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三角函数的图象与性质一、 考情分析1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质.二、 知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无[微点提醒] 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.三、 经典例题考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cosx ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8.规律方法 1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解. 考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________. 【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3， 即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【解析】 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ， 解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.规律方法 1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.规律方法 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( ) A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称 (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称， 所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33， 所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称.(2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ).又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9.规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可. 2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可. [方法技巧]1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.4.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.5.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.6.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .四、 课时作业1．（2021·宝鸡中学高一期中）函数π()tan 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．πππ2π,()2623k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ5π,()212212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．π5ππ,π()1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z D ．π2ππ,π()63k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 【答案】C 【解析】()π2232k x k k Z ππππ-<-<+∈得：5212212k k x ππππ-<<+，所以函数π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5ππ,π()1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z . 2．（2021·陕西省西安中学高一期中）设函数12sin y x =-，则函数的最大值及取到最大值时的x 取值集合分别为（ ） A ．3，|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．1，3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．3，3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．1，|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由于22sin 2,22sin 2,112sin 3x x x -≤≤-≤-≤-≤-≤， 所以当32,2x k k Z ππ=+∈时，函数12sin y x =-有最大值为3. 3．（2021·吉林省高三其他（文））下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( ) A ．1y x=B ．y tanx =C ．x x y e e -=-D ．2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间， 对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意； 对于C 选项，令()x x f x e e -=-知()x x f x e e --=-， 所以()()0f x f x +-=所以()x x f x e e -=-为奇函数， 又x y e =在定义内单调递增，所以x y e -=-单调递增， 所以函数x x y e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数.4．（2021·武功县普集高级中学高一月考）函数y =）A ．()2,266k k k Z ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦π-π+∈ B ．()22,333k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈ D ．()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由2cos 10x +≥得：2222,33k x k k πππ-≤≤π+∈Z . 所以函数2cos 1y x =+的定义域是()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈.5．（2021·武功县普集高级中学高一月考）函数sin y x x =的部分图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】:因为sin y x x =，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故可以排除B ，D.又因为函数()f x 在()0,π上函数值为正，故排除C.6．（2019·呼玛县高级中学高一月考）若函数()sin()(0,0,)2πωϕωϕ=+>><f x A x A 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin(2)6f x x π=+ B ．()cos(2)6f x x π=+ C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()sin(2)3f x x π=+【答案】D【解析】由函数的部分图像可知1A =，22T π=，故T π=，所以2ππω=即2ω=.由函数图像的对称轴为12x π=，所以22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 因2πϕ<，故3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选D . 7．（2019·呼玛县高级中学高一月考）设cos 12a π=，41sin6b π=，7cos 4c π=，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A 【解析】4155b sinsin 6sin sin cos 66663ππππππ⎛⎫==+=== ⎪⎝⎭,7c cos cos 44ππ== 因为3412πππ>>，且y cos 0,2x π=在（，）是单调递减函数，所以a c b >>，故选A8．（2019·延安市第一中学高三月考（理））已知函数()sin()(0)2f x x πωφωϕ=+><，图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线12x π=-对称D ．关于直线12x π=对称 【答案】B【解析】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=． 设将()f x 的图像向左平移3π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()2sin 23g x x πφ⎛⎫=++⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故()01g =±， 所以2sin 13πφ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，2,32k k Z ππφπ+=+∈，所以,6k k Z πφπ=-∈， 因2πφ<，所以6πφ=-．又()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，故对称轴为直线,23k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k π-=π∈Z ，故,212k x k Z ππ=+∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以A 错误，D 正确．9．（2021·河北省故城县高级中学高一期中）关于函数sin(),2y x π=+在以下说法中正确的是（ ）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数 C ．[,0]π-上是减函数 D ．[,]-ππ上是减函数【答案】B【解析】sin()cos 2y x x π=+=，它在[0,]π上是减函数．10．（2021·上海高一课时练习）下列命题中正确的是（ ） A ．cos y x =在第一象限和第四象限内是减函数 B ．sin y x =在第一象限和第三象限内是增函数C ．cos y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 D ．sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】D【解析】对于cos y x =，该函数的单调递减区间为：[]2,2,k k k Z πππ+∈，故A 错，C 错. 对于sin y x =，该函数的单调递增区间为：2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错，D 对.11．（2021·陕西省西安中学高三其他（理））关于函数()2sin sin 222x x f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有下述四个结论： ①函数()f x 的图象把圆221x y +=的面积两等分 ②()f x 是周期为π的函数③函数()f x 在区间(,)-∞+∞上有3个零点④函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【解析】f （x ）＝2sin2x sin （2π+2x ）﹣x ＝2sin 2x cos 2x﹣x ＝sin x ﹣x ， 对于①，因为f （﹣x ）＝sin （﹣x ）﹣（﹣x ）＝﹣sin x +x ＝﹣f （x ），所以函数f （x ）为奇函数，关于原点对称，且过圆心，而圆x 2+y 2＝1也是关于原点对称，所以①正确；对于②，因为f （x +π）＝sin （x +π）﹣（x +π）＝﹣sin x ﹣x ﹣π≠f （x ），所以f （x ）的周期不是π，即②错误；对于③，因为()'f x ＝cos x ﹣1≤0，所以f （x ）单调递减，所以f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上至多有1个零点， 即③错误； 对于④，()'fx ＝cos x ﹣1≤0，所以f （x ）单调递减，即④正确．12．（2021·山西省高三其他（文））已知()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象关于直线524x π=对称，把()f x 的图象向左平移4π个单位后所得的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】因为()f x 的图象向左平移4π个单位后所得的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 所以()f x 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 又()f x 的图象既关于直线524x π=对称， 设()f x 的最小正周期为T ，则()()2153244k T k N ππ+-=∈， 即()21284k k N ππω+⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭，所以()84k k N ω=+∈，取0k =，得4ω=，13．（2021·上海高二课时练习）设直线的斜率(,1][1,)k ∈-∞-⋃+∞，则该直线的倾斜角α满足（ ）. A ．44ππα-B ．42ππα<或324ππα< C ．04πα或34παπ<D ．04πα或34παπ【答案】B【解析】因为tan k α=， 所以当1k ≤-时，324ππα<≤， 当1k时，42ππα≤<，即直线的倾斜角α满足42ππα<或324ππα<， 14．（2021·调兵山市第一高级中学高一月考）方程10sin x x =的根的个数是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】分别作函数,10sin y x y x ==图象，如图，由图可得交点个数为7，所以方程10sin x x =的根的个数是715．（2021·福建省高三其他（文））图数()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)(],00,x ππ∈-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题知：()()11cos cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 为奇函数，故排除B ，D. 又因为02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故排除C.16．（2021·上海高一期中）函数sin cos y x x =⋅的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1 B ．π，12C ．2π，1D ．2π，12【答案】B【解析】1sin cos =sin 22y x x x =⋅， 函数sin cos y x x =⋅的最小正周期22T ππ==， 1sin 21x -≤≤，∴111sin 2222x -≤≤， ∴函数sin cos y x x =⋅的最大值为12. 17．（2021·山西省高三其他（文））对于函数()()1122f x sinx cosx sinx cosx =+--.有下列说法：①()f x 的值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值；③函数()f x 的最小正周期是π；④当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时,()0f x >.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为()()1122cosx sinx cosx f x sinx cosx sinx cosx sinx sinx cosx≥⎧=+--=⎨<⎩，，，作出函数()f x 的图象，如图所示：所以，()f x 的值城为22⎡-⎢⎣⎦，①错误； 函数()f x 的最小正周期是2π，③错误； 当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值，②正确；当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，④正确. 18．（多选题）（2021·海南省海南中学高三月考）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0,0A ω>>）在1x =处取得最大值，且最小正周期为2，则下列说法正确的有( ). A ．函数()1f x -是奇函数B ．函数()1f x +是偶函数C ．函数()2f x +在[]0,1上单调递增D ．函数()3f x +是周期函数【答案】BCD【解析】因为()()sin f x A x =+ωϕ在1x =处取得最大值， 所以有2()2k k Z πωϕπ+=+∈，又因为()()sin f x A x =+ωϕ的最小正周期为2， 所以有22,0πωωπω=>∴=，因此()()sin sin 2cos 2f x A x A x k A x πωϕπππ⎛⎫=+=+-=- ⎪⎝⎭.选项A ：设()()1cos[(1)]cos g x f x A x A x ππ=-=--=， 因为()cos[()]cos ()g x A x A x g x ππ-=-==， 所以()()1g x f x =-是偶函数，故本选项说法不正确； 选项B ：设()()1cos[(1)]cos h x f x A x A x ππ=+=-+= 因为()cos[()]cos ()h x A x A x h x ππ-=-==， 所以()()1h x f x =+是偶函数，故本选项说法正确；选项C ：设()()2cos[(2)]cos m x f x A x A x ππ=+=-+=-，因为[]0,1x ∈，所以[]0,x ππ∈，又因为0A >，所以函数()()2m x f x =+在[]0,1上单调递增，故本选项说法正确；选项D ：设()()3cos[(3)]cos n x f x A x A x ππ=+=-+=， 函数()n x 最小正周期为：22ππ=，所以本选项说法正确.19．（2021·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．2π为()f x 的一个周期B ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称 C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x π+的一个零点为3π【答案】AD【解析】根据函数()6f x cos x π⎛⎫=+⎪⎝⎭知最小正周期为2π，A 正确.当43x π=时，443cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由余弦函数的对称性知，B 错误；函数()6f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误； ()76f x cos x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，73cos cos 03632f πππππ⎛⎫⎛⎫∴+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.20．（2021·山东省高一期中）将函数()2sin 2f x x x =+12π个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f xB ．()g x 是奇函数C ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()g x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】CD【解析】函数2()sin 2sin 22sin(2)3f x x x x x x π=+=+，把函数图象向左平移12π个单位，得到2sin[2()]2sin(2)2cos 21232y x x x πππ=++=+=， 再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到()2cos g x x =． ①故()f x 函数的最大值为2，故选项A 错误． ②函数()2cos g x x =为偶函数，故选项B 错误． ③当6x π=-时，2sin 20663f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故选项C 正确．④由于()2cos g x x =，在[]2,2k k πππ+，()k Z ∈上单调递减，故函数()g x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．故选项D 正确．21．（2021·上海高一期中）函数()tan 6f x x π=的单调递增区间为________【答案】(63,63)k k -+，k ∈Z 【解析】由622x k k πππππ-+<<+，k Z ∈，解得6363k x k -<<+，k Z ∈，故函数的单调增区间为()63,63k k -+，k Z ∈，22．（2021·河北省故城县高级中学高一期中）已知函数()sin()f x x π=-，()cos()g x x π=+，有以下结论：①函数()()y f x g x =的最小正周期为π； ②函数()()y f x g x =的最大值为2；③将函数()y f x =的图象向右平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象； ④将函数()y f x =的图象向左平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象.其中正确结论的序号是____________. 【答案】①④【解析】()sin()sin f x x x π=-=-，()cos()cos g x x x π=+=-. 因为1()()(sin )(cos )sin cos sin 22y f x g x x x x x x ==-⋅-=⋅=， 所以1()()sin 22y f x g x x ==的最小正周期为：22ππ=，故结论①正确； 因为1()()sin 22y f x g x x ==的最大值为12，所以结论②不正确；因为函数()y f x =的图象向右平移2π个单位后得到函数的解析式为： ()sin()cos 22y f x x x ππ=-=--=，所以结论③不正确；因为函数()y f x =的图象向左平移2π个单位后得到函数的解析式为： ()sin()cos ()22y f x x x g x ππ=+=-+=-=，所以结论④正确.23．（2021·宝鸡中学高一期中）函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，其中0A >，0>ω，π||2ϕ<.（1）求函数()y f x =解析式；（2）求[0,π]x ∈时，函数()y f x =的值域； （3）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递减区间.【解析】（1）根据函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象，其中0A >，0>ω，π||2ϕ<， ∵40A B A B +=⎧⎨-+=⎩，∴22A B =⎧⎨=⎩；∵12π5ππ44126T ω=⋅=-，∴2ω=， 再根据π46f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得ππ22π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，∴π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，∵π||2ϕ<，∴π6ϕ=，∴函数()y f x =的解析式为π()2sin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （2）∵[]0,πx ∈，∴ππ13π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 2[1,1]6x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ∴函数()y f x =的值域为[]0,4； （3）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度， 得到函数πππ()2sin 222sin 22463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，对于函数π()2sin 223g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，k ∈Z ， 求得5π11πππ1212k x k +≤≤+，k ∈Z ， 故函数()g x 的单调减区间为5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .24．（2021·山西省平遥中学校高一月考）已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）求函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域和取得最大值时相应的x 的值.【解析】（1）()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin cos x x x =-)sin 21cos 2x x =-+sin 2x x =2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴22T ππ==. 由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ∴单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵46x ππ-≤≤，∴22633x πππ-≤+≤. ∴1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即12sin 223x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.∴函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2- 且当232x ππ+=，即12x π=时，()max 2f x =. 25．（2021·武功县普集高级中学高一月考）在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式；(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 【解析】（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． (2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2； 当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．。
2021高考一轮复习 第十六讲 三角函数的图象与性质一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 π6 个单位得到 g(x) ，下列关于 g(x) 的说法正确的是（ ）A ．x =π12 是对称轴 B ．在 [0,π2] 上单调递增 C ．在 [0,π3] 上最大值为1D ．在 [−π3,0] 上最小值为 −12．（2分）已知函数 f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0) 的图象关于直线 x =π8 对称，则 ω 的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．833．（2分）已知函数 y =sin(ωx +π3)(ω>0) 在区间 (−π6,π3) 上单调递增，则 ω 的取值范围是（ ） A ．(0,12]B ．[12,1]C ．(13,23]D ．[23,2]4．（2分）已知函数 f(x)=cos x 2−√3sin x2 的图象为C ，为了得到关于原点对称的图象，只要把C上所有的点（ ）A ．向左平移 π3 个单位 B ．向左平移 2π3 个单位C ．向右平移 π3 个单位D ．向右平移 2π3个单位5．（2分）函数 f(x)=2sin(wx +φ)(w >0,x ∈R) 的部分图象如图所示，则该函数图象的一个对称中心是（ ）A ．(π3,0)B ．(−2π3,0)C ．(−4π3,0)D ．(4π3,0)6．（2分）下列函数中，周期为1的奇函数是( )A ．y=1-2sin 2πxB ．y=sin (2πx +π3)C ．y=tan π2 xD ．y=sinπxcosπx7．（2分）下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（ ）A ．y =sin2xB ．y =cos x2C ．sin2x +cos2xD ．y =1−tan 2x 1+tan 2x8．（2分）已知函数 f(x)=√3sin(2x +φ)+cos(2x +φ) 为R 上的奇函数，且在 [π4,π2] 上单调递增，则 φ 的值可能是（ ） A ．−2π3B ．−π6C ．π3D ．5π69．（2分）函数 y =sin(2x +π4) 的最小正周期是（ ）A ．πB ．2πC ．π2D ．π410．（2分）函数 f(x)=cosx(1+√3tanx) 的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．12π11．（2分）函数 y =cos 2x +sinx −1 的值域为（ ）A ．(−∞,14]B ．[0,14]C ．[−2,14]D ．[−2,0]12．（2分）把函数 y =sin(x +π6) 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移 π3 个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(π3,0)B ．(π4,0)C ．(π12,0)D ．(0,0)二、多选题(共2题；共6分)13．（3分）函数f （x ）＝cos （2x +π6 ）的图象的一条对称轴方程为（ ）A ．x =π6B ．x= 5π12C ．x =11π12D ．x= −2π314．（3分）将函数 f(x)=√3cos(2x +π3)−1 的图象向左平移 π3 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数 g(x) 的图象，则下列关于函数 g(x) 的说法正确的是（ ）A ．最大值为 √3 ，图象关于直线 x =π12 对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为 πD ．图象关于点 (π4,0) 对称三、填空题(共3题；共4分)15．（1分）若函数 f(x)=2sin(2x +φ)(0<φ<π2) 的图象过点 (0,√3) ，则函数 f(x) 在 [0,π] 上的单调减区间是 ．16．（2分）函数 f(x)=2sin(2x −π6)−m ，若 f(x)≤0 在 x ∈[0,π2] 上恒成立，则m 的取值范围是 ;若 f(x) 在 x ∈[0,π2] 上有两个不同的解，则m 的取值范围是 . 17．（1分）不等式 sin 2x −cos 2x ≥0 的解集为 ．四、解答题(共3题；共35分)18．（10分）已知函数 f(x)=sinx −2√3cos 2x 2+√3（1）（5分）求 f(π) 的值；（2）（5分）求函数 y =|f(x)| 的单调递增区间.19．（10分）已知函数 f(x)=2√3cos 2x +sin(π−2x) ．（1）（5分）求函数 f(x) 的最小正周期．（2）（5分）求函数 f(x) 在 [0，π2] 上的单调区间．20．（15分）已知函数 f(x)=sinxcosx +√32(cos 2x −sin 2x) .（1）（5分）求 f(π6) 的值；（2）（5分）求 f(x) 的单调递增区间； （3）（5分）求 f(x) 的最大值.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位,得到g(x)=sin(2x−π3)的图象,对于A,当x=π12时, g(π12)=sin(−π6)=−12,A选项错误;对于B,当x∈[0,π2]时, 2x−π3∈[−π3,2π3],则g(x)=sin(2x−π3)在区间[0,π2]上不单调,B选项错误;对于C,当x∈[0,π3], 2x−π3∈[−π3,π3],则g(x)在区间[0,π3]上的最大值为g(π3)=sinπ3=√32,C选项错误;对于D, 当x∈[−π3,0], 2x−π3∈[−π,−π3],则g(x)在区间[−π3,0]上的最小值为g(−π12)=sin(−π2)=−1,D选项正确;故答案为：D.【分析】先根据平移变换法则求出g(x),再利用余弦函数的性质判断选项的正误. 2．【答案】C【解析】【解答】∵f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3 )，由于该函数的图象关于直线x=π8对称，则π8ω+π3=π2+kπ (k∈Z)，得ω=43+8k (k∈Z)，∵ω>0，当k=0时，ω取得最小值43.故答案为：C.【分析】利用辅助角公式将函数y=f(x)的解析式化简为f(x)=2sin(ωx+π3)，根据题意得出π8ω+π3=π2+kπ (k∈Z)，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.3．【答案】A【解析】【解答】函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在区间(−π6,π3)上单调递增，当−π6<x<π3时，−πω6+π3<ωx+π3<πω3+π3，∵当x=0时，ωx+π3=π3，由于函数 y =sin(ωx +π3) (ω>0) 在区间 (−π6,π3) 上单调递增， 所以， {−πω6+π3≥−π2πω3+π3≤π2，解得 ω≤12，∵ω>0 ，所以， 0<ω≤12 ，因此， ω 的取值范围是 (0,12] .故答案为：A ．【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间 (−π6,π3) 上单调递增，建立不等式关系，即可求解． 4．【答案】A【解析】【解答】由 f(x)=cos x 2−√3sin x 2=2cos(x 2+π3)⇒f(x +φ)=2cos(x 2+φ2+π3) 为奇函数，得 φ2+π3=π2+kπ，k ∈Z ∴φ=π3+2kπ 当 k =0 时， φ=π3 .故为得到关于原点对称的图像，只要把 C 向左平移 π3 个单位即可.故答案为：A【分析】利用辅助角公式化简 f(x) ，再根据三角函数的奇偶性，即可求得结果.5．【答案】C【解析】【解答】由题得 T =(1112π−512π)×2=π=2πw ,∴w =2，∴f(x)=2sin(2x +φ).由于曲线经过点 (512π,2) ，所以 2=2sin(2×5π12+φ),∴1=sin(5π6+φ),∴φ=−π3.∴f(x)=2sin(2x −π3)，令 2x −π3=kπ,∴x =kπ2+π6,k ∈z ，当k=-3时， x =−43π ， 所以函数图象的一个对称中心是 (−4π3,0) ， 故答案为：C.【分析】利用三角型函数的部分图象结合最小正周期公式和特殊值代入法，再利用正弦函数的五点对应法，从而求出三角型函数的解析式，再利用换元法转化为正弦函数，从而利用正弦函数图象，进而求出三角型函数的一个对称中心的坐标。
专题 三角函数的图象与性质一、题型全归纳题型一 三角函数的定义域【题型要点】三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域． (2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．【例1】(2020·昆山一中模拟)1．函数y ＝lg(3tan x －3)的定义域为 ．【答案】：Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++,2,6ππππ【解析】：要使函数y ＝lg(3tan x －3)有意义，则3tan x －3>0，即tan x >33.所以π6＋k π<x <π2＋k π，k ∈Z . 【例2】函数y ＝cos x －12的定义域为 ．【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,2323ππππ【解析】 要使函数有意义，则cos x －12≥0，即cos x ≥12，解得－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,2323ππππ. 题型二 三角函数的单调性命题角度一 确定三角函数的单调性(单调区间)【题型要点】求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．【易错提醒】要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．【例1】(2020·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx 的单调递增区间是( ) A.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,342,322ππππ B.Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,342,322ππππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,344,324ππππ D.Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,344,324ππππ 【解析】：由－π2＋k π＜x 2－π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，所以函数f (x )＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx 的单调递增区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,342,322ππππ，故选B. 【例2】．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎪⎭⎫⎝⎛24ππ，单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |【解析】A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，时，2x ∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，函数f (x )单调递增，故A正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，时，2x ∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.命题角度二 利用三角函数的单调性比较大小利用单调性比较大小的方法：首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．【例3】已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx ，设a ＝⎪⎭⎫⎝⎛7πf ，b ＝⎪⎭⎫⎝⎛6πf ，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛3πf ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 a ＝⎪⎭⎫⎝⎛7πf ＝2sin 10π21，b ＝⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝2sin π2＝2，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛3πf ＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递增，且π3<10π21<π2，所以c <a <b .命题角度三 已知三角函数的单调区间求参数【题型要点】已知函数单调性求参数——明确一个不同，掌握两种方法(1)明确一个不同：“函数f (x )在区间M 上单调”与“函数f (x )的单调区间为N ”两者的含义不同，显然M 是N 的子集．(2)抓住两种方法．已知函数在区间M 上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M 上的保号性，由此列不等式求解．【例4】(2020·湖南师大附中3月月考)若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-ππ，上单调递增，则正数ω的最大值为( ) A.18 B.16 C.14D ．13【解析】 法一：因为f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-ππ，上单调递增，所以⎩⎨⎧－3ωπ≥－π2，3ωπ≤π2.解得ω≤16，所以正数ω的最大值是16.故选B.法二：易知f (x )＝3sin 2ωx ＋1，可得f (x )的最小正周期T ＝πω，所以⎩⎨⎧－π4ω≤－3π2，π4ω≥3π2，解得ω≤16.所以正数ω的最大值是16.故选B.命题角度四 利用三角函数的单调性求值域(最值)【题型要点】1.三角函数值域的求法 (1)利用y ＝sin x 和y ＝cos x 的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )的形式求值域． (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域． (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系将原函数转换成二次函数求值域． 2.换元法求三角函数的值域(最值)的策略(1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． (2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【例5】 (2019·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx －3cos x 的最小值为 ． 【解析】 f (x )＝sin(2x ＋3π2)－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝1－2cos 2x －3cos x ＝－2243cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋178，因为cosx ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－4.【例6】(2020·河北省中原名校联盟联考)若函数f (x )＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+10πx －2在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡a ，2π上单调，则实数a 的最大值是 ．【解析】：法一：令2k π＋π2≤x ＋π10≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋2π5≤x ≤2k π＋7π5，k ∈Z ，所以函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡5752ππ，上单调递减，所以a 的最大值为7π5.法二：因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10，而f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a ，2π上单调，所以a ＋π10≤3π2，即a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5.题型三 三角函数的周期性与奇偶性【题型要点】(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω求解．【例1】(2020·湖北宜昌联考)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，则( ) A ．ω＝2，θ＝π2 B ．ω＝12，θ＝π2 C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4【答案】因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，所以函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最小正周期是π. 由2πω＝π得ω＝2.因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，所以θ＝π2＋k π，k ∈Z . 又0＜θ＜π，所以θ＝π2，故选A.【例2】(2020·石家庄市质量检测)设函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4πϕωx ⎪⎭⎫⎝⎛<>2,0πϕω的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递增 B ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上单调递减 C ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递减 D ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上单调递增 【解析】：.f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-+4πϕωx ，因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+42πϕx .f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，所以φ－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝－cos 2x ，所以f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛02-，π上单调递减，故选A. 题型四 三角函数的对称性【题型要点】对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y ＝sin x 图象的对称轴和对称中心求解． (2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝（2k ＋1）π－2φ2ω，k ∈Z ，即对称轴方程；令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－φω，k ∈Z ，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象无对称轴)．【例1】(2020·北京西城区模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期为π，则函数f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛13，π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛012，π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛0125，π D ．⎪⎭⎫⎝⎛012-，π 【解析】 由题意可得2πω＝π，所以ω＝2，可得f (x )＝A sin(2x ＋φ)，再由函数图象关于直线x ＝π3对称，故⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf ＝A sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ32＝±A ，故可取φ＝－π6. 故函数f (x )＝A sin ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx ，令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 可得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，故函数的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0122，ππk ，k ∈Z . 所以函数f (x )图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛012，π. 【例2】已知函数f (x )＝|sin x ||cos x |，则下列说法错误的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的周期为π2C ．(π，0)是f (x )的一个对称中心D ．f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，上单调递减【解析】：f (x )＝|sin x ||cos x |＝|sin x cos x |＝12·|sin 2x |，则⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf ＝12|sin π|＝0，则f (x )的图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；函数周期T ＝12×2π2＝π2，故B 正确；f (π)＝12|sin 2π|＝0，则(π，0)是f (x )的一个对称中心，故C 正确；当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，时，2x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，2，此时sin 2x ＞0，且sin 2x 为减函数，故D 正确．题型五 三角函数的图象与性质的综合问题【题型要点】解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【例1】 已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx . (1)求函数的最大值及相应的x 值的集合；(2)求函数f (x )的图象的对称轴方程与对称中心．【解析】：(1)当sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx ＝1时，2x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝k π＋3π8，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2；故f (x )的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,83ππ(2)由2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .即函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .由2x －π4＝k π，k ∈Z 得x ＝π8＋12k π，k ∈Z ，即对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0,28ππk k ∈Z . 【例2】已知函数f (x )＝sin(2π－x )·sin ⎪⎭⎫⎝⎛x -23π－3cos 2x ＋ 3.(1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值． 【解析】 (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2x ＋3＝sin x cos x －3cos 2x ＋3＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋3＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ＋32， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )．(2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6，由函数图象(图略)可知，－32≤sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ≤1，即0≤sin(2x －π3)＋32≤2＋32. 故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.二、高效训练突破 一、选择题1．当x ∈[0，2π]，则y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π， B.⎥⎦⎤⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡23ππ， D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223， 【解析】：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以函数y 的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡23ππ，.故选C.法二：当x ＝π时，函数有意义，排除A ，D ；当x ＝5π4时，函数有意义，排除B.故选C.2．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0B ．3C ．－1D ．－2【解析】：因为f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2，即tan b ＋sin b ＝1. 所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0.3．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx ，则( )A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )的最大值为12D ．f (x )的最小值为－12【解析】：.f (x )＝1＋cos 2x 2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32＝12＋12cos 2x ＋12－12⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋1＝12sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋1，则f (x )的最小正周期为π，最小值为－12＋1＝12，最大值为12＋1＝32. 4．(2020·福州市第一学期抽测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π8D ．π【解析】：由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛4-2πx ，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡838-ππ，上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0＜m ≤3π8，即m 的最大值为3π8，故选C.5.若⎪⎭⎫⎝⎛08，π是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8【解析】：因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx ，由题意，知⎪⎭⎫ ⎝⎛8πf ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+48πωπ＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 6．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π【解析】：函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错；在区间(0，π3)上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z 得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于(π6，0)中心对称，故选C.7.(2020·武汉市调研测试)已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，上单调递增，则ω的最大值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4【解析】：法一：因为x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，，所以ωx ＋π4∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+484πωππ，，因为f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx 在⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，上单调递增，所以ωπ8＋π4≤π2，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C.法二：将选项逐个代入函数f (x )进行验证，选项D 不满足条件，选项A 、B 、C 满足条件f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛80π，上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C.8．已知函数f (x )＝(x －a )k ，角A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，则下列判断正确的是( ) A ．当k ＝1，a ＝2时，f (sin A )<f (cos B ) B ．当k ＝1，a ＝2时，f (cos A )＞f (sin B ) C ．当k ＝2，a ＝1时，f (sin A )＞f (cos B ) D ．当k ＝2，a ＝1时，f (cos A )＞f (sin B )【解析】：A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，因为A ＋B ＞π2，所以π2＞A ＞π2－B ＞0，所以sin A ＞sin⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 2π＝cos B ，cos A ＜cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 2π＝sin B ，且sin A ，sin B ，cos A ，cos B ∈(0，1)．当k ＝1，a ＝2时，函数f (x )＝x －2单调递增，所以f (sin A )＞f (cos B )，f (cos A )＜f (sin B )，故A ，B 错误； 当k ＝2，a ＝1时，函数f (x )＝(x －1)2在(0，1)上单调递减，所以f (sin A )＜f (cos B )，f (cos A )＞f (sin B )，故C 错误，D 正确．9.已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，则正数ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】：函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πωx . 由f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π2，所以ω＝2ππ2＝4.10．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<<2,10πϕω的图象经过点(0，1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3212ππ，上是减函数 B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0 C ．f (x )≥1的解集是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32,2πππk k ，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛03-，π 【解析】：由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx .因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z 使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx .令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πf ＝0，所以⎪⎭⎫⎝⎛03-，π是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D.二、填空题1．比较大小：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛18-π sin ⎪⎭⎫⎝⎛10-π. 【解析】：因为y ＝sin x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡02-，π上为增函数且－π18＞－π10>－π2，故sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛18-π＞sin ⎪⎭⎫⎝⎛10-π. 2．已知函数f (x )＝4sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是 ． 【解析】：由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )，又因为x ∈[－π，0]，所以f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡127--ππ，和⎥⎦⎤⎢⎣⎡012-，π 3．设函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛6-πωx (ω>0)．若f (x )≤⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ． 【解析】：由于对任意的实数都有f (x )≤⎪⎭⎫⎝⎛4πf 成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故⎪⎭⎫⎝⎛4πf ＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，所以ωmin ＝23. 4．若函数y ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx (ω∈N *)图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛06，π，则ω的最小值为 ． 【解析】：由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )∈ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，所以ωmin ＝2.5．(2020·无锡期末)在函数∈y ＝cos|2x |；∈y ＝|cos 2x |；∈y ＝cos⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ；∈y ＝tan 2x 中，最小正周期为π的所有函数的序号为 ．【解析】：∈y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；∈y ＝cos 2x ，最小正周期为π，由图象知y ＝|cos 2x |的最小正周期为π2；∈y ＝cos⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx 的最小正周期T ＝2π2＝π；∈y ＝tan 2x 的最小正周期T ＝π2.因此∈∈的最小正周期为π.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为 ．【解析】：由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.三 解答题1.已知函数f (x )＝3cos⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx －2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡44-ππ，时，f (x )≥－12. 【解析】：(1)f (x )＝3cos⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx －2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ，所以T ＝2π2＝π. (2)证明：令t ＝2x ＋π3，因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，因为y ＝sin t 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡26-ππ，上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡652ππ，上单调递减，且sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-π＜sin 5π6， 所以f (x )≥sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-π＝－12，得证． 2．已知f (x )＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋a ＋1. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合．【解析】：(1)f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋a ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4，即⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1. (3)由f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋2＝1，可得sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＝－12， 则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.3.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<320πϕ的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛236，π，求f (x )的单调递增区间．【解析】：由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0， 已知上式对∈x ∈R 都成立，所以cos φ＝0.因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ＝32，所以sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯ϕπ62＝32，即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )， 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．4.已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛x -2πsin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．【解】：(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx . 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，所以当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.所以x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，所以cos(x 1－x 2)＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛22-65x π＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-22πx ，又f (x 2)＝sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-22πx ＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.。
专题一：三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质一：高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.二：真 题 感 悟1.(2020全国1理7)设函数f (x )＝cos(ωx ＋π6)在[－π，π]的图象大致如下图，则f (x )的最小正周期为( )A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2答案：C解析：由图可得：函数图象过点(－4π9，0)，将它代入函数f (x )可得：cos(－4π9·ω＋π6)＝0， 又(－4π9，0)是函数f (x )图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以－4π9·ω＋π6＝－π2，解得：ω＝32．所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π32＝4π3．故选C ．2.(2020山东、海南10)（多选）下图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝( )A ．sin(x ＋π3)B ．sin(π3－2x )C ．cos(2x ＋π6)D ．cos(5π6－2x )答案：BC解析：由函数图象可知：T 2＝23π－π6＝π2，则ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以不选A ，当x ＝23π＋π62＝5π12时，y ＝－1∴2×5π12＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得：φ＝2k π＋23π(k ∈Z )，∴y ＝sin(2x ＋23π＋2k π)＝sin(2x ＋π6＋π2)＝cos(2x ＋π6)＝sin(π3－2x )．而cos(2x ＋π6)＝－cos(5π6－2x )．故选BC ．3.(2020全国3文5)已知sin θ＋sin(θ＋π3)＝1，则sin(θ＋π6)＝( )A ．12B ．33C ．23D ．22答案：B解析：由题意可得：sin θ＋12sin θ＋32cos θ＝1，则：32sin θ＋32cos θ＝1，32sin θ＋12cos θ＝33，从而有：sin θcos π6＋cos θsin π6＝33，即sin(θ＋π6)＝33．故选B ．4.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A.f (x )＝|cos 2x |B.f (x )＝|sin 2x |C.f (x )＝cos|x |D.f (x )＝sin|x |解析 易知A ，B 项中函数的最小正周期为π2；C 中f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，D 中f (x )＝sin|x |＝⎩⎨⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，排除C ，D. 又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则y ＝|cos 2x |＝－cos 2x 是增函数，y ＝|sin 2x |＝sin 2x 是减函数，因此A 项正确，B 项错误. 答案 A5.(2020·江苏卷)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________.解析 将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12.令2x －π12＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴的方程为x ＝k π2＋7π24，k ∈Z ，分析知当k ＝－1时，对称轴为直线x ＝－5π24，与y 轴最近.答案 x ＝－5π246.(2020·北京卷)若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为__________.解析 法一 由f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＋cos x ＝cos φsin x ＋(1＋sin φ)cos x ＝cos 2φ＋（1＋sin φ）2sin(x ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan θ＝1＋sin φcos φ. ∵sin(x ＋θ)≤1，∴cos 2φ＋（1＋sin φ）2＝2＋2sin φ＝2时，f (x )的最大值为2，∴2sin φ＝2，∴sin φ＝1，∴φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ的一个取值可为π2. 法二 ∵f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，又sin(x ＋φ)≤1，cos x ≤1， 则sin(x ＋φ)＝cos x ＝1时，f (x )取得最大值2.由诱导公式，得φ＝π2＋2k π，k ∈Z . ∴φ的一个取值可为π2.答案 π2(答案不唯一，只要等于π2＋2k π，k ∈Z 即可)7.(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________.解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋342＋178，因为cos x ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝－4. 答案 －48.(2020全国3理9)已知2tan θ–tan(θ＋π4)＝7，则tan θ＝( )A ．–2B ．–1C ．1D ．2 答案：D解析：∵2tan θ－tan(θ＋π4)＝7，∴2tan θ－tan θ＋11－tan θ＝7，令t ＝tan θ，t ≠1，则2t －1＋t1－t ＝7，整理得t 2－4t ＋4＝0，解得t ＝2，即tan θ＝2．故选D ．9.(2020全国3理16)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称． ②f (x )的图象关于原点对称． ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．④f (x )的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 答案：②③解析：对于命题①，f (π6)＝12＋2＝52，f (－π6)＝－12－2＝－52，则f (－π6)≠f (π6)，所以，函数f (x )的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数f (x )的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}，定义域关于原点对称，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x ＝－(sin x ＋1sin x )＝－f (x )，所以，函数f (x )的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，∵f (π2－x )＝sin(π2－x )＋1sin (π2－x )＝cos x ＋1cos x ， f (π2＋x )＝sin(π2＋x )＋1sin (π2＋x )＝cos x ＋1cos x ，则f (π2－x )＝f (π2＋x )， 所以，函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，命题③正确；对于命题④，当－π＜x ＜0时，sin x ＜0，则f (x )＝sin x ＋1sin x＜0＜2，命题④错误．故答案为：②③．三：考 点 整 合1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ――——————————→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――——————————→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝sin ωx ―————————————―→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)————————————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0). 四：热点解析热点一 三角函数的定义与同角关系式1.已知512sin ,cos ,1313αα==-，则角α的终边与单位圆的交点坐标是（ ） A ．512(,)1313- B ．512(,)1313- C ．125(,)1313- D ．125(,)1313-【答案】D【详解】设交点坐标为(,)P x y ，根据三角函数的定义，可得125cos ,sin 1315x y αα==-==，所以角α的终边与单位圆的交点坐标是125(,)1313-. 2.(2018全国1文11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝23，则|a －b |＝( )A ．15B ．55C ．255D ．1答案：B解析：根据条件，可知O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos2α＝2cos 2α－1＝2·(1a 2＋1)2－1＝23，解得a 2＝15，即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝55，故选B ． 探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.3.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于_____________．答案：－512．4.已知tan α＝2，则sin αcos α＋cos 2α2sin αcos α＋sin 2α＝，sin 2α－2sin αcos α＋2＝ ． 答案：38；2．5.已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则cos α－sin α＝ ，tan α＝ ．答案：－75；－43解析：sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，且sin 2α＋cos 2α＝1，得到sin α＝45，cos α＝－35探究提高1．三角函数求值(1) 知一求其余三角函数值；(2)关于sin α与cos α的齐次式，同除cos α或cos 2α，如果不是齐次，借助1＝sin 2α＋cos 2α构造齐次．(3)sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α间关系式注意 根据角的范围确定三角函数值正负．无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值)缩小角的范围．6．如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈. 将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).（1）若113x =，求2x ；（2）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ，记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，若122S S =，求角α的值.解：（1）由三角函数定义，1cos x α=，2cos()3x πα=+， 因为(,)62ππα∈，1cos 3α=，所以222sin 1cos 3αα=-=.213126cos()cos sin 3226x πααα-=+=-=.（2）依题意，1sin y α=，2sin()3y πα=+， 所以111111cos sin sin 2224S x y ααα==⋅=， )322sin(41-)3sin()3cos(2121222παπαπα+=++-==y x S ,依题意，s inα＋s inα－s inαcosαinα和cosα tan αsin2α2sin 22sin(2)3παα=-+，化简得cos20α=，因为62ππα<<，则23παπ<<，所以22πα=，即4πα=.7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，31,22A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y fθ=.（1）求函数()y f θ=的解析式，并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）若1()3f θ=，求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，23123f f ππ+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）23. 【详解】解：（1）因为3122A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，所以6xOA π∠=，由三角函数定义，得()sin 6f πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以2253131sin sin 2336222f f ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为1()3f θ=，所以1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以7cos sin cos sin 36626πππππθθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 63πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.热点二 三角函数的图象辨析(2019全国1理5)函数f (x )=sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．答案：D 解析：由f (－x )＝sin(－x )＋(－x )cos(－x )＋(－x )2＝－sin x －xcos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又f (π2)＝1＋π2(π2)2＝4＋2ππ2＞1，f (π)＝π－1＋π2＞0，排除B ，C ，故选D ．(2019全国1文5)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．答案：D 解析：由f (－x )＝sin(－x )＋(－x )cos(－x )＋(－x )2＝－sin x －xcos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又f (π2)＝1＋π2(π2)2＝4＋2ππ2＞1，f (π)＝π－1＋π2＞0，排除B ，C ，故选D ．3.(2017全国1文8)函数y ＝sin2x1－cos x的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．答案：C解析：由题意知，函数y ＝sin2x1－cos x 为奇函数，故排除B ；当x ＝π时，y ＝0，故排除D ；当x ＝1时，y ＝sin21－cos2＞0，故排除A ，故选C ．热点三：f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)平移变化及其解析式求解12．（2020·天津和平区·高一期末）如图是函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，则ω和ϕ的值分别为（ ）A ．2,6πB ．2,3π-C ．1,6π D ．1,3π-【答案】A【详解】由题意可得22362T πππ=-=，即2T ππω==，解得：2ω=，又函数()()2sin 2(0,)2=+><f x x πϕωϕ图象的一个最高点为,26π⎛⎫⎪⎝⎭， 2sin 226πϕ⎛⎫∴⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：()2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即()2,6k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，0k ∴=时，6π=ϕ， 综上可知：2ω=，6π=ϕ故选：A 探究提高 1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.2.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.2．（多选）已知函数()()()2sin 0,||f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A ．2ω=B ．3πϕ= C ．若123x x π+=，则()()12f x f x =D ．若123x x π+=，则()()120f x f x +=【答案】AC 【详解】522212122T T πππππωω⎛⎫=--=⇒==⇒= ⎪⎝⎭，A 正确；可得()()2sin2f x xϕ=+.由图可知5121226 xπππ⎛⎫+-⎪⎝⎭==时函数取最大值，所以()22,62k k Zππϕπ⨯+=+∈因为||ϕπ<，所以6π=ϕ，B错误；因为6xπ=为()f x图象的一条对称轴，若123x xπ+=，则1226x xπ+=，所以()()12f x f x=，C正确、D错误.故选：AC.3．（多选）函数()sin(2)0,||2f x A x Aπϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭部分图象如图所示，对不同x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有f（x1+x2）3=，则（）A．a+b＝πB．2b aπ-=C．3πϕ=D．()3f a b+=【答案】BCD【详解】因为函数()sin(2)0,||2f x A x Aπϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，所以函数的周期为22ππ=，由函数的图象得22Tb aπ-==，故B正确；由图象知A＝2，则f（x）＝2sin（2x+φ），在区间[a，b]中的对称轴为2a bx+=，因为f（x1+x2）3=x1，x2也关于2a bx+=对称，所以1222x x a b++=，即x1+x2＝a+b，所以f（a+b）＝f（x1+x2）3=A错误，D正确，设122x xt+=，则122x x t+=，所以()()2sin22f t tϕ=+=，即()sin21tϕ+=，所以22,2t k k Zπϕπ+=+∈，即22,2t k k Zππϕ=+-∈，所以()()12122sin2f x x x xϕ+=++⎡⎤⎣⎦()2sin42sin3kππϕϕ=+-=，解得sin ϕ=，又||2ϕπ<，所以3πϕ=，故C 正确；故选：BCD ．热点四 三角函数的性质1.已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ． 答案：π6-2.已知函数y ＝A sin(2x ＋φ)的对称轴为x ＝π6，则φ的值为 ．答案：k π＋π6(k ∈Z )．3.已知函数y ＝cos(2x ＋φ)为奇函数，则φ的值为 ．答案：k π＋π2(k ∈Z )．4.将函数()π()2sin 26f x x =+的图象至少向右平移 个单位，所得图象恰关于坐标原点对称．答案：π12.5.若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ．答案：46.已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ． 答案：76探究提高：三角函数对称问题方法：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) 若x ＝x 0为对称轴⇔f (x 0)＝±A ． 若(x 0，0)为中心对称点⇔f (x 0)＝0．推论：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)若函数y ＝f (x )为偶函数⇔f (0)＝±A ．若函数y ＝f (x )为奇函数⇔f (0)＝0．7.将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ．答案：12解析：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8.对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法：①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确； 当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即252,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④正确.故选：B9.下列命题正确的是（ ）A ．函数sin ||y x =是偶函数又是周期函数B ．函数y =是奇函数C ．函数tan 6y ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是aπD ．函数cos(sin )y x =是奇函数 【答案】B【详解】sin y x =是偶函数，但不是周期函数，A 错误；对函数()f x =0>得tan x <<，,33k x k k Z ππππ-<<+∈，定义域关于原点对称，()()f x f x -==-=-，函数是奇函数，B 正确；tan 6y ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是a π，C 错误；记()g x cos(sin )x =，定义域是R ，()()cos sin cos(sin )cos(sin )()g x x x x f x -=-=-==⎡⎤⎣⎦，()f x 是偶函数，D 错误．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与周期性．判断奇偶性一般用奇偶性的定义进行判断．tan y x ω=的最小正周期是T πω=，sin()y x ωϕ=+的最小正周期是2πω． 10.设函数()()2sin 3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π吗 B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间263ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个零点为 6x π=【答案】D【详解】()()2sin 3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个周期为221T ππ==，故A 正确；()f x 的最大值为2，故B 正确；令322,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得722,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈，∴()f x 的单调递减区间为72,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，263ππ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，72,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，∴()f x 在区间263ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，故C 正确；22sin 33f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且252sin 2sin 0636πππ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：D. 热点四 三角函数性质与图象的综合应用1.若动直线x a =与函数())12f x x π=+与()cos()12g x x π=+的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为（ ）A B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【详解】()),()cos()1212f x xg x x ππ=+=+令())cos()1212F a a a ππ=+-+∴求||MN 的最大值即求函数()F a 的最大值())cos()1212F a a a ππ=+-+2sin()2sin()12612a a πππ=+-=-∴函数()F a 的最大值为2故选:C.2．设函数()()2sin 0,2f x x πωφφφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图.若对任意的()()2x R f x f t x ∈=-，恒成立，则实数t 的最小正值为____.【答案】12π 【分析】【详解】由图象知：5556124T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即T π=，则22Tπω==， 由“五点法”得552sin 063f ππφ⎛⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()53k k Z πφπ+=∈，即()53k k Z πφπ=-∈，因为2πφ<，所以3πφ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又因为()()2f x f t x =-，所以函数()f x 图象的对称轴为直线x =t ， 则()2sin 223f t t π⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以23t π+()2k k Z ππ=+∈，解得()212k t k Z ππ=+∈， 当k =0时，t 取到了最小正值为12π.故答案为：12π. 3．（多选）已知函数，f （x ）＝2sin x -a cos x 的图象的一条对称轴为6x π=-，则（ ）A ．点(,0)3π是函数，f （x ）的一个对称中心B ．函数f （x ）在区间(,)2ππ上无最值C ．函数f （x ）的最大值一定是4D ．函数f （x ）在区间5(,)66ππ-上单调递增【答案】ACD【详解】由题意，得2()2sin cos 4)f x x a x a x θ=-=+-，θ为辅助角， 因为对称轴为6x π=-，所以3()16f π-=-234|1|a +-，解得3a =所以()4sin()3f x x π=-；故()03f π=，所以A 正确； 又当232x k ππ-=+π（k ∈Z ），即当526x k ππ=+（k ∈Z ）时， 函数f （x ）取得最大值4，所以B 错误，C 正确；22232k x k πππ-+π<-<+π（k ∈Z ）⇒52266k x k ππ-+π< <+π（k ∈Z ），所以D 正确； 故选：ACD .4．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6x π=对称，1x 是()f x 的一个极大值点，2x 是()f x 的一个极小值点，则12x x +的最小值为______．【答案】23π【详解】因为()f x 的图象关于6x π=对称，所以1622f a π⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以解得a =()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又因为()112sin 23f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1112,32x k k Z πππ+=+∈，所以1112,6x k k Z ππ=+∈，又因为()222sin 23f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以2222,32x k k Z πππ+=-+∈所以22252,6x k k Z ππ=-+∈，所以121212522,,66x x k k k Z k Z ππππ+=+-+∈∈， 所以()12121222,,3x x k k k Z k Z ππ+=-++∈∈，显然当120k k +=时有最小值， 所以12min2233x x ππ+=-=，故答案为：23π.。
第四章三角函数第5讲三角函数的图象与性质课标要求命题点五年考情命题分析预测1.借助单位圆能画出三角函数（正弦、余弦、正切）的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在（－π2，π2）上的性质.三角函数的定义域本讲每年必考，主要考查三角函数的定义域、值域（最值）、周期性、单调性、对称性和奇偶性，有时与函数零点和极值点综合命题，题型以选择题和填空题为主，难度中等.预计2025年高考命题趋势变化不大，备考时要注意区分正弦函数和余弦函数的图象与性质，不要混淆，另应关注新角度、新综合问题.三角函数的值域（最值）2021全国卷乙T4三角函数的性质及应用2023新高考卷ⅠT15；2023全国卷乙T6；2023天津T5；2022新高考卷ⅠT6；2022全国卷乙T15；2022全国卷甲T11；2022北京T5；2021新高考卷ⅠT4；2020全国卷ⅢT16；2019全国卷ⅠT11；2019全国卷ⅡT9学生用书P0801.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象上，起关键作用的五个点是（0，0），（π2，1），①（π，0），（3π2，－1），②（2π，0）.在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象上，起关键作用的五个点是（0，1），（π2，0），③（π，－1），（3π2，0），④（2π，1）.五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）.2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质三角y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x函数图象定义域R R ⑤{x ｜x ≠k π＋2，k ∈Z}值域⑥[－1，1]⑦[－1，1]R周期性周期是2k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期是⑧2π.周期是2k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期是⑨2π.周期是k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期是⑩π.对称性对称轴方程是⑪x ＝k π＋2（k ∈Z ），对称中心是⑫（k π，0）（k ∈Z ）.对称轴方程是⑬x ＝k π（k ∈Z ），对称中心是⑭（k π＋2，0）（k ∈Z ）.无对称轴，对称中心是⑮（2，0）（k ∈Z ）.奇偶性⑯奇函数⑰偶函数⑱奇函数单调性在⑲[－2＋2k π，2＋2k π]（k ∈Z ）上单调递增，在⑳[2＋2k π，32＋2k π]（k ∈Z ）上单调递减.在㉑[2k π－π，2k π]（k ∈Z ）上单调递增，在㉒[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ）上单调递减.在㉓（－2＋k π，2＋k π）（k ∈Z ）上单调递增.注意y ＝tan x 在其定义域内不单调.常用结论1.三角函数的对称性与周期T 的关系（1）相邻的两条对称轴（或两个对称中心）之间的距离为2；（2）相邻的对称中心与对称轴之间的距离为4；（3）相邻的两个最低点（或最高点）之间的距离为T .2.与三角函数奇偶性有关的结论（1）若函数y ＝A sin （ωx ＋φ）（x ∈R ）是奇函数，则φ＝k π（k ∈Z ）；若为偶函数，则φ＝k π＋π2（k ∈Z ）.（2）若函数y ＝A cos （ωx ＋φ）（x ∈R ）是奇函数，则φ＝k π＋π2（k ∈Z ）；若为偶函数，则φ＝k π（k ∈Z ）.（3）若y＝A tan（ωx＋φ）为奇函数，则φ＝kπ（k∈Z）.1.设A是△ABC最小的内角，则sin A＋cos A的取值范围是（D）A.（－2，2）B.[－2，2]C.（1，2）D.（1，2]解析∵A是△ABC最小的内角，∴0＜A≤π3，∴π4＜A＋π4≤7π12，sin（A＋π4）≤1，则sin A＋cos A＝2sin（A＋π4）∈（1，2]，故选D.2.函数f（x）＝tan（－4x＋π6）的最小正周期为（A）A.π4B.π2C.πD.2π解析函数f（x）＝tan（－4x＋π6）的最小正周期T＝π｜｜＝π｜－4｜＝π4.3.[全国卷Ⅱ]若x1＝π4，x2＝3π4是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（A）A.2B.32C.1D.12解析依题意得函数f（x）的最小正周期T＝2π＝2×（3π4－π4）＝π，解得ω＝2，选A.4.函数f（x）＝sin（x－π4）的图象的一条对称轴的方程是（C）A.x＝π4B.x＝π2C.x＝－π4D.x＝－π2解析函数y＝sin x的图象的对称轴方程为x＝kπ＋π2（k∈Z），令x－π4＝kπ＋π2（k∈Z），得x＝kπ＋3π4（k∈Z），故函数f（x）＝sin（x－π4）的图象的对称轴方程为x＝kπ＋3π4（k∈Z）.令k＝－1，得x＝－π4.故选C.5.[易错题]函数y＝2sin（－x＋π3）（x∈[－π，0]）的单调递增区间是（A）A.[－π，－π6]B.[－5π6，－π6]C.[－π3，0]D.[－π6，0]解析令π2＋2kπ≤－x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，则－7π6－2kπ≤x≤－π6－2kπ，k∈Z.又x∈[－π，0]，所以所求单调递增区间为[－π，－π6].6.函数f（x）＝tan（3x＋π6）的图象的对称中心为（χ6－π18，0）（k∈Z）.解析令3x ＋π6＝χ2，k ∈Z ，解得x ＝χ6－π18，k ∈Z ，所以f （x ）的图象的对称中心为（χ6－π18，0），k ∈Z.学生用书P082命题点1三角函数的定义域例1函数y ＝lg （sin x 的定义域为{x ｜2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z}.解析要使函数有意义，则sin >0，Hs －12≥0，解得2χ＜＜π+2χ（Ap,－π3+2χ≤≤π3+2χ（Ap,所以2k π＜x ≤π3＋2k π（k ∈Z ），所以函数的定义域为{x ｜2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z}.方法技巧求三角函数的定义域实质上是解不等式或不等式组，常借助于三角函数的图象解决.训练1函数f （x ）＝tanbtan2tan2－tan 的定义域为{x ｜x ≠χ4，k ∈Z}.解析tan 2x ，tan x 有意义，则≠π2＋χ，2≠π2＋χ，k ∈Z ，又tan 2x －tan x ≠0，即2tan1－tan 2－tan x ≠0，则tan x ≠0，即x ≠k π，k ∈Z ，综上可得，x ≠χ4，k ∈Z ，则函数f （x ）的定义域为{x ｜x ≠χ4，k ∈Z}.命题点2三角函数的值域（最值）例2（1）[2021全国卷乙]函数f （x ）＝sin3＋cos3的最小正周期和最大值分别是（C）A.3π和2B.3π和2C.6π和2D.6π和2解析因为函数f （x ）＝sin3＋cos 3＝2（sin 3cos π4＋cos3sin π4）＝2sin （3＋π4），所以函数f （x ）的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为2.故选C.（2）已知函数f （x ）＝cos （2x ＋π3）＋2的定义域为[α，π]，值域为[52，3]，则α的取值范围是（C ）A.[2π3，π]B.[0，2π3]C.[2π3，5π6]D.[π2，5π6]解析由题意知，2x＋π3∈[2α＋π3，7π3]，且y＝cos（2x＋π3）在[α，π]上的值域为[12，1]，∴2α＋π3≥5π3，且2α＋π3≤2π，解得2π3≤α≤5π6，∴α的取值范围是[2π3，5π6]，故选C.方法技巧三角函数值域的不同求法1.把所给的三角函数式变换成y＝A sin（ωx＋φ）＋b的形式求值域.2.把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.3.利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域.训练2（1）[2023四川省模拟]已知函数f（x）＝cos2x＋sin x－14的定义域为[0，m]，值域为[34，1]，则实数m的最大值为（A）A.πB.7π6C.4π3D.3π2解析由已知，得f（x）＝cos2x＋sin x－14＝1－sin2x＋sin x－14＝－sin2x＋sin x＋34，令t＝sin x，函数f（x）可转换为y＝－t2＋t＋34＝－（t－12）2＋1，因为y∈[34，1]，所以根据二次函数的图象与性质可得t∈[0，1]，即sin x∈[0，1]，又x∈[0，m]，所以根据三角函数的图象与性质可得m∈[π2，π]，所以实数m的最大值为π，故选A.（2）函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x12解析令sin x－cos x＝t，则t＝2sin（x－π4），t∈[－2，2]，t2＝sin2x＋cos2x－2sin x cos x，故sin x cos x＝1－22，所以y＝t＋1－22＝－12（t－1）2＋1，所以当t＝1时，函数有最大值1；当t＝－2时，函数有最小值－2－12，即值域为[－2－12，1].命题点3三角函数的性质及应用角度1三角函数的周期性例3（1）[2023天津高考]已知函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝2，f（x）的一个周期为4，则f（x）的解析式可能为（B）A.f（x）＝sin（π2x）B.f（x）＝cos（π2x）C.f（x）＝sin（π4x）D.f（x）＝cos（π4x）解析对于A，f（x）＝sin（π2x），其最小正周期为2ππ2＝4，因为f（2）＝sinπ＝0，所以函数f（x）＝sin（π2x）的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f（x）＝cos（π2x），其最小正周期为2ππ2＝4，因为f（2）＝cosπ＝－1，所以函数f（x）＝cos（π2x）的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin（π4x）和y＝cos（π4x）的最小正周期均为2ππ4＝8，均不符合题意，故排除C，D.综上，选B.（2）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝tG1+B2的最小正周期为（C）A.π4B.π2C.πD.2π解析f（x）＝tan1+tan2＝sin cos1+sin2cos2＝sinvoscos2＋sin2＝sin x cos x＝12sin2x，所以f（x）的最小正周期T＝2π2＝π.故选C.方法技巧1.求三角函数周期的基本方法（1）定义法.（2）公式法：函数y＝A sin（ωx＋φ）（或y＝A cos（ωx＋φ））的最小正周期T＝2π｜｜，函数y＝A tan（ωx＋φ）的最小正周期T＝π｜｜.（3）图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期.2.有关周期的2个结论（1）函数y＝｜A sin（ωx＋φ）｜，y＝｜A cos（ωx＋φ）｜，y＝｜A tan（ωx＋φ）｜的最小正周期T均为π｜｜.（2）函数y＝｜A sin（ωx＋φ）＋b｜（b≠0），y＝｜A cos（ωx＋φ）＋b｜（b≠0）的最小正周期T均为2π｜｜.角度2三角函数的单调性例4（1）[2022北京高考]已知函数f（x）＝cos2x－sin2x，则（C）A.f（x）在（－π2，－π6）上单调递减B.f（x）在（－π4，π12）上单调递增C.f（x）在（0，π3）上单调递减D.f（x）在（π4，7π12）上单调递增解析依题意可知f（x）＝cos2x－sin2x＝cos2x，对于A，因为x∈（－π2，－π6），所以2x∈（－π，－π3），函数f（x）＝cos2x在（－π2，－π6）上单调递增，所以A不正确；对于B，因为x∈（－π4，π12），所以2x∈（－π2，π6），函数f（x）＝cos2x在（－π4，π12）上不单调，所以B不正确；对于C，因为x∈（0，π3），所以2x∈（0，2π3），函数f（x）＝cos2x在（0，π3）上单调递减，所以C正确；对于D，因为x∈（π4，7π12），所以2x∈（π2，7π6），函数f（x）＝cos2x在（π4，7π12）上不单调，所以D不正确.故选C.（2）[全国卷Ⅱ]若f（x）＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是（A）A.π4B.π2C.3π4D.π解析f（x）＝cos x－sin x＝2cos（x＋π4），因为函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋π4≤π，得－π4≤x≤3π4.因为f（x）在[－a，a]上是减函数，｜－π4｜＜3π4，所以－a≥－π4，解得a≤π4.又区间[－a，a]有意义时，a＞0，所以0＜a≤π4，所以a的最大值是π4.方法技巧三角函数单调性问题的常见类型及求解策略常见类型求解策略已知三角函数解析式求单调区间（1）将函数化简为“一角一函数”的形式，如y＝A sin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）；（2）利用整体思想，视“ωx＋φ”为一个整体，根据y＝sin x的单调区间列不等式求解.对于y＝A cos（ωx＋φ），y＝A tan（ωx＋φ），可以利用类似方法求解.注意求函数y＝A sin（ωx＋φ）＋b的单调区间时要先看A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆.已知三角函数的单调性求参数（1）求出原函数的相应单调区间，由已知区间是求出的单调区间的子集，列不等式（组）求解.（2）由所给区间求出“ωx＋φ”的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解.角度3三角函数的奇偶性与对称性例5（1）[2022全国卷甲]将函数f（x）＝sin（ωx＋π3）（ω＞0）的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（C）A.16B.14C.13D.12解析记曲线C的函数解析式为g（x），则g（x）＝sin[ω（x＋π2）＋π3]＝sin[ωx＋（π2ω＋π3）].因为函数g（x）的图象关于y轴对称，所以π2ω＋π3＝kπ＋π2（k∈Z），得ω＝2k＋13（k∈Z）.因为ω＞0，所以ωmin＝13.故选C.（2）[2022新高考卷Ⅰ]记函数f（x）＝sin（ωx＋π4）＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若2π3＜T ＜π，且y＝f（x）的图象关于点（3π2，2）中心对称，则f（π2）＝（A）A.1B.32C.52D.3解析因为2π3＜T＜π，所以2π3＜2π＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f（x）的图象关于点（3π2，2）中心对称，所以b＝2，且sin（3π2ω＋π4）＋b＝2，即sin（3π2ω＋π4）＝0，所以3π2ω＋π4＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所以13π4＜3π2ω＋π4＜19π4，所以3π2ω＋π4＝4π，解得ω＝52，所以f（x）＝sin（52x＋π4）＋2，所以f（π2）＝sin（52×π2＋π4）＋2＝sin3π2＋2＝1.故选A.方法技巧1.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法：对于函数f（x）＝A sin（ωx＋φ）（ω≠0），令ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，求出对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求出对称中心的横坐标（纵坐标为0）.对于y＝A cos（ωx＋φ），y＝A tan（ωx＋φ），可以利用类似方法求解（注意y＝A tan（ωx＋φ）的图象无对称轴）.说明选择题可以通过验证f（x0）的值进行判断，即f（x0）＝±A⇔x＝x0是函数f（x）图象的对称轴方程；f（x0）＝0⇔点（x0，0）是函数f（x）图象的对称中心.2.三角函数中奇函数一般可化为y＝A sinωx或y＝A tanωx的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cosωx＋b的形式.训练3（1）[2023全国卷乙]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（π6，2π3）单调递增，直线x＝π6和x＝2π3为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－5π12）＝（D）A. B.－12 C.12解析由题意得12×2π｜｜＝2π3－π6＝π2，解得｜ω｜＝2，易知x＝π6是f（x）的最小值点.若ω＝2，则π6×2＋φ＝－π2＋2kπ（k∈Z），得φ＝－5π6＋2kπ（k∈Z），于是f（x）＝sin（2x－6π5＋2kπ）＝sin（2x－5π6），f（－5π12）＝sin（－5π12×2－5π6）＝sin（－5π3）＝sinπ3＝ω＝－2，则π6×（－2）＋φ＝－π2＋2kπ（k∈Z），得φ＝－π6＋2kπ（k∈Z），于是f（x）＝sin（－2x－π6＋2kπ）＝sin（－2x－π6）＝sin（2x－56π），所以f（－5π12）故选D.（2）在函数①y＝cos｜2x｜，②y＝｜cos x｜，③y＝cos（2x＋π6），④y＝tan（2x－π4）中，最小正周期为π的所有函数为（A）A.①②③B.①③④C.②④D.①③解析对于①，y＝cos｜2x｜＝cos2x，其最小正周期为2π2＝π；对于②，y＝｜cos x｜的最小正周期为π；对于③，y＝cos（2x＋π6）的最小正周期为2π2＝π；对于④，y＝tan（2x－π4）的最小正周期为π2.所以最小正周期为π的所有函数为①②③.（3）函数f（x）＝3sin（2x－π3＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）为偶函数，则φ＝5π6，f（x）图象的对称中心为（π4＋χ2，1），k∈Z.解析∵f（x）＝3sin（2x－π3＋φ）＋1为偶函数，∴－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝5π6＋kπ，k∈Z.又φ∈（0，π），∴φ＝5π6，∴f（x）＝3sin（2x＋π2）＋1＝3cos2x＋1.由2x＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝π4＋χ2，k∈Z，∴f（x）图象的对称中心为（π4＋χ2，1），k∈Z.1.[命题点2/2023福建模拟]若对任意x∈R都有f（sin x）＝－cos2x＋cos2x＋2sin x－3，则f（x）的值域为[－4，0].解析易知f（sin x）＝2sin2x－1＋1－sin2x＋2sin x－3＝sin2x＋2sin x－3，所以f（x）＝x2＋2x－3（－1≤x≤1），曲线y＝x2＋2x－3的对称轴为直线x＝－1，所以函数f（x）在区间[－1，1]上单调递增，所以f（－1）≤f（x）≤f（1），即－4≤f（x）≤0，所以f（x）的值域为[－4，0].2.[命题点2/2023潍坊市高三统考]已知函数f（x）＝3sin x＋4cos x，且f（x）≤f（θ）对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P（4，m），则m＝3.解析因为f（x）＝3sin x＋4cos x＝5sin（x＋φ），其中cosφ＝35，sinφ＝45，则sin（θ＋φ）＝1，所以θ＋φ＝π2＋2kπ（k∈Z），所以θ＝π2－φ＋2kπ（k∈Z），所以sinθ＝sin（π2－φ）＝cosφ＝35，同理cosθ＝45，所以tanθ＝4＝sin cos＝34，所以m＝3.3.[命题点3角度1/多选/2023福建省福州市联考]如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为f（t）.下列说法正确的是（AC）A.f（t）＝｜2sin（2π3t－π4）｜B.f（t）＝2sin（2π3t－π4）C.f（t）的最小正周期为32D.f（t）的最小正周期为3解析由题可知，质点的角速度为2π3rad/s，因为点P为起始点，沿逆时针方向运动，设经过t s之后所成角为φ，则φ＝2π3－π4，根据任意角的三角函数定义有y P＝2sin（2π3－π4），所以该质点到x轴的距离为f（t）＝｜2sin（2π3t－π4）｜，故A正确，B错误；因为f（t）＝｜2sin（2π3t－π4）｜，所以f（t）的最小正周期为π2π3＝32，故C正确，D错误.故选AC.4.[命题点3/多选/2023河北名校联考]已知函数f（x）＝2sin（ωx＋π4）＋b（ω＞0）的最小正周期T满足π2＜T＜3π2，且P（－π8，1）是f（x）图象的一个对称中心，则（AC）A.ω＝2B.f（x）的值域是[－2，2]C.直线x＝π8是f（x）图象的一条对称轴D.f（x＋π4）是偶函数解析对于A，因为P（－π8，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，所以－π8ω＋π4＝kπ（k∈Z），且b＝1，得ω＝2－8k（k∈Z）.又π2＜T＜3π2，且ω＞0，即π2＜2π＜3π2，所以43＜ω＜4，所以ω＝2，故A正确.对于B，由对A的分析得f（x）＝2sin（2x＋π4）＋1，因为－1≤sin（2x＋π4）≤1，所以f（x）∈[－1，3]，故B不正确.对于C，解法一由2x＋π4＝kπ＋π2（k∈Z），得x＝χ2＋π8（k∈Z），当k＝0时，x＝π8，所以直线x＝π8是函数f（x）图象的一条对称轴，故C正确.解法二将x＝π8代入f（x），可得f（π8）＝3（f（x）的最大值），所以直线x＝π8是f（x）图象的一条对称轴，故C正确.对于D，因为f（x＋π4）＝2sin[2（x＋π4）＋π4]＋1＝2sin（2x＋π2＋π4）＋1＝2cos（2x＋π4）＋1，显然该函数不是偶函数，故D不正确.综上所述，选AC.学生用书·练习帮P2961.函数f（x）＝tan（2x＋π4）的定义域为（C）A.{x｜x≠kπ＋π2，k∈Z}B.{x｜x≠2kπ＋π2，k∈Z}C.{x｜x≠χ2＋π8，k∈Z}D.{x｜x≠kπ＋π8，k∈Z}解析由2x＋π4≠kπ＋π2，k∈Z，得2x≠kπ＋π4，k∈Z，∴x≠χ2＋π8，k∈Z，∴函数y＝tan（2x＋π4）的定义域为{x｜x≠χ2＋π8，k∈Z}.2.[2023天津新华中学统练]下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（D）A.y＝sin（2x＋π2）B.y＝tan2xC.y＝2sin（π－x）D.y＝tan（x＋π）解析对于函数y＝sin（2x＋π2）＝cos2x，最小正周期为π，是偶函数，排除A；对于函数y＝tan2x，最小正周期为π2，是奇函数，排除B；对于函数y＝2sin（π－x）＝2sin x，最小正周期为2π，是奇函数，排除C；对于函数y＝tan（π＋x）＝tan x，最小正周期为π，是奇函数，故选D.3.下列函数中，以π2为周期且在区间（π4，π2）单调递增的是（A）A.f（x）＝｜cos2x｜B.f（x）＝｜sin2x｜C.f（x）＝cos｜x｜D.f（x）＝sin｜x｜解析A中，函数f（x）＝｜cos2x｜的最小正周期为π2，当x∈（π4，π2）时，2x∈（π2，π），函数f（x）单调递增，故A正确；B中，函数f（x）＝｜sin2x｜的最小正周期为π2，当x∈（π4，π2）时，2x∈（π2，π），函数f（x）单调递减，故B不正确；C中，函数f（x）＝cos｜x｜＝cos x的最小正周期为2π，故C不正确；D中，f（x）＝sin｜x｜＝sin，≥0，由正弦函数图象知，在x≥0和x＜0时，f（x）均以2π为周期，但在整个－sin，<0，定义域上f（x）不是周期函数，故D不正确.故选A.4.已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ）＋3cos（ωx＋θ）（θ∈[－π2，π2]）是偶函数，则θ的值为（B）A.0B.π6C.π4D.π3解析由已知可得f（x）＝2sin（ωx＋θ＋π3），若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝kπ＋π2（k∈Z），又由于θ∈[－π2，π2]，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意.故选B.5.[2023江西月考]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的两个相邻的零点为－13，23，则f（x）的图象的一条对称轴方程是（B）A.x＝－16B.x＝－56C.x＝13D.x＝23解析设f（x）的最小正周期为T，则2＝23－（－13）＝1，得T＝2π＝2，所以ω＝π，又因为－π3＋φ＝kπ（k∈Z），且0＜φ＜π2，所以φ＝π3，则f（x）＝sin（πx＋π3），由πx＋π3＝kπ＋π2（k∈Z），解得x＝k＋16（k∈Z），取k＝－1，得一条对称轴方程为x＝－56.6.已知函数f（x）＝－2tan（2x＋φ）（0＜φ＜π2）的图象的一个对称中心是点（π12，0），则该函数的一个单调递减区间是（D）A.（－5π6，π6）B.（－π6，π3）C.（－π3，π6）D.（－5π12，π12）解析因为函数f（x）＝－2tan（2x＋φ）的图象的一个对称中心是点（π12，0），所以2×π12＋φ＝χ2，k∈Z，解得φ＝χ2－π6，k∈Z.又0＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f（x）＝－2tan（2x＋π3）.令－π2＋kπ＜2x＋π3＜π2＋kπ，k∈Z，解得－5π12＋χ2＜x＜π12＋χ2，k∈Z，所以函数f（x）的单调递减区间为（－5π12＋χ2，π12＋χ2），k∈Z.当k＝0时，得f（x）的一个单调递减区间为（－5π12，π12）.7.[全国卷Ⅰ]设函数f（x）＝cos（ωx＋π6）在[－π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（C）A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2解析解法一由题图知，f（－4π9）＝0，∴－4π9ω＋π6＝π2＋kπ（k∈Z），解得ω＝－3+94（k∈Z）.设f（x）的最小正周期为T，易知T＜2π＜2T，∴2π｜｜＜2π＜4π｜｜，∴1＜｜ω｜＜2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝32，∴T＝2π＝4π3.故选C.解法二由题图知，f（－4π9）＝0且f（－π）＜0，f（0）＞0，∴－4π9ω＋π6＝－π2（ω＞0），解得ω＝32，经验证符合题意，∴f（x）的最小正周期T＝2π＝4π3.故选C.8.[2024安徽铜陵模拟]已知函数f（x）＝a sin4x＋cos4x的图象关于直线x＝π12对称，则f（π24）＝（A）A.3 C.－12 D.－1解析由题设f（x）＝2+1sin（4x＋φ）（a≠0）且tanφ＝1，又函数图象关于直线x＝π12对称，所以π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z⇒φ＝π6＋kπ，k∈Z，则tanφ＝tan（π6＋kπ）＝tanπ6＝1⇒a＝3，综上，f（x）＝3sin4x＋cos4x＝2sin（4x＋π6），故f（π24）＝2sinπ3＝3.故选A.9.[多选/2023江苏南京模拟]已知x1，x2是函数f（x）＝2sin（ωx－π6）（ω＞0）的两个不同零点，且｜x1－x2｜的最小值是π2，则下列说法正确的是（ABD）A.函数f（x）在[0，π3]上单调递增B.函数f（x）的图象关于直线x＝－π6对称C.函数f（x）的图象关于点（π，0）中心对称D.当x∈[π2，π]时，函数f（x）的值域是[－2，1]解析由题意可知，最小正周期T＝2π＝π，所以ω＝2，f（x）＝2sin（2x－π6）.对于选项A，当x∈[0，π3]时，2x－π6∈[－π6，π2]，所以f（x）在[0，π3]上单调递增，故A正确；对于选项B，f（－π6）＝2sin[2×（－π6）－π6]＝2sin（－π2）＝－2，所以f（x）的图象关于直线x ＝－π6对称，故B正确；对于选项C，f（π）＝2sin（2π－π6）＝－1≠0，所以f（x）的图象不关于点（π，0）中心对称，故C错误；对于选项D，当x∈[π2，π]时，2x－π6∈[5π6，11π6]，sin（2x－π6）∈[－1，12]，f（x）∈[－2，1]，故D正确.故选ABD.10.定义运算a*b为：a*b＝（≤p,（＞p,例如，1*2＝1，则函数f（x）＝sin x*cos x的值域为[－1，22].解析f（x）＝sin x*cos x，当x∈[π＋2kπ，5π4＋2kπ]，k∈Z，这时sin x≥cos x，所以f（x）＝cos x，这时函数的值域为[－1；当x∈[－3π4＋2kπ，π4＋2kπ]，k∈Z，这时sin x≤cos x，所以f（x）＝sin x，这时函数的值域为[－1综上，函数的值域为[－1 11.[2023上海松江二中模拟]若函数y＝sin（πx－π6）在[0，m]上单调递增，则m的最大值为23.解析由x∈[0，m]，知πx－π6∈[－π6，mπ－π6]，因为函数在[0，m]上单调递增，所以－π6＜mπ－π6≤π2，即0＜m≤23，所以m的最大值为23.12.[2024安徽合肥一中模拟]已知函数f（x）＝sin x cos x－3cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[－π6，π4]上的值域.解析（1）因为f（x）＝sin x cos x－3cos2x＝12sin2x＝12sin2x－2x＝sin（2x－π3），所以函数f（x）的最小正周期为T＝2π2＝π.由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2（k∈Z）可得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12（k∈Z），所以函数f（x）的单调递减区间为[kπ＋5π12，kπ＋11π12]（k∈Z）.（2）当－π6≤x≤π4时，－2π3≤2x－π3≤π6，则－1≤sin（2x－π3）≤12，因此，函数f（x）在区间[－π6，π4]上的值域为[－1，12].13.设函数f（x）＝2cos（12x－π3），若对于任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则｜x1－x2｜的最小值为（C）A.π2B.πC.2πD.4π解析函数f（x）＝2cos（12x－π3），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，｜x1－x2｜的最小值就是函数的半个周期，故2＝12×2π12＝2π，故选C.14.[2023湘潭模拟]若函数f（x）＝cos2x＋sin（2x＋π6）在（0，α）上恰有2个零点，则α的取值范围为（B）A.[5π6，4π3）B.（5π6，4π3]C.[5π3，8π3）D.（5π3，8π3]解析由题意得，函数f（x）＝cos2x＋sin（2x＋π6）＝3sin（2x＋π3），因为0＜x＜α，所以π3＜2x＋π3＜2α＋π3，又由f（x）在（0，α）上恰有2个零点，可得2π＜2α＋π3≤3π，解得5π6＜α≤4π3，所以α的取值范围为（5π6，4π3].15.[2023福建龙岩模拟]已知函数f（x）＝2｜sin x｜＋cos x，则f（x）的最小值为（C）A.－5B.－2C.－1D.0解析解法一f（x）＝2｜sin x｜＋cos x，分别作出y＝2｜sin x｜（图1）与y＝cos x （图2）的部分图象，如图所示.图1图2从图中可以看出，当x＝π时，两个函数同时取得最小值，此时f（π）＝2｜sinπ｜＋cosπ＝－1最小.解法二因为f（－x）＝2｜sin（－x）｜＋cos（－x）＝2｜sin x｜＋cos x＝f（x），所以f（x）＝2｜sin x｜＋cos x为偶函数，又f（x＋2π）＝2｜sin（x＋2π）｜＋cos（x＋2π）＝2｜sin x｜＋cos x＝f（x），所以f（x）的一个周期为2π.当x∈[0，π]时，f（x）＝2sin x＋cos x，f'（x）＝2cos x－sin x，令f'（x）＝0，则tan x＝2，故存在x0∈（0，π2），使得f'（x0）＝0，当x∈[0，x0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（x0，π]时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，又f（0）＝1，f（π）＝－1，结合f（x）为偶函数，周期为2π，作出f（x）＝2｜sin x｜＋cos x的图象如图，由图可知，函数的最小值为－1.故选C.16.[多选/2022新高考卷Ⅱ]已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（2π3，0）中心对称，则（AD）A.f（x）在区间（0，5π12）单调递减B.f（x）在区间（－π12，11π12）有两个极值点C.直线x＝7π是曲线y＝f（x）的对称轴D.直线y x是曲线y＝f（x）的切线解析因为函数f（x）的图象关于点（2π3，0）中心对称，所以sin（2×2π3＋φ）＝0，可得4π3＋φ＝kπ（k∈Z），结合0＜φ＜π，得φ＝2π3，所以f（x）＝sin（2x＋2π3）.对于A，解法一由2kπ＋π2≤2x＋2π3≤2kπ＋3π2（k∈Z），得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12（k∈Z）；当k ＝0时，－π12≤x≤5π12.因为（0，5π12）⊆（－π12，5π12），所以函数f（x）在区间（0，5π12）单调递减，故A正确.解法二当x∈（0，5π12）时，2x＋2π3∈（2π3，3π2），所以函数f（x）在区间（0，5π12）单调递减，故A正确.对于B，解法一由2x＋2π3＝kπ＋π2（k∈Z），得x＝χ2－π12（k∈Z），当k＝0时，x＝－π12；当k＝1时，x＝5π12；当k＝2时，x＝11π12.所以函数f（x）在区间（－π12，11π12）只有一个极值点，故B不正确.解法二当x∈（－π12，11π12）时，2x＋2π3∈（π2，5π2），所以函数f（x）在区间（－π12，11π12）只有一个极值点，故B不正确.对于C，解法一由选项B解法一的分析知，函数f（x）图象的对称轴方程为x＝χ2－π12（k∈Z），而方程χ2－π12＝7π6（k∈Z）无解，故C不正确.解法二因为f（7π6）＝sin（2×7π6＋2π3）＝sin3π＝0，所以x＝7π6不是曲线y＝f（x）的对称轴，故C不正确.对于D，因为f'（x）＝2cos（2x＋2π3），若直线y x为曲线y＝f（x）的切线，则由2cos（2x＋2π3）＝－1，得2x＋2π3＝2kπ＋2π3或2x＋2π3＝2kπ＋4π（k∈Z），所以x＝kπ或x＝kπ＋π3（k∈Z）.当x＝kπ（k∈Z）时，f（x）kπ（k∈Z），解得k＝0；当x＝kπ＋π3（k∈Z）时，f（x）kπ－π3（k∈Z）无解.综上所述，直线y x为曲线y＝f（x）的切线，故D正确.综上所述，选AD.17.[条件创新]已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在区间[－3π4，π4]上单调递增，且直线y＝－2与函数f（x）的图象在[－2π，0]上有且仅有一个交点，则实数ω的取值范围是[14，23].解析易知f（x）的图象关于点（0，0）对称，则由函数f（x）在[－3π4，π4]上单调递增可得4≥3π4（T为f（x）的最小正周期），即2π4≥3π4，结合ω＞0，解得0＜ω≤23.因为直线y＝－2与函数f（x）的图象在[－2π，0]×2π≤2π，×2π>2π，解得14≤ω＜54.综上，ω∈[14，23].18.[2023湖北省部分重点中学联考]已知函数f（x）＝4sin2（π4＋2）sin x＋（cos x＋sin x）·（cos x－sin x）－1.（1）求f（x）的解析式及其图象的对称中心；（2）若函数g（x）＝12[f（2x）＋af（x）－af（π2－x）－a]－1在区间[－π4，π2]上的最大值为2，求实数a的值.解析（1）f（x）＝2[1－cos（π2＋x）]·sin x＋cos2x－sin2x－1＝sin x·（2＋2sin x）＋1－2sin2x－1＝2sin x.对称中心为（kπ，0），k∈Z.（2）g（x）＝sin2x＋a sin x－a cos x－2－1，令sin x－cos x＝t，则sin2x＝1－t2，（小技巧：函数式中既含正余弦的和或差（sin x－cos x或sin x＋cos x），又含二者的乘积（即sin x·cos x），可令sin x－cos x＝t或sin x＋cos x＝t，然后转化为关于t的二次函数求最值）∴y＝1－t2＋at－2－1＝－（t－2）2＋2 4－2.∵t＝sin x－cos x＝2sin（x－π4），x∈[－π4，π2]，∴x－π4∈[－π2，π4]，∴－2≤t≤1.①当2＜－2，即a ＜－22时，y max ＝－（－2－2）2＋24－2＝－2a －2－2.令－2a －2－2＝2，解得a .②当－2≤2≤1，即－22≤a ≤2时，y max ＝24－2，令24－2＝2，解得a ＝－2或a ＝4（舍去）.③当2＞1，即a ＞2时，y max ＝－（1－2）2＋24－2＝2－1，由2－1＝2，得a ＝6.综上，a ＝－2或6.19.[条件创新/多选]已知函数f （x ）＝cos （2x ＋φ）（｜φ｜＜π2），F （x ）＝f （x ）＋'（x ）为奇函数，则下述四个结论正确的是（BC ）A.tan φ＝3B.若f （x ）在[－a ，a ]上存在零点，则a 的最小值为π6C.F （x ）在（π4，3π4）上单调递增D.f （x ）在（0，π2）上有且仅有一个极大值点解析由f （x ）＝cos （2x ＋φ），得f '（x ）＝－2sin （2x ＋φ），则F （x ）＝f （x ）＋'（x ）＝cos （2x ＋φ）－3sin （2x ＋φ）＝－2sin （2x ＋φ－π6）.因为F （x ）为奇函数，所以φ－π6＝k π（k ∈Z ），所以φ＝k π＋π6（k ∈Z ）.因为｜φ｜＜π2，所以φ＝π6.对于A ，由以上可得tan φA 错误；对于B ，令f （x ）＝cos （2x ＋π6）＝0，得2x ＋π6＝k π＋π2（k ∈Z ），则x ＝χ2＋π6（k ∈Z ），即函数f （x ）的零点为x ＝χ2＋π6（k ∈Z ），且该函数零点的绝对值的最小值为π6，所以a 的最小值为π6，故B 正确；对于C ，F （x ）＝－2sin 2x ，当x ∈（π4，3π4）时，2x ∈（π2，3π2），此时函数F （x ）单调递增，故C 正确；对于D ，函数f （x ）＝cos （2x ＋π6），令2x ＋π6＝2k π（k ∈Z ），得x ＝k π－π12（k ∈Z ），所以函数f （x ）在（0，π2）上无极大值点，故D 错误.。
专题5.3 三角函数的图象与性质1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin2y x=C ．sin cos y x x=+D ．tan 2y x=【答案】B 【解析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A 选项：cos 2y x =是周期为π的偶函数，故A 不正确；B 选项：sin2y x =是周期为π的奇函数，故B 正确；C选项：sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为2π且非奇非偶函数，故C 不正确；D 选项：tan 2y x =是周期为2π的奇函数，故D 不正确.故选：B.2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．ln y x =B ．21y x =+C ．sin y x=D ．cos y x=【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于C ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于D ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：D ．练基础3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y =sin tan x e xx在[-2，2]上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到()cos ,2x k f x e x x k Z π⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭，考察当x 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】()sin cos ,tan 2x x e x k f x e x x k Z x π⎛⎫==≠∈ ⎪⎝⎭,当x 趋近于0时，函数值趋近于0cos 01e =,故排除A;()22cos 20f e =<,故排除CD,故选：B4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（ ）A ．(0，0)B ．(6π，0)C ．(49π，0)D ．以上选项都不对【答案】C 【解析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ；令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ；所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ；当k =3时,C 正确，故选：C.5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）A ．2B ．C ．1D ．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（ ）A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<【答案】A 【解析】根据题意可得422πππω≤<，即可求出.【详解】4π43πsin x ωωω3212()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=由题可知，cos (0)y x ωω=>在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个零点，又2x πω=，2x πω=，所以422πππω≤<，即12ω<≤.故选：A.7.(2019年高考北京卷文)设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（ ）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令2()82x k k πππ-=+∈Z ，可得5()216k x k ππ=+∈Z ．所以当1k =-时，316x π=-，故3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足条件，当0k =时，516x π=，故5,116π⎛⎫-⎪⎝⎭满足条件；故选：D0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x ()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =()f x9．（2021·全国高一专题练习）设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】C 【解析】根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.【详解】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22(cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确；当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确.综上，错误的选项为C.故选：C.10．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x+3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．练提升1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A．B ．12-C ．12D【答案】D 【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πwππ=1w =()tan()4f x x π=+令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.3．（2021·广东佛山市·高三二模）设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由条件即06πθ<<，由06πθ<<，得1sin 2θ<；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由()0,θπ∈，则6πθ<，即06πθ<<所以当06πθ<<时，由正弦函数sin y x =的单调性可得1sin sin62πθ<=，即由6πθ<可以得到1sin 2θ<.反之不成立，例如当56πθπ<<时，也有1sin 2θ<成立，但6πθ<不成立.故“6πθ<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件故选：A4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈1k =544x ππ<<()f x 5(,)44ππ4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=425ππ>>(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22Tπ=，可得2T ππω==，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心，所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A ：将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos 22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误；对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：C5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得y =g (x )的图象，若函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．[416,)39B ．1620,[)99C ．[208,93D ．[8,4)3【答案】B 【解析】由函数的平移可得()sin 4g x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质可得ω满足的不等式，即可得解.【详解】由题意，()sin sin 44g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,444x πωπωπωω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则3542,2433122,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-+-+ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或3412,2433272,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-++ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，k Z ∈，又0>ω，所以1620,99ω⎡∈⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z∈k =0时解得x =2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=.故选：A .7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆222:O x y n +=上，则()1f =（ ）A B ．C ．-D ．【答案】A 【解析】首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n 的取值，再代入1x =求解.【详解】解：设两交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1y =，2y =-又函数()(0)xf x n nπ=>为奇函数，∴12x x =-，当22xnx n ππ=⇒=时，函数取得最大值，∴12n x =-，22nx =，由题，函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆22: O x y n +=上，∴22242n n n ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，则(1)4f π==.故选：A.8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象的一条对称轴为23x π=，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，且()f x 在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则以下说法正确的是（ ）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是其中一个对称中心B ．145ω=C ．()f x 在5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭单増D ．16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.【详解】∵f (x )关23x π=对称，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，f (x )在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，232232,22643k k ωπωϕπππππϕωϕπ⎧=+=+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪+=+⎩⎪⎩，B 错误；()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,6x k k ππ+=∈Z ，可得,,122k x k ππ=-+∈Z 当1k =-时，7,12x π=-即()f x 关于7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；令222,262k x k πππππ-+<+<+得,312k x k ππππ-+<<+∴()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递増，即C 错误；2sin 2sin 16366f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：AD.9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30【答案】CD 【解析】利用已知条件可知()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==-≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=，∴所有根的和为30，正确.故选：CD10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数sin 3xy π=在[,1]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，则()()M t N t -在3722t ≤≤上最大值为________．【答案】1【解析】依题意可得函数在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，所以()()cos 36t M t N t ππ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即可求出函数的最大值；【详解】解：函数sin3xy π=的周期为6，函数sin3xy π=在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3722t ≤≤时，39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦(1)()()sinsin2cos sin cos 3336636tt t t M t N t πππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3722t ≤≤，所以243363t ππππ≤+≤，所以11cos 362t ππ⎛⎫-≤+≤-⎪⎝⎭所以1()()12M t N t ≤-≤当52t =时取最大值1故答案为：11．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）练真题A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=在的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x[,]-ππ【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．4．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 22π1π42π2(1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.6．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.。
专题4.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲1．正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.②五点法观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：,1),( π,0),(-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象①图象变换法作余弦函数的图象由诱导公式六，我们知道，而函数x∈R的图象可以通过正弦函数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2．正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：3．正弦型函数的性质的性质4．正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-上的简图.5．余切函数的图象及性质正切函数的图象及性质：的图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：【题型1 三角函数的定义域和值域（最值）】【方法点拨】求与三角函数有关的函数的值域(最值)的常用方法有：(1)借助三角函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性.【例1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数f(x)=tan(x+π4)的定义域为（）A．{x|x≠kπ+π4,k∈Z}B．{x|x≠2kπ+π4,k∈Z}C．{x|x≠kπ−π4,k∈Z}D．{x|x≠kπ,k∈Z}【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.【解答过程】因为x+π4≠kπ+π2,k∈Z，所以x≠kπ+π4,k∈Z.故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π4,k∈Z}.故选：A.【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））若x∈[π4,2π3]，则函数f(x)=3sin x cos x+√3sin2x的值域为（ ） A ．[0,3√32]B ．[0,√32] C ．[0,√3]D ．[0,3+√3]【解题思路】利用二倍角公式和辅助角公式化简原式为f (x )=√3sin(2x -π6)+√32，结合正弦函数的图像和性质，求解即可. 【解答过程】由题意，f (x )=3sin x cos x +√3sin 2x =32sin2x +√32(1-cos2x )=√3×(√32sin2x -12cos2x )+√32=√3×(cos π6sin2x -sin π6cos2x )+√32=√3sin(2x -π6)+√32,当x ∈[π4,2π3]时，有2x -π6∈[π3,7π6]，当2x -π6=π2，即x =π3时，f (x )max =f (π3)=√3+√32=3√32； 当2x -π6=7π6，即x =2π3时，f (x )min =f (2π3)=0.即函数f (x )的值域为[0,3√32].故选：A.【变式1-2】（2022·福建省高二阶段练习）函数f (x )=sinx +cos (x +π6)的值域为（ ） A ．[−2,2]B ．[−√3,√3]C ．[−1,1]D ．[−√32,√32] 【解题思路】利用两角和的余弦公式和辅助角公式进行化简，即可得到答案 【解答过程】解：函数f (x )=sinx +cos (x +π6)=sinx +√32cosx −12sinx =√32cosx +12sinx =cos (x −π6)，∵x ∈R ，∴cos (x −π6)∈[−1,1]，∴函数的值域为[−1,1]， 故选：C ．【变式1-3】（2022·全国·高一单元测试）若x ∈[−π3,2π3]，则函数y =cos 2(x +π6)+sin (x +2π3)的最大值与最小值之和为（ ）A ．12B ．1C ．74D ．√2【解题思路】利用诱导公式可化简函数为y =(cos (x +π6)+12)2−14，根据余弦型函数值域的求法可求得cos(x+π6)∈[−√32,1]，结合二次函数最值的求法可求得y的最大值和最小值，加和即可求得结果.【解答过程】y=cos2(x+π6)+sin(x+2π3)=cos2(x+π6)+sin(π2+x+π6)=cos2(x+π6)+cos(x+π6)=(cos(x+π6)+12)2−14，当x∈[−π3,2π3]时，x+π6∈[−π6,5π6]，∴cos(x+π6)∈[−√32,1]，∴当cos(x+π6)=1时，y max=94−14=2；当cos(x+π6)=−12时，y min=−14；∴y max+y min=2−14=74.故选：C.【方法点拨】证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周期函数且T是它的一个周期.(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.【例2】（2023·广东·高三学业考试）函数f(x)=sin(x2−π4)的最小正周期是（）A．π2B．πC．2πD．4π【解题思路】利用正弦函数的周期求解．【解答过程】f(x)的最小正周期为T=2π12=4π．故选：D．【变式2-1】（2023·广东·高三学业考试）函数f(x)=cos(12x+π6)的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π【解题思路】利用余弦型函数的周期公式进行求解.【解答过程】∵f(x)=cos(12x+π6)，∴f(x)最小正周期T=2π12=4π．故A，B，C错误.故选：D.【变式2-2】（2022·甘肃临夏·高二期末（理））函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，则f(π2)=（）A．−√32B．−12C．12D．√32【解题思路】由周期求出ω，从而可求出f(x)，进而可求出f(π2).【解答过程】因为函数f(x)的最小正周期为π，ω>0，所以ω=2ππ=2，得f(x)=cos(2x+π6)，所以f(π2)=cos(2×π2+π6)=−cosπ6=−√32．故选：A.【变式2-3】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在下列函数中，最小正周期为π且在(0,π2)为减函数的是（）A．f(x)=sin|2x|B．f(x)=cos(2x+π6)C．f(x)=|cosx|D．f(x)=tan(2x−π4)【解题思路】根据三角函数的图像性质，逐个选项进行判断即可得出答案.【解答过程】对于A，f(x)=sin|2x|的图像关于y轴对称，在(0,π2)为增函数，不符题意，故A错；对于B，f(x)=cos(2x+π6)的最小正周期为π，x∈(0,π2),2x+π6∈(π6,7π6)，不是减函数，不符题意，故B错；对于C，f(x)=|cosx|的最小正周期为π，在(0,π2)为减函数，符合题意，故C对；对于D，f(x)=tan(2x−π4)的最小正周期为π2，不符题意，故D错；故选：C.【题型3 三角函数的奇偶性】【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例3】（2022·广东·高三学业考试）若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，则φ可取一个值为（）A．−πB．−π2C．π4D．2π【解题思路】根据偶函数的定义得φ=kπ+π2,k∈Z,结合选项可确定答案.【解答过程】∵函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，∴f(−x)=f(x)，即sin(−x+φ)=sin(x+φ).∴−x+φ=x+φ+2kπ或−x+φ+x+φ=π+2kπ,k∈Z.当−x+φ=x+φ+2kπ时，可得x=−kπ，不满足函数定义.当−x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+π2,k∈Z,若φ=kπ+π2=−π，解得k=−32∉Z，故A错误;若φ=kπ+π2=−π2，解得k =−1∈Z ，故B 正确; 若φ=kπ+π2=π4，解得k =−14∉Z ，故C 错误;若φ=kπ+π2=2π，解得k =32∉Z ，故D 错误;故选:B.【变式3-1】（2022·全国·高一）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ） A ．y =sinxB ．y =|sinx |C ．y =tanxD ．y =cos (x −π2)【解题思路】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【解答过程】对于A ，∵y =sinx 定义域为R ，sin (−x )=−sinx ，∴y =sinx 为奇函数，A 错误；对于B ，∵y =|sinx |定义域为R ，|sin (−x )|=|−sinx |=|sinx |，∴y =|sinx |为偶函数，B 正确；对于C ，∵y =tanx 定义域为(kπ−π2,kπ+π2)(k ∈Z )，即定义域关于原点对称，tan (−x )=−tanx ，∴y =tanx 为奇函数，C 错误；对于D ，∵y =cos (x −π2)=sinx 定义域为R ，sin (−x )=−sinx ，∴y =cos (x −π2)为奇函数，D 错误. 故选：B.【变式3-2】（2022·北京高三阶段练习）函数f (x )=cos x +cos2x 是（ ） A ．奇函数，且最大值为2 B ．偶函数，且最小值为-98 C ．奇函数，且最小值为-98D ．偶函数，且最大值为98【解题思路】利用函数奇偶性的定义可判断出函数f (x )的奇偶性，利用二次函数的基本性质可求得函数f (x )的最值.【解答过程】函数f (x )的定义域为R ，f (-x )=cos (-x )+cos (-2x )=cos x +cos2x =f (x )， 故函数f (x )为偶函数，因为-1≤cos x ≤1，则f (x )=2cos 2x +cos x -1=2(cos x +14)2-98， 所以，f (x )min =-98，f (x )max =2+1-1=2.故选：B.【变式3-3】（2022·广西·模拟预测（理））若将函数f (x )=sin2x −√3cos2x 的图象向右平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解题思路】首先对f (x )化简得到f (x )=2sin (2x −π3)，再写出平移后的解析式y =2sin (2x −2m −π3)，因为其为奇函数，则−2m −π3=k π,k ∈Z ，解出m 即可得到最小值.【解答过程】f (x )=sin2x −√3cos2x =2(12sin2x −√32cos2x)=2sin (2x −π3)，向右平移m(m >0)个单位后得到函数y =2sin [2(x −m )−π3]=2sin (2x −2m −π3)，由于是奇函数，因此，得−2m −π3=k π,k ∈Z ，m =−π6−k π2,k ∈Z.又∵m >0，则当k =−1时，m 的最小值是π3，故选：B.【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例4】（2022·安徽·高三开学考试）函数f (x )=tan (2x −π3)的图象的一个对称中心为（ ） A ．(π12,0)B ．(7π12,0)C ．(−5π12,0)D ．(−π12,0)【解题思路】根据正切型函数的对称中心为(k π2,0) k ∈Z ，求解即可. 【解答过程】由2x −π3=k π2,k ∈Z ，可得x =k π4+π6,k ∈Z ，当k =0时，x =π6，当k =1时，x =π4+π6=5π12，当k =2时，x =8π12=23π， 当k =−1时，x =−π4+π6=−π12， 当k =−2时，x =−4π12=−13π， 当k =−3时，x =−7π12，所以(−π12,0)为f (x )图象的一个对称中心， 故选：D.【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数f (x )=2cos (ωx −π6)(ω>0)在[0,2π]内恰有三条对称轴，则ω的取值范围是（ ） A ．[43,116)B ．(43,116]C ．[1312,1912)D ．(1312,1912]【解题思路】根据余弦函数的性质可得2π≤2ωπ−π6<3π，进而即得. 【解答过程】因为0≤x ≤2π， 所以−π6≤ωx −π6≤2ωπ−π6， 所以2π≤2ωπ−π6<3π， 解得1312≤ω<1912．故选：C.【变式4-2】已知函数f(x)=sin (12x −π6)，则结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于点(5π3,0)中心对称B ．f (x )的图象关于直线x =−π3对称C ．f (x )在区间(−π,π)内有2个零点D ．f (x )在区间[−π2,0]上单调递增【解题思路】A 、B 应用代入法判断对称轴和对称中心；C 、D 根据给定区间求12x −π6的范围，结合正弦型函数的性质求零点和单调性. 【解答过程】A ：f(5π3)=sin (12×5π3−π6)=sin2π3≠0，故(5π3,0)不是对称中心，错误；B ：f(−π3)=sin[12×(−π3)−π6]=−sin π3≠±1，故x =−π3不是对称轴，错误；C ：在x ∈(−π,π)，则12x −π6∈(−2π3,π3)，故f(x)=0，可得12x −π6=0，所以x =π3为f (x )在(−π,π)内的唯一零点，错误；D ：在x ∈[−π2,0]，则12x −π6∈[−5π12,−π6]，故f(x)=sin (12x −π6)递增，正确. 故选：D.【变式4-3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=2cos (ωx +φ)（ω>0，0<φ<π）的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且为奇函数，将f (x )的图象向右平移π3个单位得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的图象（ ） A ．关于点(−5π3,0)对称B ．关于点(π2,0)对称 C ．关于直线x =−π3对称D ．关于直线x =π2对称【解题思路】两个相邻对称轴的为半个周期，奇函数可以确定f (x )为正弦函数，由此条件得出f (x )的解析式，再根据平移得出g (x )的解析式，根据解析式写出对称中心和对称轴的通式即可得出答案.【解答过程】由相邻两条对称轴之间的距离为2π可知T2=2π，即T =4π，ω=2πT ，ω=12, 因为f (x )为奇函数，根据0<φ<π可知φ=π2，f (x )=2sin 12x , g (x )=2sin (12(x −π3))=2sin (12x −π6),对称中心：12x −π6=k π(k ∈Z )，x =2k π+π3(k ∈Z )，故A 正确，B 错误;对称轴：12x −π6=π2+k π(k ∈Z )，x =2k π+4π3(k ∈Z )，故C 、D 错误;故选：A.【方法点拨】三角函数的单调性问题主要有：三角函数的单调区间的求解、比较函数值的大小、根据三角函数的单调性求参数；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））函数y =sin (π6−2x)(x ∈[0,π])为增函数的区间是（ ） A ．[0,π3]B ．[π12,7π12]C ．[π3,5π6]D ．[5π6,π]【解题思路】根据三角函数单调性的求法求得正确答案. 【解答过程】y =sin (π6−2x)=−sin (2x −π6)，2k π+π2≤2x −π6≤2k π+3π2，k π+π3≤x ≤k π+5π6，k ∈Z ， 令k =0可的y =sin (π6−2x)(x ∈[0,π])的递增区间为[π3,5π6]. 故选：C.【变式5-1】（2022·河南信阳·一模（理））已知函数f (x )=2√3cos (x -π2)cos x -2sin 2x ，若f (x )在区间[m ,π4]上单调递减，则实数m 的取值范围（ ）A ．[π6,π4]B ．[π3,π2]C ．[π6,π4)D ．[π6,π3)【解题思路】利用三角恒等变换，化简三角函数，利用正弦型函数的单调性，建立不等式组，可得答案.【解答过程】f (x )=2√3cos (x -π2)cos x -2sin 2x =2√3sin x cos x -2·1-cos2x 2=√3sin2x -1+cos2x=2(√32sin2x +12cos2x)-1 =2sin (2x +π6)-1，由x ∈[m ,π4]，则2x +π6∈[2m +π6,2π3]，由题意，[2m +π6,2π3]⊆[π2,3π2]，则π2≤2m +π6<2π3，解得π6≤m <π4. 故选：C.【变式5-2】（2022·江苏·高三阶段练习）已知a =log 168，b =πln0.8，c =sin2.5，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <b <cD ．a <c <b【解题思路】由对数的运算法则求出a ，又πln0.8，sin2.5分别可看做y =πx ，y =sinx 的函数值，考虑构造指数函数和正弦函数，利用函数的单调性对其值进行估计，又因为ln0.8估值困难，故考虑利用与函数y =lnx 近似的有理函数y =1−1x 对其大小进行估值，最后求得答案.【解答过程】由题意，a =log 168=log 2423=34=0.75， 设f (x )=lnx +1x −1，则f ′(x )=1x −1x 2=x−1x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1,+∞)上单调递增，所以f (0.8)>f (1)，即ln0.8+54−1>0，所以ln0.8>−14，因为函数y =πx 在(−∞,+∞)上单调递增，所以πln0.8>π−14，又(π−14)−4=π，(34)−4=25681≈3.16，所以(34)−4>(π−14)−4，因为y =x−4在(0,+∞)单调递减，所以34<π−14，所以πln0.8>34，故b >a ， 因为3π4<2.5<5π6，函数y =sinx 在(π2,π)上单调递减，所以sin 5π6<sin2.5<sin3π4，所以12<sin2.5<√22，所以sin2.5<34，即c <a ，所以c <a <b ， 故选：A.【变式5-3】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））若函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，则ω的最大值为（ ）A ．37 B ．34C ．14D ．1【解题思路】由题知ωx +π4∈(π4,7π4ω+π4)，再根据函数y =√2cosx 在(0,π)上单调递减可得7π4ω+π4≤π，进而解不等式求解即可.【解答过程】解：因为函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，所以7π4≤12T =πω，解得0<ω≤47，因为x ∈(0,7π4)，所以ωx +π4∈(π4,7π4ω+π4)，因为函数y =√2cosx 在(0,π)上单调递减， 所以，函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，则有7π4ω+π4≤π，解得ω≤37，所以ω的取值范围是ω∈(0,37]，即ω的最大值为37. 故选：A.【方法点拨】解决正(余)弦型函数性质的综合应用问题的思路： (1)熟练掌握函数或的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.(2)直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题. 【例6】已知函数f (x )=4sinxcos (x +π6)+1.(1)求f (x )的最小正周期及单调区间； (2)求f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值与最小值.【解题思路】（1）先利用三角恒等变换化简得到f (x )=2sin (2x +π6)，从而利用T =2π|ω|求出最小正周期，再利用整体法求解函数的单调区间；（2）根据x ∈[−π6,π4]求出2x +π6∈[−π6,2π3]，从而结合函数图象求出最大值为2，最小值为−1.【解答过程】（1）因为f (x )=4sinx (cosxcos π6−sinxsin π6)+1=2√3sinxcosx −2sin 2x +1 =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6) 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π；令−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π，k ∈Z ，解得：[−π3+k π,π6+k π]，k ∈Z ， 令π2+2k π≤2x +π6≤3π2+2k π，k ∈Z ，解得：[π6+k π,2π3+k π]，k ∈Z ，单调增区间为[−π3+k π,π6+k π]，k ∈Z ，单调减区间为[π6+k π,2π3+k π]，k ∈Z ；（2）已知x ∈[−π6,π4]，所以2x +π6∈[−π6,2π3]，当2x +π6=π2，即x =π6时，f (x )取得最大值，最大值为2， 当2x +π6=−π6，即x =−π6时，f (x )取得最小值，最小值为-1， 所以f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值为2，最小值为−1.【变式6-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=4sin (ωx +φ)（ω>0，|φ|<π2）图象的一条对称轴为直线x =−π12，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8．(1)求f (x )；(2)求f (x )在[−π24,π4]上的值域．【解题思路】（1）先求出周期，由此求出ω的值，利用对称轴方程求出φ，即可得到函数的解析式；（2）根据自变量的范围求得4x −π6∈[−π3,5π6]，根据正弦函数的取值求得函数的值域【解答过程】（1）因为函数f(x)图象的对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8， 所以T =π2，故ω=2πT=4，又f(x)的图象的一条对称轴方程为x =−π12， 则4×(−π12)+φ=π2+k π，k ∈Z ，即φ=5π6+k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ=−π6， 故f(x)=4sin (4x −π6)；（2）因为x ∈[−π24,π4]，所以4x −π6∈[−π3,5π6]，所以sin (4x −π6)∈[−√32,1]，所以4sin (4x −π6)∈[−2√3,4]， 故f (x )在[−π24,π4]上的值域为[−2√3,4].【变式6-2】（2021·天津·高一期末）已知函数f (x )=2√3cos 2(π2+x)-2sin(π+x )cos x -√3 (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间； (2)求f (x )在区间[π4,π2]上的最值；(3)若f (x 0-π6)=1013,x 0∈[3π4,π]，求sin2x 0的值．【解题思路】（1）根据三角恒等变换可得f (x )=2sin (2x -π3)，然后根据三角函数的性质即得；（2）根据正弦函数的性质即得；（3）由题可得sin (2x 0-2π3)=513，然后根据同角关系式及和差角公式即得. 【解答过程】（1）因为f (x )=2sin x cos x +2√3sin 2x -√3 =sin2x -√3cos2x =2sin (2x -π3)． 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π，∵π2+2k π≤2x -π3≤3π2+2k π,k ∈Z ，∴5π12+k π≤x ≤11π12+k π，所以f (x )的单调递减区间为[5π12+k π,11π12+k π](k ∈Z)；（2）由（1）知f (x )的单调递减区间为[5π12+k π,11π12+k π](k ∈Z)，∵x ∈[π4,π2]，∴f (x )在[π4,5π12]上单调递增，在[5π12,π2]上单调递减，又f (5π12)=2sin π2=2,f (π4)=2sin π6=1,f (π2)=2sin2π3=√3，故f (x )min =1,f (x )max =2； 另解：∵x ∈[π4,π2]， ∴t =2x -π3∈[π6,2π3]，∵y =sin t 在t ∈[π6,π2]单调递增，在[π2,2π3]上单调递减， ∴当t =π2时，(sin t )max =1,f (x )max =2×1=2， ∴当t =π6时，(sin t )min =12,f (x )min =2×12=1； （3）∵f (x 0-π6)=1013，∴sin (2x 0-2π3)=513， 由x 0∈[3π4,π]，得2x 0-2π3∈[5π6,4π3]，∴cos (2x 0-2π3)=-1213， ∴sin2x 0=sin [(2x 0-2π3)+2π3]=sin (2x 0-2π3)cos2π3+cos (2x 0-2π3)sin 2π3=513×(-12)+(-1213)×√32=-5+12√326． 【变式6-3】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数f (x )=[(1+√2)sin x -cos x]⋅[(1-√2)sin x -cos x]. (1)求f (x )的最小正周期T 和单调递减区间；(2)四边形ABCD 内接于⊙O ，BD =2，锐角A 满足f (3A4)=-1，求四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解题思路】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得f (x )=√2cos (2x +π4)，从而可求出最小正周期，再由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π(k ∈Z )求出其单调区间，（2）由f (3A4)=-1，求得A =π3，再由圆的性质可得C =2π3，设AB =a ，AD =b ，BC =c ，CD =d ，分别在△ABD 和△CBD 中利用余弦定理结合基本不等式可得0<ab ≤4，0<cd ≤43，从而可求出四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解答过程】（1）[(1+√2)sin x -cos x]⋅[(1-√2)sin x -cos x]=[(sin x -cos x )+√2sin x]⋅[(sin x -cos x )-√2sin x]=(sin x -cos x )2-2sin 2x =sin 2x -2sin x cos x +cos 2x -2sin 2x=1-2sin 2x -sin2x =cos2x -sin2x=√2cos (2x +π4)， ∴f (x )=√2cos (2x +π4) ∴T =π.由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π(k ∈Z )，得kπ-π8≤x ≤kπ+3π8(k ∈Z )，所以f (x )单调递减区间为[kπ-π8,kπ+3π8](k ∈Z ). （2）由于f (3A4)=-1，根据（1）得√2cos (2×3A 4+π4)=-1，∵0<A <π2，∴A =π3，C =2π3.分别设AB =a ，AD =b ，BC =c ，CD =d .因BD =2，分别在△ABD 和△CBD 中由余弦定理得a 2+b 2-2ab cos π3=4，c 2+d 2-2cd cos2π3=4，∴a 2+b 2=4+ab ，c 2+d 2=4-cd .∵a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，等号在a =b =2，c =d =2√33时成立，∴4+ab ≥2ab ，4-cd ≥2cd ，解得0<ab ≤4，0<cd ≤43. ∴0<ab +cd ≤163.等号在a =b =2，c =d =2√33时成立，∵S =12ab sin A +12cd sin C =√34(ab +cd )， 所以S 的取值范围是(0,4√33].。
考点07 三角函数的图像与性质（核心考点讲与练）一、同角三角函数基本关系式与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__αsin__αcos__αcos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α －tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限二、 三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数偶函数奇函数递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无对称中心 (k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无三、 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径4．三角函数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋k中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.1.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解.(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.2.确定y＝A sin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π. 3．识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象.4.(1)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值.三角函数图象性质1.（多选题）（2021湖北省新高考高三下2月质检）已知函数()cos sin f x x x =-在[]0,a 上是减函数，则下列表述正确的是（ ）A.()2min f x =﹣B.()f x 的单调递减区间为32,2()44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，C.a 的最大值是34π， D.()f x 的最小正周期为2π 【答案】BCD【分析】由于函数()cos sin 2os 4)(f x x x x π=-=+在[]0,a 上是减函数，从而可得4a ππ+≤，进而可求出a 取值范围，函数的周期和最值，从而可判断ACD ，再利用余弦函数的性质求出单调区间，可判断B【详解】解：∵函数()cos sin 2os 4)(f x x x x π=-=+在[]0,a 上是减函数，,444[]x a πππ+∈+， ∴4a ππ+≤，∴304a π<≤， 故()f x 的最小值为2-，a 的最大值是34π，()f x 的最小正周期为2π，故A 错，C 、D 正确； 在32,2()44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，[]2,2()4x x k k k Z ππππ++∈+∈，函数()f x 单调递减，所以B 正确故选：BCD.2. 已知函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A. 导函数为()π3cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭' B. 函数()f x 的图象关于直线π2x =对称 C. 函数()f x 在区间π5π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 D. 函数()f x 的图象可由函数3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到 【答案】C【分析】利用复合函数的求导法则判定选项A 错误，利用π()2f 不是函数的最值判定选项B 错误，利用π5π1212x -<<得到πππ2232x -<-<，进而判定选项C 正确，利用图象平移判定选项D 错误. 【详解】对于A ：因为π()3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以()ππ3cos 226cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪' ⎪⎝⎭⎝⎭，即选项A 错误；对于B ：因为πππ2π3sin 23sin 32233f ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 的图象不关于直线π2x =对称， 即选项B 错误；对于C ：当π5π1212x -<<时，πππ2232x -<-<， 故()f x 在π5π(,)1212-上是增函数，即选项C 正确；对于D ：因为ππ()3sin 23sin[2()]36f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的图象可由3sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到， 即选项D 错误. 故选：C .根据三角函数图象求解析式1.（2022年安徽省亳州市第一中学高三上学期9月检测）已知函数()()sin 0,010,2f x K x K πωϕωϕ⎛⎫=+><<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，点370,,,1224A B π⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则将函数()f x 图象向左平移12π个单位长度，然后横坐标变为原来的2倍､纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式是（ ）A.5sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.5sin 812y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.2sin 83y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C【分析】首先根据三角函数的图象求得各个参数，由振幅求得1K =，由定点坐标代入函数解析式求得43ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再通过平移伸缩变化，即可得解. 【详解】因为函数()f x 的部分图象经过点3A ⎛ ⎝⎭，7,124K π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()()130sin 077sin 1,2424010,,2K f f ωϕππωϕωπϕ=⎧⎪⎪=⨯+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪<<⎪⎪<⎪⎩解得43ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 将函数()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，然后横坐标变为原来的2倍､纵坐标不变， 得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象. 故选：C.2 （2020广东省潮州市高三第二次模拟）函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A. ,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈B. ,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C. ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D. ,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈ 【答案】C【分析】利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，然后根据正弦函数的单调性列不等式求解即可.【详解】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象， 可得：332113441264T ππππω=⋅=-=， 解得：2ω=，由于点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<， 可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．三角函数图象判断1.（2020江西省靖安中学高三上学期第二次月考）已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为（ ）A. B. C. D.【答案】A【分析】由奇偶性可排除BD ，再取特殊值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭可判断AC ，从而得解 【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数， 故BD 错误；当0x >时，令()2cos 0f x x x ==，易得cos 0x =， 解得()2x k k Z ππ=+∈，故易知()f x 的图象在y 轴右侧的第一个交点为,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又22cos 04444f ππππ⎛⎫=⨯⨯=>⎪⎝⎭，故C 错误，A 正确； 故选：A2. . （2022广东省深圳市普通中学高三上学期质量评估）函数()4cos x xxf x e e-=+在[],ππ-上的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A【分析】由奇偶性可排除BC ，由x →+∞时，()0f x →可排除D ，由此得到结果.【详解】()()()()4cos 4cos x xx x x xf x f x e ee e------===++，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除BC ； 当x →+∞时，()0f x →，可排除D ，知A 正确. 故选：A.三角函数图象变换1.（2021浙江省金华十校高三模拟）已知奇函数()y g x =的图象由函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移(0)m m >个单位后得到，则m 可以是（ ）A.12π- B.1π- C.12π+ D.1π+ 【答案】A【分析】逐项验证()g x 是否等于()g x --可得答案. 【详解】当12m π-=时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移12π-个单位后得到()()g()sin 21sin 2sin 212x x x x g x ππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎛⎫=+++=-=-- ⎝⎦⎪⎭，故A 正确；当1m π=-时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移1π-个单位后得到()()()()sin 21sin 121g x x x g x π⎡⎤-=++-≠⎦-=-⎣，故B 错误；当12m π+=时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移12π+个单位后得到()()()122()sin 21sin 2sin 22g x x x x g x ππ⎡⎤⎛⎫=+++=-+≠-- ⎪⎝⎭+=+⎢⎥⎣⎦，故C 错误；当1m π=+时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移1π+个单位后得到()()()()sin 21sin 123g x x x g x π⎡⎤+=+++≠⎦-=-⎣，故D 错误；故选：A.2. （2020安徽省合肥市高三第三次教学质量检测）为了得到函数sin y x =的图像，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6π个单位 B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位 C. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移6π个单位D. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位【答案】A【分析】由条件利用()sin y A x ωϕ=+ 的图像变换规律，得到结论． 【详解】把函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上所有点向右平移6π个单位得到函数sin y x =．故选A1. （2021年全国高考乙卷）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A. 3π2 B. 3π和2C. 6π2D. 6π和2【答案】C【分析】利用辅助角公式化简()f x，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，()sin cos3s3323234x x x xf xxπ=+=+⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x的最小正周期为2613T.故选：C．2. （2021年全国高考乙卷）把函数()y f x=图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin4y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，则()f x=（）A.7sin212xπ⎛⎫-⎪⎝⎭B. sin212xπ⎛⎫+⎪⎝⎭C.7sin212xπ⎛⎫-⎪⎝⎭D. sin212xπ⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】B【分析】解法一：从函数()y f x=的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f xπ⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin34f x xππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x=的解析表达式；解法二：从函数sin4y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x=的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x=图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x=的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f xπ⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin4y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，所以2sin34f x xππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭,则,234212t tx xπππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭逆向变换， 第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.3. （2021年全国新高考Ⅰ卷）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ） A. 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈， 取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件； 取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件. 故选：A.4. （2021年全国高考甲卷）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．【答案】2【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7(),()43f f π4π-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得. 【详解】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=； 由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭； 所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <； 因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2. 故答案为：2.一、单选题1．（2022·福建·模拟预测）已知α为锐角，且sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（ ）A 3B ．23C 6D 63【答案】B【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值【详解】因为sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1331sin cos 22αααα=-，所以)()31cos 31sin αα=，所以3tan 2331α==-故选：B2．（2022·辽宁锦州·一模）若()sin π1cos 3αα-=，则sin 2cos2αα+的值为（ ）A ．15B ．75C ．120D ．3120【答案】B【分析】先利用诱导公式得到tan α，再将弦化切，代入求解. 【详解】()sin πsin 1tan cos cos 3ααααα-===，从而2222222sin cos cos sin sin 2cos 22sin cos cos sin cos sin αααααααααααα+-+=+-=+222112tan 1tan 73911tan 519ααα+-+-===++ 故选：B3．（2022·江西九江·二模）已知函数()y f x =的部分图像如图所示，则()y f x =的解析式可能是（ ）A ．()sin e e x xxf x -=+B ．()sin e e x xxf x -=-C ．()cos e e x xxf x -=-D ．()cos e e x xxf x -=-【答案】D【分析】根据函数的定义域、奇偶性与函数值的正负即可得到结果 【详解】函数()f x 在0x =处无定义，排除选项A函数()f x 的图像关于原点对称，故()f x 为奇函数，排除选项B 当01x <<时，cos 0x >，e e x x ->，故cos 0e ex xx->-，排除选项C 故选：D.4．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）已知函数 ()()4cos 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ 的最小正周期为π，将其图象沿 x 轴向右平移 ()0m m >个单位， 所得函数为奇函数， 则实数m 的最小值为（ ） A ．12πB ．6πC ．512π D ．4π 【答案】C【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式，结合余弦型函数图象的变换性质进行求解即可. 【详解】因为该函数的最小正周期为π，0>ω， 所以22ππωω=⇒=，即()4cos(2)3f x x π=+，将该函数图象沿x 轴向右平移 ()0m m >个单位得到函数的解析式为()()4cos(22)3g x f x m x m π=-=-+，因为函数()g x 为奇函数，所以有12()()32212m k k Z m k k Z πππππ-+=+∈⇒=--∈， 因为0m >，所以当1k =-时，实数m 有最小值512π， 故选：C5．（2022·浙江·模拟预测）已知E ，F 分别是矩形ABCD 边AD ，BC 的中点，沿EF 将矩形ABCD 翻折成大小为α的二面角．在动点P 从点E 沿线段EF 运动到点F 的过程中，记二面角B AP C --的大小为θ，则（ ） A ．当90α<︒时，sin θ先增大后减小 B ．当90α<︒时，sin θ先减小后增大 C ．当90α>时，sin θ先增大后减小 D ．当90α>时，sin θ先减小后增大 【答案】C【分析】根据二面角的定义通过作辅助线, 找到二面角的平面角，在Rt △1C HC 中表示出tan θ的值，利用tan θ的值的变化来判断sin θ的变化即可.【详解】当90α<︒时，由已知条件得EF ⊥平面FBC ,过点C 作1CC FB ⊥,垂足为1C ，过点1C 作1C H AP ⊥，垂足为H ， ∵ 1CC ⊂平面FBC ，∴1EF CC ⊥, ∴1CC ⊥平面ABFE ,又∵AP ⊂平面ABFE ，∴1CC AP ⊥, ∴AP ⊥平面1CC H , ∴AP CH ⊥, 则1C HC ∠为二面角B AP C --的平面角， 在Rt △1C HC 中，11tan CC C Hθ=, 动点P 从点E 沿线段EF 运动到点F 的过程中,1C H 不断减小，则tan θ不断增大，即sin θ不断增大，则A 、B 错误；当90α>时，由已知条件得EF ⊥平面FBC ,过点C 作1CC BF ⊥,垂足1C 在BF 的延长线上，过点1C 作CH AP ⊥,垂足在AP 延长线上， ∵ 1CC ⊂平面FBC ，∴1EF CC ⊥, ∴1CC ⊥平面ABFE ,又∵AP ⊂平面ABFE ，∴1CC AP ⊥, ∴AP ⊥平面1CC H , ∴AP CH ⊥, 则1C HC ∠为二面角B AP C --的平面角的补角β，即πθβ=-，在Rt △1C HC 中，11tan CC C Hβ=, 如下图所示，动点P 从点E 沿线段EF 运动到点F 的过程中,1C H 先变小后增大，则tan β先变大后变小，sin β先变大后变小，()sin sin πsin θββ=-=，则sin θ也是先变大，后变小, 则C 正确，D 错误； 故选：C .6．（2022·四川达州·二模（理））设()3sin 2cos 22cos 4x x f x x+=，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 值域为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．()f x 在0,16π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．()4f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由题可得2cos 4sin 43y x x -=，()()22213y +-≥，可判断A ，利用三角函数的性质可判断B ，利用导函数可判断C ，由题可得sin 4342cos 4x f x x π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可判断D.【详解】∵()3sin 2cos 2sin 432cos 42cos 4x x x f x xx++==，由sin 432cos 4x y x+=，可得2cos 4sin 43y x x -=，3，即y ≤y ≥∴函数的值域为(),∞∞-⋃+，故A 错误； ∵()sin 4313tan 42cos 422cos 4x f x x x x+==+，当0,,40,164x x ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，1tan 42y x =单调递增，2cos 4y x =单调递减，32cos 4y x =单调递增，故()f x 在0,16π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；∵,0,4,082x x ππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin 432cos 4x f x x+=，令sin 3,,02cos 2t y t t π+⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则()2222cos 2sin sin 313sin 4cos 2cos t t t ty t t+++'==， 由0y '=，可得1sin 3t =-，,02t π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，根据正弦函数在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，可知在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的实数001,0,sin 23t t π⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭，当0,2t t π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0y '<，sin 32cos t y t +=单调递减，当()0,0t t ∈时，0y '>，sin 32cos t y t +=单调递增，所以()f x 在,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有增有减，故C 错误；由()sin 432cos 4x f x x+=，可得()()()sin 43sin 43sin 4342cos 42cos 42cos 4x x x f x f x x x x πππ++-+-⎛⎫+===≠ ⎪+-⎝⎭，故D 错误.故选：B.7．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （ ） A ．x y e = B ．tan y x = C ．sin y x = D ．y x x =【答案】D【分析】A.利用指数函数的性质判断；B.利用正切函数的性质判断；C.利用正弦函数的性质判断；D.利用函数的图象判断.【详解】A. ()()()(),,x xf x e f x e f x f x -=-=-≠-，不是奇函数，故错误；B. tan y x =在,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上递增，但在定义域|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭上不单调，故错误；C. sin y x =在2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上递增，但在定义域R 上不单调，故错误；D. 2,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，其图象如图所示：由图象知：定义域上既是奇函数又是增函数，故正确， 故选：D8．（2022·山西长治·模拟预测（理））若函数()f x 满足(2)()f x f x +=，则()f x 可以是（ ） A ．2()(1)f x x =- B ．()|2|f x x =-C ．()sin 2f x x π⎫⎛=⎪⎝⎭D ．()tan 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据周期函数的定义，结合特例法进行判断求解即可. 【详解】因为(2)()f x f x +=， 所以函数的周期为2. A ：因为(1)0,(3)4f f ==，所以(1)(3)f f ≠，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意； B ：因为(2)0,(4)2f f ==，所以(2)(4)f f ≠，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；C ：该函数的最小正周期为：242ππ=，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；D ：该函数的最小正周期为：22ππ=，因此本选项符合题意， 故选：D9．（2022·天津·一模）已知函数()2sin y x ωϕ=+（0>ω，0πϕ<<）的部分图象如图所示，则（ ）A ．2ω=，5π6ϕ= B ．12ω=，5π6ϕ=C ．2ω=，6π=ϕ D ．12ω=，6π=ϕ 【答案】A【分析】根据图象与y 轴的交点纵坐标与振幅的关系，结合所处的区间的单调性，以及后续的单调递增区间上的零点，列出方程组求解即得.【详解】由函数图象与y 轴的交点纵坐标为1，等于振幅2的一半，且此交点处于函数的单调减区间上，同时在同一周期内的后续单调区间上的零点的横坐标为7π12,并结合0>ω，0πϕ<<， 可知()2sin 01π3π0227π212ωϕωϕωϕπ⎧⎪⨯+=⎪⎪<⨯+<⎨⎪⎪⨯+=⎪⎩，解得2ω=，5π6ϕ=,故选：A10．（2022·新疆·模拟预测（理））我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()211f x x =- C ．()11tan2f x xπ=-D ．()11f x x =- 【答案】D【分析】由定义域判断A ；利用特殊函数值：(0)f 、2()3f 的符号判断B 、C ；利用奇偶性定义及区间单调性判断D.【详解】A ：函数的定义域为{|1}x x ≠，不符合；B ：由1(0)101f ==--，不符合； C ：由2()0313f =<-，不符合； D ：11()()|||1||||1|f x f x x x -===---且定义域为{|1}x x ≠±，()f x 为偶函数， 在(0,1)上1()1f x x=-单调递增，(1,)+∞上1()1f x x =-单调递减，结合偶函数的对称性知：(1,0)-上递减，(,1)-∞-上递增，符合. 故选：D11．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））己知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间52,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足571212ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f .有下列结论：①02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π；②若4()3π⎛⎫-=⎪⎝⎭f x f x ，则函数()f x 的最小正周期为3π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有5个不相等的实数根； ④若函数()f x 在区间13,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为12,35⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中正确的结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】对于①：利用对称性直接求得； 对于②：直接求出函数的最小正周期，即可判断；对于③：先判断出周期234232T πππ⎛⎫= ⎪⎝≥-⎭，直接解出()1f x =在区间[0,2)π上最多有3个不相等的实数根，即可判断.对于④：由题意分析1352622T T ππ<-≤,建立关于ω的不等式组，求出ω的取值范围. 【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+满足571212ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f .对于①：因为57121222πππ+=,所以02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π.故①正确；对于②：由于4()3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭f x f x ,所以函数()f x 的一条对称轴方程为42323x ππ==.又,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭为一个对称中心，由正弦图像和性质可知，所以函数的最小正周期为224323T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故②错误； 对于③：函数()()sin f x x ωϕ=+在区间52,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且满足571212ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，可得：02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，所以周期234232T πππ⎛⎫=⎪⎝≥-⎭.周期越大，()1f x =的根的个数越少. 当23T π=时,()cos3f x x =,所以()1f x =在区间[0,2)π上有3个不相等的实数根：0x =，23x π=或43x π=.故③错误.对于④：函数()f x 在区间13,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点,所以1352622T T ππ<-≤, 所以213522622ππππωω⋅<-≤⋅，解得：1235ω<≤.且满足234232T πππ⎛⎫= ⎪⎝≥-⎭，即2224323ππππω⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭,即3ω≤，故12,35ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故④正确.故选：B12．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））将函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移56π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ） A ．2()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 在(0,)3π上的最小值为1-D ．直线4x π=平是()g x 的一条对称轴【答案】D【分析】根据三角函数的图象变换，可判定A 错误；利用函数的图象与性质，可判定B ，C 错误；根据14g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可判定D 正确.【详解】由题意，函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移56π个单位长度，可得53()cos 2cos 2sin 2662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误； 令222()22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以B ，C 错误；因为14g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故直线4x π=为()g x 的一条对称轴，故D 正确.故选:D.13．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心O 到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若0P 是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设从点0P 运动到点P 时所经过的时间为t （单位：分钟），且此时点P 距离地面的高度为h （单位：米），则h 是关于t 的函数.当t R ∈时关于()h t 的图象，下列说法正确的是（ ）A ．对称中心为515,0,2k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭B ．对称中心为515,82,2k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭C ．对称轴为155,t k k Z =+∈D ．对称轴为515,2t k k Z =+∈【答案】B【分析】先由题意得到06xoP π∠=，进而得到min t 后，以ox 为始边，oP 为终边的角156t ππ-，从而得到点P 的纵坐标为80sin 156t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即P 距地面的高度函数求解.【详解】解：由题意得06xoP π∠=，而6π-是以ox 为始边， 0oP 为终边的角， 由OP 在min t 内转过的角为23015t t ππ=， 可知以ox 为始边，oP 为终边的角为156t ππ-，则点P 的纵坐标为80sin 156t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以P 距地面的高度为80sin 82156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令,156t k k Z πππ-=∈，得515,2t k k Z =+∈， 所以对称中心为515,82,2k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令,1562t k k Z ππππ-=+∈，得1015,t k k Z =+∈，所以对称轴为1015,t k k Z =+∈， 故选：B14．（2022·河南·模拟预测（理））密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为12－50，则该扇形的面积为（ ） A ．10π3B ．2πC ．5π3D ．5π6【答案】A【分析】根据题意中给的定义可知该扇形的圆心角为75︒，结合扇形的面积公式计算即可. 【详解】依题意，该扇形的圆心角为1250360756000⨯︒=︒．又5π7512︒=，故所求扇形的面积为 22115π10π422123S r α==⨯⨯=．故选：A. 二、多选题15．（2022·河北·模拟预测）已知角α的终边经过点()8,3cos P α．则（ ） A ．1sin 3α=B ．7cos 29α= C ．2tan 4α=±D ．22cos 3α=【答案】ABD【分析】根据同终边角的正弦和余弦可知223cos 8sin ,cos 649cos 649cos ααααα==++，然后解出方程并判断sin 0,cos 0αα>>，逐项代入即可.【详解】解：由题意得： 如图所示：()22283cos 649cos OP αα=+=+22sin 649cos 649cos PQ OQ OP OP αααα∴==++ 2sin 649cos 3cos αα∴+=，即()222sin 649cos 9cos ααα+= ()222sin 649(1sin )91sin ααα⎡⎤∴+-=-⎣⎦，即429sin 82sin 90αα-+= 解得：2sin 9α=（舍去）或21sin 9α=cos 0α>sin 0α∴>1sin 3α=，故A 正确； 22cos α∴D 正确；222217cos2cos sin39ααα⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭⎝⎭，故B正确；1sintancosααα==C错误；故选：ABD16．（2022·重庆八中模拟预测）下列函数的图像中，与曲线sin23y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭有完全相同的对称中心的是()A．sin26y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭B．cos26y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭C．cos23y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭D．tan6y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】BD【分析】根据正弦、余弦、正切函数的图像，求出各个函数的对称中心，比较即可得出答案．【详解】设k∈Z，对于sin23y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由2362kx k xππππ-=⇒=+；对于A：由26122kx k xππππ+=⇒=-+；对于B：由26262kx k xπππππ+=+⇒=+；对于C：由5232122kx k xπππππ-=+⇒=+；对于D：由6262k kx xππππ-=⇒=+；则B和D的函数与题设函数有完全相同的对称中心．故选：BD．17．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知0e sin e siny xx y x yπ<<<，＝，则（）A．sin sinx y<B．cos cosx y>-C．sin cosx y>D．cos sinx y>【答案】ABC【分析】将e sin e siny xx y＝变为e sine sinyxyx=结合指数函数的性质，判断A;构造函数e(),(0,)sinxf x xxπ=∈，求导，利用其单调性结合图象判断x,y的范围，利用余弦函数单调性，判断B;利用正弦函数的单调性判断C，结合余弦函数的单调性，判断D.【详解】由题意，0e sin e siny xx y x yπ<<<，＝，得0y x->，e sin e sin y x y x=，e 1y x->，∴sin 1sin y x >，∴sin sin y x >，A 对； e e sin sin y x y x =，令e (),(0,)sin xf x x xπ=∈，即有()()f x f y =， 令2e (sin cos )()0,sin 4x x x f x x x π=='-=， ()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 因为()()f x f y = ，∴04x y ππ<<<<，作出函数e (),(0,)sin xf x x xπ=∈以及sin ,[0,]y x x π=∈ 大致图象如图：则30sin sin 4y y x ππ<-<>，，∴sin()sin y x π->，结合图象则y x π->， ∴cos()cos y x π-<，∴cos cos x y >-，B 对； 结合以上分析以及图象可得2x y π+>，∴2x y π>-，且,4224y y πππππ<<-<-<，∴sin sin cos 2x y y π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，C 对；由C 的分析可知，224y x πππ-<-<<，在区间[,]24ππ-上，函数cos y x = 不是单调函数，即cos()cos 2y x π-<不成立，即sin cos y x <不成立，故D 错误； 故选：ABC ．【点睛】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答. 18．（2022·湖北·一模）已知函数()sincos 22x xf x ( )A ．()f x 的图象关于2x π=对称B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 的最小值为1 D ．()f x 的最大值为342【答案】ACD【分析】A ：验证()f x π-与()f x 是否相等即可；B ：验证()f x π+与()f x 相等，从而可知π为f (x )的一个周期，再验证f (x )在(0，π)的单调性即可判断π为最小正周期；C 、D ：由B 选项即求f (x )最大值和最小值.【详解】()()f x f x π-==，故选项A 正确；∵()()f x f x π+， 故π为()f x 的一个周期. 当(0,)x π∈时，()f x =此时3322cossin()cos sin 22x x x x f x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎥==- ⎪⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，令()0f x '=，得cossin 22x x=，故,242x x ππ==.∵当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 的最小正周期为π，选项B 错误；由上可知()f x 在[0,]x π∈上的最小值为()(0)1f f π==，最大值为3422f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()f x 的周期性可知，选项CD 均正确. 故选：ACD. 三、解答题19．（2022·浙江宁波·二模）已知()πsin2cos 26f x x x ⎛=++⎫ ⎪⎝⎭()R x ∈.(1)求函数()y f x =的最小正周期及单调递增区间； (2)求函数()π4y f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭在π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的取值范围.【答案】(1)最小正周期π，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)12⎡-⎢⎣⎦【分析】（1）将()πsin2cos 26f x x x ⎛=++⎫ ⎪⎝⎭化为只含一个三角函数形式，根据正弦函数的性质即可求得答案；（2）将()π4y f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭展开化简为12πsin 423y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出2π43x +的范围，即可求得答案.(1)()π1sin 2cos 2sin 22sin 262f x x x x x x ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭1sin 222πsin 23x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=，所以2ππ2T ==； 因为πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，所以5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈， 函数()y f x =的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈； (2)()ππππsin 2sin 24323y f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+=+⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ12πsin 2cos 2sin 43323x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为π04x ≤≤，所以2π2π5π4333x ≤+≤，12π1sin 4232y x ⎡⎛⎫=+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此函数()π4y f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭在π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的取值范围为12⎡-⎢⎣⎦.20．（2022·天津三中一模）已知()22sin cos 222f x x x x θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)若0θπ≤≤，求θ使函数()f x 为偶函数；(2)在（1）成立的条件下，求满足()1f x =，[],x ππ∈-的x 的集合． 【答案】(1)6πθ=(2)55,,,6666ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 【分析】（1）由恒等变换得()2sin 23f x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而根据奇偶性求解即可；（2）由题知1cos 22x =，再根据[],x ππ∈-得23x π=-或523x π=-或23x π=或523x π=，进而解得答案.(1)解：()22sin cos 222f x x x x θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1cos 2sin 22x x θθ++=++()()sin 222sin 23x x x πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 为偶函数， 所以,32k k Z ππθπ+=+∈，即,6k k Z πθπ=+∈，因为0θπ≤≤，所以6πθ=(2)解：在（1）成立的条件下，()2sin 22cos 236f x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以由()1f x =得1cos 22x =，因为[],x ππ∈-，所以[]22,2x ππ∈-， 所以23x π=-或523x π=-或23x π=或523x π=， 所以6x π=-或65x π=-或6x π=或56x π=， 所以，满足题意的x 的集合为55,,,6666ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 21．（2022·河北秦皇岛·二模）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-.(1)求A ；(2)求cos cos B C -的取值范围.【答案】(1)3π(2)⎛ ⎝⎭【分析】（1）利用正弦定理角化边，再根据余弦定理可求出1cos 2A =，进而求出A 的大小；（2）依题意可化简cos cos 6B C B π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，根据B 的范围求出cos cos B C -的取值范围即可.(1)因为()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，所以()()()a b a b c b c +-=-，即222a b c bc =+-.因为2222cos a b c b A =+-，所以1cos 2A =.因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.(2)由（1）知2cos cos cos cos 3B C B B π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭13cos cos cos 226B B B B B B π⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭. 因为203202B B πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以62B ππ<<， 因为2363B πππ<+<，所以11cos ,622B π⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos B C ⎛-∈ ⎝⎭，即cos cos B C -的取值范围是⎛ ⎝⎭. 22．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数()sin cos f x x x =-(R)x ∈ .(1)求函数()()y f x f x =⋅-的最小正周期及其对称中心；(2)求函数22[()]4y f x f x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】(1)周期π，对称中心为,0(Z)42k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)[2 【分析】（1）利用二倍角公式将()()y f x f x =⋅-的表达式化简，即可求得函数的最小正周期，结合余弦函数的对称中心可求得函数()()y f x f x =⋅-的对称中心；（2）将函数22[()]4y f x f x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的表达式展开，并化简，根据,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的范围，结合正弦函数的性质可确定答案.(1)函数22()()cos sin cos 2y f x f x x x x =⋅-=-=，所以最小正周期22T ππ==； 令2(Z)2x k k ππ=+∈，解得(Z)42k x k ππ=+∈， 所以对称中心为,0(Z)42k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭； (2)函数2222[()]sin cos )[sin()cos()]44(4y f x f x x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++-++-+ ⎪⎢⎭⎣=⎥⎝⎦ 1sin 21sin(2)2x x π=-+-+ 2sin 2cos2x x =--224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故sin 2[4x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故[2y ∈.23．（2022·山东枣庄·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinsin 2B C b a B +=．求： (1)A ； (2)a c b-的取值范围． 【答案】(1)3π(2)1(,1)2- 【分析】（1）由正弦定理及正弦的2倍角公式可求解；（21cos 1sin 2B B --的范围，再利用2倍角公式化为122B -即可求解. (1)因为sin sin 2BC b a B +=， 所以sin cos sin sin 2A B A B =, 因为()0,,sin 0B B π∈∴≠，()1cos 2sin cos 0,cos 0,sin =222222A A A A A A π∴=∈∴≠∴，，， 因为0,,22263A A A πππ<<∴=∴=. (2)由正弦定理，2sin sin()sin sin 33sin sin B a c A C b B B ππ----==1sin 222sin B B B-=1cos 1sin 2B B -=-21(12sin )1122222sin cos 22B B B B ---=-， 因为203B π<<，所以023B π<<，所以0tan 2B <<。
2021年高考数学三角函数的图象与性质(1)高考命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．(2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12或14～16题位置上．考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系1.[三角函数的定义及应用](2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．210B ．－210C ．7210D ．－72102.[同角三角函数的关系式及应用]若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B ．－35C ．15D ．353.[诱导公式及应用]设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12 B ．32 C ．0 D ．－121.[与数列交汇]设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．1002.[与算法交汇]某一算法程序框图如图所示，则输出的S 的值为( )A.32B ．－32C.3 D ．03.[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径等于4 m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A ．6 m 2B ．9 m 2C ．12 m 2D ．15 m 2考点二 三角函数的图象与解析式题型一 由“图”定“式”[例1] (1)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f (x )的图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )＝A sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12 B ．f (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π12 (2)(2019·长沙市统一模拟考试)已知P⎝⎛⎭⎫12，2是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．若|BC |＝6，则f (x )的图象的对称中心可以是( )A ．(0,0)B ．(1,0)C ．(2,0)D ．(3,0)题型二 三角函数的图象变换[例2] (1)(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向右平移5π12个单位长度B ．向左平移5π12个单位长度C ．向右平移5π6个单位长度D ．向左平移5π6个单位长度(2)(2019·开封模拟)将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度以后得到的图象与函数y ＝k sin x cos x (k >0)的图象重合，则k ＋m 的最小值是( )A ．2＋π4B ．2＋3π4C ．2＋5π12D ．2＋7π12考点三 三角函数的性质[例3] (1)(2019·武昌区调研考试)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) (2)(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增； ③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③(3)(2019·江西省五校协作体试题)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，112∪⎣⎡⎦⎤14，23 B ．⎝⎛⎦⎤0，16∪⎣⎡⎦⎤13，23 C.⎣⎡⎦⎤14，23 D ．⎣⎡⎦⎤13，231．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x | C ．f (x )＝cos|x | D ．f (x )＝sin|x |2．(2019·广东六校第一次联考)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( ) A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．为奇函数，在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 C ．为偶函数，在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称3．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f (2)＝1，f (4)＝－1，则ω＝________，f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，3上的值域是________．考点四 三角函数图象与性质的综合应用 [例4] (2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域．1．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．2．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．3. (2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点； ③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增； ④ ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910. 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【课后专项练习】A 组一、选择题1．(2019·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z2．(2019·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32C ．1D ．123．(2019·江西七校第一次联考)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象与函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象( )A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴4．(2019·蓉城名校第一次联考)若将函数g (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度得到f (x )的图象，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 B ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3C ．g (x )＝sin 4xD ．g (x )＝cos x5．(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f (x )＝|sin x |·|cos x |，则下列说法不正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的最小正周期为π2C ．(π，0)是f (x )图象的一个对称中心D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减6．(2019·昆明市质量检测)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数在区间[－m ，m ]上单调递增，则m 的最大值为( )A.π8 B.π4 C.3π8 D.π2二、填空题7．(2019·广东揭阳检测改编)已知f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤π3(x ＋1)－3cos ⎣⎡⎦⎤π3(x ＋1)，则f (x )的最小正周期为________，f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.8．(2019·天津高考改编)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝________.9．(2019·福州模拟)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是________．三、解答题10．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．11．已知m ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，1，n ＝(cos x,1)． (1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．12．已知函数f (x )＝cos x (23sin x ＋cos x )－sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，不等式f (x )≥m 有解，求实数m 的取值范围． B 组1．已知向量m ＝(2sin ωx ，sin ωx )，n ＝(cos ωx ，－23sin ωx )(ω>0)，函数f (x )＝m ·n＋3，直线x ＝x 1，x ＝x 2是函数y ＝f (x )的图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．2．已知函数f (x )＝3sin 2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．3．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0≤φ≤π2图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，且在x ＝π8时取得最大值1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8时，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．。
