高中数学人教A版必修第二册随机事件与概率概率的基本性质(一)教学内容概率的基本性质（二）教学目标1.理解概率的基本性质，会利用概率的基本性质解决简单问题；2. 类比函数性质的研究内容和方法，提出概率基本性质的研究内容和方法3.经历具体实例的探究过程，归纳出概率的基本性质，提升逻辑推理素养（三）教学重点与难点教学重点：通过探究具体实例，归纳出概率的基本性质教学难点：类比函数性质的研究内容和方法，提出概率基本性质的研究内容和方法（四）教学过程设计一、引入新课我们在研究函数的时候，是沿着怎样的路径来研究的？类比函数的研究路径，想一想，可以从哪些角度研究概率的性质？答：在先给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用．类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质．例如：概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等二、课堂探究问题１：概率表示的是一个事件发生的可能性大小，想一想概率的取值范围是什么？那些特殊的事件的概率是怎样的？（1）任何事件的概率都是非负的；（2）在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生．一般地，概率有如下性质：性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥０．性质2 必然事件的概率为１，不可能事件的概率为０，即P（Ω）＝１，P（∅）＝0问题2：我们研究过事件之间的某些关系，设事件A与事件B互斥，和事件A∪B的概率与事件A，B的概率之间具有怎样的关系？例如：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”．事件R，G的概率之间具有怎样的关系？事件R＝“两次都摸到红球”与事件G＝“两次都摸到绿球”互斥，R∪G＝“两次摸到的球颜色相同”因为n（R）=2，n（G）=2，n（R∪G）=4，所以P（R）= P（G）=212P（R∪G）=412因此P（R∪G）=2+212=P（R）+ P（G）一般地，因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n（A∪B）= n（A）+n（B），这等价于P（A∪B）= P（A）+P（B），即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和．性质３如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）= P（A）+P（B）．扩展:互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况．如果事件A1，A2，…，A m两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪A m发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（A1∪A2∪…∪A m）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（A m）追问：设事件A和事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系？因为事件A和事件B互为对立事件，所以和事件A∪B为必然事件，即P（A∪B）=１．由性质３，得1=P（A∪B）= P（A）+P（B）．由此我们得到性质４如果事件A和事件B互为对立事件，那么P（B）=1− P（A），P（A）=1− P（B）追问：若事件A与事件B有包含关系，那么这两个事件的概率有什么关系吗？在古典概型中，对于事件A与事件B，如果A⊆B，那么n（A）≤n（B），于是n（A）n（Ω）≤n（A）n（Ω），即P（A）≤P（B）一般地，对于事件A与事件B，如果A⊆B，即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率．于是我们有概率的单调性：性质5：如果A⊆B，那么P（A）≤P（B）那么，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以０≤P（A）≤１．思考：上面例子中，一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”．用R１∪R２表示“两个球中有红球”，那么P（R１∪R２）和P（R１）+P（R２）相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P（R１∪R２）因为n （Ω）=12，n （R 1）= n （R 2）=6n （R １∪R ２）=10，所以P （R 1）= P （R 2）=612， P （R １∪R ２）=1012.因此，P （R １∪R ２）≠P （R 1）+ P （R 2）这是因为R １∩R ２={（1,2），（2,1）}，即事件R １，R ２不是互斥的，容易得到P （R １∪R ２）=P （R 1）+ P （R 2）−P （R １∩R ２）性质６ 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有P （A ∪B ）=P （A ）+ P （B ）−P （A ∩B ）➢ 显然，性质３是性质６的特殊情况． 利用上述概率的性质，可以简化概率的计算．三、知识应用例1 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A ＝“抽到红心”，事件B ＝“抽到方片”，P （A ）＝P （B ）＝14．那么（1）C ＝“抽到红花色”，求P （C ）；（2）D ＝“抽到黑花色”，求P （D ）．解：（1）因为C ＝A ∪B ，且A 与B 不会同时发生，所以A 与B 是互斥事件．根据互斥事件的概率加法公式，得P （C ）＝P （A ）＋P （B ）＝14+14=12（2）因为C 与D 互斥，又因为C ∪D 是必然事件，所以C 与D 互为对立事件．因此P （D ）＝1－P （C ）＝1－12=12 例2 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况．如果设A ＝“中奖”，A 1＝“第一罐中奖”，A 2＝“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题．解：设事件A ＝“中奖”，事件A 1＝“第一罐中奖”，事件A 2＝“第二罐中奖”，那么事件A 1A 2＝“两罐都中奖”， A 1A 2̅̅̅＝“第一罐中奖，第二罐不中奖”， A 1̅̅̅A 2＝“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且A ＝A 1A 2∪A 1A 2̅̅̅∪A 1̅̅̅A 2．因为A 1A 2，A 1A 2̅̅̅， A 1̅̅̅A 2两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P （A ）＝P （A 1A 2）＋P （A 1A 2̅̅̅）＋P （A 1̅̅̅A 2）．我们借助树状图来求相应事件的样本点数．可以得到，样本空间包含的样本点个数为n （Ω）＝6×5＝30，且每个样本点都是等可能的．因为n （A 1A 2）＝2，n （A 1A 2̅̅̅）＝8，n （A 1̅̅̅A 2）＝8，所以．533018308308302)(==++=A P 上述解法需要分若干种情况计算概率．注意到事件A 的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于A 1̅̅̅ A 2̅̅̅＝“两罐都不中奖”，而n （A 1̅̅̅ A 2̅̅̅）＝4×3＝12，所以P （A 1̅̅̅ A 2̅̅̅）=1230=25因此．53521)(1)(21=-=-=A A P A P四、课堂练习 1．从一副混合后的扑克牌（不含大小王）中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则P （A ∪B ）=（ 726 ）2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（ D ）A ．0B ．0.3C ．0.6D ．0.4分析：事件“射中10环”，“射中9环”，“射中8环”两两互斥，则一次射击中够8环的概率为0.2+0.3+0.1=0.6，不够8环的概率为1-0.6=0.43．已知()0.5P A =，()0.6P B =，()0.9P A B =，则()P A B =（ 0.2 ）． 分析：P （A ∪B ）=P （A ）+ P （B ）−P （A ∩B ）故0.9=0.5+0.6−P （A ∩B ）所以P （A ∩B ）=0.24．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13，假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率是（ 23 ）分析：设甲落入盒子为事件A ，乙落入盒子为事件B ，P （A ）=12，P （B ̅）=23， P （A ∪B ）=1− P （A B ̅）=1−12×23=23五、归纳总结性质1 对任意的事件A ，都有P （A ）≥０．性质2 必然事件的概率为１，不可能事件的概率为０，即P （Ω）＝１，P （∅）＝0 性质３ 如果事件A 与事件B 互斥，那么P （A ∪B ）= P （A ）+P （B ）．扩展:互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况．如果事件A 1，A 2，…，A m 两两互斥，那么事件A 1∪A 2∪…∪A m 发生的概率等于这m 个事件分别发生的概率之和，即P （A 1∪A 2∪…∪A m ）＝P （A 1）＋P （A 2）＋…＋P （A m ）性质４ 如果事件A 和事件B 互为对立事件，那么P （B ）=1− P （A ），P （A ）=1− P （B ） 性质5 如果A ⊆B ，那么P （A ）≤P （B ）那么，对于任意事件A ，因为∅⊆A ⊆Ω，所以０≤P （A ）≤１．性质６ 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有P （A ∪B ）=P （A ）+ P （B ）−P （A ∩B ）。
