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概率统计 期末考试卷(附参考答案)

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《概率论与数理统计》期末考试卷 注：标准正态分布的分布函数值 9922.0)42.2(9975.0)81.2(9950.0)575.2(,8413.0)0.1(

99.0)33.2(,975.0)96.1(,95.0)645.1(,9.0)285.1(

一、（10分）假设一枚弹道导弹击沉航空母舰的概率为31，击伤的概率为21，击不中的概率为61，并设击伤两次也会导致航空母舰沉没，求发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰的概率？

二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14），

求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率； （2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率； （3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。

三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。假设过关人中有96%是非危险人物。问： （1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？ （2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少这样的检查关卡？ 四、（8分）随机变量X服从),(2N，求)0( aaYX的密度函数 五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为： -1 0 1 2

-2 a 0 0 0 -1 0.14 b 0 0 0 0.01 0.02 0.03 0 1 0.12 0.13 0.14 0.15 已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。

X Y 六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。 决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？

七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：byax0,0上服从均匀分布。（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12DYDX，求参数a、b；（3）判断随机变量X与Y是否相互独立？ 八、（8分）证明：对连续型随机变量，如果cE3||存在，则0t，3)|(|tctP。 九、（12分）设（X，Y）的密度函数为 其他010,10,),(yxAxyyxf

求（1）常数A；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sYtXEe；（4）EX，DX，Cov(X，Y)。 十、（8分） 电视台有一节目“幸运观众有奖答题”：有两类题目，A类题答对一题奖励1000元，B类题答对一题奖励500元。答错无奖励，并带上前面得到的钱退出；答对后可继续答题，并假设节目可无限进行下去（有无限的题目与时间），选择A、B类型题目分别由抛均匀硬币的正、反面决定。 已知某观众A类题答对的概率都为0.4，答错的概率都为0.6；B类题答对的概率都为0.6，答错的概率都为0.4。 （1）求该观众答对题数的期望值。 （2）求该观众得到奖励金额的期望值。

参考答案 一、（10分）假设一枚弹道导弹击沉航空母舰的概率为31，击伤的概率为21，击不中的

概率为61，并设击伤两次也会导致航空母舰沉没，求发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰的概率？

解：设iA＝｛第i枚弹道导弹击沉航空母舰｝，iB＝｛第i枚弹道导弹击伤航空母舰｝

iC＝｛第i枚弹道导弹没有击中航空母舰｝，i＝1，2，3，4

D＝｛发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰｝ 31iAP，21iBP，6

1

iCP，i＝1，2，3，4

43214321432143214321BCCUCCBCUCCCBUCCCCUBCCCCD 

43443214321432143214321

6132161461

BCCCPCBCCPCCBCPCCCBPCCCCPDP

46

1311DPDP= 0.99

二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J、Q、K、A），

求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率； （2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率； （3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。 解：（1）A＝｛同花顺（5张同一花色连续数字构成）｝

552552

36)413(4CCAP.

（2）A＝｛3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）｝ 552

2411234113

C

CCCCAP

（3）A＝｛3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）｝ 552

141421234113

C

CCCCCAP

三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。假设过关人中有96%是非危险人物。问： （1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？ （2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？ 解：（1）设A＝｛被查后认为是非危险人物｝， B＝｛过关的人是非危险人物｝，则 BAPBPBAPBPAP9428.005.004.098.096.0

998.0APBAPBPABP

（2）设需要n道卡，每道检查系统是相互独立的，则 Ci={第i关危险人物被误认为非危险人物}，nnCCP05.01，所以

999.005.01n，05.0ln0001.0lnn，即1005.0ln0001.0lnn=[3.0745]+1 = 4

四、（8分）随机变量X服从),(2N，求0,aaYX的密度函数 解：当1a时，1Y，则1110yyyFY 当10a时，当0y时，0yYPyFY，0dyydFyfYY 当0y时，yaXPyaPyFXYlnln ayXPyFYlnln

ayayXPlnln1lnln1

2

2

2)lnln(21ln1

ayYYeaydyydFyf

当1a时，当0y时，0yYPyFY，0dyydFyfYY 当0y时，ayXPyFYlnlnaylnln 2

2

2)lnln(21ln1

ayYYeaydyydFyf

五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为： -1 0 1 2

-2 a 0 0 0 -1 0.14 b 0 0 0 0.01 0.02 0.03 0 1 0.12 0.13 0.14 0.15 已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。 解：（1）E(X+Y)=

06.0315.0314.0213.0103.0101.0114.023baba

174.015.014.013.012.003.002.001.014.0baba 联立解得：17.0a，09.0b （2）X的概率分布函数： -2 -1 0 1

0.17 0.23 0.06 0.54 （3）E(XY)＝8.015.0214.0112.0114.0117.02 六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。决定在某天中午，

X Y X 随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？

解：95.01.0pnmP，因1,0~1Nnpppnm

95.011.01nppnpppnmP，96.111.0975.0unpp

ppn16.192；因为4/11pp，取4/6.192n=96.04即97n

七、（10分） 设二维随机变量(X,Y)在区域：byax0,0上服从均匀分布。（1）求(X,Y)

的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12DYDX，求参数a、b；（3）判断随机变量X与Y是否相互独立？ 解：（1）二维随机变量(X,Y)的联合概率密度：

othersbyaxabyxf,00,0,/1),(

边缘概率密度：othersaxaxfX,00,/1)(，othersbybyfY,00,/1)( （2）36)12/1(,12)12/1(22bDYaDX，312,12ba （3）随机变量X与Y相互独立，因为)()(),(yfxfyxfYX 八、（8分）证明：如果cE3||存在，则3)|(|tctP

解： 3330||33||33||||)(||)(||)()|(|tctExdFtxxdFtxxdFtPxtxtx 九、（12分）设（X，Y）的密度函数为

其他010,10,),(yxAxyyxf

求（1）常数A；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sYtXEe；（4）EX，DX，Cov(X，Y)。

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(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( )(A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ）3311()()()()328168A B C D(3)),4,(~2μN X ),5,(~2μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p >(4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）⎰-=-adx x f a F 0)(1)( （B ）⎰-=-adx x f a F 0)(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F(5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记5011,50i i X X ==∑ 则 50211()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2,)50N (B) 2(,4)50N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)(1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=⋃B A P ,则___________)(=B A P(2) 设随机变量X 有密度⎩⎨⎧<<=其它010,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=>的常数a =(3) 设随机变量),2(~2σN X ，若3.0}40{=<<X P ,则=<}0{X P (4)设()221xx f x -+-=， 则EX = , DX =(5)设总体~(,9)X N μ，已知样本容量为25，样本均值x m =；记0.1u a =，0.05u b =；()0.124t c =，()0.125t d =；()0.0524t l =，()0.0525t k =，则μ的置信度为0.9的置信区间为三、解答题 （共60分）1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？2、(10分)设X 与Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(其它x x f X ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(y y e y f y Y求:随机变量Y X Z +=的概率密度函数.3、(10分)设随机变量X 服从参数2λ=的指数分布，证明：21XY e-=-服从()0,1上的均匀分布。

精编2019概率论与数理统计期末考试题库200题(含参考答案)

精编2019概率论与数理统计期末考试题库200题(含参考答案)

2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含答案]一、选择题1．已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为7 66 9⎛⎫ ⎪⎝⎭ 求随机向量（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=7+9+2*6=28 D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=7+9-2*6=4Cov(X+Y , X-Y)= DX-DY =7-9= -22814*282)()(),(,-=-=-+-+=-+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ所以，（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 28 -2-2 4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和⎛⎪⎪⎭2．某人外出可以乘坐飞机.火车.轮船.汽车四种交通工具，其概率分别为5％.15％.30％.50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％.70％.60％.90％。

求该人如期到达的概率。

解：设1A ，2A ，3A ，4A 分别表示乘坐飞机.火车.轮船.汽车四种交通工具，B 表示如期到达。

则41()()(|)i i i P B P A P B A ==∑ 0.0510.150.70.30.60.50.90.785=⨯+⨯+⨯+⨯=答：如期到达的概率为0.785。

四（1）设随机变量X 的概率密度函数为, 01()0 Ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩，其它求（1）A ； （2）X 的分布函数F (x)； （3） P (0.5 < X <2 )。

解： 121001 ()| 1222 A Af x dx Axdx x A +∞-∞=====⎰⎰（）2020 ()()0 01 ()()21 ()()xxxxx F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞-∞-∞<==≤<===≥==⎰⎰⎰⎰（）当时，当时，当时，122 10, 0(), 0 11, 1tdt x F x x x x =<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩⎰故(3) P （1/2<X<2）=F(2)—F(1/2)=3/43．已知连续型随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=求（1）A ，B ； （2）密度函数f (x)；（3）P (1<X<2 )。

概率统计A 期末样卷(3)答案

概率统计A 期末样卷(3)答案

当前位置：概率论与数理统计样卷库→概率论与数理统计试卷参考答案概率论与数理统计(I)期末考试样卷3参考答案概率论与数理统计（I）期末考试样卷3参考答案一、填空题(每小题3分，共24分)1．在电话号码簿中任取一个电话号码，则后面四个数全不相同的概率（设后面四个数中的每一个数都是等可能地取0，1，…，9）= 。

2. 已知，则= 0.6 。

3.设 X～，对X的三次独立重复观察中，事件{X≤0.5}出现的次数为随机变量Y,则P{Y =2}= 9/64 。

.4.设X的分布函数，则X的概率分布列为。

5.设服从参数为的指数分布，且，则_______。

6.设(X,Y)的概率密度为f(x,y)= ,则=____。

7.设，X与Y独立，则=_____8_____8.掷一颗均匀的硬币100次，记，，则概率的近似分布为。

二、单项选择题(每小题2分，共8分)1．设两事件Ａ与Ｂ同时发生时，事件C必发生，则（ B ）成立。

A. P(C) ≤P(A)+P(B)-1B. P(C) ≥P(A)+P(B)-1C. P(C)=P(AB)D. P(C)=P()2．下列命题中，正确的是（C ）.（A）若，则是不可能事件；（B）若，则互不相容；（C）若，则；（D）3．设X～N(,),则随着的增大，P(|X-|＜）（ C ）。

A.单调增大B.单调减少C.保持不便D.增减不定.4．设二维离散型随机变量的分布律为则（ A ）（A）不独立；（B）独立；（C）不相关；（D）独立且相关。

三、计算题（共48分）1（6分）某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率？解法1 设=“第次接通电话”（），A=“拨号不超过3次接通所需电话”，则，故所求概率解法2 “拨号不超过3次就接通”的对立事件是“拨号3次都未接通”，于是2（8分）．设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客随机察看4只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。

2002-2003学年第一学期概率统计(A)期末考试试卷答案

2002-2003学年第一学期概率统计(A)期末考试试卷答案

2002-2003学年第一学期概率论与数理统计（A ）期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为________． 解：两颗骰子的点数之和为6共有5种可能情况：()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1，而其中有一颗为1点有两种可能：()()1,5,5,1，因此所求概率（条件概率）为52． 应填：52． 2．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎩⎨⎧<<<<--=其它042,206,y x y x k y x f 则=k ________． 解：由()1,=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得()()()⎰⎰⎰⎰⎰---=--==+∞∞-+∞∞-422024220626,1dy y x k dx y x k dy dxdy y x f()()[]k dy y y k 84624222=---=⎰所以，81=k ． 应填：813．设总体()2,~σμNX ，()1021,,,X X X 是从X 中抽取的一个样本，样本量为10，则()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()=1021,,,x x x g _________________________．解：由于总体()2,~σμNX ，所以总体X 的概率密度函数为()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=222exp 21σμσπx x f ()+∞<<∞-x ， 并且()1021,,,X X X 是从中抽取的一个样本，即()1021,,,X X X 是简单随机样本，所以样本中的n 个分量n X X X ,,,21 是独立同分布的随机变量，而且其分布与总体分布相同．因此样本()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()()()()10211021,,,x f x f x f x x x g =()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=22102222212exp 212exp 212exp 21σμσπσμσπσμσπx x x ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=10122210221exp 21i i x μσπσ ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=101225221exp 21i i x μσπσ 应填：()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∑=101225221exp 21i i x μσπσ． 4．设总体X其中10<<θ是未知参数，()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本，则参数θ的矩估计量=θˆ__________________．解：()()()()θθθθθθθθθθ232134413122122222-=+-+-+=-⨯+-⨯+⨯=X E所以，()()X E -=321θ．将()X E 替换成样本均值X ，得参数θ的矩估计量为 ()X -=321ˆθ． 应填：()X -321．5．显著性检验是指____________________________________． 解：显著性检验是指只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验． 应填：只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，令Y aX U +=，bY X V +=，且U 与V 也不相关，则有()A .0==b a ； ()B .0≠=b a ； ()C .0=+b a ； ()D .0=ab ．【 】解：()()bY X Y aX V U ++=,cov ,cov()()()()()()()()Y bD Y X ab X aD Y Y b Y X ab X X a +++=+++=,cov 1,cov ,cov 1,cov再由于随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，所以()2=X D ，()2=Y D ，()0,cov =Y X ． 因此，()()b a V U +=2,cov ．这表明：随机变量U 与V 不相关，当且仅当()()02,cov =+=b a V U ，当且仅当0=+b a ． 应选：()C ．2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪器发生故障的概率为2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E()A .21p p +； ()B .()()122111p p p p -+-； ()C .()211p p -+； ()D .21p p ．【 】解：由于X 表示测试中发生故障的仪器数，所以X 的取值为2,1,0，并且X 的分布律为所以()()()()()21211221212111110p p p p p p p p p p X E +=⨯+-+-⨯+--⨯=． 应选：()A ．3．若Y X ,ρ表示二维随机变量()Y X ,的相关系数，则“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b 使得{}1=+=bX a Y P ”的()A .必要条件，但非充分条件； ()B .充分条件，但非必要条件； ()C .充分必要条件； ()D .既非充分条件，也非必要条件．【 】解：由相关系数的性质，可知“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b 使得{}1=+=bX a Y P 的充分必要条件． 应选：()C ．4．根据辛钦大数定律，样本均值X 是总体期望()μ=X E 的()A .矩估计量； ()B .最大似然估计量； ()C .无偏估计量； ()D .相合估计量．【 】解：辛钦大数定律指出：设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且()μ=n X E 存在，则对任意给定的0>ε，有01lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∑=∞→εμn i i n X n P ， 即{}0lim =≥-∞→εμX P n这表明，样本均值X 是总体期望()μ=X E 的相合估计量． 应选：()D ．5．设总体X 服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，现从该总体中随机选出容量为20一个样本，则该样本的样本均值的方差为()A . 1； ()B . 5.0； ()C . 5； ()D . 50．【 】解：由于总体服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，所以()10==λX D ．又从该总体中随机选出容量为20一个样本，则若令X 是其样本均值，则()()5.02010===n X D X D ． 应选：()B ．三．（本题满分10分）某学生接连参加同一课程的两次考试．第一次考试及格的概率为p ，如果他第一次及格，则第二次及格的概率也为p ，如果他第一次不及格，则第二次及格的概率为2p． ⑴ 求他第一次与第二次考试都及格的概率． ⑵ 求他第二次考试及格的概率．⑶ 若在这两次考试中至少有一次及格，他便可以取得某种证书，求该学生取得这种证书的概率． ⑷ 若已知第二次考试他及格了，求他第一次考试及格的概率． 解：设{}该学生第一次考试及格=A ，{}该学生第二次考试及格=B ． 则由题设，()p A P =，()p A B P =，()2p B A P =． ⑴ ()()()2p A B P A P AB P ==．⑵ ()()()()()()()21212p p p p p A B P A P A B P A P B P +=-+=+=． ⑶ ()()()()()()23212p p p p p p AB P B P A P B A P -=-++=-+=⋃． ⑷ ()()()()p pp p p B P AB P B A P +=+==12212．四．（本题满分10分）设顾客在某银行等待服务的时间X （单位：分钟）是服从5=θ的指数分布．某顾客在窗口等待服务，若等待时间超过10分钟，他便离开．⑴ 求某次该顾客因等待时间超过10分钟而离开的概率．⑵ 若在某月中，该顾客来到该银行7次，但有3次顾客的等待时间都超过10分钟，该顾客是否有理由推断该银行的服务十分繁忙． 解：由于随机变量X 服从5=θ的指数分布，所以X 的概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00515x x ex f x． ⑴ {}{}135335283.05110102105105==-==≥=-+∞-∞+-⎰e e dx e X P P x x分钟顾客等待时间超过 ⑵ 设Y 表示该顾客在一个月内等待时间超过10分钟的次数，则()2,7~-e b Y ．所以，()()()048494457.013423237=-==--e eC Y P ．这表明，()3=Y 是一个小概率事件，由于小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，现在发生了．因此该顾客有理由推断该银行的服务十分繁忙． 五．（本题满分10分）一射手进行射击，击中目标的概率为p ()10<<p ，射击直至击中2次目标时为止．令X 表示首次击中目标所需要的射击次数，Y 表示总共所需要的射击次数． ⑴ 求二维随机变量()Y X ,的联合分布律．⑵ 求随机变量Y 的边缘分布律．⑶ 求在n Y =时，X 的条件分布律．并解释此分布律的意义． 解：⑴ 随机变量Y 的取值为 ,4,3,2；而随机变量X 的取值为1,,2,1-n ，并且(){}次第次，第二次命中目标在第一次命中目标在第n m P n Y m X P ===, 2211p q p q p q n m n m ----=⋅=， （其中p q -=1） ()1,,2,1;,4,3,2-==n m n ．⑵ ()()()221122111,p q n p q n Y m X P n Y P n n m n n m --=--=-======∑∑，() ,4,3,2=n ． 即随机变量Y 的边缘分布律为()()221p q n n Y P n --== () ,4,3,2=n ．⑶ 由于()()()()111,2222-=-=======--n p q n p q n Y P n Y m X P n Y m X P n n 因此在n Y =时，X 的条件分布律为 ()11-===n n Y m X P ()1,,2,1-=n m 这表明，在n Y =的条件下，X 的条件分布是一个“均匀”分布．它等可能地取值1,,2,1-n ．六．（本题满分10分）一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、2.1元、5.1元各个值的概率分别为3.0、2.0、5.0．某天该食品店出售了300只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为395元的概率． （附表：标准正态分布()x Φ的数值表：解：设k X 表示该食品店出售的第k 只蛋糕的价格()300,,2,1 =k ，则k X 的分布律为所以，()29.15.05.12.02.13.01=⨯+⨯+⨯=k X E ，()713.15.05.12.02.13.012222=⨯+⨯+⨯=k X E ， 所以，()()()[]0489.029.1713.1222=-=-=k k k X E X E X D ．因此，30021,,,X X X 是独立同分布的随机变量，故()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<--=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑∑∑∑======3001300130013001300130013951395k k k k k k k k k k k k X D X E X D X E X P X P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-<⨯⨯--=∑=0489.030029.130********.030029.130013001k k X P ()0183.09817.0109.2109.20489.030029.130013001=-=Φ-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⨯⨯--=∑=k k X P ．七．（本题满分10分） 设总体X 的密度函数为()()⎩⎨⎧≤>=+-cx cx x c x f 01θθθ． 其中0>c 是已知常数，而1>θ是未知参数．()m X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估计量． 解：似然函数为()()()()()121111+-=+-====∏∏θθθθθθθn n n ni i n i i x x x c x c x f L所以，()()∑=+-+=ni ixc n n L 1ln 1ln ln ln θθθθ．所以，()∑=-+=ni i x c n nL d d 1ln ln ln θθθ．令：()0ln =θθL d d ，即0ln ln 1=-+∑=n i i x c n nθ， 得到似然函数的唯一驻点cxnni iln ln 1-=∑=θ．所以参数θ的最大似然估计量为cXnni iln ln ˆ1-=∑=θ．八．（本题满分10分） 设总体()21,~σμNX ，总体()22,~σμN Y ，()m X X X ,,,21 是从总体X 中抽取的一个样本，()n Y Y Y ,,,21 是从总体Y 中抽取的一个样本．并且随机变量n m Y Y Y X X X ,,,,,,,2121相互独立．记21S 是样本()m X X X ,,,21 的样本方差，22S 是样本()n Y Y Y ,,,21 的样本方差．再设()()21122212-+-+-=n m S n S m S W证明：2W S 是2σ的无偏估计．解：由于总体()21,~σμNX ，()m X X X ,,,21 是从总体X 中抽取的一个样本，所以()()1~12221--m S m χσ．又由于总体()22,~σμNY ，()n Y Y Y ,,,21 是从总体Y 中抽取的一个样本，所以()()1~12222--n S n χσ．所以，()()()()()222122212211111σσσσσ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-m S m E S m E Sm E ， ()()()()()222222222221111σσσσσ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-n S n E S n E S n E ． 所以， ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=21122212n m S n S m E S E W()[]()[]22211121S n E S m E n m -+--+=()()[]2221121σσσ=-+--+=n m n m 所以，()()21122212-+-+-=n m S n S m SW是2σ的无偏估计．九．（本题满分10分）检验某批矿砂中的含镍量，随机抽取7份样品，测得含镍量百分比分别为：67.2 33.3 69.3 01.3 98.3 15.3 69.3假设这批矿砂中的含镍量的百分比服从正态分布，试在05.0=α下检验这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3．（附表：t 分布的分位点表：()9432.1605.0=t ()4469.26025.0=t ()8946.1705.0=t ()3646.27025.0=t解：设X 表示这批矿砂中的含镍量的百分比，则()2,~σμNX ．25.3:0=μH ()25.3:1≠μH由于总体方差未知，故用检验统计量n SX T 25.3-=当0H 成立时，()1~25.3--=n t n SX T ．由于显著性水平05.0=α，7=n ，所以()4469.26025.0=t ．因此检验的拒绝域为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=4469.225.3:,,,7211n sx x x x W由样本观测值，得36.3=x ，455668007.0=s 所以，4469.2638694486.0745*******.025.336.325.3<=-=-n sx 所以，不拒绝0H ，可以认为这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3．。