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2017_2018学年高中数学2.2直线平面平行的判定及其性质2.2.4平面与平面平行的性质课时作业新人教A版必修2201

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第二章2.22.2.4 平面与平面平行的性质A级基础巩固一、选择题1．若AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(A)A．平行C．AC在此平面内D．平行或相交B．相交

[解析]利用中位线性质定理得线线平行，进而得直线与平面平行．2．已知平面α∥平面β，P∉α，P∉β，过点P的两直线分别交α、β于A、B和C、D四点，A、C∈α，B、D∈β，且PA＝6，AB＝2，BD＝12，则AC之长为(C)A．10或18B．9C．18或9D．6

[解析]由PA＝6，AB＝2知，P点不可能在α与β之间，∴点P在两平行平面所夹空PAACPBBD＝间外面，∴＝或

，∴AC＝9或AC＝18，∴选C．

PBBDPAAC

3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，过点B的所有直线中(D)A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线[解析]∵α∥β，B∈β，a⊂α，∴B∉a，

∴点B与直线a确定一个平面γ，∵γ与β有一个公共点B，∴γ与β有且仅有一条经过点B的直线b，∵α∥β，∴a∥b.故选D．4．已知a、b表示直线，α、β、γ表示平面，则下列推理正确的是(D)A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b

1B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b[解析]选项A中，α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内，故B不正确；选项C中，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正确；

选项D为面面平行性质定理的符号语言，故选D．5．已知两条直线m、n两个平面α、β，给出下面四个命题：①α∩β＝m，n⊂α⇒m∥n或者m，n相交；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∩β＝m，m∥n⇒n∥β且n∥α.其中正确命题的序号是(A)A．①B．①④C．④D．③④6．平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、β之间．若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA︰OA′＝3︰2，则△A′B′C′的面积为(C)33239233A．9B．

3C．D．

[解析]如图∵α∥β，

∴BC∥B′C′，AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，ABOAA′B′OA′

又由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，

33且由＝＝知相似比为，22

113知S△ABC＝AB·CD＝AB·(AC·sin60°)＝，

222

2239∴S△A′B′C′＝.

二、填空题7．如右图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为__平行四边形__.

[解析]∵平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH的形状是平行四边形．三、解答题8．如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．

求证：CE∥平面PAD.[解析]解法一：如图所示，取PA的中点H，连接EH、DH.

因为E为PB的中点，1所以EH∥AB，EH＝AB.2

1又AB∥CD，CD＝AB，2

所以EH∥CD，EH＝CD.因此四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.3又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，因此CE∥平面PAD.解法二：如图所示，取AB的中点F，连接CF、EF，

1所以AF＝AB.2

1又CD＝AB，所以AF＝CD.2

又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，因此CF∥AD.又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.9.如图，在正方体ABCD－ABCD中，O为底面ABCD的中心，P是DD的中点，设Q是CC111111

上的点，问：当点Q在什么位置时，平面DBQ与平面PAO平行？1

[解析]当Q为CC的中点时，平面DBQ∥平面PAO.11

连接BD，由题意可知，BD∩AC＝0，

O为BD的中点，又P为DD的中点，

1∴OP∥BD，又BD⊄平面PAO，11

PO⊂平面PAO，

∴BD∥平面PAO，连接PC.1∵PD綊CQ，∴DQ∥PC.又PC⊂平面PAO，DQ⊄平面PAO，∴DQ∥平面PAO.1111

4又DQ∩BD＝D，∴平面DBQ∥平面PAC.1111

B级素养提升

一、选择题1．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b(B)A．相交C．异面B．平行D．共面或异面[解析]∵直线a∥α，a∥β，∴在平面α、β中必分别有一直线平行于a，不妨设为m、n，∴a∥m，a∥n，∴m∥n.又α、β相交，m在平面α内，n在平面β内，∴m∥β，∴

m∥b，∴a∥b.故选B．

2．如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则导学号09024460(A)

A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABEDC．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF[解析]取DG的中点为M，连接AM、FM，如图所示．

则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形∴DE綊FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM.又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM.又BF⊄平面ACGD，∴BF∥平面ACGD.故选A．3．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C(B)

A．不共面B．不论A、B如何移动，都共面

5C．当且仅当A、B分别在两直线上移动时时才共面D．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面[解析]如图，不论点A、B如何移动，点C都共面，且所在平面与平面α、平面β平行．

4．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是(D)A．平行C．相交B．异面

D．平行或异面或相交[解析]如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．

二、填空题5．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影ABCD是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是__平行四边形__.1111

[解析]∵平面AC∥α，平面AABB∩α＝AB，平面AABB∩平面ABCD＝AB，∴AB∥111111

AB，同理可证CD∥CD，又AB∥CD，∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，∴四边形ABCD是平行

11111111

四边形．

6.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中正确的为__①②④__.

①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；

6③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.[解析]∵MN∥PQ，∴PQ∥平面ACD，又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，从而AC∥截面PQMN，②正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，①正确；又MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°，故④正确．根据已知条件无法得到AC，BD长度之间的关系．故填①②④.C级能力拔高1．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.

[解析]解法一：如图(1)，取OB的中点G，连接GN、GM.∵M为OA的中点，∴MG∥AB.∵AB∥CD，∴MG∥CD.∵MG⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，∴MG∥平面OCD.又∵G、N分别为OB、BC的中点，∴GN∥OC.∵GN⊄平面OCD，OC⊂平面OCD，∴GN∥平面OCD.又∵MG⊂平面MNG，GN⊂平面MNG，MG∩GN＝G，∴平面MNG∥平面OCD.∵MN⊂平面MNG，∴MN∥平面OCD.

解法二：如图(2)，取OD的中点P，连接MP、CP.7

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高中数学直线平面平行的判定与性质

高中数学直线平面平行的判定与性质


∵AO＝FG＝ 3，
∴VABCDFE＝13×2×2×
3×2＝8 3
3 .
突破点一
突破点二
课时达标检测Байду номын сангаас
直线、平面平行的判定与性质 结 束
(2)证明：平面 ADE∥平面 BCF. 解：证明：由(1)知 AO∥FG，AO＝FG， ∴四边形 AOFG 为平行四边形，∴AG∥OF. 又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE⊂平面 ADE，AG⊂平面 ADE，FO∩BC＝O，FO⊂平面 BCF，BC⊂平面 BCF， ∴平面 ADE∥平面 BCF.
突破点一
突破点二
课时达标检测
直线、平面平行的判定与性质
[全国卷 5 年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥 P-ABCD
结束
中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB
＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线
段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC
的中点．
(1)证明 MN∥平面 PAB；
(2)证明：平面 ADE∥平面 BCF.
突破点一
突破点二
课时达标检测
直线、平面平行的判定与性质 结 束
解：(1)取 BC 的中点 O，ED 的中点 G，连
接 AO，OF，
FG，AG. ∵AO⊥BC，AO⊂平面 ABC，平面 BCED
⊥平面 ABC，
∴AO⊥平面 BCED.同理 FG⊥平面 BCED.
突破点一
突破点二
课时达标检测
直线、平面平行的判定与性质
(2)若 EB＝2，求四边形 GEFH 的面积． [解] 如图，连接 AC，BD 交于点 O，
结束
BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK.
高三数学复习课件【直线、平面平行的判定及其性质】

高三数学复习课件【直线、平面平行的判定及其性质】


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[题“根”探求] 1．判定线面平行的 4 种方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
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2．解决直线与平面平行的 3 个思维趋向 (1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键 是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线． (2)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、 利用比例关系证明两直线平行等． (3)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维” 到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到 “面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反．
AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线
❶
段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，
❷
G是线段OF上一点．求证： (1)AP∥平面BEF；
❸
(2)GH∥平题]
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①看到 AD∥BC，AB＝BC＝12AD 想到可在四边形 ABCD 中
利用这些关系证平面 ABCE 为平行四边形；
②看到 E，F，H 是中点 想到三角形的中位线性质；
③要证 AP∥平面 BEF 想到证明 AP 与平面 BEF 中的某条 直线平行； ④要证 GH∥平面 PAD 可考虑证明 GH 所在的平面与平面 PAD 平行．
证明：(1)连接EC， ∵AD∥BC，BC＝12AD， ∴BC綊AE，
∴四边形ABCE是平行四边形， ∴O为AC的中点． 又∵F是PC的中点，∴FO∥AP. ∵FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF， ∴AP∥平面BEF.
[冲关演练] 1.如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P
直线、平面平行的判定及其性质2

直线、平面平行的判定及其性质2


X
X
[试一试]
1．下列说法中正确的是
(
)
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数 条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面 内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平 面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面 α内一点和直线l平行的直线在α内．
A．①②③④ C．②④
二、线面平行的证明方法：
1、定义法：直线与平面没有公共点。 2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，
那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理）
3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行
于另一个平面。
4、如果一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，那 么它也平行于另一个平面。切记直线不在平面内.
(1)求证：AM＝CM； (2)若 N 是 PC 的中点，求证：DN∥平面 AMC.
1 证明：(1)∵在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝ AB＝1， 2 ∴AC＝ 2，BC＝ 2， ∴BC⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC. 1 在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝ PB， 2 1 在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝ PB，∴AM＝CM. 2
一.线线平行的证明方法：
1.利用平面几何中的定理：三角形（或梯形）的中位线 与底边平行、平行四边形的对边平行、利用比例、……
2.利用公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 3.利用线面平行的性质定理： 如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的 平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行 4.利用面面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线平行， 5.利用线面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行
高中数学-直线平面平行的性质及判定

高中数学-直线平面平行的性质及判定

一、空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5 球的表面积24R S π=二、空间几何体的体积1柱体的体积 h S V ⨯=底2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 hS S S S V ⨯++=)31下下上上（ 4球体的体积 334R V π=三、直线、平面平行的判定与性质1、直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行， 用符号表示为a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α。

(1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件： ①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行．(2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想．(3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理.【例1】 如右图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心．求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.证：如右图，取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连结PE 、QF 、EF ， ∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 和B 1B 的中点， ∴PE12A 1B 1.同理QF 12AB .又A 1B 1AB ，∴PE QF .∴四边形PEFQ 是平行四边形． ∴PQ ∥EF .又PQ ⊄平面BCC 1B 1，EF ⊂平面BCC 1B 1， ∴PQ ∥平面BCC 1B 1.222r rl S ππ+=2、平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面相交直线，则这两个平面平行．用符号表示为：a ⊂β，b ⊂β，a∩b＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α(1)运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立．(2)证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面．(3)证明平面与平面平行的方法有：判定定理、线面垂直的性质定理、定义． (4)平面与平面的平行也具有传递性.【例2】 如右图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1各棱长为4，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、A 1C 1、A 1B 1的中点， 求证：平面A 1EF ∥平面BCGH .思晨分析：本题证面面平行，可证明平面A 1EF 内的两条相交直线分别与平面BCGH 平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明． 证明：△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴EF ∥BC .又∵EF ⊄ 平面BCGH ，BC ⊂平面BCGH ， ∴EF ∥平面BCGH .又∵G 、F 分别为A 1C 1，AC 的中点，∴A 1G FC .∴四边形A 1FCG 为平行四边形． ∴A 1F ∥GC .又∵A 1F ⊄平面BCGH ，CG ⊂平面BCGH ， ∴A 1F ∥平面BCGH . 又∵A 1F ∩EF ＝F ，∴平面A 1EF ∥平面BCGH .3、直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线 与该直线平行。