福建省宁德市2014届普通高中毕业班5月质检数学（理科）试卷（2014年5月）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =13Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题p ：“若1a >，则21a >”的否命题是 A ．若1a >，则21a ≤ B ．若1a ≤，则21a ≤ C ．若1a ≤，则21a ≥D ．若21a >，则1a >2．若向量(2,1)=-a ，(0,2)=b ，则以下向量中与+a b 垂直的是 A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(0,2)3．已知复数i z a b =+(i 为虚数单位)，集合{1,0,1,2}A =-，{2,1,1}B =--．若,a b A B ∈，则z 等于A ．1BC ．2D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．23B ．43C ．83D ．45．若函数2()2cos f x x ω=的最小正周期为π，则f π⎛⎫⎪4⎝⎭的值等于A ．2B ．C ．1D ．06．下列函数中，为偶函数且在()0,+∞内为增函数的是 A ．2()sin f x x = B ．223()+f x x x= C ．122()+f x x x = D ．()(e e )xxf x x -=- 7．已知随机变量X 服从正态分布，X 的取值落在区间(3,1)--内的概率和落在区间(3,5)内的概率是相等的，那么随机变量X 的数学期望为A ．2-B ．0C ．1D ．28．设P 是不等式组0,21,3y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩表示的平面区域内的任意一点，向量=(11)，m ，=(21)，n ．若OP λμ=+m n （λμ∈R ，则μ的最大值为A ．3B ．13C ．0D ．1-9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的[0,2)x ∈，则输出的结果可能是 A ．1- B ．0 C ．1.5 D ．310．动曲线1Γ的初始位置所对应的方程为：22221(0)x y x a b-=<，一个焦点为1(,0)F c -，曲线2Γ：22221(0)x y x a b-=>的一个焦点为2(,0)F c ，其中0,0a b >>，c =现将1Γ沿x 轴向右平行移动．给出以下三个命题：①2Γ的两条渐近线与1Γ的交点个数可能有3个；②当2Γ的两条渐近线与1Γ的交点及2Γ的顶点在同一直线上时，曲线1Γ平移了a 个单位长度；③当1F 与2F 重合时，若1Γ，2Γ的公共弦长恰为两顶点距离的4倍，则1Γ的离心率为3．其中正确的是A ． ②③B ． ①②③C ． ①③D ．②俯视图第II 卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．在()61x +的展开式中2x 的系数为 （用数字表示）． 12．一个总体由编号为01，02，，49，50的50个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第2行的第3列的数0开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ．13．定义在R 上的函数()f x 过点01)(，，且()2f x x '=，则10()f x dx ⎰的值等于 ． 14．已知函数1,0,g()0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩若函数2()2g(ln )1f x x x x =⋅+-，则该函数的零点个数为 ．15．若实数,x y 满足22(2)11+cos 2x y x x y++π=+，则22(1)x y ++的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本小题满分13分)某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良． （Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．（背面还有试题）17．(本小题满分13分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且222a b c +=+． （Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =b -的取值范围．18．(本小题满分13分)如图，在三棱锥C OAB -中， CO ⊥平面AOB ， 2=2OA OB OC ==，AB =，D 为AB 的中点．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面COD ；（Ⅱ）若动点E 满足CE ∥平面AOB ，问：当AE BE =时，平面ACE 与平面AOB 所成的锐二面角是否为定值？若是，求出该锐二面角的余弦值；若不是，说明理由．19．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 上的任意一点到点()()1,0,1,0A B -的距离之和为（Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2C ：223+12y x =，若斜率为k 的直线OM 交椭圆2C 于点M ，垂直于OM 的直线ON 交曲线1C 于点N ．（i ）求证：MN的最小值为；（ii ）问：是否存在以原点为圆心且与直线MN 相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足11a t =>，11n n n a a n ++=．函数21()ln(1)(0,)2f x x mx x m ⎡⎤=++-∈⎢⎥⎣⎦．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）试讨论函数()f x 的单调性；（III ）若12m =，数列{}n b 满足()+n n n b f a a =，求证：22n n na ab <<+1．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．OACDBE（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知关于x ，y 的二元一次方程组为221a x e y f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭﹒（Ⅰ）若该方程组有唯一解，求实数a 的取值范围;（Ⅱ）若2a =，且该方程组存在非零解x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足e x f y λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求λ的值﹒（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线1C 的方程为sin()06ρθπ-+=，曲线2C 的参数方程为cos ,sin .x y θθ=⎧⎨=⎩（Ⅰ） 将1C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点Q 为2C 上的动点，P 为1C 上的动点，求PQ 的最小值． （3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 已知函数()4f x x =-﹒（Ⅰ）若()2f x ≤，求x 的取值范围;（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()g x =理科数学试题参考解答及评分标准（2014年5月）说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．B ； 2．A ； 3．B ； 4．B ； 5．C ； 6．D ； 7．C ； 8．A ； 9．C ； 10．A 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分． 11．15 ； 12．20； 13．43； 14．3； 15．2．三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．本小题主要考查茎叶图、众数、中位数、随机变量的分布列、期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）这组数据的众数为86，中位数为86；…………………4分 （Ⅱ）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为34，故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为34，……………5分设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A ， 则()3033163()11146464P A C =-⨯-=-=；…………………7分（Ⅲ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．………………8分333121(0)220C P C ξ===，129331227(1)220C C P C ξ===，219331210827(2)=22055C C P C ξ===，393128421(3)=22055C P C ξ===，所以ξ的分布列为…………………12分12727219012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………13分 17．本小题主要考查正、余弦定理、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）由222a b c +=+，得222a b c +-=， 所以2cos ab C =，cos C =2分 由(0,)C ∈π，C π=6．…………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得A B 5π+=6，即B A 5π=-6， 又ABC ∆为锐角三角形，故0,0,A A5ππ⎧<-<⎪⎪62⎨π⎪<<⎪⎩2从而A ππ<<32．…………………6分由1c =，所以1sin sin sin a bA B==π6， 故2sin a A =，2sin b B =，2sin b A B -=-…………………8分2sin A A π⎛⎫=-+ ⎪6⎝⎭2sin cos 2cos sin A A A ππ=--66cos A A =-2sin A π⎛⎫=- ⎪6⎝⎭．…………………11分由A ππ<<32，所以A πππ<-<663，所以1sin 2A π⎛⎫<-< ⎪6⎝⎭，b -∈13分18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分． 解法一：（Ⅰ）在三棱锥C OAB -中， CO ⊥平面AOB ， CO ∴⊥AB ．…………………2分 又OA OB =，D 为AB 的中点， ∴DO ⊥AB ．…………………4分 ∵DOCO O =，∴AB ⊥平面COD ．…………………5分 （Ⅱ）∵=2OA OB =，AB =， AO ∴⊥BO ．…………………5分由CO ⊥平面AOB ，故以点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系（如图），由已知可得(0,0,0),O (2,0,0),(0,2,0),(0,0,1),A B C (1,1,0)D ．…………………7分由CE ∥平面AOB ，故设(,,1)E x y ．…………………8分 由AE BE == 故x y =，即(,,1)(0)E x x x ≠．…………………9分设平面ACE 的法向量为1=(,,)a b c n ，由(2,0,1)AC =-，(,,0)CE x x =，得 20,0,a c ax bx -+=⎧⎨+=⎩令1a =，得1=(1,1,2)-n ．…………………11分 又平面AOB 的法向量为2=(0,0,1)n ，…………………12分所以12cos ,=n n ． 故平面ACE 与平面AOB13分 解法二：（Ⅰ）∵=2OA OB =，AB =， AO ∴⊥BO ．…………………1分由CO ⊥平面AOB ，故以点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系（如图），由已知可得(0,0,0),O (2,0,0),(0,2,0),(0,0,1),A B C (1,1,0)D ．…………………2分∵(2,2,0)AB =-，(0,0,1)OC =，(1,1,0)OD =， ∴0AB OC ⋅=，0AB OD ⋅=，…………………4分 ∴OC ⊥AB ．OD ⊥AB ， ∵ODOC O =，∴AB ⊥平面COD ．…………………6分 （Ⅱ）∵CE ∥平面AOB ，∴E 在过点C 且与平面AOB 平行的平面内，设该平面为α． 又AE BE =，∴E 在底面的射影在直线OD 上，∴E 又在过点C 且与平面AOB 垂直的平面内，设该平面为β， ∴=CE αβ．∴由=ACCE C ，∴直线AC 与CE 确定平面ACE ，∴点E 运动时，平面ACE 与平面AOB 所成的锐二面角为定值．故不妨取(1,1,1)E ，…8分 设平面ACE 的法向量为1=(,,)a b c n ， 由(2,0,1)AC =-，(1,1,0)CE =，得20,0,a c a b -+=⎧⎨+=⎩令1a =，得1=(1,1,2)-n ．…………………10分 又平面AOB 的法向量为2=(0,0,1)n ，所以12cos ,=n n ．…………………12分故平面ACE 与平面AOB 13分 19．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解法一：（Ⅰ）由椭圆定义可知曲线1C 的轨迹是椭圆，设1C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，所以2a =，1c =，则1b =，故1C 的方程2212x y +=．…………………3分（Ⅱ）(ⅰ) 证明：当0k =，M 为2C 长轴端点，则N 为1C 短轴的端点，MN =4分当0k ≠时，设直线OM ：y kx =，代入223+12y x =， 整理得22(23)2k x +=，即22223x k =+，222223k y k =+，所以222222223k OM x y k +=+=+．…………………6分又由已知OM ON ⊥，可设ON ：1y x k =-，同理解得222222k ON k +=+，………………7分所以22222222222232k k MN OM ON k k++=+=+++222244(22)(23)(2)k k k k +=+⋅+⋅+……………8分 又22224222228(1)2(23)(2)220(23)(2)(23)(2)k k k k MN k k k k +-+⋅+-==>+⋅++⋅+，所以MN 的最小值为9分 （ⅱ）存在以原点为圆心且与直线MN 相切的圆．设Rt MON ∆斜边上的高为h ，由（Ⅱ）(ⅰ)得当0k =时，h ；………………10分当0k ≠时，OM ON ⋅=，又MN =，…………………12分由MN h OM ON ⋅=⋅，得OM ON h MN⋅==，且与直线MN 相切的圆，圆方程为2212x y +=．…13分 解法二：（Ⅰ）同解法一；（I ）(ⅰ) 证明：证明：当0k =，M 为2C 长轴端点，则N 为1C 短轴的端点，MN =4分当0k ≠时，设直线OM ：y kx =，代入223+12y x =， 整理得22(23)2k x +=，即22223x k =+，222223k y k =+，所以222222223k OM x y k +=+=+．…………………6分又由已知OM ON ⊥，可设ON ：1y x k=-，同理解得222222k ON k +=+，………………7分 所以22222222222232k k MN OM ON k k ++=+=+++222244(22)(23)(2)k k k k +=+⋅+⋅+……………8分 222228(1)(23)(2)2k k k +>⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦22228(1)2442k k +==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即MN >． 故MN的最小值为．…………………9分（III ）同解法一．20．本题考查递推数列、函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．满分14分． 解：（I ）∵11n n n a a n++=， ∴当2n ≥时，-11n n a n a n =-， ∴3212-123121n n a a a n a a a n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-，即1=n a n a ， ∴n a nt =，对1n =也成立，∴数列{}n a 的通项公式为n a nt =．…………………3分（II ）2122(221)()21=(1)111mx mx x x mx m f x mx x x x x+-+-'=+-=>-+++，……………4分 当0m =时，()1x f x x-'=+，当10x -<<时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<， ∴函数()f x 的单调增区间是(1,0)-，减区间是(0,)+∞；…………………5分当102m <≤时，令()0f x '=，解得10x =，2211122m x m m -=-=-+． 当102m <<时，20x >，当10x -<<时，()0f x '>；当1012x m <<-+时，()0f x '<； 112x m>-+时，()0f x '>， ∴函数()f x 的单调增区间是(1,0)-和1(1,)2m -++∞，减区间是1(0,1)2m -+；……6分 当1=2m 时，120x x ==，2()01x f x x '=≥+， ∴函数()f x 的单调增区间是(1,+)-∞，无减区间．…………………7分 综上所述，当0m =时，∴函数()f x 的单调增区间是(1,0)-，减区间是(0,)+∞；当102m <<时，函数()f x 的单调增区间是(1,0)-和1(1,)2m -++∞，减区间是1(0,1)2m-+；当1=2m 时，函数()f x 的单调增区间是(1,+)-∞，无减区间． （III ）当12m =时，21()ln(1)2f x x x x =++-，21ln(1)2n n n b a a =++． 由n a nt =且1t >，故0n b >．…………………8分 要证n na b <1，即证n n a b <，即证21ln(1)02n n n a a a ++->． 由（II ）得21()ln(1)(0)2f x x x x x =++->在(0,+)∞上单调递增， 所以21()ln(1)(0)02f x x x x f =++->=， 所以21()ln(1)02n n n n f a a a a =++->，即n na b <1成立．…………………11分 要证22n n na ab <+，由20n a +>，即证222n n n a a b +>， 即证2222ln(1)n n n n a a a a +>++，即证ln(1)n n a a >+．设()ln(1)(0)g x x x x =-+>，1()1011x g x x x'=-=>++， 所以()g x 在(0,+)∞上单调递增，()(0)0g x g >=，从而ln(1)n n a a >+，即22n n n a a b <+成立． 综上，22n n na ab <<+1．…………………14分 21．（1）本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）该方程组有唯一解，即2021a ≠-，40a --≠， 解得4a ≠-．…………………3分（Ⅱ）由题意可知当2a =时，λ即为矩阵2221⎛⎫ ⎪-⎝⎭的特征值． 由2226021λλλλ--=--=-+，…………………5分 解得3λ=，2λ=-.………………………………………7分（2）本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．解：（Ⅰ）由已知得1cos 02ρθρθ-⋅+=，即0x -=………3分（Ⅱ）由2C 得221x y +=，所以圆心为2(0,0)C ，半径为1．又圆心到直线1C 的距离为d =,…………………5分所以PQ 的最大值为1-．…………………………7分（3）本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）由已知得，242x -≤-≤,即26x ≤≤．…………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()g x =,由柯西不等式，得()g x ≤=．……………6分265x =时，()g x 的最大值为7分。
