福建省莆田八中高二数学 -2《复合函数的求导法则》教案

高中数学复合函数求导教案一、复合函数的定义1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。

2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。

这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x)) 是复合函数的输出。

二、复合函数的求导法则1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx2. 具体步骤：a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/dub. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dxc. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx三、实例演练例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^22. 求内函数 u 的导数：du/dx = 23. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)四、练习题1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx五、作业1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程2. 自行设计一个复合函数，并求其导数3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义六、总结1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。

2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。

2.2.2 复合函数求导法教学要求：理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数 教学内容：一、复习提问：1、导数的基本公式2、导数的四则运算法则上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。

但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。

二、复合函数的求导法则1、比如求函数x y 2sin =的导数。

错误解答：x y 2cos ='正确解答：()()()x x x x x x y 2cos 2sin cos 2cos sin 22sin 22=-='='='对比一下，答案错误的原因是把x 2当成了自变量。

我们先把复合函数x y 2sin =进行分解为x u u y 2,sin ==。

x u dxdu du dy dx dy y 2cos 22cos =⋅=⋅==' 1、 求复合函数的导数可分两步： 第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。

第二步：逐一分步求导。

复合函数求导法则: 设函数()y f u =在点u 处可导，()u x ϕ=在点x 处可导，则复合函数[()]y f u ϕ=在点x 处可导，且有()()dy f u x dx ϕ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅ 证明 设变量x 有改变量x ∆，相应地，变量u 有改变量u ∆，从而y 有改变量y ∆. 由于u 可导，所以0lim 0=∆→∆u x ，)(lim lim00x u u y x y x x ∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆ x uu y x u ∆∆⋅∆∆=→∆→∆00lim lim x u u y '⋅'= 即 x u x u y y '⋅'='.现在利用复合函数求导法则求x y 2sin =的导数：u y sin =，x u 2=（中间变量为u ,自变量为x ），即（对u 求导)(对x 求导) （回代）(sin )(2)2cos 2cos2u x y u x u x '''=⋅==如果复合函数的复合层次较多，法则4可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。

最新整理高二数学教案高二数学2.5简单复合函数的求导法则教案2.5简单复合函数的求导法则教学过程：（一）复习引入1.几种常见函数的导数公式(C)¢＝0(C为常数)．(xn)¢＝nxn－1(nÎQ)．(sinx)¢＝cosx．(cosx)¢＝－sinx．2．和（或差）的导数(u±v)¢＝u¢±v¢．3．积的导数(uv)¢＝u¢v＋uv¢．(Cu)¢＝Cu¢．4．商的导数（二）讲授新课1．复合函数：如y＝(3x－2)2由二次函数y＝u2和一次函数u＝3x－2“复合”而成的．y ＝u2＝(3x－2)2．像y＝(3x－2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．练习：指出下列函数是怎样复合而成的．复合函数的导数一般地，设函数u＝j(x)在点x处有导数ux＝j(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数yu＝f(u)，则复合函数y＝f(j(x))在点x处也有导数，且yx ＝yu•ux．或写作fx(j(x))＝f(u)j(x)．复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．例1求y＝(3x－2)2的导数．解：y＝[(3x－2)2]＝(9x2－12x＋4)＝18x－12．法1函数y＝(3x－2)2又可以看成由y＝u2，u＝3x－2复合而成，其中u称为中间变量．由于yu＝2u，ux＝3，因而yx＝yu•ux＝2u•3＝2u•3＝2(3x－2)•3＝18x－12．法2yx＝yu•ux例2求y＝(2x＋1)5的导数．解：设y＝u5，u＝2x＋1，则yx＝yu•ux＝(u5)u•(2x＋1)x＝5u4•2＝5(2x＋1)4•2＝10(2x＋1)4．练习1.求函数的导数.例4.解：设y＝u－4，u＝1－3x，则yx＝yu•ux＝(u－4)u•(1－3x)x＝－4u－5•(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝例5.例6．求的导数．解：例7．求的导数．解法1：解法2：（三）课堂小结复合函数的导数：（四）课后作业。

复合函数求导法则的教学设计摘要：本文主要介绍了《复合函数求导法则》这节课的一种创新性讲法，利用这种新的教学设计方法，不仅便于理解、容易掌握，更加强了学员分析、解决问题的能力。

关键词：复合函数复合分解求导法则复合函数求导法则是《高等数学》课程中的一个重要内容，是在学习了导数的概念，函数求导法则的基础上，对函数求导方法的进一步研究，并为后面学习导数的应用打下了坚实的基础。

通过对本节课的学习，不仅增强了学员对函数性质的理解，同时也加强了学员对现实生活中客观现象的认知能力。

下面我根据自己的实际教学效果，介绍本节课的教学设计如下：一、教学目的（一）教学目标1.认知上：了解复合函数求导法则，通过对法则的学习，能够熟练求出复合函数的导数。

2.能力上：通过对复合函数求导法则的学习，培养学员分析归纳、抽象概括的能力以及联系与转化的思维方法。

3.情感上：通过对本节课的学习，激发学员学习数学的兴趣，并养成严谨的学习态度。

（二）教学重点和难点本节课的教学重点是复合函数求导法则和计算，教学难点是三层复合函数求导的计算。

（三）教学方法主要运用讲授法，并结合启发式教学法，引导学员从数学本身和军事现象入手，探讨复合函数求导数的方法。

充分贯彻“以学为主”，发挥学员的积极性。

二、教学创新通过深入挖掘教材，我突破了传统的教学模式，并没有直接给出复合函数求导法则，而是通过对“为什么学？学什么？有什么用？”这三个问题进行回答，来展开教学。

（一）为什么学？本节课，我首先从数学问题和军事问题入手，突出学习复合函数求导法则的必要性和迫切性，从而引出问题。

这么做的目的不仅考虑了数学的连贯性，并且在发挥素质教育功能的基础上，贯彻职业技术士官教改中的“为专业服务，注重应用和实践”的思想，同时回答了我们本节课“为什么要学习这个课题”。

这么设计即复合学员基础较差的实际特点，又符合学员从感性到理性，从具体到抽象的认知规律。

（二）学什么？如何计算？对于课题，我重点从法则和计算这两个方面来进行研究。

高二数学选修2-2复合函数的导数教案一、学习目标 理解并掌握复合函数的求导法则．二、重点难点 本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．三、典型例题1．求复合函数的导数例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．2．和、差、积、商的导数中的复合函数的导数．例2求y ＝sin 43 x cos 3 4 x 的导数【点评】复合函数为三层复合．正确认识复合过程关键是熟悉初等函数和导数公式． 例3求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．3．开阔思路，恰当选用求导数方法．例4求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ． y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例5求y ＝A A sin 1sin 1++- （0＜A ＜2π) 【解法一】y ＝A A sin 1sin 1++-（0＜A ＜2π) ∴ y ＝)2πcos(1)2πcos(1A A -++--＝2sin （24πA -）＋2cos （24πA -） ＝2 [22sin （24πA -）＋22cos （24πA -）]＝2 sin （22πA -）＝2 cos 2Ay ′＝(2 cos 2A )′＝－sin 2A ． 【解法二】y ′＝(A sin 1-)′＋(A sin 1+)′ ＝21(1－sin A )21-(－cos A )＋21(1＋sin A )21-cos A ＝AA A A cos 2)sin 1sin 1(cos +-- ∵ A ∈（0，2π） ＝21[（cos 2A －sin 2A ）－（cos 2A ＋sin 2A ）] ＝－sin 2A ． 【解法三】∵ 0＜A ＜2π y ＝A sin 1-＋A sin 1+＝（cos 2A －sin 2A ）＋（cos 2A ＋sin 2A ）＝2 cos 2A ． y ′＝－sin 2A ． 【点评】解法一和解法三都是先化简，但难易有别，繁简差异较大，恰当选择公式是关键．解法二是从和的导数求导数入手．后面的化简较繁．例6曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 xy ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 【点评】例6复习导数的运算和导数的几何意义．。

复合函数求导法则的教学设计
一、教学背景
1.1 教材依据：本次教学是基于中学数学课本的“复合函数求导法则”章节。

1.2 教学目的与要求：通过本次教学，使学生掌握复合函数求导法则，
达到理解复合函数求导法则的意义及熟练掌握对应的技能，可以更深
入地了解复合函数，以及更多地探索其他更复杂的复合函数求导问题。

二、教学内容
2.1 学习目标：
①了解复合函数求导法则中各个概念的定义和含义；
②熟练掌握各类复合函数求导法则；
③熟练运用复合函数求导法则解决具体问题。

2.2 教学重点：
1.掌握以下知识点：
①复合函数的概念；
②链式法则的定义、意义及其特点；
③背景知识：一阶和高阶导数的概念；
④运用复合函数求导法则解决具体问题。

2.教学步骤：
（1）让学生围绕复合函数在理论上进行讨论，学会建立函数和复合函
数之间的逻辑关系，从而让学生对复合函数有一个深入的了解和理解。

（2）让学生在重点知识点上举一反三，运用复合函数求导法则，学会联系复合函数的概念，积极发展活跃的思维，不断提高函数概念的把握水平，以及熟练掌握对应的技能。

（3）提供一些复杂的复合函数求导问题，让学生应用复合函数求导法则来解决，可以从多个角度进行不同的尝试，解决问题的过程将巩固学习知识并锻炼学生的技能。

三、教学方法
本次教学采用归纳法、演示法、解释法及讨论法，在每一重点知识点前用归纳法让学生对相关概念有一个大体的认识，在每一重点知识点中利用演示法让学生理解规律，在每一重点知识点的讲解过程中利用解释法，帮助学生进一步理解知识，同时使用讨论法让学生在团体中交换想法，达到彼此学习的目的。

复合函数的求导法则教案教学背景分析（一）本课时教学内容的功能和地位能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.（二）教学重、难点及分析重点：理解简单复合函数的复合过程，简单复合函数的求导法则的应用.难点：复合函数结构的分析，简单复合函数的求导法则的应用.教学三维目标（一）知识与技能（1）了解简单复合函数的求导法则；（2）会运用上述法则，求简单复合函数的导数.（二）过程与方法培养学生感悟由特殊到一般的直观归纳的研究方法，培养学生的归纳总结能力与主动观察和探究发现的能力.（三）情感态度与价值观1.通过提问使学生展现自己.2.让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.一、复习回顾基本初等函数的导数公式公式1.0)(,)(='=x f c x f 则若公式2.1)(,)(-⋅='=n n x n x f x x f 则若公式3.x x f x x f cos )(,sin )(='=则若公式4.x x f x x f sin )(,cos )(-='=则若公式5.)0(ln )(,)(>='=a a a x f a x f x x 则若公式6.x x e x f e x f ='=)(,)(则若公式7.)10(ln 1)(,log )(≠>='=a a a x x f x x f a 且则若 公式8.xx f x x f 1)(,ln )(='=则若 导数的运算法则法则1：两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导数的和（差），即[])()()()(x g x f x g x f '±'='±法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即：[])()()()()()(x g x f x g x f x g x f '+'='⋅法则3：两个函数的商的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，减去第一个函数乘第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方.即[]0)(,)()()()()()()(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x g x g x f x g x f x g x f 法则2推论：[])()()()(x f c x f c x f c x f c '='+'='⋅二、探究引入思考：如何求函数)23ln(+=x y 的导数呢？我们无法用现有的方法求函数)23ln(+=x y 的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设23+=x u ，则u y ln =.即)23ln(+=x y 可以看成是由u y ln =和23+=x u 经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数.如果把y 与u 的关系记作)(u f y =，u 和x 的关系记作)(x g u =，“复合”过程可以表示为 )23ln())(()(+===x x g f u f y .如函数2)32(+=x y ，是由2u y =和32+=x u “复合”而成的. 三、新课讲解复合函数的概念：一般地，对于两个函数)(u f y =和)(x g u =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数)(u f y =和)(x g u =的复合函数.记作))((x g f y =.实战演练例：说出下列函数分别由哪几个函数复合而成.x x y +=22)1()sin(log )2(2x e y =注意：法则可推广到两个以上的中间变量.解：x x u y u +==2,2)1(x v e v u u y ===,log ,sin )2(2复合函数求导法则：复合函数))((x g f y =的导数和函数)(u f y =，)(x g u =的导数间的关系为：x u x u y y '⋅'='即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.推广：)(u f y =，)(v g u =，)(x h v = x v u x v u y y '⋅'⋅'='无论是几层函数复合都可以按照复合函数求导法则，外导乘内导例 求)23ln(+=x y 的导数解：第一步：u y ln =，23+=x u 第二步：uy u1='，3='x u 第三步：23331+=⋅='x u y x（学生总结复合函数求导步骤）复合函数求导三部曲：第一步：分层（从外向内分解成基本函数用到中间变量）.第二步：层层求导（将分解所得的基本函数进行求导）.第三步：相乘还原（将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原）.例 求下列函数的导数（以老师计算、演示为主，说明根据复合函数求导公式求导数的具体操作过程.）（1）2)32(+=x y解：方法一()91243222++=+=x x x y 128+='x y思维点拨：括号直接展开求导；本题还有另外的解法，学生思考分析.方法二函数2)32(+=x y 可以看作函数2u y =和32+=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有 ()()'+⋅'='⋅'='322x u u y y x u x ()12832422+=+=⋅=x x u（2）105.0+-=x e y 解：函数105.0+-=x e y 可以看作函数ue y =和105.0+-=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有()()'+-⋅'='⋅'='105.0x e u y y u x u x ()05.0-⋅=ue 105.005.0+--=x e（3）()ϕπ+=x y sin （其中ϕπ,均为常数）解：函数()ϕπ+=x y sin 可以看作函数u y sin =和ϕπ+=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有()()'+⋅'='⋅'='ϕπx u u y y x u x sinu cos π=()ϕππ+=x cos（4）32-=x y解：函数()2132-=x y 可以看作函数21u y =和32-=x u 的复合函数，根据复合函数求导法则有 ()'-⋅'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⋅'='3221x u u y y x u x 2121221--=⋅=u u ()3213221-=-=-x x 通过例题，使学生掌握复合函数求导的方法和步骤.四、当堂检测1.若函数x y 2sin =，则y '等于（ ） A .x 2sin B .x sin 2 C .x x cos sin D .x 2cos2.函数()223-=x y 的导数为（ ） A .()232-x B .x 6 C .()236-x x D .()236-x3.求下列函数的导数.（1）xe y 3=（2）3cos x y =解：（1）x e y 33='（2）3sin 31x y -=' 总结：复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.能力提升1.求函数x e y x ππsin =的导数.解：x e x e y x x ππππππcos sin +='2.求函数()52sin 2+=x x y 的导数.解：()()52cos 452sin 2+++='x x x y3.求函数21x xy +=的导数.解：()()()2222111x x x x x y +'+-+'=' 222121211x xxx x +⋅+-+= 2222111x x x x ++-+= ()()2222111x x x x ++-+= ()22111x x ++=简单复合函数导数的应用1. 求曲线12)(+=x ex f 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处的切线方程. 解：122)(+='x e x f 22)21(0==-'=e f k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2121x y 即022=+-y x ∴切线方程为022=+-y x五、课堂小结1. 复合函数求导的一般步骤为“分层→求导→相乘回代”.2.（1）分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键（2）对复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外向内逐层求导.六、课后作业（拓展延伸）（1）()()x y sin sin sin = （2）()()x y ln ln ln =。

§1.2.2复合函数的求导法则教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。

复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．解：（1）函数2(23)y x =+可以看作函数2y u =和23u x =+的复合函数。

根据复合函数求导法则有x u x y y u '''=⋅=2''()(23)4812u x u x +==+。

（2）函数0.051x y e-+=可以看作函数u y e =和0.051u x =-+的复合函数。

根据复合函数求导法则有 x u x y y u '''=⋅=''0.051()(0.051)0.0050.005u u x e x e e -+-+=-=-。