1.2.1任意角的三角函数(1)

小结： 小结：
（1）任意角的三角函数的定义； ）任意角的三角函数的定义； （2）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号； ）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号； （3）诱导公式一及其应用； 公式一及其应用； ）诱导公式一及其应用 （4）体会定义过程中体现的数形结合的思想 ）体会定义过程中体现的数形结合的思想.
-
(+)
(+ )
( )
-
ycos r
y a = tan x
求证：当且仅当下列不等式组成立时， 例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时， 为第三象限角. 角 θ 为第三象限角
证明： 证明： 因为① 成立,所以 因为①式sin θ < 0 成立 所以 θ 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 或第四象限，也可能位于 轴的非正半轴上； 又因为② 成立， 又因为②式 tan θ > 0 成立，所以角θ 的终边可能位于 第一或第三象限. 第一或第三象限 因为①②式都成立， 的终边只能位于第三象限. 因为①②式都成立，所以角θ 的终边只能位于第三象限 ①②式都成立 为第三象限角. 于是角 θ 为第三象限角 反过来请同学们自己证明. 反过来请同学们自己证明
探究： 探究：
1.三角函数的定义域 三角函数的定义域 三角函数
sin α cos α tan α
定义域
π α α ≠ kπ + ,k ∈ Z 2
R R
2.三角函数值在各象限的符号 三角函数值在各象限的符号
(+ ) ( )
（+ ） ( )
( )
-
(+ )
( )
-
(+)
-

2 若a 0则r -17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
3、已知角的终边在直线y 2 x上，求角的sin ,cos , tan 的值.
OP0 (3) 2 (4) 2 5
y
M0
M
Px, y
M 0 P0 4
OM 0 3
OM x MP y
O
x
OMP ∽ OM 0 P0
P0 3,4
于是， sin y y | MP | M 0 P0 4 ; 1 OP OP0 5 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP0 5
P(a, b)
1
cos a
x

o
M
b tan a
同样的，我们可以利用单位圆来定 义任意角的三角函数。
任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )
那么:（1）y 叫做
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan （3） 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0)
y
MP b sin OP r
OM a cos OP r
﹒Pa, b

MP b tan OM a
o
﹒
M
x
问2：对于确定的角 ，这三个比值的大小和 P 点在角 的终边上的位置是否有关呢？
y
P
P(a,b)
﹒
M

甘肃省永昌县第一中学高一数学：§1.2.1 任意角三角函数（1）1.掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义.2.掌握正弦，余弦，正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.任意角的正弦，余弦，正切的定义.三角函数的值在各象限的符号.二、自主学习复习：初中锐角三角函数如何定义？预习课本第11到第14页，并完成导学预案自主预习内容三、合作探究探究一：任意角的三角函数的定义新知：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y，那么：（1）叫做α的正弦，记做sinα，即。

（2）叫做α的余弦，记做cosα，即。

（3）叫做α的正切，记做tanα，即。

探究二：三角函数符号问题：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第、象限为正（0,0y r>>），对于第、象限为负（0,0y r<>）。

②余弦值xr对于第、象限为正（0,0x r>>），对于第、象限为负（0,0x r<>）。

③正切值yx对于第、象限为正（,x y同号），对于第、象限为负（,x y异号）。

记忆法则：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。

探究三：诱导公式问题：终边相同的角同一三角函数的值有何关系？新知：诱导公式一sin(2)k απ+= ，cos(2)k απ+= ，tan(2)k απ+= ， 其中k Z ∈。

其作用是把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。

四、精讲点拨例1、求56π的正弦、余弦和正切值。

例2、已知角α的终边经过点P(2，－3)，求角α的正弦、余弦和正切值。

知识拓展：α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r =，则：sin α= ；cos α= ； tan α= 。

五、达标检测1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为（ ）A ．－55B ．－ 5C ．552D ．25 2、已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ）A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．tan 1α 4、已知角θ的终边在直线y = 33 x 上，则sin θ= ；θtan = 。

R
例题与练习
例1. 求下列各角的四个三角函数值：
(1) ;
5 (2) . 3
例题与练习
例2. 已知角的终边经过点P(－ 3,－4)， 求角的四个三角函数值．
小结:若α的终边上任意一点的坐标为 P(x,y) ,其三角函数可转化为
y x y 2 2 sin , cos , tan , ( r x y ) r r x
我们把它们统称为三角函数.
说 明：
①的始边与轴的非负半轴重合， 的终边没有表明一定是正角或负角，以 及的大小，只表明与的终边相同的角 所在的位置；
x
②根据相似三角形的知识，对于确 定的角，四个比值不以点P(x, y)在的 终边上的位置的改变而改变大小；
说 明：
2 在y轴上，终边上任意一点 的横坐标x都 y 等于0，所以tan 无意义；同理当 x x k ( k Z ) 时， cot 无意义； y
1.2.1任意角的 三角函数
复习引入
锐角三角函数的定义：
斜边 对边

sin
邻边
对边 斜边 _____;cos

邻边 斜边 _____; tan

对边 邻边 _____
锐角三角函数坐标化
O 重 设锐角 的顶点与原点 y P(a,b) 合,始边与 x 轴的非负半轴重合. P(a,b) 在 的终边上任取一点 P(a, b) ,它 r 与原点的距离 r a2 b2 α
（1）y叫做α 的正弦，记作sinα ， 即 y sinα =y； （2）x叫做α 的余弦，记作 cosα ，即cosα =x
P(x,y)
α
O
A(1,0) x
y （3） 叫做α 的正切，记作tanα ，即 x y