2、3、绝对值

绝对值x的定义域

绝对值x是一个非常基础的数学概念，在很多数学学科中都有广泛的应用。绝对值x表示一个数x到0的距离，即 |x| = x（当x≥0时）或 |x| = -x（当x<0时）。绝对值的定义域包括了所有实数集，即D(f) = R。

在数学中，绝对值x还有一些特殊的性质和应用，下面将围绕这些方面来详细介绍。

1. 绝对值的基本性质

绝对值x具有以下基本性质：

（1）|x|≥0，对于任意的x∈ R。

（2）|x|=0当且仅当x=0。

这些基本性质为后续绝对值的应用奠定了基础。

2. 绝对值的应用

（1）求距离

绝对值x可以用来求两个点之间的距离。例如，设点A(x1，y1)和B(x2，y2)为平面直角坐标系上的两点，则它们之间的距离为：

|AB| = √(x2-x1)² + (y2-y1)²

（2）求区间

绝对值x还可以用来表示区间。例如，当x∈[-5，5]时，可以表示为：

|x| ≤ 5

表示[-5，5]这个区间。

（3）解不等式

绝对值x还可以用来解一元不等式。例如，对于不等式|x-2|≥3，可以分为两种情况：

①当x-2≥0时，|x-2|=x-2，那么不等式可以转化为x-2≥3，即x≥5。

综合以上两种情况，解得x∈(-∞，-1]∪[5，+∞)。

（4）求函数的最小值和最大值

在一些函数的极值问题中，绝对值x也有很好的应用。例如，设f(x) = |x-2|+|x-5|+|x-10|，则可以求出f(x)的最小值和最大值。 首先，当2≤x≤5时，f(x) = (x-2)+(5-x)+(10-x) = 13-3x。当5≤x≤10时，f(x)

= (x-2)+(x-5)+(10-x) = 3x-3。当x≤2或x≥10时，f(x) = (2-x)+(5-x)+(x-10) = -3x-3。

2.4.2绝对值与相反数——绝对值分层练习

考察题型一求一个数的绝对值

1．下列各对数中，互为相反数的是()

A．(5)与(5)B．1

2与(0.5)

C．|0.01|与1

()

100D．1

3与0.3

【详解】解：A．(5)5，(5)5，不合题意；

B．(0.5)0.5，与1

2相等，不合题意；

C．|0.01|0.01，11

()0.01

100100，0.01与0.01互为相反数，符合题意；

D．1

3与0.3不是相反数，不合题意．

故本题选：C．

2．若

m、

n互为相反数，则|5|mn．

【详解】解：

m、

n互为相反数，|5||5|5mn．

故本题答案为：5．

3．比较大小：3

(1

5)|1.35|．（填“

”、“

”或“”）【详解】解：3

(1)1.6

5，|1.35|1.35，

因为1.61.35，所以3

(1

5)|1.35|．

故本题答案为：

．

考察题型二绝对值的代数意义

1．最大的负整数是，绝对值最小的数是．

【详解】解：最大的负整数是1，绝对值最小的数是0．

故本题答案为：1，0．

2．如果|2|2aa，则

a的取值范围是()A．0aB．0a

C．0a

D．0a

【详解】解：|2|2aa，

20a，解得：0a．

故本题选：C．

3．如果一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是()

A．正数B．负数C．正数或零D．负数或零

【详解】解：一个数的绝对值是它的相反数，

设这个绝对值是

a，则||0aa，0a．

故本题选：D．

4．已知实数满足|3|3xx，则

x不可能是()

A．1B．0C．4D．3

【详解】解：|3|3xx，

30x

，即3x

．

故本题选：C．

5．下列判断正确的是()

A．若||||ab，则abB．若||||ab，则ab

C．若ab，则||||abD．若ab，则||||ab

【详解】解：若||||ab，则ab或ab，所以A，B选项错误；

第 1 页 共 2 页 根据绝对值求取值范围洋葱数学

（实用版）

目录

1.绝对值的基本概念

2.绝对值的取值范围

3.求解绝对值不等式的方法

4.举例说明

正文

一、绝对值的基本概念

绝对值是一个数到 0 的距离，因此它总是非负的。对于实数 x，其绝对值表示为|x|，当 x≥0 时，|x|=x；当 x<0 时，|x|=-x。

二、绝对值的取值范围

绝对值的取值范围是非负实数，即 [0, +∞)。

三、求解绝对值不等式的方法

求解绝对值不等式的关键是分段讨论，根据绝对值符号内的数的正负情况，分别讨论其取值范围。

例如，对于不等式|x-2|≤3，我们可以分段讨论：

当 x-2≥0 时，即 x≥2 时，原式化为 x-2≤3，解得 x≤5；

当 x-2<0 时，即 x<2 时，原式化为-x+2≤3，解得 x≥-1。

综合以上两种情况，得到 -1≤x≤5，即原不等式的解集为 [-1, 5]。

四、举例说明

假设我们要求解不等式|3x-1|≤2，我们可以按照以下步骤进行：

1.分段讨论：当 3x-1≥0 时，即 x≥1/3 时，原式化为 3x-1≤2， 第 2 页 共 2 页 解得 x≤1；当 3x-1<0 时，即 x<1/3 时，原式化为 -3x+1≤2，解得 x≥-1/2。

2.求解交集：将两个解集取交集，得到 -1/2≤x≤1，即原不等式的解集为 [-1/2, 1]。

绝对值的运算公式

绝对值在数学中是一个常见的概念，表示一个数与0之间的距离。绝对值的运算公式可以用来计算一个数的绝对值。下面我们来详细介绍绝对值的运算公式及其应用。

一、绝对值的定义

绝对值是一个非负数，它表示一个数到0的距离。对于任意实数x，其绝对值记作|x|，定义如下：

当x≥0时，|x|=x；

当x<0时，|x|=-x。

二、绝对值的运算公式

绝对值的运算公式主要包括以下三种情况：

1. 若x≥0，则|x|=x。

当一个数x大于或等于0时，它的绝对值就等于它本身。例如，|3|=3，|7|=7。

2. 若x<0，则|x|=-x。

当一个数x小于0时，它的绝对值等于它的相反数。例如，|-4|=4，|-9|=9。

3. 绝对值的性质：

（1）|x|≥0，绝对值是一个非负数。

（2）若x≥0，则|x|^2=x^2；若x<0，则|x|^2=(-x)^2。

（3）若x>0，则1/x=1/|x|。

（4）若x>0，则x=|x|；若x<0，则-x=|x|。

三、绝对值的应用

1. 数轴上的绝对值

绝对值可以用来计算一个数在数轴上的位置。例如，对于数轴上的点A和点B，它们的坐标分别为x和-x，那么点A和点B的距离是相同的，即|A|=|B|。

2. 解绝对值方程

解绝对值方程是指求出满足方程|f(x)|=a的所有解x的值。其中，a为非负实数。解绝对值方程的关键是根据绝对值的定义，将方程拆分为正负两种情况进行求解。

3. 求绝对值函数的图像

绝对值函数是指y=|f(x)|形式的函数，它的图像是一条折线。根据绝对值的定义，当x≥0时，y=f(x)；当x<0时，y=-f(x)。因此，绝对值函数的图像在x=0处有一个转折点。

4. 求绝对值的和、差、积

绝对值的运算公式可以用于计算绝对值的和、差、积。例如，|a+b|=|a|+|b|，|a-b|=|a|-|b|，|ab|=|a|*|b|。

绝对值的运算公式是一个重要的数学工具，它能够帮助我们计算数的绝对值，解决各种数学问题。通过理解和掌握绝对值的运算公式，我们能够更好地应用它进行数学推理和计算，提高数学问题的解答能力。