河北省石家庄一中2019-2020学年高三下学期3月质检数学(理)试题

石家庄市2025届高三上学期教学质量摸底检测

数学

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．设集合

|15AxxR

，

2

|340BxxxR

，则AB

（ ）

A．

1,1

B．

1,4

C．

1,4

D．

1,5

2．已知复数z满足(1i)23iz，则复数z的虚部为（ ）

A．1

2 B．5

2 C．1

2 D．5

2

3．已知平面向量a，b满足()2aab

，且1a

，2b

，则向量a，b的夹角为（ ）

A．

6

B．2

3

C．

3

D．5

6

4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ）

A

．3

3 B

．23

3 C

．43

3 D

．23

5．已知sin()2cos()，4

tantan

3

，则tantan

（ ）

A．3 B．3

C．1

3 D．1

3

6．若数列

na

为等差数列，

nS

为数列

na

的前n项和，

490aa

，

110S

，则

nS

的最小值为（ ）

A．

5S

B．

6S

C．

7S

D．

8S

7．已知双曲线22

:1

48xy

C

的左、右焦点分别为

1F

、

2F

，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，

若

112FAFB

，则AB

（ ）

A

．47

B

．27

C

．43

D．4 8．已知函数()Fx

为定义在R上的奇函数，且在

0,

上单调递减，满足

21

2(log)(log)2(3)fafaf，

则实数a的取值范围为（ ）

2021-2022年河北衡水中学同步原创月考卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

i 1Ai11iAi5iA

iAUR2|21,|ln1,xxAxBxyx |1xx|1xx|01xx

|12xx13222,1log2,1xexfxxx2ff2e22e2eˆˆˆybxaˆbˆbˆb0.87222pq2pq2pq222pq,,abcabacbc:01xpyaaa且:sinqyxpq2000:,310pxRxx2:,310pxRxx.OABC120AOBAOCBOCOABC32233 23 13 0323

32na1241,6aaanN1212cossinnnnnnfxaaaxaxax02f12nnnacancnnS2122nnn214122nnn22122nnn

24122nnnyfxx2fxfx11xsin2fxxlog0,1agxfxxaa且 10,5,510,5,5 11,5,775

11,5,775第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 3naxna11,0naanNnnSnS12nnSa,xy0,50,30,xyxyy222mxyxy221,xxexexfxgxxe12,0,xx121gxfxkk

第1页，共19页2023年河北省石家庄市高考数学一模试卷1. 设全集，若集合M满足，则( )A. B. C. D. 2. 已知复数，则( )A. B. C. D. 3. 为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村人数之比是3：1，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是( )A. 16B. 24C. 32D. 404. 函数的大致图象为( )A. B. C. D. 5. 已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为( )A. B. C. D. 6. 中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列．现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，…，按此规律，则第50层小球的个数为( )A. 2400B. 2401C. 2500D. 25017. 已知圆台的上、下底面圆的半径之比为，侧面积为，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为( )A. B. C. D. 第2页，共19页8. 已知在上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则x的值可以是( )A. B. C. 0D. 10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则( )A. A与B互斥B. B与C相互独立C. D. 11. 已知抛物线C：的焦点为F，过点分别向抛物线C与圆F：作切线，切点为分别为P，不同于坐标原点，则下列判断正确的是( )A. B. C. P，Q，F三点共线D. 12. 定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使得不等式对任意，恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有( )A. 函数在上满足阶李普希兹条件B. 若函数在上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为2C. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解D. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则存在满足条件的函数，存在，，使得13. 某工厂生产的一批电子元件质量指标X服从正态分布，且，若从这批电子原件中随机选取一件产品，则其质量指标小于2的概率为______ .14. 已知，则______ .15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为______ .第3页，共19页16. 长方体中，，，平面与直线的交点为M，现将绕旋转一周，在旋转过程中，动直线CM与底面内任一直线所成最小角记为，则的最大值是______ .17. 已知等比数列的前n项和为求数列的通项公式；设数列满足，求数列的前n项和18. 已知内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，求B；若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.19. 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为注：比赛结果没有平局求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.20. 如图，在▱ABCD中，，，将沿BD折起，使得点A到达点P处，如图若，求证：；若，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值.第4页，共19页21. 已知函数当时，求的极小值.若有两个零点，求实数a的取值范围.22. 已知双曲线：，F为双曲线的右焦点，过F作直线交双曲线于A，B两点，过F点且与直线垂直的直线交直线于P点，直线OP交双曲线于M，N两点.若直线OP的斜率为，求的值；设直线AB，AP，AM，AN的斜率分别为，，，，且，，记，，，试探究v与u，w满足的方程关系，并将v用w，u表示出来.第5页，共19页答案和解析1.【答案】C 【解析】解：由题意可得：，显然4是M中的元素，故ABD错误，C正确．故选：根据元素与集合的关系及补集运算即可．本题考查元素与集合的关系及补集概念，属基础题．2.【答案】B 【解析】解：故选：利用复数乘法的几何意义求复数的模即可．本题考查复数的运算，属基础题．3.【答案】A 【解析】解：设被抽取参与调研的乙村村民有x人，则甲村被抽取参与调研的有3x人，所以，即，所以参加调研的总人数为故选：根据分层抽样的要求计算即可．本题考查分层抽样的概念，属基础题．4.【答案】A 【解析】解：由，故函数为非奇非偶函数，排除B、C；由，，所以，即可排除故选：应用定义判断函数奇偶性，比较，结合排除法即可得答案．第6页，共19页本题考查函数的图象问题，函数的奇偶性，特值点，属中档题．5.【答案】B 【解析】解：，，可得，所以在方向上的投影向量为故选：由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可．本题考查向量数量积的运算，向量数量积的性质，投影向量的概念，属基础题．6.【答案】D 【解析】解：不妨设第n层小球个数为，由题意，，……，即各层小球之差成以3为首项，2为公差的等差数列，所以，故有，累加可得：，故故选：依据等差数列的定义与求和公式，累加法计算即可．本题考查数列的应用，累加法的应用，属基础题．7.【答案】C 【解析】解：设圆台的上底面圆半径为r，则底面圆半径为2r，母线长为l，如图所示，作出圆台与球的轴截面．由于球O与圆台的上下底面及母线均相切，故根据圆台的侧面积公式，可得，所以球的直径为，故半径为，表面积为：故选：第7页，共19页由圆台的侧面积公式及球的表面积公式计算即可．本题考查圆台的内切球问题，球的表面积公式的应用，方程思想，属基础题．8.【答案】D 【解析】解：，且，，两边取对数可得，根据题意可得与在上有两个交点，设，则，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，，且时，；时，，要使与在上有两个交点，则，，故选：根据题意可得，两边取对数可得，从而根据题意可得与在上有两个交点，设，再利用导数研究的单调性及最值，从而建立不等式，即可求解．本题考查方程的解的个数问题，利用导数研究函数的单调性，数形转化思想，属中档题．9.【答案】BC 【解析】解：根据三角函数的定义可得：，解得或，故选：根据三角函数的定义，建立方程，即可求解．本题考查三角函数的定义，方程思想，属基础题．10.【答案】BD 第8页，共19页【解析】解：对于A项，互斥事件指不可能同时发生的两个事件，事件A可以有以下情况：第一次掷出1，第二次掷出5或第一次掷出3，第二次掷出3等，如此与事件B有同时发生的可能，故A错误；对于B项，，，故B正确；对于C项，易知，故C错误；对于D项，点数和为6，且两次点数相同仅有都是3点一种情况，故，故D项正确．故选：对于A、B选项，根据事件的对立与互斥定义即可分辨；对于C、D选项利用概率公式计算即可．本题考查互斥事件与独立事件的概念，古典概型的概率公式的应用，属基础题．11.【答案】ABC 【解析】解：由题意可知抛物线的焦点，要求P，Q不同于一点，所以切线MP，MQ的斜率存在，且直线PM的斜率不为0，设抛物线的切线方程为，设，则P在x轴上方，，圆的切线方程为，Q在x轴上方，联立，整理可得，可得，即，则，且，，即；联立，整理可得：，由题意可得，即，且，，，对于A：，，故A正确；第9页，共19页对于B：，，故B正确；对于C：，，，，Q，F三点共线，故C正确；对于D：，，，故D不正确．故选：设抛物线的切线方程为，设，则P在x轴上方，，圆的切线方程为，Q在x轴上方，分别与抛物线联立方程组求得点P，Q的坐标，进而结合每个选项的条件进行计算可判断结论．本题考查抛物的性质，考查直线与抛物线位置关系，考查运算求解能力，属中档题．12.【答案】ABC 【解析】解：对于A，假设函数在上满足阶李普希兹条件，则，设，则，，又因为，所以存在正数，对，均有成立，故A正确；B选项：不妨设，因为在上单调递增，所以，所以，即为，即对，，恒成立，即在上单调递减，所以对恒成立，所以对恒成立，即，即M的最小值为2，B选项正确；C选项：假设方程在区间上有两个解，t，第10页，共19页则，这与矛盾，故只有唯一解，C选项正确；D选项：不妨设，当时，；当时，，故对，，，不存在，使，，D选项错误．故选：根据李普希兹条件的概念直接可以判断AB选项；再利用反证法判断C选项；通过分类讨论可判断D选项．本题属于新概念题，考查了函数恒成立问题、运算能力及逻辑推理能力，理解定义是关键，属于中档题．13.【答案】 【解析】解：由题设，故，所以故答案为：由正态分布的性质知，结合即可求概率．本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．14.【答案】 【解析】解：由由，则，故，所以故答案为：利用诱导公式、二倍角正弦公式找到目标式与已知函数的关系，应用同角三角函数关系求得第11页，共19页，即可求值．本题主要考查了诱导公式，二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．15.【答案】 【解析】解：设，则，，，，椭圆的焦距为2c，可得，解得，由，，由勾股定理可得：，可得，得故答案为：由，且，设，由椭圆的定义可得，的表达式，由勾股定理可得m，a的关系，进而可得c，a的关系，求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的性质的应用及勾股定理的应用，属中档题．16.【答案】 【解析】解：由题意，为动直线CM与底面所成角，只需求旋转过程中直线CM与面所成角的最大角即可，又面面ABCD，只需求直线CM与面ABCD最大夹角正弦值，过C作，交延长线于M，连接，显然，所以，故为平行四边形，则，，，所以为等腰三角形，过M作于H，则H必在线段上，综上，绕旋转过程中，M点轨迹是以H为圆心，MH为半径的圆上，设，则，故，第12页，共19页所以，解得，则，，绕旋转过程中，CM是为轴，圆H为底面的圆锥的母线，所以为圆锥轴截面顶角的一半，且恒定不变，又，，而直线与面ABCD夹角为，且，，令，则，而，令，则，而，综上，，故的最大值是故答案为：根据题设，将问题转化为求直线CM与面ABCD夹角最大值，利用平面的基本性质找到M点位置，并确定其轨迹为圆锥底面圆周，进而确定圆锥轴线与面ABCD的夹角、CM与圆锥轴线的夹角，利用和差角正余弦公式求它们的差、和正余弦值，即可确定的最值．本题主要考查了直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．17.【答案】解：设的公比为q，由题知，所以，两式相除得，，所以，，；由知，， 第13页，共19页【解析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解；先求出，然后利用裂项求和即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了裂项求和方法的应用，属于中档题．18.【答案】解：由余弦定理得，即，所以，又，则法一：为锐角三角形，，则，所以，可得，又，则，故由，即，而，所以，故面积的取值范围为法二：由，画出如图所示三角形，为锐角三角形，点A落在线段端点，除外上，当时，，当时，， 【解析】利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小；法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得，即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．

石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测

数学

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1．设集合

|15AxxR

，

2|340BxxxR

，则AB（ ）

A．

1,1

B．

1,4

C．

1,4

D．

1,5

2．已知复数z满足(1i)23iz，则复数z的虚部为（ ）

A

．1

2B

．5

2C

．1

2D

．5

2

3．已知平面向量a，b满足()2aab

，且1a

，2b

，则向量a，b的夹角为（ ）

A

．

6

B

．2

3

C

．

3

D

．5

6

4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ）

A

．3

3B

．23

3C

．43

3D

．23

5．已知sin()2cos()

，4

tantan

3

，则tantan

（ ）

A．3B．3

C

．1

3D

．1

3

6．若数列

na

为等差数列，

nS

为数列

na

的前n项和，

490aa

，

110S

，则

nS

的最小值为

（ ）

A．

5S

B．

6S

C．

7S

D．

8S

7

．已知双曲线22

:1

48xy

C

的左、右焦点分别为

1F

、

2F

，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两

点，若

112FAFB

，则AB

（

）A

．47

B

．27

C

．43

D．4

8．已知函数()Fx

为定义在R上的奇函数，且在

0,上单调递减，满足

21

2(log)(log)2(3)fafaf

，则实数a的取值范围为（ ）

A

．1

0,

8



B

．1

,8

8

