2017年秋季新版北师大版八年级数学上学期1.3、勾股定理的应用素材5

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1．3 勾股定理的应用1．能熟练运用勾股定理求最短距离；(难点) 2．能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．(重点) 一、情境导入一个门框的宽为1.5m ，高为2m ，如图所示，一块长3m ，宽2.2m 的薄木板能否从门框内通过？为什么？二、合作探究 探究点一：求几何体表面上两点之间的最短距离【类型一】长方体上的最短线段如图①，长方体的高为3cm ，底面是正方形，边长为2cm ，现有绳子从D 出发，沿长方体表面到达B′点，问绳子最短是多少厘米？解析：可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得到的最短距离即为所求．解：如图②，在Rt △DD ′B ′中，由勾股定理得B ′D 2＝32＋42＝25；如图③，在Rt △DC ′B ′中，由勾股定理得B′D 2＝22＋52＝29.因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5cm.方法总结：此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解．【类型二】圆柱上的最短线段 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图①.已知圆筒的高为108cm ，其横截面周长为36cm ，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？解析：将圆筒侧面展开成平面图形，利用平面上两点之间线段最短求解，构造直角三角形，利用勾股定理来解决．解：如图②，在Rt △ABC 中，因为AC ＝36cm ，BC ＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2＝362＋272＝2025＝452，所以AB ＝45cm ，所以整个油纸的长为45×4＝180(cm)．方法总结：解决这类问题的关键就是转化，即把曲面转化为平面，曲线转化成直线，构造直角三角形，利用勾股定理求出未知线段长．探究点二：利用勾股定理解决实际问题如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A 出发，沿北偏东53°方向走了400m 到达点B ，然后再沿北偏西37°方向走了300m 到达目的地C.求A 、C 两点之间的距离．解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解．解：如图，过点B作BE∥AD.∴∠DAB ＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，∴AC＝500m，即A、C两点间的距离为500m.方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题．三、板书设计勾股定理,的应用)错误!)通过观察图形，探索图形间的关系，培养学生的空间观念．在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．在利用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学学习的魅力．2。

A.3,4,5
B.4,5,6
C.5,6,7
D.6,7,8
2、在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）如果a=3，b=4， 则c= ____； （2）如果a=6，c=10， 则b= ____； （3）如果c=13，b=12，则a= ____；
3、在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）
S△ABC =_____.
A
C
C
A
B
(1)
A
B
B
D
DC
(2)
(3)
知识检测
例1、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米． 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多 少米？
【答案】 如图所示，作DE⊥AB于点E ∴DE=BC=4m，BE=CD=3m ∴AE=AB-BE=6-3=3（m） ∴在Rt△AED中，∠AED=90° AD AE2 DE2 32 42 5m 答：小鸟至少飞了5m。
_____.
C
A
B
D
A
(1)
BD
C
(2)
方法导航：见特殊角作高构造直角三角形. 化非直角三角形为直角三角形.
变式1、在△ABC中，∠B=120°，BC=4cm，AB=6cm，则AC长为 _____.
变式2、如图，△ABC中,AC=4, ∠A=45°,∠B=60°,则AB长为_____.
变式3、如图，△ABC中，AB=15， BC=14， AC=13，则
（1）如果a=3，b=4， 则c= ___5_； （2）如果a=6，c=10， 则b= __8__；
（3）如果c=13，b=12，则a= __5__；
3、在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ B ）

利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。

一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）A 、41cmB 、34cmC 、50cmD 、75cm分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC ，根据已知条件，可以判断BD 是Rt△BCD 的斜边，BD 是Rt△BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。

解：在Rt△ABC 中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC=22AC AB +=41，在Rt△BCD 中，CD=3，BC=41， BD=22CD BC +=50。

所以选C 。

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。

二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？2分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。

由题意可知，S 、F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。

解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm ），FB=18―1―1=16（cm ），在Rt△SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF=22FB SB +=221630+=34（cm ），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm 。