多目标规划及案例

多目标规划实例简介多目标规划是一种决策方法，它可以帮助人们在多个目标之间做出权衡和平衡。

在实际问题中，通常会有多个相互关联的目标需要同时考虑，而单目标规划无法满足这种需求。

多目标规划通过建立多个目标函数和约束条件之间的优化问题，从中寻找一个解集，该解集包含了一系列近似最优的解，这些解通常被称为 Pareto 最优解。

在本文中，我们将介绍一个实际的多目标规划问题，并使用 Markdown 文本格式展示其模型、目标函数和约束条件。

实例描述假设我们是一家电子产品制造公司，我们要生产两种类型的电子产品：手机和平板电脑。

我们有两个主要的目标：最大化销售额和最小化生产成本。

我们需要找到一个生产计划，使得销售额最大化同时生产成本最小化。

模型我们假设我们可以生产的手机数量为 x，平板电脑数量为 y。

我们使用以下模型描述我们的多目标规划问题：•目标函数 1：最大化销售额–销售额 = 销售价格 × 销售数量–销售价格：手机价格为 P1，平板电脑价格为 P2–销售数量：手机数量为 x，平板电脑数量为 y•目标函数 2：最小化生产成本–生产成本 = 生产成本1 + 生产成本2–生产成本1：生产一个手机的成本为C1–生产成本2：生产一个平板电脑的成本为 C2•约束条件–生产产能限制：手机数量加平板电脑数量不能超过产能上限 N–非负约束：手机数量和平板电脑数量不能为负数目标函数和约束条件根据上述模型，我们可以得到以下目标函数和约束条件。

目标函数 1：最大化销售额Maximize: P1 * x + P2 * y目标函数 2：最小化生产成本Minimize: C1 * x + C2 * y约束条件x + y <= Nx >= 0y >= 0结论多目标规划是一种强大的决策方法，可以帮助我们在多个目标之间做出权衡和平衡。

在本文中，我们介绍了一个实际的多目标规划问题，以及该问题的模型、目标函数和约束条件。

优化建模之多目标规划引例多目标问题的数学模型多目标问题的求解方法引例2007全国大学生数学建模竞赛B题乘公交，看奥运第29届奥运会明年8月将在北京举行，大部分人将会乘坐公共交通工具到现场观看奥运比赛，这些年来，城市的公交系统有了很大发展，北京市的公交线路已达800条以上，使得公众的出行更加通畅、便利，但同时也面临多条线路的选择问题。

请你们解决如下问题：1、仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。

（其它略）花费最小，时间最短，转车次数最小，堵车程度弱。

不可公度性矛盾性目标目标数学模型min x∈R∗f x =(f 1x ,f 2x ,⋯,f p x )s.t.ቊg i x ≥0,j =1,2,⋯,m h k x =0.k =1,2,⋯,lf i ,g i ,h k :R n→R.p ≥2记可行域为D.x ∗:x ∈D,f i (x)≥f i (x ∗)绝对最优解。

min x min y y xA B C D y x A B CD B 通常是不存在的。

多目标决策的本质问题是：如何根据决策者的主观价值判断，对有效解的好坏做出比较？由于可行域中的一个点，对应目标函数是一个向量，所以问题实际是：如何比较两个向量的大小？min x∈R∗f x =(f 1x ,f 2x ,⋯,f p x )（3,5),(2,7)哪个小？思想：转化为单目标问题u(x)minxϵD偏好关系：在像集f (X)上有某个二元关系（称为偏好序）反映决策者的偏好。

最优解：在给定的偏好关系下，f 在X 上的最好解。

（1）加权法：权数线性加权：ϖ1，ϖ2，⋯，ϖp ,෍i=1pϖi =1u x =෍i=1pϖi f i (x)指数加权法：u x =ෑi=1p(f i (x))ϖi（2）极小极大（min-max ）法*x ()x f 1()x f 2min xϵD u f x =min x∈D (max 1≤i≤pf i (x))min x,tt s.t.f i x ≤t,i =1,⋯,pxϵD等价转化为（3）偏差函数法b.找距离理想点最近的点作为最优解：min x∈D u x=minx∈D෍i=1p(f i x−f i∗)2(f1,f2,⋯,f p)a.给定理想点：（4）测度法：f i,min=minx∈D f i x,f i,max=minx∈Df i x,d i x=f i,min−f i xf i,max−f i,min∈0,1max x∈D ෍i=1pd i(x)或maxx∈Dෑi=1pd i(x)（5）约束法在多个目标中选定一个主要目标，而对其他目标设定一个期望值，在要求结果不比期望值坏的情况下，求主要目标的最优值。

目标、计划与执行案例目标：减肥10斤。

我这人吧，一直对自己的身材不太满意，特别是每次看到镜子里圆滚滚的自己，就下定决心要减肥。

10斤，就是我的小目标，感觉减掉这个数，我就能重新变回那个有自信的自己。

计划：1. 饮食方面。

早餐我决定抛弃那些油腻的油条和甜到齁的糕点。

改成喝一杯低脂牛奶，吃个水煮蛋，再加上一小份全麦面包。

想着那些美味的油条只能挥泪告别，心里还真有点舍不得呢。

不过为了瘦，拼了！午餐的话，肉肯定还是要吃的，毕竟我是个无肉不欢的人。

但是只能吃瘦肉，像什么红烧五花肉、油滋滋的烤鸭之类的，就只能在梦里相见了。

我会选择吃去皮的鸡肉或者瘦牛肉，搭配上一大盘水煮青菜，什么西兰花、生菜、芹菜，能塞多少是多少，还要把主食换成糙米饭，听说这玩意儿不容易长肉。

晚餐就比较简单了，一碗蔬菜汤加上半个苹果就搞定。

晚上本来就不应该吃太多，我可不想让那些食物在我肚子里变成脂肪堆积起来。

2. 运动方面。

每天早上起床先做20分钟的拉伸运动。

这可不是简单的伸伸胳膊踢踢腿，而是那种能让我全身肌肉都被唤醒的拉伸，就像给身体做个热身操，为一天的活动开个好头。

晚上下班后，我要去跑步。

刚开始跑个30分钟就行，毕竟我这小身板儿也受不了太猛的。

我还想象着自己像个轻盈的小鹿一样在跑道上奔跑，把身上的赘肉一点点甩掉。

而且跑步的时候我要听那种节奏感很强的音乐，这样才能让我更有动力。

周末的时候不能偷懒，除了日常的跑步，我还要加上30分钟的力量训练。

什么平板支撑、深蹲这些，虽然做起来有点累，但是一想到能让自己的肌肉变得紧实，也就咬咬牙坚持了。

执行：刚开始执行这个计划的时候，那叫一个痛苦啊。

早餐的时候，看到同事吃油条，那香味直往我鼻子里钻，我差点就忍不住伸手去抢了。

但是一想到自己的减肥目标，还是默默地喝了一口牛奶。

午餐吃糙米饭的时候，那口感真的是让我欲哭无泪，就像在嚼沙子一样。

不过瘦肉和青菜的搭配还算能接受，吃着吃着也就习惯了。

晚上跑步的时候，才跑了10分钟我就气喘吁吁，感觉自己的肺都要炸了。

实验二：目标规划一、实验目的目标规划是由线性规划发展演变而来的，线性规划考虑的是只有一个目标函数的问题，而实际问题中往往需要考虑多个目标函数，这些目标不仅有主次关系，而且有的还相互矛盾。

这些问题用线性规划求解就比较困难，因而提出了目标规划。

熟悉目标规划模型的建立，求解过程及结果分析。

二、目标规划的一般模型设)...2,1(n j x j =是目标规划的决策变量，共有m 个约束是国刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。

设有l 个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差是),...,2,1(,l i d d i i =-+。

设有q 个优先级别，分别为q p p p ,...,21。

在同一个优先级k p 中，有不同的权重，分别记为),...,2,1(,l j w w kj kj =-+。

因此目标规划模型的一般数学表达式为：min ∑∑=++--=+=l j j kj j kj q k k d w d w p z 11);(s.t. ,,...2,1,),(1m i b x an j i j ij =≥=≤∑= .,...2,1,0,,,...,2,1,,,...2,1,1l i d d n x o x l i g d d x c i i j i nj i i j ij =≥=≥==-++-=+-∑ 三、实验设备及分组实验在计算机中心机房进行，使用微型电子计算机，每人一机（一组）。

四、实验容及步骤1、打开LINGO ，并利用系统菜单和向导在E 盘创建一个项目。

目录和项目名推荐使用学生自己的学号。

2、以此题为例，建立数学模型，并用说明语句进行说明，增强程序的可读性。

例2.1：某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A ，B ，C 三种设备，已知有关数据见下表。

企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面：（1） 力求使利润不低于1500元；（2） 考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量比应尽量保持1：2；（3） 设备A 为贵重设备，严格禁止超时使用；（4） 设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 即要求充分利用，又尽可能不加班。

gurobi多目标优化案例
1. 生产调度问题：某工厂生产多种产品，每种产品需要不同的设备和工艺流程。

目标是最大化产量和最小化生产时间。

2. 路径规划问题：在一个城市中，有多个起点和终点，需要找到一条路径，使得总行驶距离最短、总耗时最短。

3. 设备布局问题：在一个工厂中，需要将多个设备布置在不同的位置，以最小化设备之间的距离和最大化设备的利用率。

4. 资源分配问题：某公司有多个项目需要分配资源，包括人力和设备，需要找到最佳的资源分配方案，以最大化总利润和最小化总成本。

5. 物流网络设计问题：某物流公司需要设计一个物流网络，包括仓库和运输路线，以最小化总运输成本和最大化客户满意度。

6. 供应链优化问题：某公司的供应链包括多个环节，包括采购、生产和物流，需要找到最佳的供应链优化方案，以最大化整体效益。

7. 机器学习模型选择问题：在机器学习中，有多个模型可以选择，需要找到最佳的模型组合，以最小化预测误差和最大化模型性能。

8. 资产配置问题：某投资公司需要将资金分配到不同的资产类别中，包括股票、债券和房地产，需要找到最佳的资产配置方案，以最大化总回报和最小化风险。

9. 员工排班问题：某公司有多个员工，需要安排他们的工作时间表，以最小化总工时和最大化员工满意度。

10. 项目调度问题：某项目有多个任务需要完成，每个任务有不同
的时限和资源需求，需要找到最佳的任务调度方案，以最小化总延迟和最大化项目效率。