多目标规划模型

min f (x) x Rn
⑵ 等式约束非线性规划模型： min f (x) s.t. hj (x) 0, j 1,2, r
⑶ 不等式约束非线性规划模型： min f (x) s.t. gi (x) 0,i 1,2, m
针对上述三类非线性规划模型,其常用求解的基 本思路可归纳如下：
1 无约束的非线性规划问题
2 只有等式约束的非线性规划问题通常可用消元 法、拉格朗日乘子法或反函数法,将其化为无 约束问题求解.
3 具有不等式约束的非线性规划问题解起来很复 杂,求解这一类问题，通常将不等式化为等式 约束，再将约束问题化为无约束问题，用线 性逼近的方法将非线性规划问题化为线性规 划问题.
下面介绍一个简单的非线性规划问题的 例子,其中的一些约束条件是等式，这类非线 性规划问题可用拉格朗日方法求解.
表示当约束条件右边的值增大一个单位后，相
应目标函数值的增加值。比如说：如总存储空间由 24 变 为 25 时 ， 最 优 值 会 由 12.71 变 为 12.71 0.3947 13.10。
非线性规划解法
例9 求解非线性规划
min z (x1 1.5)2 x22
s.t.
x12
x22
1,
bj ,
i 1, 2,3 j 1, 2,3, 4
xij 0.
注: 在上面的问题中, 输水费用函数 f x 一般不是x
的线性函数. 因而相应的规划不是线性规划.
问题2 砂石运输问题
设有V立方米的砂石,要由甲地运到乙地, 运输前需
先装入一个有底无盖并在底部装有滑行器的木箱中. 砂 石运到乙地后, 从箱中倒出,在继续用空箱装运. 不论箱 子大小, 每装运一箱, 需0.1元, 箱底和两端的材料费为 20元/米2, 箱子两侧的材料费为5元/米2, 箱底的两个滑 行器与箱子同长, 材料费为2.5元/米. 问木箱的长宽高各 为多少米,才能使运费与箱子的成本费的总和为最小.

三、模型的建立与分析
1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即
max{ qixi|i=1，2,…n}
2．购买 Si 所付交易费是一个分段函数,即
pixi
交易费 =
xi>ui xi≤ui
piui
而题目所给定的定值 ui(单位:元)相对总投资 M 很小, piui 更小, 可以忽略不计,这样购买 Si 的净收益为(ri-pi)xi
max i i
i 1 k
i ( x1 , x2 , xn ) gi ( i 1,2,, m)
式中， i 应满足： 向量形式：
i 1
i 1
k
max T
s.t . ( X ) G
方法二 罚款模型（理想点法）
思想: 规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值 （或称满意值）；
二 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。



效用最优化模型 罚款模型 约束模型 目标达到法 目标规划模型
方法一
效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效
一、问题提出 市场上有 n 种资产 s i （i=1,2……n）可以选择，现用数额为 M 的相当大的资金作一 个时期的投资。这 n 种资产在这一时期内购买 s i 的平均收益率为 ri ，风险损失率为 qi ， 投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的 s i 中最大的一个风险来度量。
pi )，当购买额不超过给定值 u i 时，交易费按购买 u i 计算。另外，假定同期银行存款利率是 r0 ，既无交易费又无风险。 r0 =5%） （

目标规划模型目标规划是一种多目标决策方法，旨在寻找一个可行的目标向量，这个向量最好满足一组优先级排序的目标。

目标规划模型可以用来解决多目标决策问题。

目标规划模型通常包括以下几个要素：决策者的目标向量、决策变量、约束条件和目标函数。

决策者的目标向量是指决策者对决策问题中各个目标的优先级排序。

在目标规划模型中，通常将目标向量表示为一个具有多个元素的向量，每个元素表示各个目标的权重。

决策变量是可以被决策者调整的变量，在目标规划模型中，在决策变量的取值范围内寻找一个可行的解。

决策变量的具体取值将影响各个目标的实现程度。

约束条件是对决策变量的限制条件。

这些限制条件可能是由于资源有限，或由于业务规则等原因导致的。

约束条件是确保决策方案可行和符合实际情况的必要条件。

目标函数是目标规划模型的核心部分。

目标函数是一个由决策变量和目标向量构成的函数，表示决策方案对各个目标的实现程度。

目标函数的含义是在满足约束条件的前提下，最大化或最小化目标向量中的各个元素。

目标规划模型的解决方法通常有两种：基于罚函数的解法和基于切比雪夫距离的解法。

基于罚函数的解法通过引入罚函数，将目标规划问题转化为单目标规划问题，然后使用传统的单目标规划方法求解。

基于切比雪夫距离的解法则通过计算决策方案与目标向量之间的切比雪夫距离，将目标规划问题转化为一个单目标规划问题。

目标规划模型的求解过程通常包括以下几个步骤：确定决策变量、建立目标函数、建立约束条件、确定目标权重、求解目标规划模型。

目标规划模型具有以下几个优点：可以考虑多个目标，能够灵活地适应不同的决策需求；可以根据决策者的需求制定不同的目标权重，不受固定的优先级限制；可以通过引入不同的解决方法，得到不同的结果，提供更多的选择。

总之，目标规划模型是一种多目标决策方法，可以用于解决多目标决策问题。

它通过优化决策方案和目标向量之间的关系，寻找一个满足决策者需求的最优解。

目标规划模型具有灵活性和鲁棒性等优点，是现代决策科学中的重要工具之一。

第九章目标规划——多目 标线性规划
目标规划 Goal Programming（GP）
家具制造问题——王老板遇到的新问题
（1） 要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小 min Z = f（ d ++ d - ）
（2） 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，即正偏差变量 要尽可能地小
min Z = f（ d +） （3） 要求超过目标值，即超过量不限，但必须是即负偏差变量要 尽可能地小
目标规划 Goal Programming（GP）
第九章
目标规划
——多目标线性规划
第九章目标规划——多目 标线性规划
目标规划 Goal Programming（GP）
目标规划问题及其数学模型
目标规划（ Goal Programming ）方法是Charnes和Cooper于 1961年提出的，目前已成为一种简单、实用的处理多目标决策问题 的 方法，是多目标决策中应用最为广泛的一种方法。
木工 油漆工 1 10
资源总量（小时） 11 10
求解此问题可以得到王老板的最优生产方案： 每天生产椅子 4 把，桌子 3 张，获最大利润 62 元。
第九章目标规划——多目 标线性规划
目标规划 Goal Programming（GP）
家具制造问题——王老板遇到的新问题
王老板过去一直以如何计划两种家具的生产量才能获得最大总利 润为其生产、经营的唯一目标。然而，市场经济环境下新的问题不断 出现，它迫使王老板不得不考虑…... 1. 首先，根据市场信息，椅子的销售量已有下降的趋势，故应果断 决策减少椅子的产量，其产量最好不超过桌子的产量。 2. 其次，劳动力市场上已招不到符合生产质量要求的木工了，因此 不可能考虑增加木工这种劳动力资源来增加产量，并且由于某种原因 现有木工已不可能再加班。 3. 再次，应尽可能充分利用油漆工的现有的有效工作时间，可以通 过加班使油漆工资源增加，但应考虑油漆工希望最好不加班。 4. 最后，王老板考虑最好达到并超过预计利润指标 56元。