高考数学复习三角函数、解三角形4.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用教学案苏教版

第五节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 [最新考纲] 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是

描述周期变化现象的重要函数模型．

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动

振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x －φω π2－φω π－φω 32π－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋

φ)

0 A 0 －A 0

3.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象

[常用结论] 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．

2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度． 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致． ( )

(2)将y＝3sin 2x的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y＝3sin2x＋π4. ( ) (3)y＝sinx－π4的图象是由y＝sinx＋π4的图象向右平移π2个单位得到的． ( ) (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的

距离为T2. ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编

1．y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为( )

A．2,4π，π3 B．2，14π，π3 C．2，14π，－π3 D．2,4π，－π3 C [由题意知A＝2，f＝1T＝ω2π＝14π，初相为－π3.] 2．为了得到函数y＝2sin2x－π3的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象( ) A．向右平移π6个单位长度 B．向右平移π3个单位长度 C．向左平移π6个单位长度 D．向左平移π3个单位长度 A [y＝2sin2x－π3＝2sin 2x－π6.] 3.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为________． y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14] [从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝

Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期

所以A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20，

又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8. 又π8×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝3π4， 所以y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]．] 4．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况： 月份x 1 2 3 4 收购价格y(元/斤) 6 7 6 5 选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________．

y＝6－cosπ2x [设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，

因为T＝2πω，所以ω＝π2，所以y＝sinπ2x＋φ＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sinπ2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－π2， 所以y＝sinπ2x－π2＋6＝6－cos π2x.]

考点1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标． (2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 已知函数y＝2sin2x＋π3. (1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (2)[一题多解]说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． [解] (1)描点画出图象，如图所示：

(2)法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y＝sinx＋π3的图象； 再把y＝sinx＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝

sin2x＋π3的图象； 最后把y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图象． 法二：将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；

再将y＝sin 2x的图象向左平移π6个单位长度，得到y＝＝sin2x＋π3的图象； 再将y＝sin2x＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin2x＋π3的图象．

三角函数图象变换中的3个注意点 (1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数． (2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向． (3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变

换量是|φ|个单位，而函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是φω个单位．

1.要得到函数y＝sin5x－π4的图象，只需将函数y＝cos 5x的图象( ) A．向左平移3π20个单位 B．向右平移3π20个单位 C．向左平移3π4个单位 D．向右平移3π4个单位 B [函数y＝cos 5x＝sin5x＋π2＝sin 5x＋π10， y＝sin5x－π4＝sin 5x－π20，

设平移φ个单位， 则π10＋φ＝－π20，

解得φ＝－3π20，故把函数y＝cos 5x的图象向右平移3π20个单位，可得函数y＝sin5x－π4的图象．] 2．若把函数y＝sinωx－π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) A．2 B.32 C.23 D.12

A [y＝sinωx＋ω3π－π6和函数y＝cos ωx的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.

∴2是ω的一个可能值．]

3．将函数f(x)＝sin4x＋π3的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，得到的图象关于直

线x＝π12对称，则φ的最小值为________． 524π [把函数f(x)＝sin4x＋π3的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，

可得y＝sin4x＋φ＋π3＝sin4x＋4φ＋π3的图象， ∵所得图象关于直线x＝π12对称，∴4×π12＋4φ＋π3＝π2＋kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ4－π24

(k∈Z)，

∵φ＞0，∴φmin＝5π24.]

考点2 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤 (1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，B＝M＋m2.

(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝2πT. (3)求φ，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)

为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即

图象的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π. (1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图①所示，则f(x)＝________.

图① 图② (2)(2019·重庆六校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋

φ)A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图②所示，则f

－π

3＝

________.

(1)2sin2x－π6 (2)－62 [(1)由题图可知，A＝2，T＝＝π，