对一道数学初赛试题的解法探究
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试题 第 １ ３题 让 人 耳 目一新 ， 该题 解题 入 口宽 、 解 法 丰富多 彩． 如果 引 导学 生 就 此 题 展 开 一 次深 入
，
则 尼≥
Байду номын сангаас
．
于是 ， 面 的问题 就 是 探 寻 二 元 函数 的最 下 大值 ．
的探究 ， 以帮助 学生 强化 知识 之 间的 内在联 系 ， 可
直 线 ｚ ＋ ＋ ｃ＝ ｏ的距 离的 ￣Ａ。 Ｂ 倍 ． ： ／ ＋ 。
如 果从 平面 向量 的视 角来 看 ， 线 ｚ 直 ： ＋ ＋Ｃ ＝Ｏ 的法 向量 为 一 （ Ｂ） 若设 点 Ｎ（ 。 为 Ａ， ， ｚ， ） 直线 ｚ ： ＋ ＋Ｃ— Ｏ 的点 ， 可行 域 内的点 上 则
≥
点评 将求 二 元 函数 的 最值 转 化 为求 一 元 所 以 ‰ 一 ， 忌≥ ． 故 函数 的最值 问题 ， 这是 常用 的减 元 策 略． 而对 于 比
较复 杂 的一元 函数 ， 以利用 导数 求其 最值 ； 可 也可
＝
当一 时 ～一 故 ≥ ÷ ， ， ．
方法 ５ 转 化为含 参数 的 二 次方程 ） （ ：
由 “一
（ 一 三 ＞ ０ 得 ￡ ）
：
＋１ 两边平 方得 “ （ ） ， 。２ ＋１ 一 ＋２ ＋１ 即 （ “ ， ２２
—
１ ２ ） 一 √ ＋ ２ １一 Ｏ — ．
一
题 目 若不等式 ＋√ ≤ 志 歹
意正 实数 ， 立 ， 是的取 值范 围． 成 求
干 对任
≤
分析 此 处 很 自然会 想 到 用 分 离 变 量 的 方 法 将 问题转 化 为求 函数 最值 ：
厂 ｌ 厂 － ＿
学 一 号 ．
因 ｏ ，且 当ｚ 丢 为 ＞， ≤ 当 仅 ２一 故
由题设知 是≥
皇 恒成立． 垡 设 一
Ｚ 十 ｚ
・
４ ・ ２
中学数 学 月刊
２Ｏ Ｏ ９年第 ８期
所 以 ‰ 一 ’ 志≥ ． 故
一
± 二 ± ：
２ （￡ １睾 ２ ＋ ）
１— ２
而
’
方法 ２ 构 造 三元 常用 不等式） （ ：
譬 ＋ （
一
ｙ ｌ
观．
例 ５ 已知 实 数 ｚ， 满 足
ｆ ｚ— ＋ ２≥ Ｏ，
＋ 一 ４≥ Ｏ，
ｑ
ｌ — 一 ５≤ ｏ ２ ，
求 ｚ— ｌ ｚ＋ ２ 一 ４ｌ 的 最 大值． 解 析 作 出 可 行
ｃ 盟 步 ＋ Ｊ
２Ｄ ／
＝
交汇 ， 不仅 有效 实 现 了数 学 知识 和 方法 的整 合 ， 同
域 如 图 ６所 示 ， 目标 将 函数 — ｌ ｚ＋ ２『 ４ ｌ 一 ３
√５
图 ６
转 为 ． 弩 ， 化 一 Ｌ 二 ，
对 一 道 数 学 初 赛 试 题 的 解 法 探 究
徐 珞 （ 江苏省 盐城 中学 ２４ ０ ） ２ Ｏ ５
２０ Ｏ ９年全 国高 中数 学 联赛 江苏 赛 区初 赛 中 ，
由二 次方 程 （ 一１ 一 ２ 十 一 １ Ｏ有 ２ ） ｚ ＝
易得 所 ｚ √ 一 且 当 正根 ， △一 ４—４（２ 一 １）（ 一 １）≥ Ｏ， 乱 以一号冬≤ ， 仅 得 ２ 、 ｚ 圭 导 当 ＋
一
√ ， ４时 得 号 号即 ｚ 取 等 ． 一
≤
‰ 一
提高 学生 综合 能力 及 解 决 问题 的 能 力 ， 能 拓 展 还
视野 、 跃思 维 ， 升创 造 性 思 维水 平 ． 活 提 下面 叙 述 的就 是笔 者 和学生 们 以此 为载 体所 经历 的一 次探
索之旅 ．
探 究 １ 能否创 造条 件使 用 重 要不 等式 ？
方 法 １ 构造 二元 基本 不 等式 ） （ ：
２Ｏ Ｏ ９年第 ８期
中学 数 学月 刊
・ ４ ・ １
２ ４ ｚ＝ Ｉ ．
＋ ＋ ｃ ｌ 的 目标 函数 型 ＋ ＋ Ｃｌ 。 Ｂ。・ ＋
则 所求 问题化 归 为求 可行 域 内的点 Ｍ（ ） 直 ｚ， 到 线 ＋２ 一４＝ Ｏ 距离 的√ 倍 的最 大值 ． ５ 由图示 可 知， 当点 Ｍ（ ） 点 Ａ（ ，） 时 ， 到直 线 ＋ ｚ， 在 ７９ 处 它
Ｍ （ ） ｚ， 到直 线 Ｚ ： ＋ ＋Ｃ— Ｏ 的距 离可 表示
４ ０ 距 为 竿 Ｊ ， 一（ ７， — 的 离 ｌ 又 乃 ７ ）ｌ ，，
一
（，） 所 以 １２ ，
一
： 正
一
２， １ 即 — ｌ ｚ＋ ２ 一 ４ ｌ 的最 大
为
Ｉ乃 Ｉ
在 线性 规划 中 ， 于形如 一 ｌ 对 型 的 目 标 函 数 ，可 先 化 为 ＝
Ｌ 坠 鱼
√Ａ ＋ Ｂ
， 可行域内的 表示 点Ｍ ｚ ） （， 到
２， 一４— ０ ３ 的距 离 最大 ， 时在 直线 ｚ＋ ２ ４ 此 一 一
Ｏ上 取点 Ｎ（ ， ） 则 点 Ｍ （ ）到 直线 ＋ ２ 一 Ｏ２ ， ， ． ｙ
时 对 于学 生创 新意 识 的培 养 大 有 裨 益 ． 此 我们 因
一
０／
计 ２＿＝ ｙ４（
在解 决 有关 线 性规 划 问题 时 ， 站在 向量 的角度 ， 应 利 用 向量 的观 点 ， 屋建 瓴 ， 高 有意 识 地强 化 用 向量 解题 的意识 ， 单 向思维 为 多 向思维 ， 步完 善 学 变 逐 生 的认 知结 构 ， 提高 解题 的能 力 ．
， 最 佳 点 Ｍ（ ）的 寻求 比较 直 而 ， 平 面 向量 作 为 一个 基 本 工具 ， 数 学 解 题 中 在 有着 极其 重要 的地 位 与作 用 ， 将 它 的思 想 延 伸 而 到解 决线 性规 划 问题 ， 可谓 匠 心独 运． 这不 仅仅 是
知 识 层面 上 的交汇 ， 重要 的是 思 想上 、 法上 的 更 方
，
则 尼≥
Байду номын сангаас
．
于是 ， 面 的问题 就 是 探 寻 二 元 函数 的最 下 大值 ．
的探究 ， 以帮助 学生 强化 知识 之 间的 内在联 系 ， 可
直 线 ｚ ＋ ＋ ｃ＝ ｏ的距 离的 ￣Ａ。 Ｂ 倍 ． ： ／ ＋ 。
如 果从 平面 向量 的视 角来 看 ， 线 ｚ 直 ： ＋ ＋Ｃ ＝Ｏ 的法 向量 为 一 （ Ｂ） 若设 点 Ｎ（ 。 为 Ａ， ， ｚ， ） 直线 ｚ ： ＋ ＋Ｃ— Ｏ 的点 ， 可行 域 内的点 上 则
≥
点评 将求 二 元 函数 的 最值 转 化 为求 一 元 所 以 ‰ 一 ， 忌≥ ． 故 函数 的最值 问题 ， 这是 常用 的减 元 策 略． 而对 于 比
较复 杂 的一元 函数 ， 以利用 导数 求其 最值 ； 可 也可
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当一 时 ～一 故 ≥ ÷ ， ， ．
方法 ５ 转 化为含 参数 的 二 次方程 ） （ ：
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（ 一 三 ＞ ０ 得 ￡ ）
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＋１ 两边平 方得 “ （ ） ， 。２ ＋１ 一 ＋２ ＋１ 即 （ “ ， ２２
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中学数 学 月刊
２Ｏ Ｏ ９年第 ８期
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方法 ２ 构 造 三元 常用 不等式） （ ：
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例 ５ 已知 实 数 ｚ， 满 足
ｆ ｚ— ＋ ２≥ Ｏ，
＋ 一 ４≥ Ｏ，
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求 ｚ— ｌ ｚ＋ ２ 一 ４ｌ 的 最 大值． 解 析 作 出 可 行
ｃ 盟 步 ＋ Ｊ
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交汇 ， 不仅 有效 实 现 了数 学 知识 和 方法 的整 合 ， 同
域 如 图 ６所 示 ， 目标 将 函数 — ｌ ｚ＋ ２『 ４ ｌ 一 ３
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图 ６
转 为 ． 弩 ， 化 一 Ｌ 二 ，
对 一 道 数 学 初 赛 试 题 的 解 法 探 究
徐 珞 （ 江苏省 盐城 中学 ２４ ０ ） ２ Ｏ ５
２０ Ｏ ９年全 国高 中数 学 联赛 江苏 赛 区初 赛 中 ，
由二 次方 程 （ 一１ 一 ２ 十 一 １ Ｏ有 ２ ） ｚ ＝
易得 所 ｚ √ 一 且 当 正根 ， △一 ４—４（２ 一 １）（ 一 １）≥ Ｏ， 乱 以一号冬≤ ， 仅 得 ２ 、 ｚ 圭 导 当 ＋
一
√ ， ４时 得 号 号即 ｚ 取 等 ． 一
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提高 学生 综合 能力 及 解 决 问题 的 能 力 ， 能 拓 展 还
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探 究 １ 能否创 造条 件使 用 重 要不 等式 ？
方 法 １ 构造 二元 基本 不 等式 ） （ ：
２Ｏ Ｏ ９年第 ８期
中学 数 学月 刊
・ ４ ・ １
２ ４ ｚ＝ Ｉ ．
＋ ＋ ｃ ｌ 的 目标 函数 型 ＋ ＋ Ｃｌ 。 Ｂ。・ ＋
则 所求 问题化 归 为求 可行 域 内的点 Ｍ（ ） 直 ｚ， 到 线 ＋２ 一４＝ Ｏ 距离 的√ 倍 的最 大值 ． ５ 由图示 可 知， 当点 Ｍ（ ） 点 Ａ（ ，） 时 ， 到直 线 ＋ ｚ， 在 ７９ 处 它
Ｍ （ ） ｚ， 到直 线 Ｚ ： ＋ ＋Ｃ— Ｏ 的距 离可 表示
４ ０ 距 为 竿 Ｊ ， 一（ ７， — 的 离 ｌ 又 乃 ７ ）ｌ ，，
一
（，） 所 以 １２ ，
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： 正
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２， １ 即 — ｌ ｚ＋ ２ 一 ４ ｌ 的最 大
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２， 一４— ０ ３ 的距 离 最大 ， 时在 直线 ｚ＋ ２ ４ 此 一 一
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时 对 于学 生创 新意 识 的培 养 大 有 裨 益 ． 此 我们 因
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在解 决 有关 线 性规 划 问题 时 ， 站在 向量 的角度 ， 应 利 用 向量 的观 点 ， 屋建 瓴 ， 高 有意 识 地强 化 用 向量 解题 的意识 ， 单 向思维 为 多 向思维 ， 步完 善 学 变 逐 生 的认 知结 构 ， 提高 解题 的能 力 ．
， 最 佳 点 Ｍ（ ）的 寻求 比较 直 而 ， 平 面 向量 作 为 一个 基 本 工具 ， 数 学 解 题 中 在 有着 极其 重要 的地 位 与作 用 ， 将 它 的思 想 延 伸 而 到解 决线 性规 划 问题 ， 可谓 匠 心独 运． 这不 仅仅 是
知 识 层面 上 的交汇 ， 重要 的是 思 想上 、 法上 的 更 方
