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一道国际数学竞赛试题的研讨

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・ …………… （ …‘ ４ ）
显然， 当ｎ＝ １ 、３ 不等式 （） 、２ 时， ４成立； 对
其它一般情形的证 明， 留给读者去探究． 参考文献
Ｖ＋ｃ ｂ ￣ｃ Ｌ３ —ｂ ａ６ ２ ２ … ２ —十 ２＋ ＿ Ｌ （ 。 ）
证 明： 对正实数 、Ｙ ， 、Ｚ 利用 ２ 元均值不 ６
该不等式的证明是 比较简单的， 只要利用课 本上的２ 元均值不等式 ２ ｙ≤Ｘ 十 ． ｘ ０ 证明： 依据 ２ 元均值不等式， 得
＋
５ ２
＋
令 ０＝ 丽， ２ ｂ＝ ７
式， 得
ｃ 器， ＝ 由如上不等
＋ Ｃ ２
一 ， ｂ ｔ － ２
丽
≥ １ 当且仅当 ａ＝ｂ 时取等号． ， ＝Ｃ 最后， 依据以上 ３ 个不等式的内在规律， 就可 提出一般性的情形．
赤 就 １ ５ ≥ ３ ４ 赤
同 理
、 —
ｘ＋ ｙ＋ ｚ —
（） １ 多种刊物对此不等式从证 明、加强、推广等 方面进行了各种各样的探讨， 本文想仅从开方次
・ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
≥丽ｚ ，
故 得
… 罗增儒． 数学解题学引论 【 ． Ｍ】陕西师范
等式， （ ＋Ｙ 。 ３ ３ ＋３ 。 ＋ 得 ＋ ） ＝Ｘ ＋Ｙ ＋ ３ （ Ｙ ｘ ｙｚ ２） （ ｚ ＋Ｚ ＋６ｙ ≥Ｘ＋ ２ ＋ＺＸ ＋３ ｙ ＋ｙ Ｘ） ｘ ｚ ３ ｘ
２ ６
＝
大学出版社， ０ ８ ２０ ．
５４ －０
数 学数 学
２１年第 ５ ００ 期
一
道 国际数学竞赛试题 的研讨术
Hale Waihona Puke ７ ０ 陕西省成阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 １０ ２０
第２ 届 国际数学奥林 匹克试题里有这样一 ４ 道代数不等式证 明题： 问题： 已知ａ 、Ｃ 、ｂ 为正实数， 求证： Ｉ … 一 垒一 Ｉ ～ 一． ｃ 、１ ｘａ ＋ ８ｃ ’ｘ ＋８ ａ 。ｘ ＋８ ｂ ／ ２ —ｂ — ／ ￣ ｃ’ ／ ￣ ａ 。
本文获得咸 阳师范学院重点科研课题 （８ ＹＫｌ０ 项 目支持 ０ ＸＳ ｌ）
数方面进行研讨． 首先考虑开方次数为一次的情形： 研讨 １ ：已知 ａ 、ｃ 、ｂ 为正实数， 求证：
ａ． Ｚ
Ｖ ｉ弼 ３ ＿ ／ ５ Ａ
十３ ．／ Ｖ
嚣丽
≥ １ ．
０ ＋２ｃ。６ ＋２ｎ ’ｃ． ０ 一・２ ２ ６ ｃ ６≥１ ‘ ） ＋２ ＝ ． （
研讨 ３ 已知 ａ 、ｃ ： 、ｂ 为正实数， ｎ 且 为正整 数， 明或否定： 证
！ 一 －
０ ２＋ ２ ｃ 。 ｂ ｂ ２＋ ２ ａ 。 Ｃ ｃ ２＋ ２ ｂ ａ
、
／ ，
ａ２ Ｉ Ｃ ２ ｂ ２ Ｉ ０ ＋ ６ ＋ ｃ 。６ ２ ０＋ ｃ ＋ ０ ‘ｃ ２ ＋ ０ ＋ ６ ２
【 单蹲． ２ 】 解题研究【 ． Ｍ】 南京师范大学出版
社， ０ ２ ２０ ．
。＋ ２ 丽 丽 丽 ６ ２ ２ ２ ４ ７ ７
，
即（ ＋Ｙ ） ＋ 。≥Ｘ ＋ ３
２４ 丽 形 靠 ６ ２｝ ） ７ ／得 ２２ ７ 变
≥
【 安振平． ３ 】 妙用２ 元均值不等式证明 不等式 【＿ Ｊ 中学数学教学参考（ 】 上半月）２０（ ： —９ ，０８９ ２ ２． ）５ 【 安振平． ４ 】 在阅读理解与思考变化中学习 数学［． Ｊ 数学通报，０８ ７： ０ ６． ］ ２０ （ ６ — １ ）
＝
１ 当且仅当 ａ＝ｂ 时取等号． ， ＝Ｃ 所 以 ＋ ｂ Ｚ ＋ Ｃ Ｚ ＇
≥１
．
从开方次数为 １ 次的不等式 （） ２、开方次数 为２ 次的不等式 （）我们接着考虑开方次数为３ １，
次的情形： 研讨 ２ ：已知 ａ 、ｃ 、ｂ 为正实数， 求证：
Ｖ 二 ｒ 。 — 厂 。 ０＋（ 一１ ｃ Ｖｂ＋（ 一１ａ ’ ３ ） ３ ） ｎ ｂ ２ ｎ ｃ

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2023国际数学奥林匹克竞赛试题解答与评注

2023国际数学奥林匹克竞赛试题解答与评注

2023国际数学奥林匹克竞赛试题解答与评注1.引言2023年国际数学奥林匹克竞赛（简称IMO）是全球顶级的数学竞赛之一，每年都吸引着世界各地最顶尖的数学高手参与。

这项比赛不仅考察了参赛者的数学功底，更是对他们逻辑思维、创新能力和解决问题的能力的挑战和考验。

在本文中，我们将对2023年IMO的试题进行深入分析，探讨试题解答，并对试题进行全面的评注。

2.分析和解答我们需要深入分析和解答2023年IMO的试题。

这些题目通常包括几道难度不同、涉及不同数学领域的题目，例如代数、几何、组合数学和数论等。

在解答这些题目时，参赛者需要灵活运用数学知识，发挥自己的思维和创造力，找出解题的突破口。

在这里，我们就以其中一道代表性试题为例，逐步展开分析和解答。

3.问题一：XXXXX这是一道关于XXXXX的问题，题目描述了XXXXX的情境，要求参赛者证明或计算某个特定的结论。

我们通过探究XXXXX的定义和相关性质来理解题目的背景和条件。

我们可以尝试运用一些常见的数学方法和定理，如XXXXX定理、XXXXX公式等，根据题目条件和要求进行推导和计算，最终得出结论。

我们可以通过详细的数学推导和演算，对解题过程进行逐步分析，说明每一步的推理和逻辑，以及如何得出最终的答案。

4.问题二：XXXXX接下来，我们继续分析另一道题目——XXXXX。

这道题目涉及到XXXXX的概念和性质，要求参赛者给出某种特定的解释或证明。

在解答这道题目时，我们可以运用一些特定的数学方法和技巧，例如XXXXX的变换、XXXXX的化简等，从而化繁为简，找到问题的本质。

我们还可以借助一些经典的数学定理或结论，如XXXXX定理、XXXXX公式等，加深我们对题目的理解，并寻找解题的线索和突破口。

我们需要清晰地展现解题过程，说明每一个步骤的合理性和有效性，以及为什么得出这样的结论。

5.总结和回顾在全面分析和解答了2023年IMO的试题之后，我们可以对这些试题进行总结和回顾。

一道全国竞赛试题的深入探讨

一道全国竞赛试题的深入探讨

Ｌ
厶
Ｊ
Ｊ ．
『 －
垫 ］解 组．
证 明 因 Ｘ ， ２∈ Ｎ ｚ ＜ Ｘ ， 以 ２ １Ｘ ， １ ２所 ≥ ｚ ＋ １ 于是有 １ ，
１
当 １，， ］， 定 程Ⅱ ｚ ， ［ 时得 方 （ 取２ … 不 ）
解 的组数 为
＋ｚ ＋ １ ｚ ＋ 一 ， ｐ ｚ ≤ 兰 １ ≤ １ ｆ得 １ ！
一 一
单
：
兰 二 至 兰
一． 丢Ａ
（ ２ Ⅱ一 ）
利用定理 ｌｎ （ 取 一３ ｔ ｚ 代之） 得不定方程 ，
（ ） Ｎ － ，：生 Ｉ 有 （ ３２ ［ ｎ ）
一
］解 组．
整数且 ７ ３ｚ ，２ ２ ，ｌ ∈Ｎ ， ≥ 且满足 ｚ ＜ ２则不 １ ，
由此可得不定方程（ ） Ｉ 也有 Ｎ（ 一３ ２ ｚ ，）
定方 Ｉ 解的 为Ｎ ｎ ） 程（ ） 组数 （， 一Ｉ ２
・
４ ４・
中学数学月刊
２ ０ 年第 ７ ０９ 期
一
道全 国竞赛试题的深入探讨
沈家书 马 宇 （ 江苏省徐 州高级 中学 ２１０ ） ２０ ９
２０ 年全国高中数学联合竞赛一试第 ９ ： ０８ 题
将 ２ 个志愿者名额分配给 ３ ４ 个学校 ， 则每校 至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法 共有 种． 原标准答案提供一种解法 ， 本文另辟蹊径， 给 出新 的解法， 并研究其一般情况 ， 使这类 问题得到 完 满 的解 决． 分析 设分给 ３个学校的名额分别为 ｚ ， ２， ３， 根 据题设 ， 得 １ ２｛Ｘ — ２ ，２ ＋Ｘ － ３ ４（１Ｘ ， － ３
∈ Ｎ ） （ ． ＊）
∑Ｉ 专 ］ ＝ 一 １ Ｌ ［ １ ．
抓住“关键” 把握“异同”——对一道国际奥赛题的再探究

抓住“关键” 把握“异同”——对一道国际奥赛题的再探究

线 的方 向向量 和平 面 的法 向量来 描述 空 间线 面之 间 的
步提高 ， 从而使课堂教学效果最大化． ■
高 中 版 十 ？ 擞・ ？ 黧 麓 一
教 参
解 法 探 究
２ ０ １ ３年 ６月
二、 不 等 式 的新 隔 离 事实上 ， 对 于不等式① ， 我们 可以得到一个更 为完美
注： 抓 住 不 等 式 中等 号 成 立 的 “ 关键” 时刻 ． 巧 妙 地 通 过 分 析 一 般 时刻 与 关键 时 刻 的 异 同 ．从 而使 得 待 证 不等
证明： 在 ＡＡ Ｂ Ｃ 中不妨 设０ ≥６ ≥ｃ ， 如 图１ ， 以Ｂ Ｃ 为边
构 造等 边 △Ａ 日 ｃ ，记Ａ Ａ ＝ ｄ ，则 Ａ ＡＡ Ａ Ｂ中， 由余弦定理有
的不等式链 ：
定理： 设 ＡＡ Ｂ Ｃ 的三 边分 别 为ａ ， ｂ ， Ｃ ， 记 ＡＡ Ｂ Ｃ 的面
ｃ 积为Ｓ ， ｐ ＝ — ａ ＋ ｂ ＋＋ ２ 。 、 ／ ≥ ４ ｓ （ ｔ ａ ｎ ＋ ｔ ａ ｎ 导 ＋ ｔ ａ ｎ 导 ） ．
（ 一 ２ ， ２ ， ０ ） ， ： （ 一 ２ ， ０ ， ２ ） ，
＼ ｊ ／
或ｃ ０ ｓ Ｏ ＝ ｓ ｉ ｎ ．
所 以， ， 且Ｚ ＝ ３ ｘ ．令 ＝ １ 得 到ｎ ＝ （ １ ， １ ， ３ ） ． 设Ｅ Ｇ 与 Ｄ Ｂ 所成 的角
总之 ， 在立 体几何 中巧妙 运用 空间向量法 ， 能够将复 杂 的空间问题 简单化 ， 这种思维方法的实用性是其他方法 无法 比拟的． 作为一线 的高中数学教师 ， 在平时有关立体几 何知识的课 堂教学 中， 灵活运用空间向量方法解决 问题 的 意识必须要加 强 ， 通过适 当的训练来提高 向量代数运算 的 熟练程度和推理能力 ， 在熟练运用空间向量的基本知识和 技能 的基础上 ， 使得处理复杂立体几何 问题的实际能力进
从一道国际数学奥赛试题的背景谈起

从一道国际数学奥赛试题的背景谈起

121226x x x y y y+=++=+，即12124x x x y y y +=+=，．于是A B 的中点坐标为4()22x y，．当A B 不与x 轴垂直时，1212/2(4)/228y y y y x x x x ==，即1212()8y y y x x x =．又因为A B ,两点在双曲线上，所以22112x y =，22222x y =，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y +=+，即1212()(4)()x x x y y y =．将1212()8y y y x x x =代入上式，化简得22(6)4x y =．当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y =．(II)假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．当A B 不与x 轴垂直时，设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =≠±．代入222x y =有2222(1)4(42)0k x k xk ++=．则12x x ,是上述方程的两个实根，所以212241kx x k+=，2122421k x x k+=，于是CA CB 21212()()(2)(2)x m x m k x x =+22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k+++=++222222(12)2442(12)11m k m m m m kk+=+=++．因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m =，即1m =，此时CA CB =1．当AB 与x 轴垂直时，点A B ,的坐标可分别设为(22)，，(22)，，此时(12)(12)1CA CB ==，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．评注：类似试题还有2006全国卷20，2006陕西21等等．从上述几个例子可以看出：以解析几何知识为载体，以向量为工具，以考查轨迹方程曲线性质和向量有关公式及其应用为目标，是近年来高考在向量与解析几何交汇处设置试题的特点，对于解析几何中图形的重要位置关系(如平行、垂直、相交、三点共线等)和数量关系(如距离、角等)，向量都能通过其坐标运算进行刻划．因此，在解析几何复习时应适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的基本方法．求解解析几何试题时只要要认真分析图形位置关系和数量关系，充分挖掘试题的向量背景，就完全有可能获得一个简捷的解法．此外，作为高中课标课程新增内容之一的向量具有数形兼备的特点，是联系众多知识的桥梁．所以，向量与三角、解析几何、立体几何的交汇应该是当今高考命题的一种趋势，考查的力度会逐渐加大．因此，必须重视对这些知识的复习和演练，直至深刻理解、灵活运用．从一道国际数学奥赛试题的背景谈起福建师范大学数学与计算机科学学院04级魏清达(350108)第十一届国际数学奥林匹克竞赛试题：已知对于所有实数121212,,,,,x x y y z z ，其中1x >20,0x >，21110x y z >，22220x y z >，求证：811x y z x y z ≤+，并给出等号成立的充要条件．从已知条件和所要求证的结论看，似乎是在考查求证一个不等式的方法．但是，这个不等式是如何构造出来的呢？我们先来证明一个关于正定矩阵的命题并通过该命题认识这道赛题所涉及的背景知2008年第3期福建中学数学15222121212111222识．命题如果1M ，2M 是n 阶正定矩阵，则1122det()n M M ++1211det det M M ≤+，等号成立的充要条件是12M M =．证明因为1M 是n 阶正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵1P ，使得111'P M P E =，其中E 是n 阶单位阵．又121'P M P 是n 阶实对称矩阵，故存在n 阶正交矩阵2P ，使得21212''P P M P P 10000nλλ=，其中0i λ>为矩阵121'P M P 的特征值(1,2,,)i n =．令12P P P =，则1'P M P E =，①120000'00nP M P λλ=，②从而11210000'()01nP M M P λλ++=+．所以121det (det )M P =，1222det (det )n M P λλλ=，12122(1)(1)(1)det()(det )n M M P λλλ++++=.运用均值不等式，得12i i λλ+≥，③则1112i iλλ≤+(1,2,,)i n =，1212121n n λλλλλλ+≥．因为1122det()n M M ++12122(det )(1)(1)(1)n n P λλλ+=+++12122(det )2n nnP λλλ+≤2122(det )nP λλλ=，且2211(det )(det )P P M M λλλ+=+2122(det )nP λλλ≥，所以1122det()n M M ++1211det det M M ≤+.由③知，等号成立的充要条件是1iλ=，此时2'P M P E =，然后由①和②，得到1M =2M ．当2n =时，设11111x z M z y =，22222x z M z y =，则1212121212x x z z M M z z y y +++=++，21111det M x y z =，22222det M x y z =，12det()M M +2121212()()()x x y y z z =+++．由于命题成立的前提条件为12,M M 是正定矩阵，根据“一个对称矩阵为正定矩阵的充要条件是该矩阵的顺序主子式大于0”这一结论可知，120,x x >>0，21110x y z >，22220x y z >．因此，当10,x >20x >，21110x y z >，22220x y z >时，有21212128()()()x x y y z z +++2211122211x y zx y z ≤+成立，这正好就是我们所要求证的不等式，且等号成立的充要条件是12M M =，即121212,,x x y y z z ===．综上，这道国际数学奥赛试题正是以高等数学的知识为背景命制的．因此，对于试题的命制者来说，具备一定的高等数学知识，才能使得命制的试题既渗透高等数学的重要思想方法又让学生可用初等数学的方法解题的目的．以高校教师为主参与高考命题是趋势，这就要求中学数学教师应该强化用高等数学的观点去认识初等数学的意识，才能对高考试题有一个正确的认识和把握．16福建中学数学2008年第3期1212det det n。