2.1随机变量与分布函数

一、离散型随机变量分布律的定义 设离散型随机变量 X 的所有可能取值是
x1, x2 ,
即
, xn ,
，而取值 xk 的概率为
pk
k 1, 2,
P X xk pk
（Probability distribution)
称此式为X的分布律（列）或概率分布
U D R
离散随机变量分布律的表格表示法
如：上抛一枚硬币。
U
D
R
二项分布
1、伯努利试验
Binomial distribution
设随机试验E只有两种可能的结果:A及 A ,则称
E为伯努利试验(Bernoulli trials)。设P(A)=p(0<p<1),
将E独立地重复进行n次的试验构成了一个试验，这
个试验称作n重伯努利试验。
n重伯努利试验的样本空间中基本事件总数一共有几个？
1 0 1 C400 0.02 0.98399 C400 0.98400
0.9972
结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总 会发生的！ U D R
若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次， 则至少成功一次的概率为
P{ X 1} 1 P X 0 =1 0.99
X～B( n, p)
U
D
R
已知某类产品的次品率为0.2,现从一大批这类产 中随机地抽查20件,问恰好有k件(k=0,1, …,20)次品的概 率是多少? 设X表示抽取的20件产品中的次品数, 则由题意可知 ,
X
B(20,0.2),
故抽查的20件产品中恰好有k件次品的概率为
P X k C 0.2 0.8
P

随机变量及其分布函数将随机事件以数量来标识，即用随机变量描述随机现象的研究方法，它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。

分布函数则完整的表述了随机变量。

一、 随机变量与分布函数(1) 随机变量：取值依赖于某个随机试验的结果（样本空间），并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。

分布函数：[1] 定义：设X 是一个随机变量，对任意实数x ，记作(){}F x P X x ≤=，称()F x 为随机变量X 的分布函数，又称随机变量X 服从分布()F x ，显然，函数()F x 的定义域为(),-∞+∞，值域为[0,1]。

[2] 性质：❶()F x 单调非降。

❷()0F -∞=、()1F +∞=。

❸()(0)F x F x =+，即()F x 一定是右连续的。

❹对于任意两个实数a b <，{}()()P a X b F b F a <≤=-❺对于任意实数0x ，000{}()()P X x F x F x ==-- ❻000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ❼000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →-=≤<=-❽000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量(1) 离散型随机变量[1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。

其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下：[2] 性质：❶0i p ≥❷11nii p==∑❸分布函数()i i x xF x p ==∑❹1{}()()i i i P Xx F x F x -==-(2) 连续型随机变量[1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：()()xF x f x d x-∞=⎰则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。

（3）>> poisscdf(6.1,3) 运行结果为： ans = 0.9665 >> poissinv(0.345,3) 运行结果为： ans = 2 或者：>> icdf('poiss',0.345,3) 运行结果为： ans = 2
3．设随机变量 X服从区间[2, 6]上的均匀 分布，求 （1）X=4 时的概率密度值； （2） P{X≤5}； （3）若P{X≤x}=0.345，求x。 (1)>> unifpdf(4,2,6) 运行结果为： ans = 0.2500
（3）>> expinv(0.345,6) 运行结果为： ans = 2.5387 或者：>> icdf('exp',0.345,6) 运行结果为： ans = 2.5387
5．设随机变量 X 服从均值是 6，标准差是2 的正态分布，求： （1）X=3，4，5，6，7，8，9 时的概率密度 值； （2）X=3，4，5，6，7，8，9 时的分布函数 值； （3）若P{X≤x}=0.345，求x； （4）求标准正态分布的上0.05分为点。 （1）>> normpdf(3:9,6,2) 运行结果为： ans = 0.0648 0.1210 0.1760 0.1995 0.1760 0.1210 0.0648
2.1 验证性实验
实验一 常见分布的概率密度、分 布函数生成
【实验目的】 1.会利用 Matlab 软件计算离散型随机变量 的概率、连续型随机变量概率密度值, 以及 产生离散型随机变量的概率分布(即分布律) 2.会利用 Matlab 软件计算分布函数值, 或计 算形如事件{X≤x}的概率 3.会求上α分位点以及分布函数的反函数值

28
例2.2.9 设在时间t分钟内通过某交叉路口的汽车 数服从参数与t成正比的泊松分布. 已知在一分钟内 没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内多于一辆 车通过的概率.
S={红色、白色} ?
将 S 数量化
非数量 可采用下列方法
X ()
红色 白色
S
1 0R
3
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, 红色, X () 0, 白色.
这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
4
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 X () 恒等变换
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泊松分布是一个非常常用的分布律，它常与 单位时间、单位面积等上的计数过程相联系. 例如一小时内来到某百货公司中顾客数、单位 时间内某电话交换机接到的呼唤次数和布匹 上单位面积的疵点数等随机现象都可以用泊
松分布来描述. 附表 2 给出了不同 值对应的
泊松分布函数的值.
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泊松分布的取值规律
记 P(k; ) k e ，则
P
1 2
X
5
2
P(X
1 X
2)
P(X 1) P(X 2) 5
9
12
例 2.2.2 一只口袋中有 m 只白球， n m 只黑球.连 续无放回地从这口袋中取球，直到取出黑球为止．设 此时取出了 X 只白球，求 X 的分布律.
解 X 的可能取值为 0,1,2,, m ，且事件{X i}意 味着总共取了 i+1 次球，其中最后一次取的是黑球而 前面 i 次取得都是白球.
或 X ~ Bn, p.
二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中事 件A发生的概率均为p，则在n重伯努利试验中A发生 的次数服从参数为n,p的二项分布。