1-2-01-L001-1任意角的三角关系

1.2.2 同角三角函数的基本关系学习目标：1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．平方关系(1)公式：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 2．商数关系(1)公式：sin αcos α＝tan_α(α≠k π＋π2，k ∈Z )．(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． 思考：对任意的角α，sin 22α＋cos 22α＝1是否成立？[提示] 成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．[基础自测]1．思考辨析(1)对任意角α，sinα2cosα2＝tan α2都成立．( )(2)因为sin 2 94π＋cos 2 π4＝1，所以sin 2α＋cos 2β＝1成立，其中α，β为任意角．( )(3)对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立．( )[解析] 由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以(1)错，(3)错．[答案] (1)× (2)× (3)× 2．化简1－sin23π5的结果是( ) A ．cos 3π5B ．sin 3π5C ．－cos 3π5D ．－sin 3π5C [因为3π5是第二象限角，所以cos 3π5＜0，所以1－sin23π5＝cos23π5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 3π5＝－cos 3π5.]3．若cos α＝35，且α为第四象限角，则tan α＝________.－43 [因为α为第四象限角，且cos α＝35， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－43.][合 作 探 究·攻 重 难](1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，2，tan α＝2，则cos α＝________.(2)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值. 【导学号：84352041】[思路探究] (1)根据tan α＝2和sin 2α＋cos 2α＝1列方程组求cos α. (2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α. (1)－55[(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝2，①sin 2α＋cos 2α＝1，②由①得sin α＝2cos α代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝15，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＜0，所以cos α＝－55.] (2)∵cos α＝－817＜0，∴α是第二或第三象限的角． 如果α是第二象限角，那么 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.[规律方法] 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．[跟踪训练]1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． [解] ∵sin α＋3cos α＝0， ∴sin α＝－3cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴(－3cos α)2＋cos 2α＝1， 即10cos 2α＝1， ∴cos α＝±1010. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010.(1)已知sin α＋cos α＝13，α∈(0，π)，则tan α＝________.(2)已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值．①3sin α－cos α2sin α＋3cos α；②sin 2α－2sin αcos α＋1. 【导学号：84352042】[思路探究] (1)法一求sin αcos α→求sin α－cos α→求sin α和cos α→求tan α法二求sin αcos α→弦化切构建关于tan α的方程→求tan α (2)求tan α→换元或弦化切求值 (1)－125 [法一：(构建方程组)因为sin α＋cos α＝713，①所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169，即2sin αcos α＝－120169.因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0. 所以sin α－cos α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝1713.②由①②解得sin α＝1213，cos α＝－513，所以tan α＝sin αcos α＝－125.法二：(弦化切)同法一求出sin αcos α＝－60169，sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－60169，tan αtan 2α＋1＝－60169， 整理得60tan 2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－512或tan α＝－125.由sin α＋cos α＝713＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－125.(2)由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3.①法一(换元)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89.法二(弦化切)原式＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.②原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.] 母题探究：1.将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？[解] 由例(1)求出2sin αcos α＝－120169，因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0， 所以sin α－cos α＝－α－cos α2＝－1－2sin αcos α＝－1713.与sin α＋cos α＝713联立解得sin α＝－513，cos α＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－512.2．将本例(1)的条件“sin α＋cos α＝713”改为“sin α·cos α＝－18”其他条件不变，求cos α－sin α.[解] 因为sin αcos α＝－18＜0，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α－sin α＜0，cos α－sin α＝－1－2sin αcos α＝－1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝－52.[规律方法] 1.sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.2．已知tan α＝m ，求关于sin α，cos α的齐次式的值解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值．提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号.(1)化简1－2cos 2α＝________. (2)化简sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α.(其中α是第三象限角)[思路探究] (1)将cos 2α＝1－sin 2α代入即可化简．(2)首先将tan α化为sin αcos α，然后化简根式，最后约分．(1)1 [(1)原式＝2sin 2α－11－－sin 2α＝2sin 2α－12sin 2α－1＝1. (2)原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·－cos α21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|.又因为α是第三象限角，所以sin α＜0. 所以原式＝sin α1－cos α·1－cos α－sin α＝－1.][规律方法] 三角函数式化简的常用方法化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.[跟踪训练] 2．化简tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角． [解] 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0. 故tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.1．证明三角恒等式常用哪些方法？提示：(1)从右证到左． (2)从左证到右． (3)证明左右归一．(4)变更命题法．如：欲证明M N ＝P Q ，则可证MQ ＝NP ，或证Q N ＝P M等．2．在证明1＋sin α＋cos α＋2sin αcos α1＋sin α＋cos α＝sin α＋cos α时如何巧用“1”的代换．提示：在求证1＋sin α＋cos α＋2sin αcos α1＋sin α＋cos α＝sin α＋cos α时，观察等式左边有2sin αcos α，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin 2α＋cos 2α，所以等式左边＝2α＋cos 2α＋2sin αcos α＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝α＋cos α2＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝α＋cos αα＋cos α＋sin α＋cos α＋1＝sin α＋cos α＝右边．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.【导学号：84352043】[思路探究] 解答本题可由关系式tan α＝sin αcos α将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．[证明] 法一：(切化弦)左边＝sin 2αsin α－sin αcos α＝sin α1－cos α，右边＝sin α＋sin αcos αsin 2α＝1＋cos αsin α. 因为sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)， 所以sin α1－cos α＝1＋cos αsin α，所以左边＝右边．所以原等式成立． 法二：(由右至左) 因为右边＝tan 2α－sin 2αα－sin ααsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2αα－sin ααsin α＝tan 2α－cos 2αtan α－sin ααsin α＝tan 2αsin 2αα－sin ααsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， 所以原等式成立．[规律方法] 1.证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．提醒：解决此类问题要有整体代换思想．[跟踪训练]3．求证：(1)sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α；(2)2(sin 6θ＋cos 6θ)－3(sin 4θ＋cos 4θ)＋1＝0. [证明] (1)左边 ＝α－cos α＋α＋cos α＋α＋cos α－α＋cos α＋＝α＋2－cos 2αα＋cos α2－1＝2 α＋2sin α＋－－sin 2αsin 2 α＋cos 2α＋2sin αcos α－1＝2sin 2α＋2sin α1＋2sin αcos α－1 ＝2sin αα＋2sin αcos α＝1＋sin α cos α＝右边， ∴原等式成立．(2)左边＝2[(sin 2θ)3＋(cos 2θ)3]－3(sin 4θ＋cos 4θ)＋1 ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 4θ－sin 2θcos 2θ＋cos 4θ)－3(sin 4θ ＋cos 4θ)＋1＝(2sin 4θ－2sin 2θcos 2θ＋2cos 4θ)－(3sin 4θ＋3cos 4θ)＋1 ＝－(sin 4θ＋2sin 2θcos 2θ＋cos 4θ)＋1 ＝－(sin 2θ＋cos 2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边， ∴原等式成立．[当 堂 达 标·固 双 基]1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( ) A ．tan α＝－sin αcos αB ．cos α＝－1－sin 2α C ．sin α＝－1－cos 2 α D ．tan α＝cos αsin αB [由商数关系可知A ，D 均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B 正确．]2．sin α＝55，则sin 2α－2cos 2α的值为( ) 【导学号：84352044】A ．－35B ．－75C ．35D ．75B [因为sin α＝55，所以cos 2α＝1－sin 2α＝45， 所以sin 2α－2cos 2α＝15－2×45＝－75.]3．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A ．43 B ．3 C ．－43D ．－3A [因为tan α＝－12，所以2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－1＝43.] 4．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.－255 [因为sin αcos α＝－12，且sin 2α＋cos 2α＝1，又因为α是第二象限角，所以cosα＜0，所以cos α＝－255.]5．(1)化简sin 2α－sin 4α，其中α是第二象限角． (2)求证：1＋tan 2α＝1cos 2α.【导学号：84352045】[解] (1)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0， 所以sin αcos α＜0，所以sin 2α－sin 4α＝sin 2α1－sin 2α＝sin 2αcos 2α＝－sin αcos α.(2)证明：1＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α.。

跟踪(gēnzōng)训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
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解答
命题(mìng tí)角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值
例 2 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋co3s α的值.
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梳理(shūlǐ) 记忆口诀：“一全正
正弦，二(zhèngxián) 正切 ，三(zhèngqiē) 余弦，四
”.
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知识点三 诱导(yòudǎo)公式一
思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们(tā men)的终边有什么特点？ 它们(tā men)的三角函数值呢？ 答案 它们的终边重合(chónghé). 由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等.
3 思考(sīkǎo) 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
答案 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.
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梳理 (1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心(yuánxīn)，以单位(dānwèi)长为度半径的圆为单
解答
反思(fǎn sī)与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数， 也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大 化小”.
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跟踪训练(xùnliàn)4 求下列各式的值：
(1)cos253π＋tan－154π； 解 原式＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.

2
)
；
，
tan(3
2
)
；
， tan(2k - )
；
【例题精讲】：
例 1．（1）已知一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2 ，周长是 4cm，求中心角的
弧度数、弧长 AB 及弦长 AB 。
l
A
B
r
O
（2）已知扇形的周长为 30cm，当它的半径 r 和圆心角 各取什么值时， 扇形的面积最大？并求最大值。
k
2
的各三角函数值的化简，公式记
忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限 （把公式中的 看成锐角）。
（1） sin(2k ) ， cos(2k ) ， tan(2k )
；
（2） sin( )
， cos( )
， tan( )
；
（3） sin( )
， cos( ) ， tan( ) ；
；
终边在 y 轴上角的集合：
；
终边在坐标轴轴上角的集合：
。
2、弧度制：把 弧长等于半径的弧所对的圆心角 叫做 1 弧度的角，用符号 rad
表示，读作弧度。
用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。在用弧度制表示
角的大小时，通常省略“弧度”二字，而只写这个角对应的弧度制（实数）。
采用弧度制表示角时，可以在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关
第一或第三象限
（3）判断 sin
2
、cos
2
、tan
2
的符号；
（4）若角 还满足条件： 2 4，求角 的取值范围.
例 4 、（ 1 ） 把 11100 化 成 2k (k Z,0 2 ) 的 形 式
是
；
（

任意角的三角函数及诱导公式1．与角α终边相同的角的集合为．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为．4．象限角是指：．5．区间角是指：．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝弧度，1º＝弧度，1弧度＝≈º．8．弧长公式：l ＝；扇形面积公式：S＝.二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且|PO| ＝r，则sinα＝；cosα＝；tanα＝；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：1213α的正弦线、余弦线、正切线．0°~90º角的三角函数值．例1. 若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α,3α的终边所在位置.－＋－+cos x,＋＋－－sin x,－＋＋－tan x,xyO xyO xyO例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23; (2)cos α≤21-.例3 一扇形的周长为20 cm.当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．例4. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.例5. 已知f(α)=)sin()tan()tan()2cos()sin(αππαπααπαπ-----+---;化简f(α);例6．求值： 已知53)7cos(,2-=-<<παπαπ，求)2cos(απ+的值．例7．已知tan α=2,求下列各式的值：（1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--;（2） αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--;课后练习1．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )A.π3B.2π3C. 3 D ．22．若α为第一象限角，那么sin2α，cos2α，sin α2，cos α2中必定为正值的有() A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为() A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π44．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A ．5B ．2C ．3D ．45．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m －n 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－46.已知A ＝)(cos )cos(sin )sin(Z k k k ∈+++ααπααπ则A 构成的集合是 ( ) A ．{－1, 1, －2, 2} B ．{1, －1}C ．{2, －2}D ．{－2, －1, 01, 2}7．若角β的终边与60°角的终边相同，在[0°，360°)内，终边与角β3的终边相同的角为________．8.已知角α的终边经过点P(x ，－ 6)，且tan α＝－35，则x 的值为________． 9．已知点P(3r ，－4r)(r≠0)在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值．10．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对弧长。