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概率论与数理统计期末复习试题

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1 概率论与数理统计期末复习题一

一、填空题（每空2分，共20分）

1、设X为连续型随机变量，则P{X=1}=( ).

2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为( ).

3、若随机变量X的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( ).

4、设X服从N（1，4）分布，Y服从P(1)分布，且X与Y独立，则 E（XY+1-Y）=（ ） ，D（2Y-X+1）=（ ）.

5、已知随机变量X～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( );σ=( ).

6、已知随机变量(X,Y)的分布律为：

X Y 1 2

3 0.15 0.15

4 A B

且X与Y相互独立。则A=( ),B=( ).

7、设X1,X2,„,Xn是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,nxxx,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( ).

二、计算题（每题12分，共48分）

1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.

2、已知随机变量X的概率密度为

其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X＜1/λ)}; (3)F(1).

3、设随机变量X的分布律为

X -1 0 1 2

P 0.1 0.2 0.3 0.4

且XXY22，求(1)()EX; (2)()EY; (3))(XD.

4、若X～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.

三、解答题（12分）

设某次考试的考生的成绩X服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分?

四、综合题（每小题4分，共20分）

设二维随机变量),(YX的联合密度函数为： 000)(2xxeAxfx 2 32,01,01(,)0,xceyxyfxy其它

试求: )1( 常数C ；)2( ()Xfx , )(yfY ；)3( X与Y是否相互独立？

)4( )(XE,)(YE,)(XYE； )5( )(XD,)(YD.

附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772

t0.05(9)= 1.8331 ; t0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0t， 306.2)8(025.0t

t0.05(36)= 1.6883 ; t0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35)1.6896t， 0.025(35)2.0301t

概率论与数理统计期末复习试题一参考答案

一、填空题（每空2分，共20分）

1、0 ； 2、14/50 或7/25 ；3、81/130 ；4、1，17 ；

5、5，4 ；6、0.35，0.35 ；7、X(n)

二、计算题（每题12分，共48分）

1、解：(1)以A1,A2,A3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B记找到钥匙.则

P(A1)=0.4,P(A2)=0.35,P(A3)=0.25, P(B| A1)=0.9 ,P(B| A2)=0.3,P(B| A3)=0.1

所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31iiiABPAPBP.....6

(2)21.049.0/)3.035.0()|(2BAP „„„„„„„„„„„„12 2、解：（1）由归一性：/1,|)(1020AAeAdxeAdxxfxx所以

„„„„„„„„„4

（2）/1036.0/11}/11{edxeXPx„„„„„„„„„8

（3）101)1(edxeFx „„„„„„„„„12

3、解：（1）14.023.012.001.01)(XE„„„„„„„„„4

（2）24.043.012.001.01)(2XE

422)(2)()2()(22XEXEXXEYE„„„„„„„„„8

（3）112)]([)()(22XEXEXD„„„„„„„„„12

4、解：（1）E(X)=μ 令μ=X 所以μ的矩估计为X„„„„„„„„„6 3 （2）D(X)=E(X2)-[E(X)]2 又E(X2)=niiXn121

D(X)= niiXn121-X=212)(1niiXXn

所以σ2的矩估计为niiXXn122)(1„„„„„„„„„12

三、解答题（12分）

解：提出假设检验问题：H0: μ=70, H1 ：μ≠70,

nSXt/70～t(n-1),其中n=36,x=66.5,s=15,α=0.05,tα/2(n-1)=t0.025(35)=2.03„6

03.24.136/15|705.66|||t„„„„„„„„„12

所以,接受H0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分.

四、综合题（每小题4分，共20分）

解：(1))1(9|31|3113103103101010102323ecyecdyydxecdxdyycexxx

所以,c=9/(e3-1) „„„„„„„„„4

(2)0)(1319)(,103323103xfxeedyyeexfxXxxX为其它情况时，当当

所以,333,01()10,xXexfxe其它 „„„„„„„„„2

同理, 23,01()0,Yyyfy其它 „„„„„„„„„4

(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,xXYeyxyfxfyfxye其它

所以,X与Y相互独立. „„„„„„„„„4

(4) 4 1133330013130303331111(|)1213(1)xxxxEXxedxxdeeeyeedxeee„„„„„„„„„2

124100333|44EYyydxy„„„„3 3321()4(1)eEXYEXEYe „„„„„„„„„4

(5) 22()DXEXEX

11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)xxxxxEXxedyxeexdxeeexeedxeee„„„„„„„„„2

 3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)eDXeeeeee „„„„„„„„„3 22()DYEYEY

12225010333|55EYyydyy

 2333()5480DY „„„„„„„„„4

概率论与数理统计期末复习题二

一、计算题（每题10分，共70分）

1、设P（A）=1/3，P（B）=1/4，P（A∪B）=1/2.求P（AB）、P（A-B）.

2、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？

3、已知随机变量X的密度函数为

01()2120xxpxAxx其它

(1)求A.（2）X的分布函数)(xF.

4、若X，Y为相互独立的分别服从]10[，上均匀分布的随机变量，试求ZXY的分布密度函数. 5 5、某镇年满18岁的居民中20%受过高等教育.今从中有放回地抽取1600人的随机样本，求样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率.

6、某单位职工每天的医疗费服从正态分布),(2N，现抽查了25天，得元，30S元，求职工每天医疗费均值的双侧0.95置信区间.

7、设总体X的密度函数为

otherxxxf,010,)(1其中是未知参数，且0。求的矩估计与极大的似然估计量。

二、解答题（9分）

某校数学教学从初一开始实行了某项改革。三年后在初中毕业数学考试中，全市平均成绩为80分，从该校抽取的49名学生成绩的平均数为85分。已知该校这次考试分数服从)14,(2N分布。问该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异如何？（0.05）

三、综合题（15分）

设随机变量),(YX具有下列概率密度

othersxyxcxyxf00,10),( (1) 求c。（2）X与Y是否独立？为什么？（3）求)(xyfXY。

四、证明题（6分）

设随机变数具有对称的分布密度函数)(xp，),()(xpxp证明：对任意的,0a有21)(1)(aFaFadxxp0)(。.附：(1)0.84,(1.96)0.975

0.050.025(24)1.7109,(24)2.0639tt, 0.050.025(25)1.7081,(25)2.0595tt

概率论与数理统计期末复习试题二答案

一、计算题（每题10分，共70分）

1、解：P（AB）= P（A）+P（B）- P（A∪B）=1/12，

P（A-B）= P（A）-P（AB）=1/4 。

2、解;用A表示“从甲袋中任取一球为红球”， B表示“从乙袋中任取两球都为白球”。则52)(AP。由全概率公式

75115352)()()()()(26232622CCCCABPAPABPAPBP

3、解：（1）由()1pxdx得A=1。 6 （2）21211212)2(102100)(101202xxxxdyyydyxxydyxxFxx

4、解：显然(,)XY的联合概率密度为10,10,1),(yxyxf；否则，0),(yxf。先求Z的分布函数dxdyyxfzYXPzFzyx),()()(。

当0z时，0)(zF

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概率论与数理统计》期末考试试题及解答

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1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.

解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.

2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.

解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.

3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0

解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0

4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。

解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。

中国石油大学090107概率论与数理统计期末复习题及参考答案

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《概率论与数理统计》课程综合复习资料

一、单选题

1.设某人进行射击，每次击中的概率为1/3,今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率

为()。

a∙ Φ3Φ7

B. ⅛φ3×(∣)7

C∙ cioψ7×(∣)3

d∙ ⅛3

答案：B

2.设X∣, X2, . X〃为来自总体X的一个样本，区为样本均值，EX未知，则总体方差OX的

无偏估计量为()。

A.--∑(X∕-X)2

“Ti=I

1 n _ o

8. 1 X(Xz-X)2 ni=∖

1 « 0

C∙ -∑(X，•一 EX)

1 〃 o D∙ --∑(Xi-EX)2

〃-

答案：A

3.设X” X2,…，X〃为来自总体N(〃，/)的一个样本，区为样本均值，已知，记

S12=-∑(Xz-X)2, 5^=1 X(Xz-X)2,则服从自由度为〃-1的f分布统计量是()。

〃一 IT ni=∖

MT=Sl/3

S2 / 4n

S) ∕√n

答案：D

4 .设总体X〜/HO),O为未知参数，X1, X2,. -, X“为*的一个样本, 0(X1, X2,--,.Xn), 0(X1, X2,∙∙∙, XZJ)为两个统计量,包力为。的置信度为的置信区间, 则应有()。

A. P{Θ

B. P{Θ

C. P[Θ

D. P[Θ

答案：D

5 .某人射击中靶的概率为3/5,如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率()。

A. ⅛3

6,设X和Y均服从正态分布X〜N(μ工),Y ~ N(μ32),记P] = P{X

A.对任何实数〃都有p∣ >〃2

B.对任何实数〃都有p∣ <〃2

C.仅对〃的个别值有Pl =p2

D.对任何实数〃都有p∣ 二〃2

答案：D

7.设A和B为任意两个事件，且Au3, P(B)>0,则必有()。

A. P(A)

B. P(A)NP(AIB)

C. P(A)>P(A∖B)

D. P(A)≤P(A∖B)

答案：D

8.已知事件48相互独立，P(B) >0,则下列说法不正确的是()。

概率论和数理统计期末考试题库

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..

;.. 数理统计练习

一、填空题

1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8，则P(A+B)=__ 0.7 __。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。

3、设随机变量X服从[0，2]上均匀分布，则2)]([)(XEXD 1/3 。

4、设随机变量X服从参数为的泊松（Poisson）分布，且已知)]2)(1[(XXE＝1，则___1____。 5、一次试验的成功率为p，进行100次独立重复试验，当p1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

6、（X，Y）服从二维正态分布),,,,(222121N，则X的边缘分布为 ),(211N 。

7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数其他,010,20,23),(2yxxyyxf，则E(X)=34。

8、随机变量X的数学期望EX，方差2DX，k、b为常数，则有)(bkXE= ,kb；)(bkXD=22k。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X与Y相互独立。设Z＝2X－Y＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

10、是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21DD，则称1ˆ比2ˆ有效。

1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.6，则P(BA)=_0.3__。

2、设XB(2,p)，YB(3,p)，且P{X ≥ 1}=95，则P{Y≥ 1}=2719。

3、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E(Y)=4 。

4、设随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。

概率论与数理统计》期末考试试题及解答 2

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一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 设事件BA,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(BPAP，则BA,至少有一个不发生的概率为__________.

答案：0.3

解：

即

所以

9.0)(1)()(ABPABPBAP.

2． 设随机变量X服从泊松分布，且)2(4)1(XPXP，则)3(XP______.

答案：

解答：

由 )2(4)1(XPXP 知 eee22

即 0122 解得 1，故

3． 设随机变量X在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2XY在区间)4,0(内的概率密度为)(yfY_________.

答案：

解答：设Y的分布函数为(),YFyX的分布函数为()XFx，密度为()Xfx则

因为~(0,2)XU，所以()0XFy，即()()YXFyFy

故

另解 在(0,2)上函数2yx严格单调，反函数为()hyy

所以

4． 设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为的指数分布，2)1(eXP，则_________，}1),{min(YXP=_________.

答案：2，-4{min(,)1}1ePXY

解答：

2(1)1(1)PXPXee，故 2

41e.

5． 设总体X的概率密度为

其它,0,10,)1()(xxxf 1.

nXXX,,,21是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.

答案：

解答：

似然函数为

解似然方程得的极大似然估计为