石家庄一中高二(上)期中数学试卷(理科)

石家庄市高二上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在空间四边形OABC中，OB=OC，，则等于（）A .B .C . -D . 02. （2分） (2016高二上·南阳期中) 不等式＞1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则不等式x2+ax ﹣2b＜0的解集为（）A . （﹣3，﹣2）B .C . （﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D .3. （2分）(2017·上饶模拟) 下列说法正确的是（）A . ∀x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1且y≠﹣1B . a∈R，“ ”是“a＞1”的必要不充分条件C . 命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+2x+3＞0”D . 设随机变量X～N（1，52），若P（X＜0）=P（X＞a﹣2），则实数a的值为24. （2分）(2017·太原模拟) 正项等比数列{an}中的a1 ， a4033是函数的极值点，则log6a2017=（）A . 1B . 2C .D . ﹣15. （2分）若命题p：，则该命题的否定是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·红桥期中) 已知向量是空间的一个基底，其中与向量，一定构成空间另一个基底的向量是（）A .B .C .D . 都不可以7. （2分） (2016高二上·郑州期中) 已知命题p：1∈{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，命题q：∅={0}，则下面判断正确的是（）A . p假q真B . “p∨q”为真C . “p∧q”为真D . “￢q”为假8. （2分） (2019高一上·惠来月考) 有下列四个命题：（1）过三点确定一个平面；（2）矩形是平面图形；（3）三条直线两两相交则确定一个平面；（4）两个相交平面把空间分成四个区域其中错误命题的序号是（）A . （1）和（2）B . （1）和（3））C . （2）和（4）D . （2）和（3）9. （2分）已知实数x，y满足约束条件则z=2x-y的取值范围（）A . [l,2]B . [1,3]C . [0,2]D . [0,1]10. （2分）(2017·广西模拟) 数列，，2 ，，…的一个通项公式是（）A .B .C .D .11. （2分）已知an=﹣2n2+9n+3，则数列{an}中的最大项为（）A . a1=10B . a2=13C . a3=12D . 以上均不正确12. （2分）关于x的方程x2+（a+2b）x+3a+b+1=0的两个实根分别在区间（﹣1，0）和（0，1）上，则a+b 的取值范围为（）A . （﹣，）B . （﹣，）C . （﹣，﹣）D . （﹣，）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·西城期末) 当x＞0时，函数的最小值为________．14. （1分） (2016高二上·如东期中) 不等式x2+x﹣2≤0的解集是________．15. （1分）已知数列{an}的通项公式是an= ，若前n项和为12，则项数n为________．16. （1分）(2018·齐齐哈尔模拟) 已知实数满足条件若的最小值为 ,则实数 ________．三、解答题 (共4题；共35分)17. （15分） (2017高二上·静海期末) 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．18. （5分）已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）•（x﹣m﹣1）≤0，若¬p是¬q的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．19. （10分） (2019高三上·双鸭山月考) 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．20. （5分）(2017·衡阳模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn=2an﹣n．（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn= + ，求数列{bn}的前n项和Tn ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共35分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、第11 页共11 页。

河北省石家庄市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·双鸭山月考) 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设是.（）A . 三内角至少有一个小于60°B . 三内角只有一个小于60°C . 三内角有三个小于60°D . 三内角都大于60度2. （2分）(2019·和平模拟) 下列结论错误的是（）A . 命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B . “ ”是“ ”的充分不必要条件C . 命题：“ ，”的否定是“ ，”D . 若“ ”为假命题，则均为假命题3. （2分）已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）若在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax-by=0与圆相交的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）圆x2+y2+2x﹣4y=0的半径为（）A . 2B .C .D . 56. （2分）(2017·厦门模拟) 若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A . 2B . 3C . 4D . 57. （2分） (2016高二上·大庆期中) F1 ， F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形AF1F2的面积为（）A . 7B .C .D .8. （2分） (2016高二上·青岛期中) 已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A . πB . 4πC . 8πD . 9π9. （2分）(2017·黑龙江模拟) 已知P是椭圆上任意一点，过椭圆的右顶点A和上顶点B分别作x轴和y轴的垂线，两垂线交于点C，过P作AC，BC的平行线交BC于点M，交AC于点N，交AB于点D，E，矩形PMCN的面积是S1 ，三角形PDE的面积是S2 ，则 =（）A . 2B . 1C .D .10. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 设F1、F2是椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x= 上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·襄阳期中) 已知椭圆 + =1以及椭圆内一点P（2，1），则以P为中点的弦所在直线斜率为（）A .B . ﹣C . 2D . ﹣212. （2分）已知A（﹣1，0），B（2，4），△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是（）A . 4x﹣3y﹣16=0或4x﹣3y+16=0B . 4x﹣3y﹣16=0或4x﹣3y+24=0C . 4x﹣3y+16=0或4x﹣3y+24=0D . 4x﹣3y+16=0或4x﹣3y﹣24=0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·南通期中) 经过点（4，﹣3）且在y轴上截距为2的直线的方程为________．14. （1分） (2017高二上·武清期中) 过点P（3，1）作直线l将圆C：x2+y2﹣4x﹣5=0分成两部分，当这两部分面积之差最小时，直线l的方程是________．15. （1分） (2016高三上·江苏期中) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1 ， B2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1 ，则椭圆C的离心率是________．16. （1分） (2018高二上·南宁月考) 已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 ________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高二上·兴宁期中) 已知圆x2+y2=8内有一点P0（-1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦.（1）当α= 时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程(用直线方程的一般式表示)．18. （10分）(2012·浙江理) 如图，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（1）求椭圆C的方程；（2）求△APB面积取最大值时直线l的方程．19. （10分） (2017高二上·湖北期中) 为迎接2017年“双11”，“双12”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共100个，生产一个汤碗需5分钟，生产一个花瓶需7分钟，生产一个茶杯需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个汤碗可获利润5元，生产一个花瓶可获利润6元，生产一个茶杯可获利润3元．（1）使用每天生产的汤碗个数x与花瓶个数y表示每天的利润ω（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？20. （5分）(2017·邯郸模拟) 已知双曲线的两个焦点为的曲线C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为，求直线l的方程．21. （10分） (2016高一下·大连期中) 已知f（x）=2x2﹣3x+1，g（x）=k•sin（x﹣）（k≠0）．（1）设f（x）的定义域为[0，3]，值域为A； g（x）的定义域为[0，3]，值域为B，且A⊆B，求实数k的取值范围．（2）若方程f（sinx）+sinx﹣a=0在[0，2π）上恰有两个解，求实数a的取值范围．22. （5分）如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按逆时针方向排列），求点P的轨迹方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。

河北省石家庄市高二上学期期中数学试卷（理创班）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知M=dx,N=cosxdx，由图示程序框图输出的S为（）A . 1B . ln2C .D . 02. （2分） (2016高二下·广东期中) 已知复数z满足（1﹣i）z=2（i为虚数单位），则（）A . |z|=2B . z的实部为1C . z的虚部为﹣1D . z的共轭复数为1+i3. （2分） (2016高一上·东莞期末) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A . 8B .C .D .4. （2分） (2017高二下·榆社期中) 复数z= 的共轭复数的虚部为（）A . ﹣4iB . ﹣4C . 4iD . 45. （2分）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，其直观图如图丙，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A . a，bB . a，dC . c，bD . c，d6. （2分）若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A . 若m∥α，n∥α，则m∥nB . 若m⊥α，n⊥β，且α∥β，则m∥nC . 若α⊥β，m⊥α，则m∥βD . 若α⊥β，m⊥n，且m⊥α，则n⊥β7. （2分） (2015高二下·九江期中) 已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，＞0，若a=f（1），b=﹣2f（﹣2），c=（ln ）f（ln ），则a，b，c的大小关系正确的是（）A . a＜c＜bB . b＜c＜aC . a＜b＜cD . c＜a＜b8. （2分）(2012·北京) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A . 2B . 4C . 8D . 169. （2分）不等式|2x﹣1|＜1的解集为（）A . （﹣1，1）B . （﹣1，0）C . （0，1）D . （0，2）10. （2分）用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1= ，在验证n=1成立时，计算左边所得的项是（）A . 1B . 1+aC . a2D . 1+a+a211. （2分） (2018高二下·遵化期中) 已知函数，则（）A . 1B . -1C .D .12. （2分）已知直线ax-by-2=0与曲线在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为（）A .B . -C .D . -二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，如果a∥b∥c，a α，b β，c β，那么平面α与平面β的位置关系是________.14. （1分）已知函数f（x），对任意的x∈[1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈[1，2）时，f （x）=2﹣x．则方程在区间[1，100]上所有根的和为________ ．15. （1分）某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为________ cm2 ．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）16. （1分） (2017高三上·桓台期末) 给出以下四个结论：①函数的对称中心是（﹣1，2）；②若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是k≥2；③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的充分不必要条件；④若的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后为奇函数，则φ最小值是．其中正确的结论是________．三、解答题 (共5题；共35分)17. （10分） (2018高二下·吴忠期中) 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且.点是棱的中点，平面与棱交于点 .（1）求证：∥ ；（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.18. （5分） (2015高二下·屯溪期中) 已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2 ．19. （10分） (2015高二下·三门峡期中) 已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图像上的点P（1，f（1））处的切线方程为y=﹣3x+1．（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式；（2）函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．20. （5分）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（Ⅰ）当a=e时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性（Ⅲ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21. （5分）(2017·云南模拟) 已知f（x）=xlnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[4，+∞）是单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=ex﹣2ax﹣1﹣f（x），若函数h（x）有两个零点，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共35分) 17-1、17-2、19-1、19-2、20-1、21-1、。

石家庄市第一中学2017—2018学年度第一学期期中考试高二年级理科数学试题第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，，故答案为C.考点：1、一元二次不等式的解法；2、集合的基本运算.2. 命题:“”的否定是A. B.C. D.【答案】C【解析】全称命题的否定为存在命题，命题:“”的否定是.3. 在等比数列中，已知，则A. B. C. D.【答案】A【解析】设等比数列的公比为，，则，.若；若，选A.4. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.【答案】B5. 设是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是A. 若则B. 若则C. 若，则D. 若则【答案】D【解析】若则或，A错误；若则与平面可能平行可能相交，也可能在平面内，B错误；若，则或，C错误；若则，D正确，选D.6. 若下面框图所给的程序运行结果为,那么判断框中应填入的关于的条件是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时进入循环可得，此时进入循环可得到.依题意此时要退出循环，故选（D）.考点：1.程序框图.2.递推的思想.7. 已知菱形的边长为，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意得，设，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.考点：向量的数量积的运算.8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为△是边长为的正三角形，所以△外接圆的半径，所以点到面的距离为，又因为为球的直径，所以点到面的距离为，所以棱锥的体积为，故选A.考点：1、外接球的性质及圆内接三角形的性质；2、棱锥的体积公式.【方法点晴】本题主要考查外接球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式，属于难题.圆内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.9. 一只蚂蚁从正方体的顶点出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：最短距离是正方体侧面展开图，即矩形的对角线（经过）、或矩形的对角线（经过），故视图为②④.考点：最短距离.10. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而 2 /a +3 /b ="(2" /a +3 /b )="2a+3b" /6 ="13" /6 +(b/ a +a/ b )≥13/ 6 +2="25" /6 ，故2/ a +3/ b 的最小值为：25 /6 ． 11. 已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有个零点，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：,构造函数，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，由图象可知，当时，与的图象有三个公共点，故选C ．考点：1．函数与方程；2．数形结合思想；3．新定义函数问题．12. 已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，的重心为，内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，设，由三角形重心坐标公式可得重心，由，故内心的纵坐标为，在焦点中，，则，.选B.【点睛】这种求离心率问题椭圆和双曲线都有，都涉及到焦点三角形的重心和内切圆的圆心，都需要用到内切圆的半径的使用，使用方法就是借助焦点三角形面积相等解题，通过面积相等得出关于的等式，求出离心率.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不多于分钟的概率为___________．【答案】【解析】该人等待时间可能性有60分钟，则他等待整点时间不多于10分钟时间的可能性有10分钟，则他等待时间不多于分钟的概率为.14. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程为．现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为_______．【答案】【解析】设数据模糊看不清为数据.【点睛】本题考查线性回归方程及其性质，涉及函数与方程思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中等题型.首先根据定义求得，代入回归方程求得,利用平均数求得.15. 点，实数是常数，是圆上两个不同点，是圆上的动点，若关于直线对称，则面积的最大值是___________．【答案】【解析】圆的圆心为，在直线上，，圆的圆心为，半径为1，，直线AB的方程为，即，圆心到直线AB的距离为，面积的最大值是.【点睛】首先要明确一个基本常识，圆上有两个点关于一条直线对称说明这条直线必过圆心，根据这个结论可求出圆的方程中的参数k，进而求出元新坐标和圆的半径长，根据A、B的坐标求出AB的长，然后求出圆上一点到直线的距离的最大值，若何求圆上一点到直线的距离的最大值，只需求出圆心到直线的距离，这个距离加上半径就是圆上一点到直线的距离的最大值，这个距离减去半径就是圆上一点到直线的距离的最小值.16. 在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为_____________．①若，则与的夹角为锐角；②对，若，则；③若实数满足，则的最大值为；④函数的图像关于点对称．【答案】② ③ ④【解析】试题分析：当共线且同向，即与的夹角为锐角为时，所以①错误；②的逆否命题为“若且，则”为真命题，所以原命题为真命题，故②正确；的几何意义为圆上任意一点与定点连线的斜率，由数形结合可得斜率的最大值为，故③正确；由得，即函数的对称中心为，当时对称中心为，故④正确．考点：1．逻辑联结词与命题；2．向量的数量积；3．三角函数的图象和性质．【易错点睛】对于①易忽略两向量共线且同向而导致错误；对于②不知道从命题的逆否命题入手去解决问题，导致判断不清；对于不知道代数式的几何意义，无从下手，不能判断命题的真假．属中档题．三、解答题：本题共6小题，共70分．17. 函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出的最小正周期及图中的值；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值0，最小值-3【解析】试题分析：函数的最小正周期公式，利用解出值，第二个正数解为，并求出，根据的范围，求出的范围，在这个范围内考查函数的值的变化，给出最大值和最小值及取得最大值和最小值时的自变量x的值.试题解析：解：（Ⅰ）f(x)的最小正周期为T＝＝π，x0＝，y0＝3.（Ⅱ）因为x∈，所以2x＋∈，于是当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.【点睛】有关函数性质问题，首先是周期，利用所学的正弦函数的有关性质来研究函数性质，可以看成与两个函数复合函数去解决；当有确定的范围时，注意范围优先讨论，在范围内借助正弦函数图象研究解决问题.18. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如右图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（Ⅲ）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【答案】（1）0.03（2）544（3）【解析】试题分析：（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1建立关于a的等式，解之即可求出所求；（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求；（3）成绩在[40，50）分数段内的人数，以及成绩在[90，100]分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．试题解析：(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.解得a=0.03(2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),( D,F),(E,F)共15种.…(9分)如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)=.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19. 如图1，在直角梯形中，，，点为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：解析：（1）在图1中，可得，从而，故.取中点连结，则，又面面，面面，面，从而平面.∴，又，.∴平面.（2）建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，.设为面的法向量，则即，解得. 令，可得.又为面的一个法向量，∴.∴二面角的余弦值为.（法二）如图，取的中点，的中点，连结.易知，又，，又，.又为的中位线，因，，，且都在面内，故，故即为二面角的平面角.在中，易知；在中，易知，.在中.故.∴二面角的余弦值为.考点：棱锥中的垂直以及二面角的平面角点评：主要是考查了运用向量法来空间中的角以及垂直的证明，属于基础题。

2018-2019学年河北省石家庄一中高二(上)期中数学试卷(理科)一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}30M x x =->，{}1,2,3,4,5N =，则M N =（ ）A. {}1,2,3B. {}3,4,5C. {}1,2D. {}4,5【★★答案★★】C 【解析】 【分析】根据交集的定义求解NM 的值即可【详解】解：{}{}303M x x x x =->=<，{}1,2,3,4,5N =， ∴{}1,2MN =，故选：C .【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2. 已知命题:12p x -<<，2:log 1q x <，则p 是q 成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【★★答案★★】B 【解析】 【分析】先解出对数不等式，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】解：由2:log 102q x x <⇒<<，由12x -<<不能够推出02x <<，但由02x <<一定得12x -<<， 所以p 是q 的必要不充分条件， 故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题.3. 已知两点()3,2M ，()5,5N --，12MP MN =，则P 点坐标是（ ） A. ()8,1-B. 31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()8,1-【★★答案★★】B 【解析】 【分析】设点(),P x y ，利用平面向量的坐标运算列方程组求出x ､y 的值. 【详解】解：设点(),P x y ，由点()3,2M ，()5,5N --， 所以()3,2MP x y =--，()8,7MN =--，又12MP MN =， 所以34722x y -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，则P 点坐标是31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，是基础题. 4.直线310x -+=的倾斜角是（ ） A. 30°B. 60°C. 120°D. 135°【★★答案★★】B 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为=60°.故选：B【点睛】本小题主要考查直线倾斜角的求法，属于基础题.5. α是一个平面，,m n 是两条直线，A 是一个点，若m α⊄，n ⊂α，且A m ∈，A α∈，则,m n 的位置关系不可能是( ) A. 垂直B. 相交C. 异面D. 平行【★★答案★★】D 【解析】a 是一个平面，,m n 是两条直线，A 是一个点，,m a n a ⊄⊂，,A m A a ∈∈，A ∴是m 和平面a 相交的点，m 与平面a 相交，又n 在平面a 内，m ∴和n 异面或相交，一定不平行，故选D .6. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A.23B. 1C.43D.83【★★答案★★】C 【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选C .7. 函数()()cos f x x ωϕ=+(ω，ϕ常数，0>ω，2πϕ<)的部分图象如图所示，为得到函数sin y x ω=的图象，只需将函数()f x 的图象（ ）A. 向右平移23π个长度单位 B. 向右平移3π个长度单位 C. 向左平移6π个长度单位D. 向左平移3π个长度单位【★★答案★★】B 【解析】 【分析】利用最值和周期可得A ，ω，利用五点法可得ϕ，再通过诱导公式及函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律可得结论.【详解】解：根据函数()()cos f x x ωϕ=+(ω，ϕ常数，0>ω，2πϕ<)的部分图象，可得1A =，12254312πππω⋅=-，∴2ω=. 再根据五点法作图，可得5212πϕπ⨯+=，故6π=ϕ，函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.为得到函数sin sin 2cos 22y x x x πω⎛⎫===- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()f x 的图象向右平移3π个长度单位即可. 故选：B.【点睛】本题主要考查已知图像求函数()sin y A ωx φ=+的解析式，考查诱导公式的应用，函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于中档题.8. 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术是用来求两个数的最大公约数的方法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的168y =，72x =，则输出的2k d 为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 9【★★答案★★】B 【解析】 【分析】根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2k d 的值，模拟程序的运行过程，可得★★答案★★. 【详解】解：输入的168y =，72x =，0k =时，满足进行第一个循环的条件，1k =，84y =，36x =；1k =时，满足进行第一个循环的条件，2k =，42y =，18x =；2k =时，满足进行第一个循环的条件，3k =，21y =，9x =； 3k =时，不满足进行第一个循环的条件，12d =，满足进行第二个循环的条件，满足d x >，12y =；3d =，满足进行第二个循环的条件，不满足d x >，9y =，3x =； 6d =，满足进行第二个循环的条件，不满足d x >，6y =，3x =；3d =，不满足进行第二个循环的条件，故输出的3k =，3d =，224k d =，故选：B.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题. 9. 若不等式2162a b x x b a+<+对任意a ， (0,)b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A. (2,0)- B. (4,2)-C. (,2)(0,)-∞-+∞ D. (,4)(2,)-∞-⋃+∞【★★答案★★】B 【解析】 【分析】 由基本不等式求出16a b b a+的最小值8，然后解不等式228x x +<即得． 【详解】∵不等式2162a bx x b a+<+对任意a ， (0,)b ∈+∞恒成立，∴2min 162a b x x b a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，∵168a b b a +≥=，当且仅当16a b b a =，即4a b =时取等号，∴168min a b ba ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴228x x +<，∴42x -<<，∴实数x 取值范围是(4,2)-， 故选：B.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，由于参数已经分离，因此只要求得16a bb a+的最小值，解相应不等式即可得．10. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan a b c B -+=，则角B 的值为（ ） A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π 【★★答案★★】D 【解析】 【分析】先根据余弦定理进行化简，进而得到sin B 的值，再由角的范围和正弦函数的性质可得到最后★★答案★★．【详解】解：由()222tan a c b B +-=，∴222cos 22sin a c b Bac B+-=，即cos cos 2sin BB B=，因为tan B 有意义，所以cos 0B ≠，sin 0B >， ∴sin B =，又在ABC 中，所以B 为3π或23π ， 故选:D ．【点睛】本题主要考查余弦定理的应用．考查计算能力，属于基础题．11. 在三棱锥A BCD - 中，底面BCD 是边长为 2 的正三角形，顶点 A 在底面BCD 上的射影为BCD ∆的中心，若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ） A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π【★★答案★★】D 【解析】∵定点A 在底面BCD 上的射影为三角形BCD 的中心， 而且底面BCD 是正三角形，∴三棱锥A ﹣BCD 是正三棱锥，∴AB=AC=AD ， 令底面三角形BCD 的重心（即中心）为P ，∵底面BCD 为边长为2的正三角形，DE 是BC 边上的高，∴DE=3，∴PE=3，DP=23∵直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为22，即tan 22AEP ∠= ∴AP=263， ∵AD 2=AP 2+DP 2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为2， ∴正方体的对角线长为6，∴外接球的半径为62. ∴外接球的表面积=4πr 2=6π． 故选D.点睛：设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为,,a b c 则其体对角线长为222a b c ++;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为,,a b c ，则其外接球半径公式为: 22224R a b c =++.12. 已知函数()11(,2){2(2)[2,)x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，设方程()122x f x -=的根从小到大依次为12,,,,,n x x x n N *∈，则数列{}()n f x 的前n 项和为 （ ）A. 2nB. 2n n +C. 21n -D. 121n +-【★★答案★★】C 【解析】试题分析：由()f x 的定义知，当0x ≤时，()0f x ≤， 当[22,21]x n n ∈--时，()f x 单调递增，当时，()f x 单调递减，其中*n N ∈，1(21)2n f n --=，又函数12()2x g x -=是R 上的增函数，因此方程12()2x f x -=的解为21,*n x n n N =-∈，1()2n n f x -=，所以12()()()n f x f x f x +++112221n n -=+++=-，选C.考点：分段函数的性质，数形结合思想，函数与方程思想，等比数列的和．二､填空题(每题5分，满分20分，将★★答案★★填在答题纸上)13. 若,x y 满足约束条件2214y y x x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≥-⎩，则z x y =-的最大值为__________．【★★答案★★】2 【解析】约束条件2214y y x x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≥-⎩对应的区域为三角形ABC 区域，由3(,2),(6,2),(1,3)2A B C --- ，由z x y =-得y x z =- ，当经过点C 时，截距最小，z x y =-取最大，为1(3)2z x y =-=---=.14. 函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为______________. 【★★答案★★】[]1,1- 【解析】 【分析】利用两角和与差的三角函数，化简已知表达式，再利用余弦函数的值域求出它的值域即可. 【详解】解：函数()1sin cos sin sin cos 626f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵[]cos 1,16x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴函数的值域为：[]1,1-. 故★★答案★★：[]1,1-.【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，余弦函数的值域，属于基本知识的考查. 15. 下列命题正确的是______________(写出所有正确命题的序号). ①已知a ，b R ∈，“1a >且1b >”是“1ab >”的充要条件；②已知平面向量a ，b ，“1a >且1b >”是“1a b +>”的必要不充分条件； ③已知a ，b R ∈，“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件； ④命题p ：“0x R ∃∈，001x e x ≥+”的否定为p ⌝：“x R ∀∈，1x e x <+”.【★★答案★★】③④ 【解析】 【分析】①②③根据充分必要条件的概念即可判断正误，④ 根据特称命题的否定即可判断.【详解】对于①，当“1a >且1b >”，可以得出1ab >；当1ab >时，无法得到1a >且1b >，如4a =，12b =，所以“1a >且1b >”是“1ab >”的必要性不成立，①错误； 对于②，当1a b +>时，无法得到1a >且1b >，如4a =，12b =且a ，b 反向相反，1a >且1b >也得不出1a b +>，所以1a >且1b >”是“1a b +>”既不充分也不必要条件，故② 错误；对于③，当221a b +≥时，()22221a ba b a b +=++⋅≥，∴1a b +≥，故充分性成立；当1a b +≥时，无法得到221a b +≥，如12a =，12b =，故必要性不成立； ∴“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件，故③正确；对于④，根据命题的否定的定义可得p ⌝：“x R ∀∈，1x e x <+”.故④ 正确. 故★★答案★★为：③④【点睛】本题考查充分必要条件的概念，特称命题的否定，属于基础题.16. 设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且123PF PF =，则该双曲线的离心率为__________.1 【解析】 【分析】取2PF 的中点A ，由()220OP OF F P +⋅=，可得2OA F P ⊥，由OA 是12PF F △的中位线，得到12PF PF ⊥，由双曲线的定义求出1PF 和2PF 的值，进而在12PF F △中，由勾股定理可得结论.【详解】解：取2PF 的中点A ，则 ∵()220OP OF F P +⋅=， ∴220OA F P ⋅=， ∴2OA F P ⊥，∵OA 是12PF F △的中位线， ∴12PF PF ⊥，112OA PF =. 由双曲线的定义得122PF PF a -=， ∵123PF PF =， ∴231PF =-，12331aPF =-. 12PF F △中，由勾股定理得222124PF PF c +=，∴2222343131a c +=--， ∴31e =.31.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断12PF F △是直角三角形，是解题的关键.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知圆22:9O x y +=及点()2,1C ，过点C 的直线l 与圆O 交于P ､Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求直线l 的方程.【★★答案★★】30x y +-=或7150x y +-= 【解析】 【分析】求出直线的斜率不存在时OPQ △的面积；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程，再设圆心到直线的距离为d ，把OPQ △的面积用含有d 的代数式表示，利用基本不等式求最值可得d ，再由点到直线的距离公式求直线的斜率，则直线方程可求. 【详解】解：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =， 则P ，Q的坐标分别为(，(2,.∴122OPQ S =⨯⨯=△； 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为()1122y k x k ⎛⎫-=-≠⎪⎝⎭， 则圆心到直线PQ的距离为d =且PQ =，则119222OPQ S PQ d d =⨯⨯=⨯=≤=△.当且仅当229d d -=，即292d =时，OPQS 取得最大值92. ∵92<，∴OPQ S 的最大值为92. 此时，由22441912k k k -+=+，解得7k =-或1k =-.则直线l 的方程为30x y +-=或7150x y +-=.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查分类讨论的数学思想方法，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题.18. 已知两个数列{}n a ，{}n b ，其中数列{}n a 是公差为d 的等差数列，点(),n n a b 在函数()2x f x =的图象上()*n N ∈，若11a =，则点()87,2a b 在函数()2x f x =的图象上.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式n a ，n b ； （2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【★★答案★★】（1）n a n =，2nn b =；（2）1222n n nn T +--=. 【解析】 【分析】（1）先利用题设条件得到数列{}n a 相邻项之间的关系式求得公差d ，即可求得n a ，再由n a 与n b 的关系式求得n b ； （2）先由（1）求得nna b ，再利用错位相减法求其前n 项和. 【详解】解：（1）由已知得：772ab =，88722a b b ==，∴77812222a a a +=⨯=，871a a =+，∴871d a a =-=，又∵11a =，2n an b =，∴n a n =，2nn b =；（2）由（1）可得：2n n n a n b =， 又231123122222n n n n n T --=+++⋯++， 2112321222n n nT -=+++⋯+，∴12111111222122222222n n n n n n n nn n n T T +-----=+++⋯+-=--=，∴1222n n nn T +--=. 【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题.19. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()2cos a b B b c =≠.（1）证明：2A B =；（2）若222sin a c b ac C +=+，求角A . 【★★答案★★】（1）证明见解析；（2）4A π=.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得sin sin 20A B =>，可得2A B =，或2A B π+=，分类讨论即可证明2A B =；（2）由已知利用余弦定理得cos sin B C =，可得2C B π=-，或2C B π=+，分类讨论即可求解A 的值.【详解】（1）证明：ABC 中，2cos a b B =， 由sin sin a bA B=，得sin 2sin cos sin 2A B B B ==， ∵0A <，B π<， ∴sin sin 20A B =>， ∴02B π<<，∴2A B =，或2A B π+=，若2A B π+=，则B C =，b c =，这与“b c ≠”矛盾， ∴2A B π+≠， ∴2A B =；（2）∵2222sin a c b ac C +=+，∴222sin 2a c b C ac+-=，由余弦定理得cos sin B C =， ∵0B <，C π<， ∴2C B π=-，或2C B π=+，①当2C B π=-时，则2A π=，4B C π==，这与“b c ≠”矛盾，∴2A π≠， ②当2C B π=+时，由（1）得2A B =，b c ≠，∴2222A B C A B A πππ++=++=+=，∴4A π=.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，M ，N 分别为PC 和AD 的中点，已知60DAB ∠=︒，2AB =，PA PD =，2MN MB ==.（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角D PC B --的余弦值. 【★★答案★★】（1）证明见解析；（2）7-【解析】 【分析】（1）连结PN ，NB ，NC ，推导出PNAD ，BN AN ⊥，从而AD ⊥平面PNB ，进而AD PB ⊥，PB BC ⊥，推导出PN NC ⊥，PNAD ，从而PN平面ABCD ，由此能证明平面PAD ⊥平面ABCD .（2）以N 为原点，以NA ，NC ，NP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D PC B --的余弦值. 【详解】证明：（1）连结PN ，NB ，NC ，如图， ∵PA PD =，N 为AD 的中点，故PNAD ，又60DAB ∠=︒，2AB =，N 为AD 的中点，∴1AN =， ∴BN AN ⊥，又PN NB N ，∴AD ⊥平面PNB ，∴AD PB ⊥，又//AD BC ，∴PB BC ⊥， 在Rt PBC 中，斜边上的中线2BM =∴22=PC在PNC △中，122MN PC ==∴PNC △为直角三角形，且PN NC ⊥， 又PN AD ，ADNC N =∴PN平面ABCD ，又PN ⊂平面PAD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）∵PA PD =，∴PNAD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PN平面ABCD ，则PN ，AD ，NB 两两垂直，以N 为原点，以NA ，NC ，NP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，()1,0,0A ，()0,3,0B，()1,0,0D -，()2,3,0C -，()1,0,1PD =--，()1,3,0DC =-，()0,3,1PB =-，()2,0,0BC =-设平面DPC 的法向量为(),,n x y z =，则030n PD x z n DC x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3x =，得()3,1,3n =-，设(),,m x y z =是平面PCB 的法向量，则3020m PB y z m BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1y =，得()0,1,3=m ， ∴7cos ,772n m n m n m⋅==-=-⨯⋅.∴二面角D PC B --的余弦值为7-.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线､线面､面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题. 21. 已知向量33cos,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()1f x a b m a b =⋅-++，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，m R ∈.（1）当0m =时，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若()f x 的最小值为1-，求实数m 的值； （3）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.【★★答案★★】（1）32；（2（374m ≤<. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可；（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可； （3）由()0g x =得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可. 【详解】解：（1）33333cos ,sin cos ,sin cos cos sin sin cos cos 22222222222x x x x x x x x x x a b x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0m =时，()1cos21f x a b x =⋅+=+， 则13cos 21cos 1166322f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴2222cos2co a b a a b b+=+⋅+===，则()21cos22cos12cos2cosf x a b m a b x m x x m x=⋅-++=-+=-，令cost x=，则112t≤≤，则222y t mt=-，对称轴2mt=，① 当122m<，即1m<时，当12t=时，函数取得最小值，此时最小值112y m=-=-，得32m=(舍)，② 当1122m≤≤，即12m≤≤时，当2mt=时，函数取得最小值，此时最小值2212my m=-=-，得m=，③ 当12m>，即2m>时，当1t=时，函数取得最小值，此时最小值221y m=-=-，得32m=(舍)，综上若()f x的最小值为1-，则实数m=；（3）令()22242cos2cos049g x x m x m=-+=，得3cos7mx=或47m，∴方程3cos7mx=或47m在,34xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有四个不同的实根，则312741273477mmm m≤<⎪≤<⎨⎪⎪≠⎪⎪⎩，得763784mmm⎧≤<⎪⎪⎪⎪≤<⎨⎪≠⎪⎪⎪⎩74m≤<，即实数m的取值范围是764m≤<.【点睛】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度.22. 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程.（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(),0a -，点()00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=，求0y 的值.【★★答案★★】（1）2214x y +=；（2）0y =±或05y =±. 【解析】 【分析】（1）由离心率求得a 和c 的关系，进而根据222c a b =-求得a 和b 的关系，进而根据12242a b ⨯⨯=求得a 和b ，则椭圆的方程可得. （2）由（1）可求得A 点的坐标，设出点B 的坐标和直线l 的斜率，表示出直线l 的方程与椭圆方程联立，消去y ，由韦达定理求得点B 的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，设线段AB 的中点为M ，当0k =时B 点的坐标是()2,0，线段AB 的垂直平分线为y 轴，进而根据4QA QB ⋅=求得0y ；当0k ≠时，可表示出线段AB 的垂直平分线方程，令0x =得到0y 的表达式根据4QA QB ⋅=求得0y ；综合★★答案★★可得.【详解】解：（1）由c e a ==，得2234a c =. 再由222c a b =-，解得2a b =. 由题意可知12242a b ⨯⨯=，即2ab =. 解方程组22a bab =⎧⎨=⎩得2a =，1b =.所以椭圆的方程为2214x y +=.（2）由（1）可知点A 的坐标是()2,0-. 设点B 的坐标为()11,x y ，直线l 的斜率为k . 则直线l 的方程为()2y k x =+.于是A ､B 两点的坐标满足方程组()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩. 消去y 并整理，得()()222214161640kxk x k +++-=.由212164214k x k --=+，得2122814k x k-=+.从而12414k y k =+. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为22282,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.以下分两种情况：①当0k =时，点B 的坐标是()2,0， 线段AB 的垂直平分线为y 轴， 于是()02,QA y =--，()02,QB y =-. 由4QA QB ⋅=，得0y =±.②当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2222181414k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭.令0x =，解得02614ky k =-+.由()02,QA y =--，()110,QB x y y =-，()10102QA QB x y y y ⋅=---()2222222864614141414k k k k k k k k --⎛⎫=++ ⎪++++⎝⎭()()4222416151414k k k +-==+，整理得272k =.故7k =±.所以05y =±.综上，0y =±或05y =±. 【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线的方程､直线的倾斜角､平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查综合分析与运算能力.综合性强，难度大，易出错.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

石家庄市第一中学2018—2019 学年度第一学期期中考试高二年级数学(理)试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

第I卷（选择题，共60 分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上．1．已知集合M={x3 -x > 0}，N={1, 2, 3, 4, 5}，则M N=（）A．{1, 2, 3} B．{3, 4, 5} C．{1, 2} D．{4, 5}2．已知命题p : -1<x <2,q : log2 x <1, 则p 是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件13．已知两点M(3,2)，N(-5,-5)，M P =MN ，则P点坐标是（）2A．(-8,1) B．(-1,-3)2C．(1,3)2D．(8,-1)4. 直线3x - 3y+1= 0 的倾斜角是( )A．30°B．60°C．120°D．135°5.α是一个平面，m,n 是两条直线，A是一个点．若m⊄α，n ⊂α，且A∈m A∈α，则m,n 的位置关系不可能是( )A．垂直B．相交C．异面D．平行6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A ．2 B ．1C ．4 D ． 83337．函数 f ( x ) = cos(ωx +ϕ)(ω，ϕ是常数，ω> 0 ,ϕ < π)的部分图象如图所示，为得到函数 y = sin ωx2的图象,只需将函数 f ( x ) 的图象( )A ．向右平移 2π个长度单位B ．向右平移 3π个长度单位3⎨C ．向左平移 π个长度单位D ．向左平移 6π个长度单位38．《九章算术》是中国古代的数学专著， 其中有“更相减损术”是用来求两个数的 最大公约数的，下图是实现该算法的程序 框图．执行该程序框图，若输入的y = 168, x = 72 ，则输出的 2k d 为（A ．12B ． 24C ． 36D ． 99. 若不等式 x 2 + 2 x < a +16b 对任意b aa ,b ∈ (0,+∞) 恒成立，则实数 x 的取值范围是 （ ）A . (-2,0)B . (-∞,-2) (0,+∞)C . (-4,2)D . (-∞,-4) (2,+∞)10.在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , c ,若 (a 2 + c 2 - b 2 ) tan B = 3ac , 则角 B 的值为（）ππ A .B ． 63 π 5π C ． 或 6 6 π 2πD ． 或3 311．在三棱锥 A - BCD 中，底面 B CD 为边长为 2 的正三角形，顶点 A 在底面 B CD 上的射影为 ∆BCD 的中心，若 E 为 BC 的中点，且直线 AE 与底面 B CD 所成角的正切值 为 ，则三棱锥 A - BCD 外接球的表面积为()A ． 8πB ．12πC ． 6πD ． 4π312.已知函数 f ( x ) = ⎪⎧1 - 1 - x , x ∈ (-∞, 2) ⎪⎩2 f (x - 2) , x ∈[2, +∞) x -1 ，设方程 f ( x ) =2 的根从小到大依次为x 1 ， x 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， x n ， n ∈ Ν ，则数列{ f ( x )} 的前 n 项和是 （ ）nA ． n2B ． n2+ n C ． 2n- 1 D ． 2n +1-1⎨ ⎩0 第 I I 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本题共 4 小题，共 20 分.把正确答案填在答题卡上．⎧ y ≤ 2， 13．若 x , y 满足约束条件 ⎪y ≥ 2x - 1， ,则 z = x - y 的最大值为．⎪ x + y ≥ -4． 14． 函数 f ( x ) = sin x + cos ⎛ x + π⎫的值域为 . 6 ⎪⎝ ⎭15．下列命题正确的是 （写出所有正确命题的序号）．①已知 a , b ∈ R ，“ a > 1且b > 1 ”是“ a b > 1 ”的充要条件；②已知平面向量 a , b ,“ a > 1 且 b > 1 ”是“ a + b > 1 ”的必要不充分条件；③已知 a , b ∈ R ，“ a 2 + b 2 ≥ 1 ”是“ a + b ≥ 1 ”的充分不必要条件；④命题 p ：“ ∃x∈ R , e x≥ x+1 ”的否定为 ⌝p ：“ ∀x ∈ R , e x < x + 1 ”．x 2 y 216．设F 1 , F 2 分别是双曲线 a 2 - b 2= 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P ，使 (OP + OF 2 ) ⋅ F 2 P = 0 （ O 为坐标原点），且| PF 1 |=则该双曲线的离心率为． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． PF 2 | ，17．(本小题满分 10 分）已知圆 O : x 2 + y 2= 9 及点 C (2,1) ，过点 C 的直线 l 与圆 O 交于 P , Q 两点， 当 ∆OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程．18. (本小题满分 12 分）已知两个数列{a n } ，{b n } ，其中数列{a n } 是公差为 d 的等差数列，点 ( a n , b n ) 在函数 f ( x ) = 2x 的图象上 (n ∈ N *) ．若 a = 1 ，则点 ( a , 2b ) 在函数 f ( x ) = 2x 的图象上. 1 8 7（Ⅰ）求数列{a n } 和{b n } 的通项公式 a n , b n ；⎧ a ⎫（Ⅱ）求数列n的前 n 项和T ．⎨ ⎬n⎩b n ⎭19．(本小题满分 12 分）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 a = 2b cos B( b ≠ c ).（Ⅰ）证明： A = 2B ;（Ⅱ）若 a 2 + c 2 = b 2 + 2ac sin C ，求角 A .20.(本小题满分 12 分）如图四棱锥 P - ABCD 中，底面 A BCD 为菱形， M 为 P C 的中点，已知 ∠DAB = 60︒ ， A B = 2 ，P A = PD = MB = ．（Ⅰ）证明：平面 P AD ⊥ 平面 A BCD ；（Ⅱ）求二面角 D - PC - B 的余弦值．21. (本小题满分 12 分）已知向量 a = (cos3x , s in 3x b = (cos x ,- s in x) ，函数 f ( x ) = a b 1 ， 2 2 2 2⎡ π π⎤x ∈ ⎢- 3 , 4 ⎥, m ∈ R .⎣ ⎦π(Ⅰ)当 m = 0 时，求f ( 的值； 6（Ⅱ）若 f ( x ) 的最小值为 - 1 ，求实数m 的值；⎡ π π⎤（Ⅲ）是否存在实数 m ，使函数 g ( x ) = f ( x ) +24 m 2，x ∈ ⎢- , ⎥ 有四个不同 49的零点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由．22．(本小题满分 12 分）2 2⎣ 3 4 ⎦x y 已知椭圆 + a 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为e = ，连接椭圆的四个顶点得到的 2菱形的面积为 4 ． (Ⅰ)求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A , B ．已知点 A 的坐标为 (-a , 0) ， 点 Q (0, y 0 ) 在线段 A B 的垂直平分线上，且 Q A ⋅ Q B = 4 ．求 y 0 的值．石家庄市第一中学2018—2019学年度第一学期期中考试高二年级数学(理)试题答案一、选择题：C B B BD C B B C D C C 二、填空题：13．2 14． []1,1- 15．③④1三、解答题：17．解：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为2=x ，则P ，Q 的坐标分别为()5,2，()5,2-，所以5252221=⨯⨯=OPQ S ∆. .......... 2分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为()⎪⎭⎫ ⎝⎛≠-=-2121k x k y ，则圆心到直线PQ 的距离为1212+-=k kd ， .......... 4分且292d PQ -=， .......... 6分 则()29299922121222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤-=⨯-⨯=⨯⨯=d d d d d d d PQ S OPQ∆ 当且仅当229d d =-，即292=d 时，O PQ S ∆取得最大值29. .......... 8分 因为2952<，所以O PQ S ∆的最大值为29，此时，由29114422=++-k k k ， 解得7-=k 或1-=k ，则直线l 的方程为03=-+y x 或0157=-+y x . .......... 10分18. 解：(Ⅰ)由已知得，772a b =，88722a b b ==，所以87712222a a a +=⨯=，解得871d a a =-=， …………2分所以n n n b n a 2,==. …………6分 （Ⅱ）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 的通项公式为n n n nb a 2=，所以n n n nn T 221232221132+-++++=- ，1222322112-++++=n n nT ，因此，n n n n n n n n n n n T T 22222122212121121112--=--=-++++=-+-- .所以，nn n n T 2221--=+. …………12分19分 分分分20.解：(Ⅰ)取的中点连接，，由，故，又60DAB ∠=︒，2AB =，N 为AD 的中点，所以1=AN ，故AN BN ⊥，3=BN所以AD ⊥平面PNB ，得PB AD ⊥，又AD //BC ,所以BC PB ⊥，……2分 在直角三角形PBC 中，斜边上的中线2=BM ，所以斜边22=PC ，2==BC PB在三角形PNB 中，3,2,1===NB PB PN ,222PB NB PN =+， 即NB PN ⊥，又AD PN ⊥,所以PN ⊥平面ABCD ，又PN ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面ABCD . ………4分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知PN ，AD ，NB 两两垂直，故以N 为原点，以NA 的方向为x 轴正方向，NB 的方向为y 轴正方向，以NP 的方向为z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系N xyz -．()0,0,1P ，()1,0,0A，()B ，()1,0,0D -，()C - .....… 8分设=n ()111,,x y z 为平面DPC 的一个法向量，则00PD DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即111100x z x --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，可取()3,-n =，设m ()222,,x y z =为平面PCB 的一个法向量，则0PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即222020z x -=-=⎪⎩，可取(m =. ......… 10分∴cos ,=n m |⋅=n m |n ||m -所以二面角D PC B --的余弦值为 ..........… 12分 21. 解：(Ⅰ),2cos 223cos 2sin 23sin 2cos 23cos 2sin ,2cos 23sin ,23cos x x x x x x x x x x x =⎪⎭⎫⎝⎛+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅当0=m 时，()12cos 1+=+⋅=x x f ， 则2312113cos 162cos 6=+=+=+⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⎪⎭⎫⎝⎛πππf ； ........4分（Ⅱ）∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ，x x x cos 2cos 42cos 222==+=+，则()x m x x m x b a x f cos 2cos 21cos 22cos 12-=+-=++-⋅=， 令x t cos =，则121≤≤t ，则mt t y 222-=，对称轴2m t =，①当212<m ，即1<m 时， 当21=t 时，函数取得最小值此时最小值121-=-=m y ，得23=m （舍），②当1221≤≤m，即21≤≤m 时， 当2m t =时，函数取得最小值此时最小值122-=-=m y ，得2=m ， ③当12>m，即2>m 时，当1=t 时，函数取得最小值此时最小值122-=-=m y ，得23=m （舍），综上,若()x f 的最小值为1-，则实数2=m ． .........9分（Ⅲ）令()04924cos 2cos 222=+-=m x m x x g ，得73cos m x =或74m ， ∴方程73cos m x =或74m 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx 上有四个不同的实根，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠<≤<≤74731742217322m m m m，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<≤≠47827376270m m m ，则47627<≤m ， 即实数m 的取值范围是47627<≤m ． ........12分 22．解：(Ⅰ)由23==a c e ，得2243c a =，再由222b a c -=，得b a 2=，-----2分由题意可知42221=⨯⨯b a ，即2=ab ．解方程组⎩⎨⎧==22ab b a ，得2=a ，1=b ，所以椭圆的方程为1422=+y x ． ...............4分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知()0,2-A ，且直线l 的斜率必存在．设B 点的坐标为()11,y x ，直线l 的斜率为k ，则l 的方程为()2+=x k y ．于是A ，B 两点的坐标满足方程组()⎪⎩⎪⎨⎧+==+21422x k y y x由方程消去y 并整理，得()()041616412222=-+++k x k x k ．由221414162k k x +-=-，得2214182kk x +-=，从而21414k k y +=．设线段AB 的中点为M ， 则M 点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-222412,418k k k k ． ...........6分以下分两种情况：①当0=k 时，点B 的坐标为()0,2，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是()0,2y --=，()0,2y -=． 由4=⋅，得220±=y ．....8分 ②当0≠k 时，线段AB 的垂直平分线方程为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-2224181412k k x k k k y ．令0=x ，解得20416k k y +-=． 由()0,2y --=，()011,y y x -=，()()()()4411151644164144164182222224222220101=+-+=⎪⎭⎫⎝⎛++++++--=---=⋅k k k k k k k k k k k y y y x QB QA ，整理得272=k ．故714±=k ， ......10分 所以51420±=y ． 综上，220±=y 或51420±=y . .......12分。

河北省石家庄市第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题理 新人教A 版第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合211{|log ,2},{|(),01}22x A y y x x B y y x ==<<==<<，则A B 为 A ．)21,0( B ．(0,2) C ．),21(+∞ D ．1(,1)22．已知(,)2παπ∈，3tan 4α=-，则sin()απ+等于A ．35B ．35-C ．45D ．45-3．已知函数123,1,()log , 1.x x f x x x +⎧≤=⎨>⎩若()30>x f ，则0x 的取值范围是A ．80>xB ．001x <≤或80>xC ．800<<xD ．-1<00<x 或800<<x ． 4．已知10.20.7321.5, 1.3,()3a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<5．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题：①m n m n ''⊥⇒⊥；②m n m n ''⊥⇒⊥；③m '与n '相交⇒m 与n 相交或重合；④m '与n '平行⇒m 与n 平行或重合．其中不正确的命题个数是Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 6．直线1cos sin =+θθy x 与圆9)1(22=+-y x 的公共点的个数为（ ）A ．0、1或2B ．2C ．1D ．0 7．设点P 、Q 为ABC ∆边或内部的两点，且2155AP AB AC =+， AQ =23AB +13AC ，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 A ．15 B ． 35 C ． 14D ．13 8．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sin cos 222A B C +-=，且c =则△ABC 的面积的最大值为A B C D 9．已知A 、B 、C 是圆O ：221x y +=上三点，且OA OB OC +=，则AB OA ⋅=A ．23-B ．23C ．23-D ．2310．设离心率为e 的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是 A ．221k e -> B ．221k e -< C ．221e k -> D 221e k -< 11．有下面四个判断：①命题：“设a 、b R ∈，若6a b +≠，则33a b ≠≠或”是一个假命题； ②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题；③命题“a ∀、22,2(1)b R a b a b ∈+≥--”的否定是：“a ∃、22,2(1)b R a b a b ∈+≤--”；④若函数2()ln()1f x a x =++的图象关于原点对称，则3a =， 其中正确的个数共有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12．已知双曲线2213y x -=上存在两点,M N 关于直线y x m =+对称，且MN 的中点在抛物线29y x =上，则实数m 的值为A ．4B ．4-C ．0或4D ．0或4-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ＊＊＊ ．14．执行如图的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是＊＊＊ ．15．设1>m ，在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数y x z 5+=的最大值为4，则m 的值为__＊＊＊___．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（本小题满分10分）设命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x )0(>a ；命题:q 实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-->-+0608222x x x x ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围？18．（本小题满分12分）已知公差不为０的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1{}nS 的前n 项和公式．19．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，2(2s i n ,)O A a x a =，(1,cos 1)OB x x =-+， ()f x OA OB b =⋅+（a b <且0a ≠）．（1）求()y f x =的单调递增区间；（2）若()f x 的定义域为[,]2ππ，值域[2,5]，求,a b 的值．20．（本小题满分12分）如图，设P 是圆2522=+y x 上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且PD MD 54=． （1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （2）求过点)0,3(且斜率为54的直线被C 所截线段的长度． 21．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //，222===CD AD AB ．E 是PB 的中点．（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）若二面角E AC P --的余弦值为PA 与平面EAC 所成角的正弦值．22．（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合，椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ，53PF =． （1）求椭圆1C 的方程；（2）若过点()1,0A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立的动点R 的轨迹方程；（3）若点R 满足条件（2），点T 是圆()2211x y -+=上的动点，求RT 的最大值．13.DA CEPB14.、720 15. 316. ①③④17. 解：由命题p 得(3)()0x a x a --<，由命题q 得2228042,2323,60x x x x x x x x ⎧+-><->⎧⎪⇒⇒<≤⎨⎨-≤≤--≤⎪⎩⎩或 由此分析，只有0>a 才可能，所以对于p ：3a x a << 设(](,3),2,3A a a B ==p 是q 的必要不充分条件故A B ⊇，23a a ∴≤>且3 又0>a ，故12a <≤18.所以数列1{}nS 的前n 项和为2354(1)(2)n n n n +++. …………………12分19. 解：（1）2()2sin sin cos f x OA OB b a x x x a b =+=-++2sin(2)26a x ab π=-+++。