复合函数的导数

复合导数的求导
复合函数指的是由两个或多个函数构成的函数，例如f（x）= g（h（x））就是一个复合函数。

对于复合函数的求导，我们需要运用链式法则。

链式法则：如果y = f（g（x）），那么y的导数可以表示为dy/dx = dg/dx * df/dg。

换句话说，链式法则告诉我们，如果y是由两个或多个函数g和f组合而成的，那么y 的导数可以通过对每个函数执行单独的导数计算，然后将它们相乘得到。

二、复合函数的高阶导数
复合函数的高阶导数可以通过重复应用链式法则来计算。

首先，我们需要计算的是一阶导数，然后再利用这一阶导数计算二阶导数，以此类推。

然后，二阶导数可以计算如下：
y'' = f''（g（x））* g'（x）^2 + f'（g（x））* g''（x）
依此类推，我们可以计算出更高阶的导数。

三、复合函数的实例
下面通过一个实例来演示如何求解复合函数的导数。

例： y = e^(x^2-1)
首先，我们需要将y表示为复合函数，其中一个函数为g（x）= x^2 – 1，另一个函数为f（x）= e^x。

然后，我们需要分别计算出g（x）和f（x）的导数，并带入链式法则公式中来计算y 对x的导数：
g’（x）=2x
f’（x）=e^x
因此，y对x的导数为2xe^(x^2-1)。

接下来，我们可以通过重复应用链式法则来计算复合函数的高阶导数。

例如，我们想求解y对x的二阶导数，可以进行如下计算：
y'' = 2e^(x^2-1) + 4xe^(x^2-1)
四、总结。

复合函数求导公式大全
复合函数求导公式大全
求导是微积分中的一个重要概念，它是求函数的变化率的一种方法。

求导的公式有很多，其中复合函数求导公式也是很重要的一种。

首先，复合函数求导的基本公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为一元函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。

这是复合函数求导的基本公式，也是最常用的公式。

其次，复合函数求导的链式法则是：若f(x)为一元函数，g(x)为一元函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)，其中f'(g(x))表示f(x)在g(x)处的导数，g'(x)表示g(x)在x 处的导数。

再次，复合函数求导的指数函数公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为指数函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(g(x))*g(x)*ln(a)，其中a为指数函数的底数。

最后，复合函数求导的对数函数公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为对数函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(g(x))*g(x)/x，其中x为对数函数的底数。

以上就是复合函数求导的公式大全，它们是微积分中的重要概念，也是求函数的变化率的一种方法。

学习这些公式，可以帮助我们更好地理解复合函数求导的概念，从而更好地掌握微积分的知识。

复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。

那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。

2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。

那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。

4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。

那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。

5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。

根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。

例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。

复合函数的求导法则复合函数是由两个或多个函数的组合构成的函数。

在数学中，复合函数的求导法则是一种用于计算复合函数导数的规则。

对于一对函数u(x)和v(x)，其中u(x)是v(x)的内函数，即v(x)=u(f(x))，我们可以使用链式法则来求解复合函数的导数。

链式法则的表述如下：若y=u(v(x))，其中u(t)和v(x)均可导，则y对x的导数等于u对v的导数乘以v对x的导数，即：dy/dx = du/dv * dv/dx下面我们通过具体的例子来解释复合函数的求导法则，并应用链式法则来计算复合函数的导数。

假设我们想要求解函数y=(2x+1)^3的导数。

我们可以将该函数看作是一个复合函数，其中u(t)=t^3，v(x)=2x+1，即y=u(v(x))。

首先，我们求解 u(t) 对 t 的导数 du/dt。

根据幂函数的导数公式，我们有 du/dt = 3t^2然后，我们求解 v(x) 对 x 的导数 dv/dx。

由于 v(x) = 2x + 1，我们可以直接应用导数的线性性质得到 dv/dx = 2最后，我们将 du/dt 和 dv/dx 相乘，得到 dy/dx = du/dv * dv/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^2所以，函数 y = (2x + 1)^3 对 x 的导数为 dy/dx = 6(2x + 1)^2以下是一些其他常见的复合函数的导数求解例子：1.y=e^x^2首先，设置u(t)=e^t，v(x)=x^2求导得到 du/dt = e^t，dv/dx = 2x。

最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = e^(x^2) * 2x。

2. y = ln(2x + 1)首先，设置 u(t) = ln(t)，v(x) = 2x + 1求导得到 du/dt = 1/t，dv/dx = 2最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = (1/(2x + 1)) * 2 = 2/(2x + 1)。

复合函数的求导法则是指对于一个复合函数而言，求导时
需要将自变量和函数进行分离，分别对自变量和函数求导，
再求和。

具体来说，复合函数的求导法则可以分为两种情况:
1. 直接求导法则
如果复合函数的内层函数是简单函数(即只包含一个自变
量的函数)，那么可以直接按照求导法则对内层函数进行求导，然后利用链式法则对外层函数进行求导。

例如，对于函数
f(x)=x^2+2x,求f(x)的导数，可以按照以下步骤进行:
f'(x) = (x^2 + 2x)' = (x^2)' + 2(x^2)'x = x^2 + 4x
其中，x^2的导数为2x,2x的导数为2,x的导数为1。

2. 间接求导法则
如果复合函数的内层函数是复合函数，那么需要先将内层
函数转化为简单函数，然后再按照求导法则对简单函数进行
求导。

例如，对于函数f(x)=sin(wx+b),求f(x)的导数，可
以按照以下步骤进行:
f'(x) = (sin(wx+b))' = (sin(wx+b))'w·cos(wx+b) + (sin(wx+b))'b·sin(wx+b) = w·cos(wx+b) + b·sin(wx+b)
其中，w为常数，表示角速度，cos(wx+b)为在wx+b方向
上的余弦函数，sin(wx+b)为在wx+b方向上的正弦函数。

复合函数求导方法在微积分中，复合函数是一种十分常见的函数形式，它由两个或多个函数组合而成。

对于复合函数的求导，我们需要掌握一定的方法和技巧。

本文将介绍复合函数求导的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来回顾一下基本的导数求法。

对于一个函数y=f(x)，它的导数可以用极限的形式表示为：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]这是导数的定义式，也是我们求导的基本方法。

而对于复合函数，我们需要使用链式法则来进行求导。

链式法则的表述如下，若函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))可导，并且有。

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]这就是链式法则的数学表达形式。

简单来说，就是先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。

下面我们通过实例来具体说明复合函数求导的方法。

假设我们要求函数y=(x^2+1)^3的导数。

首先，我们可以将这个函数看作外层函数f(u)=u^3，内层函数u=g(x)=x^2+1。

按照链式法则，我们先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。

首先，对外层函数f(u)=u^3求导，得到f'(u)=3u^2。

然后，对内层函数u=g(x)=x^2+1求导，得到g'(x)=2x。

最后，将两者相乘，得到复合函数y=(x^2+1)^3的导数为：\[ \frac{dy}{dx} = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2 \]这就是复合函数求导的具体步骤和结果。

通过这个例子，我们可以看到，复合函数求导并不难，只需要按照链式法则的步骤进行，便可以得到结果。

除了链式法则，我们在求导复合函数时还可以使用其他方法，比如对数导数法则、指数导数法则等。

导数的复合求导法则导数的复合求导法则是微积分中的重要内容，它可以帮助我们计算含有复合函数的导数。

在复合函数中，一个函数嵌套在另一个函数内部，我们需要利用复合求导法则来计算这个复合函数的导数。

复合求导法则有两个部分：链式法则和指数法则。

一、链式法则：链式法则是计算复合函数导数的一种方法，它适用于函数嵌套的情况。

设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)其中，(dy/du)表示外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数，(du/dx)表示内函数u=g(x)对自变量x的导数。

链式法则的推导过程如下：1.设复合函数为y=f(g(x))，其中u=g(x)。

2. 通过求导的定义，可以计算出dy/du，即外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数。

3. 通过求导的定义，可以计算出du/dx，即内函数u=g(x)对自变量x的导数。

4. 接着，将dy/du和du/dx相乘即可得到复合函数y=f(g(x))的导数：dy/dx = dy/du * du/dx。

链式法则的一个重要应用是计算嵌套函数的高阶导数。

利用链式法则，我们可以推导出计算嵌套函数高阶导数的公式。

例如，对于二阶导数，我们可以将链式法则应用两次来计算。

二、指数法则：指数法则是计算含有指数函数的复合函数导数的一种方法。

指数函数是指以常数e为底的自然指数函数，例如f(x) = e^x。

对于指数函数e^x，其导数等于其本身。

即d(e^x)/dx = e^x。

当复合函数中出现指数函数时，我们可以利用指数法则来计算其导数。

指数法则有两种形式：1. 对于一般形式的复合函数：y = e^(g(x))，其中u = g(x)。

则该复合函数的导数为dy/dx = (e^(g(x))) * g'(x)。

2. 对于特殊情况：y = a^(g(x))，其中a为常数。

则该复合函数的导数为dy/dx = (a^(g(x))) * ln(a) * g'(x)。

高等数学入门——复合函数的求导法则一、复合函数的定义在高等数学中，复合函数是由两个函数通过组合而成的新函数。

假设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为f(g(x))。

其中，g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。

二、复合函数的求导法则对于复合函数f(g(x))，我们希望求出它的导数。

根据链式法则，复合函数的导数可以通过内层函数和外层函数的导数相乘来计算。

具体的求导法则如下：1. 内层函数求导：首先求出内层函数的导数g'(x)。

2. 外层函数求导：然后求出外层函数对内层函数的导数f'(g(x))。

3. 乘积求导：将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，即可求得复合函数的导数。

三、示例分析为了更好地理解复合函数的求导法则，我们来看一个具体的示例。

假设有两个函数f(x) = x^2和g(x) = 2x + 1，我们希望求出复合函数f(g(x))的导数。

求出内层函数g(x)的导数：g'(x) = 2然后，求出外层函数对内层函数的导数f'(g(x))：f'(g(x)) = 2g(x) = 2(2x + 1) = 4x + 2将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，得到复合函数的导数：[f(g(x))]'= f'(g(x)) * g'(x)= (4x + 2) * 2= 8x + 4因此，复合函数f(g(x))的导数为8x + 4。

四、总结通过以上示例分析，我们可以总结出复合函数的求导法则：1. 求出内层函数的导数。

2. 求出外层函数对内层函数的导数。

3. 将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，得到复合函数的导数。

复合函数的求导法则在微积分中具有重要的应用价值，它可以帮助我们计算复杂函数的导数。

通过理解和掌握复合函数的求导法则，我们可以更好地应用微积分知识解决实际问题。

希望本文能够对读者理解复合函数的求导法则有所帮助。

复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数是指将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值的过程。

在实际问题中，复合函数的应用非常广泛。

例如，在数学中，我们可以将两个函数复合起来，以便求出新函数的导数。

这个过程的推导如下：
假设 f(x) 表示一个函数，并且 g(u) 表示另一个函数。

现在，我们来寻找 f(g(u)) 的导数。

首先，根据复合函数的定义，我们可以得到：
f(g(u)) = f(x)
将其对 u 求导：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(x) * x'
其中，f'(x) 和 g'(u) 分别表示函数 f(x) 和 g(u) 的导数。

注意到，当 u 取特定的值时，x 和 g(u) 是相等的。

因此，我们可以将 x 替换为 g(u)，得到：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(g(u)) * g(u)'
将上式移项，得到：
(f'(g(u))) / (g'(u)) = g(u)'
这个公式就是复合函数的导数公式。

它告诉我们，f(g(u)) 在 u 处的导数等于 f'(g(u)) 和 g'(u) 的商，再乘以 g(u) 在 u 处的导数。

这个公式
在实际问题中非常有用，因为它可以帮助我们求出复合函数的导数，
从而解决问题。

2)()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'=''=''+'='⋅'±'='±10;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -======-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x==则 二、复合函数的导数若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则三、基础运用举例1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( )A 0B 1C －1D 2 2 经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程6 求函数的导数(1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y =31xx -四、综合运用举例例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω 22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解 2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －byv =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) 【注】题中三角函数求导较麻烦。

复合函数求导的方法如下：总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)比如说：求ln(x+2)的导函数[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x' ×1注：1即为（x+2)的导数。

主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

复合函数证明方法如下：先证明个引理：f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0)引理证毕。

设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。

复合函数如何求导公式求复合函数的导数是很重要的数学技能，它可以帮助研究者深入了解函数的行为，并有助于识别数字模型的结构特性和关系。

复合函数的求导公式是对满足极限定义的复合函数求导的公式，它可以用来帮助我们快速准确地求出复合函数的导数。

当我们遇到超出基本步骤求导知识的复杂函数时，这里可以用到复合函数的求导公式。

基本复合函数求导公式基本复合函数求导公式可以用来快速地求出复合函数的导数，例如，对于复合函数 f(x)=g(h(x))，其具体求导形式如下，`df(x)/dx=df(h(x))/dh(x)*dh(x)/dx`这里，f(x)=g(h(x))是基本复合函数的形式，df(x)表示函数f(x)的导数，dh(x)表示函数h(x)的导数。

在实际运用时，我们需要将f(x)和h(x)分别替换掉，便可以简化此形式的求导。

注意：这里求导不需要考虑函数f(x)和h(x)的解析解，只需要考虑它们的表达式即可，所以用此求导公式时只需要找到它们的对应关系即可，即：f(x)=g(h(x))就可以简化成df(x)/dx=df(h(x))/dh(x)*dh(x)/dx。

推广复合函数求导公式除了基本复合函数的求导公式，还有更复杂的推广复合函数求导公式。

例如对于复合函数f(x)=g(h(k(x)))，其具体求导形式如下，`df(x)/dx=df(h(k(x)))/dh(k(x))*dh(k(x))/dk(x)*dk(x)/dx`其中，f(x)=g(h(k(x)))也是复合函数的形式，df(x)与上例相同，dh(x)与dk(x)分别表示函数h(x)和k(x)的导数，这里也可以把f(x)和h(x)、k(x)分别按照要求替换掉，并简化此形式的求导。

嵌套复合函数求导公式当遇到嵌套的复合函数时，例如f(x)=g(h(f(x)))，其具体求导形式如下，`df(x)/dx=df(g(h(f(x))))/dg(h(f(x)))*dg(h(f(x))/dh(f(x))*dh(f(x))/df(x)+df(h(f(x)))/dh(f(x))*dh(f(x))/df(x)`意义同上。

复合函数的求导法则公式复合函数是由两个或多个函数组合成的一个函数，求导时需要运用复合函数的求导法则公式。

下面将详细介绍复合函数的求导法则公式。

1. 基本公式设函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数 y=f[g(x)] 的导数为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=f'(u)g'(x) $$其中，$f'(u)$表示函数f(u)对u的导数，$g'(x)$表示函数g(x)对x的导数。

例如，设 $f(u) = u^2$，$g(x) = 3x +1$，则$$ y=f[g(x)]=f(3x+1)=(3x+1)^2 $$根据复合函数的求导法则公式，可得：$$ \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x}=\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}u}\\cdot \\frac{\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d}x}=2u\\cdot3=6(3x+1) $$所以，$y' = \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x} = 6(3x+1)$。

2. 链式法则复合函数的求导法则也可以用链式法则表示为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}u_3}\\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_3}{\\mathrm{d} x}=\\cdots $$其中，$u_1,g^{(1)}(x)$表示通过一次代换得到的新函数，$u_2,g^{(2)}(x)$表示通过第二次代换得到的新函数，$u_3,g^{(3)}(x)$表示通过第三次代换得到的新函数，$\\cdots$表示通过n次代换得到的新函数，$y=f(u)$。

复合函数的导数
复合函数的导数：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'=u' x'即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。

复合函数的概念：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y 可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记做y=f(g(x))。

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数。

乘以中间变量对自变量的导数-称为链式法则。

导数是微积分的一个重要的支柱。

牛顿及莱不苨茨对此做出了卓越的贡献！复合函数的求导是高中数学的重点，是高考的难点主要用于：求复合函数的单调性、复合函数的奇偶性。

复合函数
复合函数是指变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系。

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u，有唯一确定的y值与之对应。