概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）

一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）

⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）

⑸ 样本方差2n S

=

n

121

)(X X

n

i i

-∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ）

二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生；

（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。

三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为

2101

31111115651530

X

P

-- 求2

Y X =的分布列.

五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||

1()2

x f x e -=

，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差.

六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,

,n X X X 是来自几何分布

1

()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，

的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

《概率论与数理统计》试题（1）评分标准

一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。 二 解 （1）ABC

（2）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ；

（3）A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；

（4）ABC ABC ABC ；

（5）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC

每小题4分；

三 解 设A =‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,x y a x y --，则

0,0,0x a y a x y a <<<<<+<，不等式构成平面域S .------------------------------------5分

A 发生0,0,222

a a a

x y x y a ⇔<<<<<+<

不等式确定S 的子域A ，----------------------------------------10分

所以

1

()4

A P A ==的面积S 的面积 -----------------------------------------15分

四 解 Y 的分布列为

0149171115

30530

Y

P

. Y 的取值正确得2分，分布列对一组得2分；

五 解 ||

102x EX x e dx +∞

--∞=

⋅=⎰，（因为被积函数为奇函数）--------------------------4分 2

2||2012

x x DX EX x e dx x e dx +∞+∞---∞===⎰⎰

20

02x x x e

xe dx +∞+∞

--=-+⎰

2[] 2.x x xe

e dx +∞+∞

--=-+=⎰

----------------------------------------10分

六 解 X ～b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分

(1430)P X ≤≤≈Φ-Φ---------------------------10分 (2.5)( 1.5)=Φ-Φ-

=0.994+0.933--1

0.927=.--------------------------------------------------15分 七 解 1

1

11

(,

,;)(1)

(1)n

i i i n

x n

x n

n i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏----------5分

1

ln ln (

)ln(1),n

i

i L n p X

n p ==+--∑

1ln 0,1n

i i X n

d L n dp p p

=-=--∑--------------------------------10分

解似然方程

1

1n

i

i n X n p

p

=-+=-∑，

得p 的极大似然估计

1

p X

=。--------------------------------------------------------------------15分

《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发

生的概率为__________.

2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2

X Y =在区间)4,0(内的概率

密度为=)(y f Y _________.

4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2

)1(-=>e

X P ，则

=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________.

5． 设总体X 的概率密度为

⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,

0,

10,)1()(x x x f θ

θ 1->θ.

n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.

解：1．3.0)(=+B A B A P

即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=