第九节函数模型及其应用
对应学生用书P29
1．几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2．三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图像的变化 随x值增大，图像与y轴接近平行 随x值增大，图像与x轴接近平行 随n值变化而不同
1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．
2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
[试一试]
据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是( )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
解析：选D y＝0.2x＋(4000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200.(0≤x≤4 000)
解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
word 1 / 18 §11.3 变量间的相关关系、统计案例
1．相关性
(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．
(2)从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．
(3)若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．
2．回归方程
(1)最小二乘法
如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度，使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
(2)回归方程
方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a，b是待定参数．
b＝∑ni＝1 xi－xyi－y∑ni＝1 xi－x2＝∑ni＝1xiyi－nx y∑ni＝1x2i－nx2a＝y－bx.
3．回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中(x，y)称为样本点的中心．
(3)相关系数 word
2 / 18 ①r＝∑ni＝1
xi－xyi－y∑ni＝1 xi－x2∑ni＝1 yi－y2
＝∑ni＝1xiyi－nx y∑ni＝1x2i－nx2∑ni＝1y2i－ny2；
②当r>0时，表明两个变量正相关；
word
1 / 15 §12.2 古典概型
1．古典概型
具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典的概率模型，简称古典概型．
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果．
(2)每一个试验结果出现的可能性相等．
2．古典概型的概率公式
P(A)＝事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝mn.
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( × )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × )
(3)从市场上出售的标准为500±5
g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( × )
2．(2013·某某)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A、B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A.23B.12C.13D.16
答案 C
解析 从A、B中任意取一个数，共有6种情形，
两数和等于4的情形只有(2,2)，(3,1)两种，
∴P＝26＝13.
3．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是( )
A.23B.14C.25D.15 word
2 / 15 答案
C
解析 先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为25.
4．(2013·某某)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
答案 23
解析 甲、乙、丙三人随机地站成一排，共有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6种排法，其中甲、乙两人相邻而站共甲、乙、丙，乙、甲、丙，丙、甲、乙，丙、乙、甲4种排法，故P＝46＝23.
5．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．
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第二章 指数函数与对数函数及函数的应用
一、知识网络
基本初等函数 ( Ⅰ ) 函数的应用
指数函数 对数函数 幂函数 函数的零点
整数指数幂 函数与方程 定义
有理指数幂 指数 对数
无理指数幂 运算性质 二分法
指数函数 对数函数 函数模型及其应用
互为反函数 几类不同增长的函数模型
定义 定义 用已知函数模型解决问题
图像与性质 图像与性质 建立实际问题的函数模型
二、课标要求和最新考纲要求
1、指数函数
（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的 14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；
（ 2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
（ 3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；
（ 4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数
（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；
（ 2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
3、知道指数函数 y ax 与对数函数 y log a x 互为反函数（ a＞ 0，a≠ 1）。
4、函数与方程 学习必备 欢迎下载
（ 1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
（ 2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数 .
5、函数模型及其应用
