2018-2019年人教A版高中数学选修1-1练习：2.2 2.2.1 双曲线及其标准方程 Word版含解析

解：设 | PF1 | t1,| PF2 | t2
由双曲线的第一定义得：
| t1 t2 | 6
.
F1 O
由余弦定理得：
P.
.
F2
x
cos t12 t22 100 1
3
2t1t2
2
(t1 t2 )2 2t1t2 100 1
2t1t2
2
t1t2 64
SF1PF2
且 | PF2 | 4，求 b
解：| PF1 | | PF2 || F1F2 |2 4c2 16 4b2
y
由| PF2 | 4知，点P在双曲线右支
由双曲线的第一定义得： | PF1 | | PF2 | 2a 4
.
F1 O
16 4b2 (4 | PF2 |) | PF2 | | PF2 |2 4 | PF2 |

1

2 t1t2 sin 3
16
3
推广:若F1PF2 , 求SF1PF2 .
解：SF1PF2
b2
.
tan
2
例4：已知椭圆 x2 a12

y2 b12
（1 a1
b1

0）与双曲线
x2 a22

y2 b2
2
1
（a2 0，b2 0）有公共焦点F1、F2，设P是它们的一个 交点，试用b1、b2表示△PF1F2的面积。
例1：当0 180 时,方程x2cos +y2sin =1的
曲线怎样变化.
提示：分类讨论
例2：求下列动圆圆心M的轨迹
(1)与圆C:(x+2)2 +y2 =4内切,且过点A(2,0);

高中数学人教版选修1-1（文科）第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）过已知双曲线-=1（b＞0）的左焦点F1作⊙O2：x2+y2=4的两条切线，记切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB=120°，则双曲线的离心率为（）【考点】2. （2分）(2018·石嘴山模拟) 已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为（）A .B .C .D .【考点】3. （2分） (2019高二上·四川期中) 已知圆：（为圆心），点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹是（）A . 两条直线B . 椭圆C . 圆D . 双曲线【考点】4. （2分） (2017高二下·新疆开学考) 过椭圆的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为（）A . 8B . 4C . 4D .【考点】5. （2分）(2017·常德模拟) 已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=± x，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .【考点】6. （2分）“”是“直线与圆相切”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件【考点】7. （2分）双曲线的渐近线方程是（）【考点】8. （2分） (2019高二下·南山期末) 直线l过点且与双曲线仅有一个公共点，这样的直线有（）条.A . 1B . 2C . 3D . 不确定【考点】二、填空题 (共3题；共4分)9. （1分） a=3，b=4焦点在x轴上的双曲线的标准方程为________．【考点】10. （2分）(2017·朝阳模拟) 已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F．设这两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点P的横坐标是________；该双曲线的渐近线方程为________．【考点】11. （1分） (2019高三上·大冶月考) 在平面边形中，，则的最小值为________.【考点】三、解答题 (共3题；共20分)12. （5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【考点】13. （5分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知双曲线C1： =1，（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，若抛物线C2：x2=2py，（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，求抛物线C2的标准方程．【考点】14. （10分） (2016高一下·南充期末) 已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC= ．（1）求角A；（2）若a=2 ，b+c=4，求△ABC的面积．【考点】参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共4分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：三、解答题 (共3题；共20分)答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、答案：14-2、考点：解析：。

双曲线及其标准方程---------学习要点1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 思考探究定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当常数等于|F 1F 2|时，点的轨迹是什么？当常数小于|F 1F 2|时，点的轨迹是什么？ 2．双曲线的标准方程1.待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．2．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用． 要点1：双曲线的定义及应用例1： 下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|－|PF 2|＝2的点P 的轨迹为双曲线； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足||PF 1|－|PF 2||＝4的点P 的轨迹为两条射线； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P 的轨迹为双曲线；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线．【自主解答】 ①2＜2，故点P 的轨迹是双曲线的一支；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7，而7＞6，故点P 的轨迹不存在；④点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离为 －3－1 2＋ －1－2 2＝5＜8，故点P 的轨迹是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点的双曲线．2．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝10，即|12－|PF 2||＝10.解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22. 【精彩点拨】1．求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．要点2：求双曲线的标准方程 例2：根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．【自主解答】 (1)法一：(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程得25a 2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上，则2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25，∴a ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9－5＝4.即双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧1a 2－1b 2＝1，－2 2a 2－52b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝78，b 2＝7.若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理有⎩⎪⎨⎪⎧1a 2－1b 2＝1，52a 2－ －22b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－7，b 2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)．将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1. 【精彩点拨】求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程．(2)用待定系数法，具体步骤如下：要点3：求双曲线的轨迹方程例3：已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【自主解答】 如图，设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，∴|MC 1|－|MC 2|＝2 2.又C 1(－4,0)，C 2(4,0)，∴|C 1C 2|＝8，∵22＜|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4，0)为焦点的双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14，∴点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1(x ≥2)．【精彩点拨】1．本题易忽略|MC 1|－|MC 2|＝22没有“绝对值”，故忘加“x ≥2”这一条件． 2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝± 2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝± 12x解析：由题意得b ＝1，c ＝ 3.∴a ＝ 2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝± b a x ，即y ＝±22x .答案：C2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2 解析：将双曲线2x 2－y 2＝8化成标准方程x 24－y 28＝1，则a 2＝4，所以实轴长2a ＝4.答案：C3．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D.14解析：∵方程mx 2＋y 2＝1表示双曲线， ∴m <0.将方程化为标准方程为y 2－x 2－1m＝1. 则a 2＝1，b 2＝－1m.∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍， ∴可知b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.答案：A4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ) A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ． y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：令y ＝0，则x ＝－4，即c ＝4， 又c 2＝a 2＋b 2，a ＝b ，∴c 2＝2a 2，a 2＝8. 答案：A5．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°， ∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca ＝ 2.故选D.答案：D6．(2015·高考北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a ＞0，所以1a ＝3，所以a ＝33.答案：337．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________． 解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案：28．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝ca ＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， ∴方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝1 9．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，求双曲线的渐近线方程及离心率．解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， 所以椭圆的右焦点坐标为(3m 2－5n 2，0)， 双曲线的右焦点坐标为(2m 2＋3n 2，0)， 所以3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，所以m 2＝8n 2， 即|m |＝22|n |，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±6|n |2|m |x ，y ＝±34x .离心率e ＝2m 2＋3n 22|m |＝194，e ＝194.10．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标． 解析：(1)由题意知a ＝23， ∴一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝3， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12， ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[B 组 能力提升]1．(2016·高考全国Ⅰ卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ． (－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：根据双曲线的焦距，建立关于n 的不等式组求解．若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n >0，3－n >0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2>0，－m 2－n >0， 即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A. 答案：A2．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是( ) A ．(1,1＋2) B ．(1＋2，＋∞) C ．(1－2，1＋2)D ．(2，2＋1)解析：由△ABF 2为锐角三角形得， b 2a 2c <tan π4＝1，即b 2<2ac ，∴c 2－a 2<2ac ， ∴e 2－2e －1<0，解得1－2<e <1＋2， 又e >1，∴1<e <1＋ 2. 答案：A3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A ()0，66，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________． 解析：由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0， 解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6. 答案：12 64．(2015·高考天津卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________． 解析：由双曲线的渐近线y ＝±bax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝1 5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且a 2c ＝33.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解析：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，ca ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)． 所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上， 所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程． 解析：(1)由已知得c ＝2，e ＝2， ∴a ＝1，b ＝ 3. ∴所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)的坐标满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 2－y 23＝1， ② 将①式代入②式，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*) 设MN 的中点为(x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝m 2，y 0＝x 0＋m ＝3m 2，所以线段MN 垂直平分线的方程为y －3m2＝－⎝⎛⎭⎫x －m 2 即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)， 可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2 此时(*)的判别式Δ>0， 故直线l 的方程为y ＝x ±2。