且ａｎɪ(０ꎬ１].由ｃ＝ｆ(ｃ)求出不动点ꎬ得ｃ＝５－１２.根据以上分析ꎬ其高数背景是定理２的情形(２)ꎬ即需证子列{ａ２ｎ}和{ａ２ｎ－１}分别单调ꎬ且收敛于同一极限ｃ.ａ２＝１１＋１＝１２ꎬａ３＝１１＋ａ２＝２３<ａ１＝１.即０<ａ３<ａ１＝１由ｆ(ｘ)在(０ꎬ１]上单调递减ꎬ得ａ２＝ｆ(ａ１)<ｆ(ａ３)＝ａ４.即０<ａ２<ａ４<１.进而ꎬａ３＝ｆ(ａ２)>ｆ(ａ４)＝ａ５ꎬａ４＝ｆ(ａ３)<ｆ(ａ５)＝ａ６ꎬ一直下去ꎬ可得ａ２<ａ４<ａ６< <ａ２ｎ<ａ２ｎ＋２ꎬａ１>ａ３>ａ５> >ａ２ｎ－１>ａ２ｎ＋１.即{ａ２ｎ－１}ꎬ{ａ２ｎ}分别是两个单调有界的数列ꎬ故ｌｉｍｎңɕａ２ｎ＝Ａꎬｌｉｍｎңɕａ２ｎ＋１＝Ｂꎬ且ａ２ｎ<Ａꎬａ２ｎ＋１>Ｂ(ｎɪＮ∗).因为ａ２ｎ＋１＝１１＋ａ２ｎꎬａ２ｎ＋２＝１１＋ａ２ｎ＋１ꎬ对以上两式两边取极限ꎬ可得Ｂ＝１１＋Ａ且Ａ＝１１＋Ｂꎬ解得Ａ＝Ｂ＝５－１２.３结束语站得高ꎬ才能看得远.作为教师ꎬ应该具备一定的高等数学知识ꎬ这其实就是我们大学本科四年学习的基本功ꎬ这样ꎬ遇到压轴题才能轻松应对ꎬ游刃有余.在具体操作上ꎬ可先分析出试题的高数背景ꎬ获得答案ꎬ这时就得到了解题的方向ꎬ然后再用高中知识和方法去书写解题过程.由此可见ꎬ掌握一定的高数知识ꎬ弄清楚高考题的高数背景和命制思路是非常必要的.参考文献:[１]王晖.数列很重要㊀综合常考到[Ｊ].中学生理科应试ꎬ２０２０(１２):５－１０.[２]李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法[Ｍ].合肥:中国科学技术大学出版社ꎬ２０２２.[责任编辑:李㊀璟]０３。

对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
高考数学卷压轴题往往是难度最大、思维最复杂的一道题目。

对于考生来说，这不仅是一件考验智商的事情，更是挑战思维和解题能力的机会。

在解答这种类型的题目时，要有耐心、细心、理智，思路清晰，方法得当。

首先，要认真阅读题干，明确问题。

在阅读中须注意数据和条件，梳理各种信息，尤其是一些重要的条件和限制，如区间、范围、等式、不等式以及与相关变量的关系等，对于解题过程中的把握和计算将起到至关重要的作用。

其次，要找到合适的方法和解决思路。

针对不同的题型，应该灵活运用代数、几何、统计、推理、概率等各种数学知识，找到最简单、最快捷的方法来求解问题。

如对于一些图形变换题目或者容斥原理等组合问题，我们可以运用几何知识去思考、解题；对于一些像余弦值或正切值之类的三角函数问题，我们可以通过代数和几何相结合想办法求出其近似值，并进一步搭配其他相关性函数来解决; 使用几何思想推导数学定理等都是一些灵活应用的例子。

最后，在解答过程中也要注意细节，严密把握每一步计算、推导。

不要心急，一定要认真检查，以防万一出错。

此外，要保持冷静，乐观态度，坚定信念，不要让不必要的紧张和焦虑影响到正常解题思路和效率。

总的来说，对于一道高考数学卷压轴题，解答的关键在于平时复习的基础和对综合运用各种解题思路的灵活性。

要不断摸索，积累经验并灵活运用，带着问题思考和解决问题的能力在高考时打出好成绩。