2011年北京大学数学科学学院直博生选拔考试题目

2011年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文)本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U=R,集合P={x︱x2≤1｝,那么A.(-∞, -1] B.[1, +∞)C.[-1，1]D.(-∞，-1] ∪[1，+∞)2.复数 A.i B.-i C. D.3.如果那么A.iB.-iC.D.3.如果那么A.y< x<1B.x< y<1C.1< x <yD.1<y<X4.若p是真命题，q是假命题，则A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.﹁p是真命题D.﹁q是真命题5.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A.32B.16+16C.48D.16+326.执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为A.2B.3C.4D.57.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品A.60件B.80件C.100件D.120件8.已知点A(0,2)，B(2,0).若点C在函数y = x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C 的个数为A.4B.3C.2D.1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.在中.若b=5，，sinA=，则a=___________________.10.已知双曲线( >0)的一条渐近线的方程为，则= .11.已知向量a=( ，1)，b=(0，-1)，c=(k，).若a-2b与c共线，则k=________________.12.在等比数列{an}中，a1= ，a4=4，则公比q=______________;a1+a2+…+an= _________________.13.已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_______14.设A(0,0),B(4,0),C(t+4,3)，D(t,3)(t R).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)= N(t)的所有可能取值为三、解答题6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题共13分)已知函数.(Ⅰ)求的最小正周期：(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.16.(本小题共13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.(1)如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差;(2)如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.(注：方差其中为的平均数)17.(本小题共14分)如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(Ⅰ)求证：DE∥平面BCP;(Ⅱ)求证：四边形DEFG为矩形;(Ⅲ)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.18.(本小题共13分)已知函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)求在区间[0,1]上的最小值.19.(本小题共14分)已知椭圆的离心率为，右焦点为(,0)，斜率为I 的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(-3,2).(I)求椭圆G的方程;(II)求的面积.20.(本小题共13分)若数列满足，则称为数列，记.(Ⅰ)写出一个E数列A5满足;则称为数列，记(Ⅰ)写出一个E数列A5满足;(Ⅱ)若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011;(Ⅲ)在的E数列中，求使得=0成立得n的最小值.参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)(1)D (2)A (3)D (4)D(5)B (6)C (7)B (8)A二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)(9) (10)2(11)1 (12)2 (13)(0，1) (14)6 6，7，8，三、解答题(共6小题，共80分)(15)(共13分)解：(Ⅰ)因为所以的最小正周期为(Ⅱ)因为于是，当时，取得最大值2;当取得最小值—1.(16)(共13分)解(1)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为(Ⅱ)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11;乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A2，B2)，(A3，B3)，(A1，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，故所求概率为(17)(共14分)证明：(Ⅰ)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE//PC。

2011年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分)1．（5分）（2011•北京）已知集合P={x｜x2≤1｝,M=｛a}．若P∪M=P,则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1］B．［1,+∞）C．[﹣1，1］D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】通过解不等式化简集合P；利用P∪M=P⇔M⊆P；求出a的范围．【解答】解：∵P={x|x2≤1},∴P=｛x｜﹣1≤x≤1}∵P∪M=P∴M⊆P∴a∈P﹣1≤a≤1故选：C．【点评】本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件P∪M=P⇔M⊆P是解题关键．2．(5分）（2011•北京）复数=(）A．i B．﹣i C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】将分子、分母同乘以1﹣2i，再按多项式的乘法法则展开,将i2用﹣1代替即可．【解答】解：==i故选A【点评】本题考查复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数；再按多项式的乘法法则展开即可．3．(5分)（2011•北京）在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是（）A．B．C．（1，0）D．（1，π）【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆;坐标系和参数方程．【分析】先在极坐标方程ρ=﹣2sinθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2,进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．【解答】解:将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得：ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）．∴圆心的极坐标故选B．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．4．（5分)（2011•北京)执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3 B．﹣C．D．2【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】i=0，满足条件i＜4,执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i＜4，退出循环体，从而得到所求．【解答】解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体,i=1，s=满足条件i＜4,执行循环体，i=2，s=﹣满足条件i＜4,执行循环体,i=3，s=﹣3满足条件i＜4，执行循环体,i=4,s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：D【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为:分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．5．（5分）（2011•北京）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F,延长AF与圆O 交于另一点G．给出下列三个结论:①AD+AE=AB+BC+CA；②AF•AG=AD•AE③△AFB～△ADG其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等,得到第一个说法是正确的，根据切割线定理知道第二个说法是正确的,根据切割线定理知,两个三角形△ADF～△ADG,得到第三个说法错误．【解答】解：根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，有CE=CF，BF=BD，∴AD+AE=AB+BC+CA,故①正确，∵AD=AE，AE2=AF•AG，∴AF•AG=AD•AE，故②正确，根据切割线定理知△ADF～△ADG故③不正确，综上所述①②两个说法是正确的,故选A．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线长定理,考查圆的切割线定理，考查切割线构成的两个相似的三角形，本题是一个综合题目．6．（5分）（2011•北京）根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位:分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(）A．75，25 B．75，16 C．60,25 D．60，16【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，x=A的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=A的函数值不相等，说明求f（4)要用x＜A对应的表达式,将方程组联解，可以求出C、A的值．【解答】解：由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4)==30，可得出=30故=4,可得A=16从而c=15=60故答案为D【点评】分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内运用表达式加以解决．7．（5分）（2011•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B． C．10 D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥,根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中,最大的值．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为:8，6，，10,显然面积的最大值,10．故选C．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力，计算能力，常考题型．8．（5分)（2011•北京)设A（0，0），B（4，0）,C(t+4,4），D（t，4）（t∈R)．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（)A．{9,10,11｝B．｛9，10，12｝ C．｛9，11，12｝ D．{10，11，12}【考点】集合的含义．【专题】集合．【分析】分别由t=0,1，2求出N（t）,排除错误选项A,B，D，从而得到正确选项．【解答】解：当t=0时，▱ABCD的四个顶点是A(0，0），B(4,0），C（4，4），D(0，4)，符合条件的点有(1，1），（1，2），（1,3）,（2，1)，(2,2)，（2，3)，(3,1），（3,2)，（3，3），共九个,N（t）=9,故选项D不正确．当t=1时，▱ABCD的四个顶点是A(0，0），B(4，0)，C(5，4)，D（1，4),同理知N（t）=12，故选项A不正确．当t=2时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0),C（6，4），D（2，4），同理知N（t)=11，故选项B不正确．故选C．【点评】本题考查集合的性质和应用，解题时要注意排除法的合理运用．本题中取整点是个难点,常用的方法是，先定横（或纵）坐标，在定纵（横）坐标，以确定点的个数，如果从图形上看,就是看直线x=r（r是整数）上有几个整点在四边形内．二、填空题（共6小题，每小题5分,满分30分）9．（5分）（2011•北京）在△ABC中．若b=5，，tanA=2，则sinA=；a=2．【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【专题】解三角形．【分析】由tanA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的平方，然后由A的范围,再利用同角三角函数的基本关系求出sinA的值，然后再利用正弦定理，由sinA,sinB及b 的值即可求出a的值．【解答】解：由tanA=2，得到cos2A==，由A∈（0,π）,得到sinA==,根据正弦定理得:=，得到a===2．故答案为:;2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系以及正弦定理化简求值,是一道中档题．10．（5分）（2011•北京）已知向量=（，1），=（0,﹣1），=(k，）．若与共线，则k=1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．【解答】解:∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．11．（5分)（2011•北京）在等比数列{a n｝中，a1=，a4=﹣4,则公比q=﹣2;｜a1｜+｜a2｜+…+｜a n|=．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】先利用等比数列的通项公式求得公比;|a n|是以a1为首项，|q｜为公比，进而利用等比数列的求和公式求解．【解答】解:q===﹣2，｜a1|+｜a2｜+…+|a n|==故答案为:﹣2，【点评】本题主要考查了等比数列的性质．考查了对等比数列的通项公式和求和公式的灵活运用．12．（5分)（2011•北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（用数字作答)【考点】计数原理的应用．【专题】算法和程序框图．【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时,当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．【解答】解:由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数,当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，故答案为：14【点评】本题考查分类计数原理，是一个数字问题,这种问题一般容易出错,注意分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理．13．（5分）（2011•北京）已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是（0，1)．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】要求程f(x）=k有两个不同的实根是数k的取值范围，根据方程的根与对应函数零点的关系，我们可以转化为求函数y=f（x）与函数y=k交点的个数,我们画出函数的图象，数形结合即可求出答案．【解答】解：函数的图象如下图所示:由函数图象可得当k∈（0，1）时方程f(x)=k有两个不同的实根,故答案为：（0,1)【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据方程的根与对应函数零点的关系,将方程问题转化为函数问题是解答的关键．14．(5分）(2011•北京）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0)的距离的积等于常数a2（a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．其中,所有正确结论的序号是②③．【考点】轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1,0）的距离的积等于常数a2(a＞1）,利用直接法，设动点坐标为（x，y）,及可得到动点的轨迹方程,然后由方程特点即可加以判断．【解答】解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：⇔[（x+1）2+y2]•［（x﹣1)2+y2]=a4（1)将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②,把方程中的x被﹣x代换,y被﹣y 代换,方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积=a2sin∠F1PF2，≤a2，所以③正确．故答案为:②③．【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．三、解答题（共6小题，满分80分）15．(13分)（2011•北京)已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x)在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．（Ⅱ）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．【解答】解：(Ⅰ）∵，=4cosx（）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）,所以函数的最小正周期为π;（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=﹣时，即x=﹣时,f(x）取得最小值﹣1．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．16．（14分)（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2,∠BAD=60°．（Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．【考点】直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）由已知条件可得ACBD，PABD，根据直线与平面垂直的判定定理可证（II）结合已知条件，设AC与BD的交点为O，则OB⊥OC，故考虑分别以OB，OC为x 轴、y轴,以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系,设PB与AC所成的角为θ，则,代入公式可求（III）分别求平面PBC的法向量，平面PDC的法向量由平面PBC⊥平面PDC可得从而可求t即PA【解答】解：(I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A所以BD⊥平面PAC（II）设AC∩BD=O,因为∠BAD=60°，PA=AB=2,所以BO=1，AO=OC=,以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则P（0，﹣,2），A（0，﹣，0），B(1，0,0),C（0，,0）所以=（1，，﹣2），设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知，设,则设平面PBC的法向量=（x，y，z）则=0，所以令,平面PBC的法向量所以,同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，所以=0，即﹣6+=0,解得t=，所以PA=．【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力17．（13分）(2011•北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差;（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望．（注：方差,其中为x1，x2，…x n的平均数）【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】(Ⅰ)根据所给的数据，把所有数据相加再除以4写出这组数据的平均数，再利用所给的方差的公式,做出这组数据的方差．（Ⅱ）根据所给的变量写出随机变量可能的取值，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列,做出期望值．【解答】解:(Ⅰ)当X=8，乙组同学植树棵数是8,8，9，10，平均数是=，方差为+=；（Ⅱ)当X=9时，甲组同学的植树棵数是9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是9，8，9，10，分别从甲和乙两组中随机取一名同学,共有4×4=16种结果,这两名同学植树的总棵数Y可能是17，18，19,20，21，事件Y=17，表示甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵，∴P（Y=17)=P（Y=18)=P（Y=19)=P(Y=20）=,P（Y=21）=Y 17 18 19 20 21P 0。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =½£，那么UP =ð (A)(,1-¥-) (B)(1,+¥) (C)（-1，1)(D)()()11-¥,-,+¥（2）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i --(D)4355i -+ （3）如果1122log log 0x y <<，那么，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x << （4）若p 是真命题，q 是假命题，则是假命题，则（A ）p q Ù是真命题是真命题 (B)p q Ú是假命题是假命题 (C)p Ø是真命题是真命题 (D)q Ø是真命题是真命题（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(A)32(B)16+162 (C)48(D)16322+（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为值为(A)2(B)3 (C)4 (D)5（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。

若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元。

为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品批应生产产品（A ）60件 (B)80件 （C ）100件 （D ）120件 （8）已知点()()0,2,2,0A B 。

2011年北京市某校高考适应性考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如果集合P ={x|x 2>4}，集合T ={x|x ≤0}，那么集合P ∩(∁R T)等于（ ） A {x|x >0} B {x|x <−2或x >0} C {x|x >2} D {x|x <−2或x >2}2. 命题“∀x >0，都有x 2−x ≤0”的否定是( )A ∃x >0，使得x 2−x ≤0B ∃x >0，使得x 2−x >0C ∀x >0，都有x 2−x >0D ∀x ≤0，都有x 2−x >03. 参数方程{x =cos 2θy =sinθ（θ为参数）所表示的曲线为（ ）A 圆B 抛物线C 抛物线的一部分D 双曲线的一部分4. 在已知的程序框图中，若输入m =4，n =10，运行相应的程序，则输出a 为（ ）A 8B 12C 16D 205. 若抛物线y 2=−12x 的焦点是双曲线x 2a 2−y 25=1(a >0)的一个焦点，则双曲线的离心率为（ ） A 32 B 43 C3√1414D6√11116. 直线l 1，l 2，l 3，…依次为函数y =2sinxcosx +√3cos2x 图象在y 轴右侧从左到右的对称轴，则直线l 4的方程为（ ） A x =7π12B x =13π12C x =19π12D x =25π127. 如图，目标函数z =kx +y 的可行域为四边形OABC （含边界），A(1, 0)、C(0, 1)，若B(34，23)为目标函数取最大值时的最优解，则k 的取值范围是（ ） A [49，83] B [−83，−49] C (−∞,−83]∪[−49,+∞) D (−∞,49]∪[83,+∞)8. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP =MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）A B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 若2+ai1+i =−2i ，其中i 为虚数单位，则实数a =________．10. 二项式(x 2+ax )5的展开式中x 项的系数为−10，则常数a 的值为________．11. 已知P 是△ABC 所在平面内一点，BC →+BA →=2BP →，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________．12. 如图，AB 为圆O 的直径，D 为AB 延长线上一点，直线DC 切圆O 于点C ，∠DAC =30∘，OD =10，则圆O 的半径r =________，DC =________．13. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2−c 2=b ，且sinAcosC =3cosAsinC ，则b =________．14. 已知二次函数f(x)=x 2−ax +a(x ∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0<x 1<x 2，使得不等式f(x 1)>f(x 2)成立，则实数a =________；又设数列{a n }的前n 项和S n =f(n)，c n =1−aa n(n ∈N ∗)，则所有满足c i ⋅c i+1<0的正整数i 的个数为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 在各项都为正数的等比数列{a n }中，已知a 3=4，前三项的和为28． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足：b n =log 2a n ，b 1+b 2+...+b n =S n ，求S11+S 22+⋯+S n n取最大时n的值．16. 某糖果厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，它们的质量（单位：克）的分组区间为(990, 995]，(995, 1000]，…(1010, 1015]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）求图中x的值，并由此估计：从该流水线上任取一件产品其质量在1000∼1010克的概率；（2）从该流水线上任取3件产品（可看作有放回的产品抽样），其中恰有X件产品的质量在1000∼1010克，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．17. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC⊥平面A1ACC1，∠ACC1=60∘，AA1=BC=AC=2，D为AC的中点．（1）求证：AB1 // 平面BDC1；（2）求证：平面BDC1⊥平面ABC；（3）求直线AA1与平面BDC1所成角的正弦值．18. 设函数f(x)=(x2+ax+a)⋅e−x，其中x∈R，a是实数常数，e是自然对数的底数．（1）当a=2时，求f(x)在（−1, f(−1)）处的切线方程；（2）是否存在实数a，使得f(x)的极大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．19. 如图，过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD，再过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD于C、D两点，设AD、BC的交点为R．（1）求动点R的轨迹E的方程；（2）设E的上顶点为M，直线l交曲线E于P、Q两点，问：是否存在这样的直线l，使点G(1, 0)恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．20. 设n是正整数，如果1，2，3，…，2n的一个排列x1，x2，x3，…，x2n满足：在{1, 2, ...2n−1}中至少有一个i使得|x i−x i+1|=n，则称排列x1，x2，x3，…，x2n具有性质P．（1）当n=2时，写出4个具有性质P的排列；（2）求n=3时不具有性质P的排列的个数；（3）求证：对于任意n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列多．2011年北京市某校高考适应性考试数学试卷（理科）答案1. C2. B3. C4. D5. A6. C7. A8. A9. −2 10. −1 11. 1212. 5,5√3 13. 2 14. 4,3 15. 解：（1）设公比为q ，则有a 3=4，前三项的和为28， 知{a 1q 2=4a 1(1−q 3)1−q =28，解得a 1=16，q =12，或a 1=36，q =−13． ∵ 等比数列{a n }各项都为正数， ∴ a 1=36，q =−13不合题意，舍去．∴ a 1=16，q =12，a n =16×(12)n−1=32×(12)n ．（2）∵ a n =32×(12)n ，∴ b n =log 2a n =log 2[32×(12)n ]=5−n ． S n =b 1+b 2+...+b n =4+3+2+...+(5−n) =n(9−n)2． ∴ Sn n =9−n 2，∴ S11+S 22+⋯+S n n=9−12+9−22+...+9−n 2=9n 2−n(n +1)2=−(12n 2−4n)=−12(n −4)2+8．∴ n =4时，S11+S 22+⋯+S n n取最大值8．16. 解：（1）∵ (0.01+0.03+0.04+0.05+x)×5=1 ∴ x =0.07在1000∼1010上的矩形面积为(0.07+0.05)×5=0.6∴ 估计从该流水线上任取一件产品其质量在1000∼1010克的概率为0.6； （2）由题意知，X ∼B(3, 0.6)．因此P(X =0)=C 30×0.43=0.064，P(X =1)=C 31×0.6×0.42=0.288，P(X =2)=C 32×0.62×0.4=0.432，P(X =3)=C 33×0.63=0.216． 故随机变量X 的分布列为17.解：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC ⊥平面A 1ACC 1，∠ACC 1=60∘，AA 1=BC =AC =2，D 为AC 的中点．（1）连接B 1C 交C 1B 于O ，连接OD ，因为几何体是三棱柱，∴ O 为B 1C 的中点，∴ OD 是三角形B 1CA 的中位线，∴ OD // B 1C ，∵ OD ⊂平面BDC 1，B 1A ⊄平面BDC 1，∴ AB 1 // 平面BDC 1； （2）∵ BC ⊥平面A 1ACC 1，∴ C 1D ⊥BC ，又∠ACC 1=60∘，AA 1=BC =AC =2，D 为AC 的中点．∴ C 1D ⊥AC ， 又BC ∩AC =C ， ∴ C 1D ⊥平面ABC ， ∵ CD ⊂平面ABC ，∴ 平面BDC 1⊥平面ABC ；（3）直线AA 1与平面BDC 1所成角的正弦值，就是直线CC 1与平面BDC 1所成角的正弦值， 因为平面BDC 1⊥平面ABC ，所以过C 作CF ⊥BD 于F ，连接C 1F ，∴ sin∠CC1F=CFC1C =BC⋅CDBDC1C=2×1√52=√55．18. 解：（1）当a=2时，f(x)=(x2+2x+2)e−x；f′(x)=−x2e−x当x=−1时，f′(−1)=−e，f(−1)=e∴ f(x)在（−1, f(−1)）处的切线方程为y=−ex；（2）f′(x)=(2x+a)e−x−e−x(x2+ax+a)=e−x[−x2+(2−a)x]令f′(x)=0，得x=0或x=2−a，分三种情况讨论：①、a>2时，2−a<0，分析可得，x=0时，f(x)取得极大值，有f(x)极大=(0)=a⋅e−0=2，解可得a=2，又由a>2，此时无解；②、a=2时，2−a=0，f′(x)≤0，f(x)不存在极大值，不合题意；③、a<2时，2−a>0，由表可知f(x)极大=f(2−a)=(4−a)e a−2=2,又由a<2，也无解；故不存在实数a，使得f(x)的极大值为2．19. 解：（1）则x02+y02=4，由题意可知，y0≠0，且以H为切点的圆的切线斜率为：−x0y0故切线方程为：y−y0=−x0y0(x−x0)，展开得，x0x+y0y=x02+y02即以H为切点的圆的方程为x0x+y0y=4∵ A(−2, 0)，B(2, 0)将x=±2代入上述方程可得点C，D坐标分别为C(−2, 4+2x0y0)，D(2, 4−2x0y0)则l AD:y4−2xy0=x+24，l BC:y4+2xy0=x−2−4两式相乘，可消x0，y0，化简得动点R的轨迹E的方程为x 24+y2=1．（2）假设存在直线l交曲线E于P、Q两点，使点G(1, 0)恰为△PQM的垂心．设P(x1, y1)，Q(x2, y2)∵ M(0, 1)，G(1, 0)，MG⊥PQ，∴ k PQ=1设直线l 为y =x +m ，与曲线E 的方程联立，消y ，得5x 2+8mx +4m 2−4=0 由△=(8m)2−4×5(4m 2−4)>0得−√5<m <√5 x 1+x 2=85m ，x 1x 2=45(m 2−1)又∵ MP ⊥GQ ，∴ MP →⋅GQ →=0∴ x 1(x 2−1)+y 2(y 1−1)=0 又y 1=x 1+m ，y 2=x 2+m∴ x 1(x 2−1)+(x 2+m)(x 1+m −1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m −1)+m 2−m =0 ∴ 85(m 2−1)−85m(m −1)+m 2−m =0，即5m 2−3m −8=0 解得m =1或m =−85检验：当m =1时，l 过M 点，构不成三角形，舍去．当m =−85时，符合条件故直线l 的方程为y =x −8520. 解：（1）当n =2时，具有性质P 的排列有： (2, 1, 3, 4)；(2, 3, 1, 4)；(4, 1, 3, 2)，(4, 3, 1, 2) （2）当n =3时，1，2，3，4，5，6的全排列数为A 66；1，4；2，5；3，6三对数中，至少有一对相邻的排列数为C 31A 22A 55；至少有两对相邻C 32A 22A 22A 44；三对全相邻A 33A 22A 22A 22所以，n =3时不具有性质P 的排列的个数共有：A 66−C 31A 22A 55−C 32A 22A 22A 44−A 33A 22A 22A 22=240； 证明：（3）记A ={(x 1, x 2, x 3, ..., x 2n )|(x 1, x 2, x 3, ..., x 2n )具有性质P} B ={(x 1, x 2, x 3, ..., x 2n )|(x 1, x 2, x 3, ..., x 2n )不具有性质P}C ={(x 1, x 2, x 3, ..., x 2n )|恰有某一个i 使得|x i −x i+1|=n, i ≠1}显然C 是A 的子集，而且(n +1, 1, 2,…,n, n +2,…,2n)∈A ，(n +1, 1, 2,…,n, n +2,…,2n)∉C ， 所以C 是A 的真子集，所以A 中元素个数大于C 中元素个数；考虑B 中任一元素(y 1, y 2, y 3,…,y 2n )，则|y 2−y 1|≠n ，因此与y 1相差n 的数一定是某个y k ，(k >2)把y 1放到y k 的左边得到一个新排列(y 2, y 3,…,y k−1, y 1, y k ,…,y 2n )，这个排列一定是C 的元素， 作映射(y 1, y 2, y 3,…,y 2n )，→(y 2, y 3,…,y k−1, y 1, y k ,…,y 2n )， 不难证明这是一一对应，所以C 中元素个数等于B 中元素个数 综上A 中元素个数大于B 中元素个数即对于任意n ，具有性质P 的排列比不具有性质P 的排列多。