高考重点专项：函数零点个数问总结

客观压轴系列

- 1 - 函数零点的性质

知识梳理

1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：

（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点

（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫

（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。

三者转化：

函数fx的零点方程0fx的根方程变形方程gxhx的根函数gx与hx的交点

2、此类问题的处理步骤：

（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像

（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围

（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，

3、常见处理方法：

（1）代换法：将相等的函数值设为t，从而用t可表示出12,,xx，将关于12,,xx的表达式转化为关于t的一元表达式，进而可求出范围或最值

（2）利用对称性解决对称点求和：如果12,xx关于xa轴对称，则122xxa；同理，若12,xx关于,0a中心对称，则也有122xxa。将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系

客观压轴系列

- 2 - 题型一：由对称性求等高线对应点横坐标之和

【例1】已知函数2015cos,0,2log,,xxfxxx ，若有三个不同的实数,,abc，使得fafbfc ，则abc的取值范围是________

思路：fx的图像可作，所以考虑作出fx的图像，不妨设abc，由图像可得：0,1fafb

高一函数零点个数知识点

函数是数学中的重要概念，在高一的学习中有很多内容需要掌握，其中之一就是函数零点个数的知识点。本文将介绍高一函数零点个数的相关概念和计算方法。

一、函数零点的定义和概念

函数的零点指的是函数取值为零的点，即在函数图像上与x轴交点的横坐标。也可以说是使得函数等于零的自变量的值。记作f(x) = 0。

二、函数零点的图像表示

函数零点可以通过函数图像的形状来直观地表示。当函数图像与x轴相交时，相交点的横坐标就是函数的零点。如果函数图像与x轴相交的点有n个，那么该函数就有n个零点。

三、函数零点的计算方法

根据函数的定义和性质，可以用多种方法计算函数的零点。下面将介绍几种常见的计算方法。

1. 试探法：

试探法是一种简便易行的计算函数零点的方法。首先选取几个特定的横坐标值，带入函数中进行计算，观察函数值与零的关系，确定函数零点的近似值。然后利用逼近法来不断精确计算函数的零点。

2.因式分解法：

对于一些简单的函数，可以利用因式分解的方法来计算函数的零点。首先将函数进行因式分解，然后令每个因式等于零，解方程得到函数的零点。

3.图像法：

利用图像的性质来计算函数的零点。将函数的图像画出来，观察图像与x轴相交的点，这些点的横坐标就是函数的零点。

4.牛顿迭代法：

牛顿迭代法是一种数值计算方法，可以用来计算函数的零点。通过迭代运算，不断逼近函数零点的值，直到满足精度要求。

四、函数零点个数的判断

判断函数的零点个数，主要依据以下定理:

1. 零点定理：

如果函数f(x)在[a, b]区间上连续，并且f(a)和f(b)异号，那么函数必然在[a, b]内至少有一个零点。

2. Rouche定理：

设函数f(x)和g(x)在[a, b]区间内连续，且满足在[a, b]上，|f(x)|>|g(x)|。如果f(x)和g(x)在[a, b]上的零点个数相同，那么函数f(x)和g(x)的零点个数也相同。

1 第13讲 函数的零点个数问题的求解方法

【知识要点】

一、方程的根与函数的零点

（1）定义：对于函数()yfx（xD），把使f(x)=0成立的实数x叫做函数()yfx（xD）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.

（2）函数零点的意义：函数()yfx的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()yfx的图像与x轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根函数()yfx的图像与x轴有交点函数()yfx有零点.

（3）零点存在性定理：如果函数()yfx在区间[,]ab上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(bfaf，那么函数()yfx在区间(,)ab内至少有一个零点，即存在(,cab）使得()0fc，这个c也就是方程的根.

函数()yfx在区间[,]ab上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(bfaf是函数()yfx在区间(,)ab内至少有一个零点的一个充分不必要条件.

零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决.

二、二分法

（1）二分法及步骤

对于在区间[,]ab上连续不断，且满足0)()(bfaf的函数()yfx，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法.

（2）给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：

第一步：确定区间[,]ab，验证0)()(bfaf，给定精确度.

第二步：求区间(,)ab的中点1x.

第三步：计算1()fx：①若1()fx=0，则1x就是函数的零点；②若1()()0fafx，则令1bx （此时零点01(,)xax）③若1()()0fxfb，则令1ax（此时零点01(,)xxb）

第四步：判断是否达到精确度即若ab，则得到零点值a或b，否则重复第二至第四步. 2 三、一元二次方程2()0(0)fxaxbxca的根的分布

如何求解函数的零点个数

在数学中，函数的零点是指函数取值为零的点。求解函数的零点个数是数学中的一个重要问题，也是实际应用中的一个常见问题。下面介绍几种求解函数零点个数的方法。

1. 图像法

图像法是通过绘制函数的图像来判断函数的零点个数。如果函数的图像与 x 轴相交的点有两个或以上，则函数有两个或以上的零点。如果函数的图像与 x 轴没有交点，则函数没有零点。图像法适用于简单的函数，例如一次函数、二次函数等。

2. 数值法

数值法是通过计算函数在某些特定点上的值来判断函数的零点个数。例如，可以使用牛顿迭代法或二分法等数值方法来求解函数的零点。数值法适用于比较复杂的函数，例如三次函数、四次函数等。

3. 符号法

符号法是通过分析函数的符号来判断函数的零点个数。如果函数在某个区间上的符号相同，则函数在该区间上没有零点。如果函数在某个区间上的符号相反，则函数在该区间上有一个零点。符号法适用于具有对称性的函数，例如奇函数、偶函数等。

以上三种方法各有优缺点，选择合适的方法取决于函数的性质和求解的具体要求。