【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题4 数列补偿练习 文

2016广东高考理数大二轮 专项训练数列、不等式(含答案)数列、不等式1．已知前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况．[问题1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝12n －1， n ≥22．等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． (2)等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . (3)等差数列的前n 项和：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . (4)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[问题2] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 答案 A3．等比数列的有关概念及性质(1)等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．如一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝56.(2)等比数列的通项：a n ＝a 1q n－1或a n ＝a m q n －m .(3)等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .易错警示：由于等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q ＝1和q ≠1两种情形讨论求解．(4)等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A >B . (5)等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p .[问题3] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________. 答案 (1)512 (2)10 4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法；如：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .(6)并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________． 答案 925．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．[问题5] 不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫23，16．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6] 已知a ，b ，c ，d 为正实数，且c >d ，则“a >b ”是“ac >bd ”的________条件． 答案 充分不必要7．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b >0)(1)推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b >0)． (2)用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件． [问题7] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．答案 98．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．[问题8] 设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．答案22易错点1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________． 错解 －1找准失分点 当q ＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q ≠1. 正解 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立． ②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9 得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 答案 1或－1易错点2 忽视分类讨论或讨论不当致误例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S k ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |.错解 由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132 所以S k ＝2k 2－23k ＋132.找准失分点 忽视了k ≤6的情况，只给出了k ≥7的情况．正解 由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0. 当k ≤6时，S k ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝－2k 2＋23k .当k ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132，所以S k ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2k 2＋23k (k ≤6)2k 2－23k ＋132 (k ≥7).易错点3 忽视等比数列中的隐含条件致误例3 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________. 错解 150或－200找准失分点 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30， b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列． ∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70， ∴r 2＋r －6＝0，∴r ＝2或r ＝－3(舍去)， ∴S 40＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝10(1－24)1－2＝150.答案 150易错点4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4 已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值．错解 由⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4 ≥2ab ＋2ab＋4≥4ab ·1ab＋4＝8， 得⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是8. 找准失分点 两次利用基本不等式，等号不能同时取到． 正解 ⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2 ＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4＝(a 2＋b 2)＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋4 ＝[(a ＋b )2－2ab ]＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－2ab ＋4＝(1－2ab )⎝⎛⎭⎫1＋1a 2b 2＋4 由ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，得1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b2≥16,1＋1a 2b2≥17.∴原式≥12×17＋4＝252(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是252.1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．28答案 C解析 因为a 3＋a 8＝10，所以由等差数列的性质，得a 5＋a 6＝10， 所以3a 5＋a 7＝2a 5＋2a 6＝20，选C.2．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 B解析 由1a <1b<0，得a <0，b <0，故a ＋b <0且ab >0，所以a ＋b <ab ，即①正确； 由1a <1b<0，得⎪⎪⎪⎪1a >⎪⎪⎪⎪1b ，两边同乘|ab |，得|b |>|a |，故②错误；由①②知|b |>|a |，a <0，b <0，所以a >b ，即③错误，选B.3．已知，x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值eB ．最小值 eC ．最大值eD ．最大值 e答案 A解析 x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，14ln x ·ln y ＝(14)2，即14＝ln x ·ln y ≤(ln x ＋ln y 2)2，ln x ＋ln y ≥1，ln xy ≥1，故xy ≥e.4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3答案 A解析 ∵{a n }是等比数列，∴S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也构成等比数列， 记S 5＝2k (k ≠0)，则S 10＝k ，可得S 10－S 5＝－k ， 进而得S 15－S 10＝12k ，于是S 15＝32k ，故S 15∶S 5＝32k ∶2k ＝3∶4.5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．195 B ．197 C ．392 D ．396答案 C解析 将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故选C.6．已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________． 答案 2 2解析 点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则m ＋2n ＝1；2m ＋4n ＝2m ＋22n ≥22m ·22n ＝22m＋2n＝2 2.7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．答案 4解析 由x ，a ，b ，y 成等差数列知a ＋b ＝x ＋y ，① 由x ，c ，d ，y 成等比数列知cd ＝xy ，②把①②代入(a ＋b )2cd 得(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ≥4，∴(a ＋b )2cd的最小值为4.8．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．答案 4解析 画出可行域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ， ∴y ＝－2x ＋z ， 令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时， 截距z 有最大值， 故z max ＝2×2＋2＝4.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－a 2)x ＋4(x ≤6)，a x －5(x >6)(a >0，a ≠1)．数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是________． 答案 (4,8)解析 ∵{a n }是单调递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2>0a >1(4－a 2)×6＋4<a2，⎩⎪⎨⎪⎧a <8a >1a <－7或a >4， ∴4<a <8.10．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，且a 2是a 1和a 7的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，记b n ＝[log 2(a n ＋34)]，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n .解 (1)由8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，①知8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N )．② 由①－②得8a n ＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＋4a n －4a n －1， 整理得(a n －a n －1－4)(a n ＋a n －1)＝0(n ≥2，n ∈N )． ∵{a n }为正项数列， ∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝4(n ≥2，n ∈N )．∴{a n }为公差为4的等差数列，由8a 1＝a 21＋4a 1＋3，得a 1＝3或a 1＝1. 当a 1＝3时，a 2＝7，a 7＝27，不满足a 2是a 1和a 7的等比中项． 当a 1＝1时，a 2＝5，a 7＝25，满足a 2是a 1和a 7的等比中项． ∴a n ＝1＋(n －1)4＝4n －3.(2)由a n ＝4n －3得b n ＝[log 2(a n ＋34)]＝[log 2n ]，由符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数知，当2m ≤n <2m＋1时，[log 2n ]＝m ，所以令S ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋…＋[log 22n ] ＝0＋1＋1＋2＋…＋3＋…＋4＋…＋n －1＋…＋n . ∴S ＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋(n －1)×2n －1＋n ，①2S ＝1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋(n －1)×2n ＋2n .② ①－②得－S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－(n －1)2n －n＝2(1－2n －1)1－2－(n －1)2n －n ＝(2－n )2n －n －2，∴S ＝(n －2)2n ＋n ＋2，即b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝(n －2)2n ＋n ＋2.。

第1讲等差数列与等比数列1．(2015·课标全国Ⅰ)已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，假设S8＝4S4，则a10等于( )A.172B.192C．10 D．122．(2015·安徽)已知数列{a n}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{a n}的前n项和等于________．3．(2014·广东)假设等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝______.4．(2013·江西)某住宅小区计划植树不少于100棵，假设第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力.热点一等差数列、等比数列的运算(1)通项公式等差数列：a n＝a1＋(n－1)d；等比数列：a n＝a1·q n－1.(2)求和公式 等差数列：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ；等比数列：S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q(q ≠1)．(3)性质假设m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q .例1 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .假设a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________.(2)已知等比数列{a n }公比为q ，其前n 项和为S n ，假设S 3，S 9，S 6成等差数列，则q 3等于( ) A ．－12B ．1C ．－12或1D ．－1或12思维升华 在进行等差(比)数列项与和的运算时，假设条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．跟踪演练1 (1)(2015·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．假设a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.(2)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝2，则log 2a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋a 2 0143＝________.热点二 等差数列、等比数列的判定与证明 数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数； ②利用中项性质，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．例2 (2014·大纲全国)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．思维升华 (1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n 项和公式，但不能作为证明方法． (2)a n ＋1a n＝q 和a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)都是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．跟踪演练2 (1)(2015·大庆铁人中学月考)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n4a n ＋1，则a n ＝________________________________________________________________________. (2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则a n ＝________. 热点三 等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解． 例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，假设存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．思维升华 (1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题． (3)数列中的恒成立问题可以通过别离参数，通过求数列的值域求解．跟踪演练3 已知首项为32的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足S n>0的最大自然数n的值为( )A．6 B．7C．12 D．132．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4－2a27＋3a8＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b2b12等于( )A．1 B．2C．4 D．83．已知各项都为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，存在两项a m，a n使得a m·a n＝4a1，则1m＋4m的最小值为( )A.32B.53C.256D.434．已知等比数列{a n}中，a4＋a6＝10，则a1a7＋2a3a7＋a3a9＝________.提醒：完成作业专题四第1讲二轮专题强化练专题四第1讲 等差数列与等比数列A 组 专题通关1．已知等差数列{a n }中，a 5＝10，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( ) A ．52 B ．40 C ．26D ．202．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．643．(2015·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，假设a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d ＞0，dS 4＞0 B ．a 1d ＜0，dS 4＜0 C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞04．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n <nS n ＋1(n ∈N *)．假设a 8a 7<－1，则( ) A ．S n 的最大值是S 8 B ．S n 的最小值是S 8 C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 75．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，假设b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．116．假设数列{n (n ＋4)(23)n}中的最大项是第k 项，则k ＝________.7．(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________.8．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________.9．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．10．(2015·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．B 组 能力提高11．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，假设S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2 011B ．－2 011C ．0D ．112．(2015·福建)假设a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．913．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝15，且对任意正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，假设S n <t 恒成立，则实数t 的最小值为________．14．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？假设存在，求出符合条件的所有n 的集合；假设不存在，说明理由．学生用书答案精析专题四 数列、推理与证明 第1讲 等差数列与等比数列 高考真题体验 1．B [∵公差为1， ∴S 8＝8a 1＋8×8－12×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B.]2．2n－1解析 由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2.∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n1－2＝2n－1.3．50解析 因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50. 4．6解析 每天植树棵数构成等比数列{a n }，其中a 1＝2，qS n ＝a 11－q n 1－q＝2(2n －1)≥100，即2n ＋1≥102.∴n ≥6，∴最少天数n ＝6. 热点分类突破 例1 (1)6 (2)A解析 (1)设该数列的公差为d ，则a 4＋a 6＝2a 1＋8d ＝2×(－11)＋8d ＝－6，解得d ＝2，所以S n ＝－11n ＋n n －12×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，所以当S n 取最小值时，n ＝6. (2)假设q ＝1，则3a 1＋6a 1＝2×9a 1， 得a 1＝0，矛盾，故q ≠1.所以a 11－q 31－q ＋a 11－q 61－q＝2a 11－q 91－q，解得q 3＝－12或1(舍)，故选A.跟踪演练1 (1)23－1 (2)1 005解析 (1)∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7， 即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )， ∴a 1＝－23d ，∵2a 1＋a 2＝1，∴2a 1＋a 1＋d ＝1即3a 1＋d ＝1， ∴a 1＝23，d ＝－1.(2)在等比数列中，(a 1＋a 2)q 2＝a 3＋a 4，即q 2＝2，所以a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋a 2 014＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)q 2 010＝3×21 005，所以log 2a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋a 2 0143＝1 005.例2 (1)证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1. ∴a n －a n －1＝2n －3，a n －1－a n －2＝2n －5，……a 2－a 1＝1，累加得a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 跟踪演练2 (1)14n －3 (2)2n ＋1－3解析 (1)由已知得1a n ＋1＝1a n＋4，∴1a n ＋1－1a n ＝4，又1a 1＝1，故{1a n}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴1a n＝1＋4(n －1)＝4n －3，故a n ＝14n －3. (2)由已知可得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)， 又a 1＋3＝4，故{a n ＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋3＝4×2n －1，∴a n ＝2n ＋1－3.例3 解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6 得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n 9－n2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4[1－12m]1－12＝8[1－(12)m]，∵(12)m随m 增加而递减， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8.又S n ＝n 9－n2＝－12(n 2－9n )＝－12[(n －92)2－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，假设存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ， 则10<4＋λ，得λλ的取值范围为(6，＋∞)． 跟踪演练3 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.高考押题精练1．C [∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.]2．C [设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 4－2a 27＋3a 8＝0，所以a 7－3d －2a 27＋3(a 7＋d )＝0，即a 27＝2a 7，解得a 7＝0(舍去)或a 7＝2，所以b 7＝a 7＝2.因为数列{b n }是等比数列，所以b 2b 12＝b 27＝4.]3．A [由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与条件中等比数列的各项都为正数矛盾，舍去)，又由a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m ＋n －2＝16a 21，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(4m n ＋n m ＋5)≥16(24m n ·n m ＋5)＝32， 当且仅当4m n ＝nm，m ＋n ＝6，即n ＝2m ＝4时取得最小值32.]4．100解析 因为a 1a 7＝a 24，a 3a 9＝a 26，a 3a 7＝a 4a 6， 所以a 1a 7＋2a 3a 7＋a 3a 9＝(a 4＋a 6)2＝102＝100.二轮专题强化练答案精析专题四 数列、推理与证明 第1讲 等差数列与等比数列1．B [因为a 2＋a 4＝2a 3，a 5＋a 9＝2a 7，所以a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5，而a 5＝10， 所以a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝4×10＝40.故选B.]2．A [因为a 8是a 7，a 9的等差中项，所以2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，再由等差数列前n 项和的计算公式可得S 11＝11a 1＋a 112＝11·2a 62＝11a 6，又因为S 11＝992，所以a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74， 所以a 12＝a 8＋4d ＝15， 故选A.]3．B [∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d3，∴dS 4＝－2d23＜0，故选B.]4．D [由(n ＋1)S n <nS n ＋1得(n ＋1)·n a 1＋a n2<n ·n ＋1a 1＋a n ＋12，整理得a n <a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7<－1，所以a 8>0，a 7<0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.]5．B [∵{b n }为等差数列，设其公差为d ， 由b 3＝－2，b 10＝12，∴7d ＝b 10－b 3＝12－(－2)＝14，∴d ＝2， ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6， ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62·d＝7×(－6)＋21×2＝0，又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3， ∵a 8－3＝0，∴a 8＝3.故选B.] 6．4解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k k ＋423k≥k ＋1k ＋523k ＋1，kk ＋423k≥k －1k ＋323k －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0，由k ∈N *可得k ＝4.7．－1n解析 由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以S n ≠0，所以S n ＋1－S nS n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.8．2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2n ≥2解析 由a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，可得a n ＋1＝12S n ，所以S n ＋1－S n ＝12S n ，即S n ＋1＝32S n ，由此可知数列{S n }是一个等比数列，其中首项S 1＝a 1＝2，公比为32，所以S n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，由此得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2n ≥2.9．(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15. 解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22， 即5＝b 1·22， 解得b 1＝54.所以b n ＝b 1·qn －1＝54·2n －1＝5·2n －3， 即数列{b n }的通项公式为b n ＝5·2n －3.(2)证明 由(1)得数列{b n }的前n 项和 S n ＝541－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，2为公比的等比数列．10．(1)解 当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32 ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得：a 4＝78.(2)证明 因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)，因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1， 因为a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 22a n ＋1－a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列． (3)解 由(2)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列，所以a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝4，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是以a 112＝2为首项，公差为4的等差数列，所以a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝2＋(n －1)×4＝4n －2，即a n ＝(4n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.11．A [由S 21＝S 4 000得a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝0， 由于a 22＋a 4 000＝a 23＋a 3 999＝…＝2a 2 011， 所以a 22＋a 23＋…＋a 4 000 ＝3 979a 2 011＝0，从而a 2 011＝0，而OP →·OQ →＝2 011＋a 2 011·a n ＝2 011.]12．D [由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，ba ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2a ＝b －2解之得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.] 13.14解析 令m ＝1，可得a n ＋1＝15a n ，所以{a n }是首项为15，公比为15的等比数列，所以S n ＝15[1－15n]1－15＝14[1－(15)n ]<14，故实数t 的最小值为14. 14．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 1≠0，q⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18.即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q 1＋q ＋q 2＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－－2n]1－－2＝1－(－2)n.假设存在n ，使得S n ≥2 013， 则1－(－2)n≥2 013， 即(－2)n≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n>0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012， 即2n≥2 012，得n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．。

素能演练提升四一、选择题1.设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+(a—2)x的导数是f’(x),且f’(x)是偶函数，则曲线y=f(x）在原点处的切线方程为（）A。

y=-2x B.y=3x C.y=—3x D.y=4x解析：由已知得f'(x）=3x2+2ax+a-2为偶函数，∴a=0。

∴f（x)=x3—2x,f’（x）=3x2-2。

又f’(0）=-2，f（0)=0,∴y=f(x）在原点处的切线方程为y=—2x。

答案:A2。

若函数f(x）=kx—ln x在区间(1，+∞)单调递增，则k的取值范围是(）A.(—∞,-2］B。

(-∞,-1］C。

[2,+∞） D.［1,+∞)解析:由f’（x）=k-，又f（x）在（1,+∞)上单调递增，则f'(x)≥0在x∈（1，+∞）上恒成立，即k≥在x∈（1，+∞）上恒成立.又当x∈(1，+∞)时，0〈〈1，故k≥1。

故选D。

答案:D3.函数f（x)=ax3—2ax2+（a+1)x-log2（a2—1)不存在极值点，则实数a的取值范围是()A.［1,3]B.［1，3）C。

(1，3] D。

(1，3)解析:∵a2—1>0，∴a〉1或a〈—1.又∵函数f(x)不存在极值点，令f'(x）=3ax2-4ax+a+1=0，则Δ=16a2—4×3a(a+1)=4a(a—3）≤0.∴0≤a≤3.又∵a>1或a<-1，∴1<a≤3.答案:C4。

(2015湖南浏阳一中、攸县一中、醴陵一中联考，6）已知函数f(x)=x3+ax2+cx,g(x）=ax2+2ax+c,a≠0,则它们的图象可能是(）解析:因为f’(x)=ax2+2ax+c,则函数f’(x）即g（x)图象的对称轴为x=-1,故可排除A,D；由选项C的图象可知，当x>0时，f'（x)〉0，故函数f（x)=x3+ax2+cx在(0,+∞）上单调递增，但图象中函数f（x）在(0,+∞）上不具有单调性，故排除C.本题应选B。

♦专题二函数与导数第1讲函数的图象与性质热点精讲考向分析年份考点201120122013 2014 2015I II I II I n函数的定义域、值域及解析式13函数的图象及其应用12 911 函数的性质及其应用 3 16515 121駅2014新课标全国卷I，文5)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(C )⑷f(x)g(x)是偶函数(B) |f(x)|g(x)是奇函数(C)f(x) |g(x)| 是奇函数(D)|f(x)g(x)|是奇函数解析:f* (x)是奇函数，则F (-x) —f (x), g (x)是偶函数, 则g (-x)・g (x)则f (-x) g (-x) =-f (x) g (x),选项A错；If (-x) Ig(-x)-lf(x) |g(x),选项B错；f (-X)|g (-X)| =-f (x) | g (x) |,选项C正确；If (-x).g(-x) | = |f*(x)g(x) |,D错.故选C.Yf (x) =2sin 2— • sin x, x € [-兀，n],因此函数f (x)为奇函数,故可排除选项B, 2 当x€ [-TT ,O]时，sin x<0,因此f(x) <0,故可排除选项A. 0<x< -时，0<f (x) <1,排除 D.故选 C.2全国卷II •文⑴ 如图，长方形ABCD 的边AB=2, BC=1, 0是AB 的•点P 沿着边DC, CD 与DA 运动，记zTBOP=x.将动点P 到A, D两点距离之和匕P°辰鄴x°子裁x(0(D)解析:排除法求解.(A) (B)表X的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(B )P 位于边 BC 上时，ZBOP^x, 0 < x V f ,则釜-tan x,所以 BP-tan x,AP- tan 2 x ，所以 F (x)-tan x+ >/4 + tan 2 x(0< x < 壬)，可见 y ・F (x)图象的变 47C57化不可能是一条直线或线段，排除A, C.当点P 位于边CD 上时，ZBOP-x, -<x< —，则4 4AP当点 P 位于边 AD 上时，ZBOP=x,——< x < 7T,则=tan(n-x) =-tan x,所以 AP=-tan x 4OA所以 BP->/4 + tan x ,所以 f (x)—tan x+>/4+ tan 、x (— < x < rr),根据函数的解析式 4 可排除D,故选B.点P 位于点C 时，x=壬，此时AP+BP=AC+BO1+亦，当点P 位于CD 的中点4BP+AP= >JBC 2 + CP 2 + yJAD 2 + DP 2时：,此时AP+BP-2 >/2 <1+>/5 ,故可排除C, D,当点P 位于点D 时 2A”BP ・AD+BD ・l+$ ,而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故选B.解析:设(X, y)是函数y・F (x)图象上任意一点，它关于直线y—x的对称点为(-y, -x),由y=f (x)的图象与yTx"的图象关于直线y=-x对称，可知(-y, -x)在y=2xg的图象上，即-x=2_y+a,解得y=-log2 (~x) +a,所以f (-2) +f (-4) =-log22+a-log24+a=l,解得a=2,故选C.解析：由题意可知(-1, 4)在函数图象上, 即4=-a+2,所以a=-2.答案：-2(卩对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考査以基础知识为主，难度中等偏下.(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容,对图象的考査主要有两个方面:一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题;对函数性质的考査,则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考査，既有具体函数也有抽象函数•常以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较大.2.怎么办(1)应熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质，加强函数性质的应用意识.(2)与分段函数有关的问题要明确自变量的取值范围，找准对应关系是解题的关键，同时要加强函数与方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用意识.文域、值域和对应关系•其中值域由函数的定义域和对应关系完全确定，因此定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数.温馨提示⑴ 映射三要素不要忘，集合A中元素不可余,B中元素可多余，可以多对一、不允许一对多.(2)求解与函数、导数有关的问题，如值域、单调区间、判断奇偶性，求极值、求最值等等，都必须注意定义域优先的原则.实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还要使实际问题有意义.(3)分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.Xi, X2,（X1 -X2）［f（X1） -f（X2）］ >0 «0） o f (x)在D上是增(减)函数;对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x b X2,小上/ 色)Qf (x)在D上>0 (<0)是增(减)函数.不一£②奇偶性对于定义域(关于原点对称)内的任意X, f (x)+f (-X)=0of(X)是奇函数;对于定义域 (关于原点对称)内的任意x, f (x)-f (-x)=onf (x)是偶函数.③周期性设函数y=f (x),xeD.若T为f (x)的一个周期，则nT(n^0,nez)也是f (x)的周期.若对任意xWD都有f(x+a)=-f(x) (a^O),则f (x)是以2|a|为周期的函数.若对任意xeo都有f “士扁则f (”是以迪为周期的函数若对任意xWD都有f(x+a)=f(x+b) (aHb),则f(x)是以lb-a|为周期的函数.的图象关于点@，0)中心对称.关于直线XF对称.对于函数y二f(x)定义域内任意一个x的值，若f (a+x) =-f (b-x),则函数f (x) 的图象关于点中心对称•特别地，若f(a+x)=-f(a-x),则函数f (x)如郭福高数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)• 罪：x)是奇函数of (x)的图象关于原点对称;f (x)是偶函数Of(X)的图象关于池对称.③若函数尸f (x)的图象有两条对称轴XF和x=b(aHb),则f (x)是以2lb-a|为盾期的函数，特别地,若函数f(x)是偶函数，其图象又关于直线对称，则f(x)是以2|a|为周期的函数.④若函数y=f (x)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b, 0) (aHb),则f(x)是以4|b-a|为周期的函数.特别地，若函数f(x)是奇函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是以4|a|为周期的函数.⑤若函数尸f (x)的图象有两个对称中心(a, 0)和(b, 0) (aHb),则f (x)是以2山-al 为周期的函数.求函数单调区间时，易错误地在多个单调区间之间添加符号和“或”，它们之间-般用“，”隔开或者用“和”字连按. 判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称.解析：(2)因为 l<log 34<2,所以 f (logs4) =f (l+log 34) =f (2+log 34) = 32',og '4 =36. 故选C.【例 1】(1) (2013 山东卷)函数 f(x) = >/l-2v +-4=(A) (-3, 0] (B) (-3, 1](0 (-oo,-3) U (-3, 0](D) (-oo,-3)U (-3, 1]的定义域为（）解析：(1)由 f(x)= Jl_2乂Jx + 3得:二囂心““故选A ・热点精讲函数的定义域、值域及解析式)求函数y=f (x)的定义域时，只要构建使解析式有意义的不等求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解即可，在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式；求解函数值域的方法有:公式法、图象法、换元法、数形结合法、有界性法等,要做到具体问题具体分析，选取适当的求解方法.即答案：{x|^Wx<2 且xHl}_______ , f(x)的最小值是__________ .解析：因为f (-2)=4,f ⑷=-寸，所以f (f (-2)) =- |;x< 1 时，f (x)^=O,x>l 时, f (x) *0=2 \/6 -6,又2 >/6 -6<0,所以F (x)血=2 >/6 -6.答案:- ；2^6-62(A)①④(B)④①@@(C) ®@@® (D)③④带斫KD ①y ・x • sin x 是偶函数，其图象关于y 轴对称； W=X ・cos X 是奇函数，其图象关于原点成中心对称；@y=x • |cos x |是奇函数，且在y 轴右侧，图象位于x 轴上方； ④y=x ・2*是非奇非偶函数.根据以上分析从左到右图象对应的函数序号排序是①④②③•故选C.sin TLX .O < x <\,f’若a,b,c 互不相等，且1002015 匕兀 > 1，酚)二f (b)二f (c),则a+b+c 的取值范围是()(A) (1,2015) (B) (1,2016)由正弦曲线的对称性可知a+b=l,而1“<2015, 所以2<a+b+c<2016.所以选C.⑵(20己知函数f(x)二丿(C) (2, 2016) (D) [2, 2016]■识图.用图的技巧图：常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩⑵识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.(3)用图：由函数图象确定函数性质及由方程根的存在情况求有关参数的取值范围等.解析：(1)由f (x)与g(x)都是偶函数，得F(x)g(x)是偶函数,可排除A, D;当0<x<l 时,f (x) <0, g (x) >0,排除B,故选C.答案：⑴C求解•根据绝对值的意在立角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示. 根据图象可知， 当OCkCl 或l<k<4时有两个交点. 答案：(2)(0, 1)U (1,4)(1) (2015赣州市十二县(市)联考)在实数集R 中定义一种运算“时 :beR, a*b为唯一确定的实数，且具有性质:1)*对任意 a^R, a*0=a; 2)对任意 a, beR, a*b=ab+ (a*0) + (b*0)•关于函数f(x) = (e x )*丄的性质，有如下说法：e①函数f(x)的最小值为3;②函数f (x)为偶函数； ③函数f (x)的单调递增区间为(-8, 0］・ 其中正确说法的序号为()义,yx+ l(x >< —1),—x —1(— 1 < X < 1).解析：⑵先去掉绝对值符号,在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合其应用U 点三⑷①(B)①②(C)①®③(D)②③⑵(2014安徽卷)若函数f(x) (xGR)是周期为4的奇函数，且在［0, 2］上的解析式为则f啓)+班¥)=______________________________________________ ・I sin 7txJ < x <2, 4 6所以f (x)ou・3,故①正确；因为f 丄e A所以f (-x) =l+e+e"x=f (x),所以函数f (x)为偶函数，故②正确; e2x—] 因为& (x) =e x-e x=一，所以当T (x) > 0 时,x>0,e即函数f(x)的单调递增区间为[0, +8),故③错误.所以正确说法的序号为①②，故选B.答案:(1)B (2) 416⑵定义在R上的函数f (x)满足f(x+6)=f(x),当-3Wx<-l时,f(x)=-(x+2)2,当-lWx<3时,f (x) =x,则f(l)+f⑵十f⑶十・・・+f (2016)等于( )(A)336 (B)337 (C)338 (D)2016解析：⑴易知y= 71 +A-2与y=2x+—是偶函数,y=x+ —是奇函数，故选D.2' 兀(2)因为f (x+6) -f (x),所以函数F (x)的周期为6,因为f (1) -1, f (2) -2, F (3) =f (-3+6) -f (-3) —1, f (4) -f (-2+6) =f (-2) -0,f (5) -f (-1+6) -f (-1) —1, f (6) -f (0) »0,所以F (1) +f (2) +f (3) +...+f (2016) -336 [f (1) +f (2)+...+f (6) ] =336.故选A.函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、相互转化来解决相对综合的问题.主要的解题思路：奇偶性(-x)与f(x)的关系；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解;周期性主要转化方向是利用f (x) =f (x+a)把区间外的函数转化到区间内，并结合单调性和奇偶性解决相关问题.1 ] (2015福州市质量检测)函数f(x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析 以是()(A)f(x)=x+sin x(B)f(x)二竺^XIT37E(C)f (X )=XCOS X (D)f(x)=x(x -)(X-J ) 2 27T解析：因为将(一，0)代入A 选项不成立，所以排除A,由于B 选项的定义域为XH 20,所以排除B.由于D 选项中只有三个零点，所以排除D 选项.通过验算可得C 选 项的函数成立•故选C.(3-a}x — 3,x< 7, 解析：因为数列{&}是递增数列,f(x)=丿' ) {aj=f(n) (n€NXa x ^,x>7,所以1<X3且f (7) <f (8),所以7 (3-a) -3<a 2,解得a<-9,或a>2.故实数a 的取 值范围是(2, 3).答案：(2, 3)数列｛&｝满足选例(3-6F )X —3,x < 7, a x^,x>l,a n -f(n) (neN-),且&是递增数列,则实数a 的取值范围是。