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中国科学院大学张年梅有限元基础复习题

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六、如图，6 节点三角形单元的 1—4—2 边（边长 l）作用有水平均布侧压 q，单元厚度为 t，求单元的等效节点载荷。
y
x
七、图示矩形单元若采用如下的插值函数
(1) 1 2 x 3 y 4 xy 5 y 2 6 xy 2 7 x3 8 x3 y 9 x2 10 yx 2 (2) 1 2 x 3 y 4 x2 5 xy 6 y 2 7 x3 8 x2 y 9 xy 2 10 y3
Ni (,) 1,,,
BDB 1,,, 2,2,
J 常数
m 2 n m 1 1.5
2 因而积分点数为： 2 2 矩阵
对于平面 8 节点（二次）矩形单元：
Ni ( ,) 1,,, 2,2,2, 2
BDB 1, ,, 2,2, 13,4 J 常数

ij1 04 Ni 1i 1
(i j) (i j)
二、如图所示平面问题有限元网格，每个单元4 个节点，每个节点2 个自由度，
1. 给出适当的节点编号，使总的系数矩阵的半带宽最小，并计算半带宽的值； 2. 在您的节点编号下，图中节点A 的主对角线上的元素在总系数矩阵中的行号和列号 如何？
k11,12
k12,12

得节点 A 的主对角线上的元素 k11,11 、 k12,12 在总系数矩阵中的行号为 11 和 12,列号为
11,12。
3、答：2、3、4 单元对 A 的主对角线上的系数有非零贡献。
注意：杆件单元在每个节点上有 1 个自由度，带宽不用乘以 2。
4. 答：两种编号方式，非零元素相等。编号的合理化只是将非零元素的位置集中在以主对
J 常数
所以 m 2
n m 1 1.5 2
因而积分点数为： 2 2 2矩阵
对于空间 20 节点（二次）六面体单元：
Ni ( ,) 1, x, y, z, x2, y2, z2, x3, y3, z3, xy, yz, zx, x2 y, xy2, x2z, xz2, y2z, yz2, xyz BDB 1, x, xy, xz, , x4
解问题时如何消除奇异性？ 答：单元刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷平面图形相似、弹性矩阵 D、厚
度 t 相同的单元，K e 相同⑸ K e 的分块子矩阵按结点号排列，每一子矩阵代表一个结点，占
两行两列，其位置与结点位置对应。 整体刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷稀疏性⑸非零元素呈带状分布。
有限元法和经典 Ritz 法的区别： 经典 Ritz 法是在整个区域内假设未知函数，适用于边界几何形状简单的情形；有限单元法 是将整个区域离散，分散成若干个单元，在单元上假设未知函数。有限单元法是单元一级的 Ritz 法。
2. 单元刚度矩阵和结构刚度矩阵各有什么特征？刚度矩阵 K 奇异有何物理意义？在求
《有限元基础》复习题
1. 有限单元法的解题步骤如何？它和经典 Ritz 法的主要区别是什么？
答：解题步骤：⑴划分单元，输入结点和单元信息；⑵单元分析： N、K e、Pe
ne
ne
⑶整体分析： K GeK eGe , P GePe
e1
e1
引入位移边界条件得到： Ka P
⑷求解方程得到解 a ⑸对位移 a 结果进行有关整理、计算单元或结点的应力、应变
角线为中心的一条带状区域内，但并不改变非零元素的个数。
1
2
1
3 2
5 3
4
A
6
7
4
8
9
10
11
5
6
7
12
13
14
15
三、
四、图示 6 节点三角形单元单位体积的重量为，单元厚度为 t，求单元的等效节点载荷。 y
x
五、图示6 节点三角形单元的142 边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效
节点载荷。
相邻单元边界具有相同的结点，每一单元沿边界的坐标和未知函数采用相同的插值函数。
8. 对于空间 8 节点（线性）和 20 节点（二次）六面体单元，为了得到精确的刚度矩 阵，需要多少个 Gauss 积分点？说明理由。
答：对于空间 8 节点（线性）六面体单元：
Ni (,) 1, x, y, z, xy, yz, zx, xyz BDB 1, x, xy, xz, , x2 y2
(i j)
所以 a j a j
对于多个给定位移 j c1, c2, , cl 时，则按序将每个给定位移都作上述修正，得到全部进
行修正后的 K 和 P，然后解方程即可得到包括给定位移在内的全部结点位移值。 4. 何为等参数单元？为什么要引入等参数单元？ 答：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值 函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参数单元。 借助于等参数单元可以对于一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元 离散，其优点有：对单元形状的适应性强；单元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化）； 便于编制通用化程序。 5. 对于平面 4 节点（线性）和 8 节点（二次）矩形单元，为了得到精确的刚度矩阵，需要 多少个 Gauss 积分点？说明理由。 答：对于平面 4 节点（线性）矩形单元：

3L EA
F1 与 u1
8u2
14u3

3L EA
F3 ，消去 u2
，得：
有
2
EA 3L
71

4
2
0

10
u1 u3



F1


F3

1 8 1 2
F2 F2

令

2x (x1 x2 ) x2 x1

2x (x1 x2 ) L
，则有 1
1,2
1, 1
1。
故有， N1( )

l (1)
1
(
)

2 1 2

1 2
(1


)
，
N2
(
)

l (1)
2
(
)

1 2 1

1 (1 ) 。 2
3. 哪几个单元对节点 A 的主对角线上的系数有非零贡献？ 4. 尝试另一种节点编号，两种编号下总刚矩阵中的非零元素是否相等？为什么？ 1、答：沿短边回头编号，存储量最小。
带宽的计算： D (相邻结点号码的最大差值1)自由度=（5+1）2=12
2、答：由
K66

k11,11 k12,11
10. 以平面 4 节点双线性单元为例，说明形函数的两个重要特性。
答：图形见课件 2.5 矩形单元插值函数（形函数）的性质
N1

1 4
1


1

N2

1 4
1

1

N3

1 4
1
1

N4

1 4
1

1

进而验证插值函数的性质：
Ni ( j , j )
围为数甚少的几个，一个结点通过相关单元与之发生关系的相关结点也只是它周围的少数几
个，因此虽然总体单元数和结点数很多，结构刚度矩阵的阶数很高，但刚度系数中非零系数
却很少，即为总刚度矩阵的稀疏性。另外，只要结点编号是合理的，这些稀疏的非零元素将
集中在以主对角线为中心的一条带状区域内，即为总刚度矩阵的带状分布特性。

d dx

dN d
2。 L
Ke
L BT DBdx
0
L dNT EA dN dx
0 dx
dx
L 2EA dNT 0 L d
dN d
d

EA L
1 1
1
1

。
图
b：有应变矩阵
B

LN

dN1 dx
dN1 dx
dN1 dx


奇异性： K =0,力学意义是对任意给定的结点位移所得到的结构结点力总体上是满足力和
力矩的平衡。反之，给定任意满足力和力矩平衡的结点载荷 P，由于 K 的奇异性却不能解得
结构的位移 a ,因而结构仍可能发生任意的刚体位移。为消除 K 的奇异性，结构至少需给
出能限制刚体位移的约束条件。
带状稀疏性：由于连续体离散为有限个单元体时，每个结点的相关单元只是围绕在该结点周
J 常数
所以 m 4
n m 1 2.5 2
因而积分点数为： 333矩阵
9. 为什么说 3 节点三角形单元是常应变单元？ 答：常应变单元指的是在一个单元内的应变为常数，有限元中的常应变单元指的是线性三角 形单元，线性三角形单元的位移场为线性的，应变为位移的一阶导数，故为常数，因此称为 常应变单元。
图
b，令

2x
(x1 x3 x1
x2 )

2x
(x1 L

x2 )
，则有 1

1,2

0,3
1, 1
1。
故有，
N1( )

l (2)
1
(
)

( (1
2 )( 3) 2 )(1 3)

1 2
(
1)
N2
(
)

l2(2) (
7. 什么是等参单元？等参单元的收敛性如何？ 答：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的

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有限元复习题

有限元复习题

有限元复习题及答案1、有限元法是近似求解（一般连续）场问题的数值方法。

2、有限元法将连续的求解域（离散为若干个子域），得到有限个单元，单元与单元之间用（节点）相连。

3、从选择未知量的角度看，有限元法可分为三类（位移法.力法混合法）。

4、以（节点位移）为基本未知量的求解方法称为位移量。

5、以（节点力）为基本未知量的求解方法称为力法。

6 一部分以（节点位移），另一部分以（节点力）为基本未知量的求解方法称为混合法.7、直梁在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）和（弯矩）两个。

8、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有（轴力）、（剪力）、（弯矩）。

9、进行直梁有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）。

10平面刚架结构中，已知单元e的坐标变换矩阵[厂]和在局部坐标系x' O' y' 下的单元刚度矩阵[K' ]\则单元在真体坐标系xOy下的单元刚度矩阵为_ [K]r =[T TK V [T f]门、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是（线性的）。

12、弹性力学问题的方程个数有（15）个，未知量个数有（15）个。

13、弹性力学平面问题方程个数有（8）,未知数（8）个。

15、几何方程是研究（应变）和（位移）关系的方程。

16、物理方程描述（应力）和（应变）关系的方程。

17、平衡方程反映（应力）和（位移）关系的方程。

18、把进过物体内任意一点各个（截面）上的应力状况叫做（该点）的应力状态。

19、形函数在单元节点上的值，具有本点为（1）,他点为零的性质，并在三角形单元的后一节点上，三个形函数之和为（Do20、形函数是（定义于）单元内部坐标的（连续）函数，它反映了单元的（位移）状态。

21 •在进行节点编号时，要尽量使用同一单元的相邻节点的狭长的带状尽可能小, 以使最大限度地缩小刚度矩阵的带宽，节省存储，提高计算效率.22三角形单元的位移模式为（线性位移模式）23矩形单元的位移模式为（线性位移模式）24在选择多项式位移模式的阶次时.要求（所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何）各向同性25、单元刚度矩阵描述了（节点力）和（节点位移）之间的关系。

有限元参考复习题

有限元参考复习题

(1)有限元模型：
有材料属性：密度、弹性、屈服极限等
有约束信息：约束条件（固定、支撑条件）
有载荷信息：受力情况
(2)几何模型：只有几何形状信息
4.有限元分析在机械设计中能起到什么作用 机械设计方面主要用的多的就是对机械产品做受力分析、看看产品在承受
载荷之后的变形情况、从而验证设计是否合理.
就是设计的产品仿真它的运行情况，看他的受力变形，震动等实际相比符 不符合，或者对新设计的产品进行改进后进行分析仿真
② 有限元方法的实施主要是依靠手工计算还是商业软件？
③ 有限元法能够用于固体结构的分析，是否可以用于流体、热、电磁场、声 场的分析？ ④ 传统的机械零件强度校核中，一般要求零件形状简单，可以简化成杆或 者梁，有限元方法有这方面的要求么？ ⑤ CAD建模得到的模型与有限元的模型之间有什么联系？
三 ① 列举常用的5个常用有限元软件？ ② 工程中常用的模拟、仿真技术除了有限元方法以外，还有哪几种？ ③ 主流的有限元软件架构一般是怎样的？ ④ CAD软件经常在有限元软件中经常扮演什么角色？ ⑤ 有限元分析在机械设计中能起到什么作用？ 四
7.什么是 Tresca 应力和 Mises 应力？分别说明其应用场合。 第三强度理论的等效应力（Tresca stress，stress intensity, 应力强度,
最大
剪应力理论，1864，1773，库伦）s 1 2 1， 2，3 0
第四强度理论的等效应力（Von Mises stress，equinvalent stress, 等
减缩积分即选取高斯积分点的数目少于精确积分要求的积分点数。 9. 什么是有限元位移解的下限性质？
有限元解的特点:过刚，变形小于实际结果; 有意识地软化结构刚度，可以 改善解的精度; 连续结构上任意一点都可以变形;有限元模型的变形只在单元尺 度上 10. 雅可比矩阵对单元形状的要求是什么？ 11. 什么是应力磨平？
有限元试题及答案

有限元试题及答案

有限元试题及答案一、选择题1.有限元分析是一种利用计算机数值方法进行结构分析的方法，下面哪个说法是正确的？A. 有限元分析对结构的约束条件没有要求B. 有限元分析只适用于静力分析C. 有限元分析可以用来研究结构的动力响应D. 有限元分析的计算结果一定是精确的答案：C2.有限元法的基本步骤包括以下几个环节：I. 离散化II. 单元划分III. 节点连接IV. 计算材料性质V. 施加边界条件VI. 构建刚度矩阵和载荷向量VII. 求解节点位移和应力VIII. 后处理与结果分析请问选择项中正确的顺序是：A. IV – I – II – III – V – VI – VII – VIIIB. I – II – III – IV – V – VI – VII – VIIIC. II – III – V – IV – VI – I – VII – VIIID. I – III – II – IV – V – VI – VII – VIII答案：B3.在有限元分析中，单元是指将结构划分为有限个小单元来近似表示结构的方法。

下面哪个选项给出了常用的结构单元类型？A. 三角形单元，四面体单元，六面体单元B. 矩形单元，六面体单元，圆形单元C. 圆形单元，矩形单元，六面体单元D. 四面体单元，矩形单元，三角形单元答案：D二、填空题1.有限元分析中，刚度矩阵的计算需要根据单元的_________和材料的_________计算得到。

答案：几何形状，物理性质2.有限元法最常用的数学插值函数是_________函数。

答案：形函数3.在有限元分析中，自由度是指结构中的每个_________未知量。

答案：位移三、计算题1.给定如图所示的二维结构，使用有限元法进行分析。

假设结构材料为线性弹性材料，其杨氏模量为200 GPa，泊松比为0.3。

结构整体尺寸为5m x 3m，单元尺寸为1m x 1m。

分析载荷为2000 N，施加在结构的中心节点上。

有限元基础题答案

有限元基础题答案

1.像床单那样薄、那样宽的板用梁单元来模型化 ×通常用板单元或壳单元来作模型化2.对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元○3.一般自由度多的模型分析成本高○4.使用尽可能多种类单元的模型是一个好的模型×单元种类的多样性与模型的好坏没有关系5.杆单元是壳单元的一种×6.不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型×两者混在一起可做模型化处理7.四边形的壳单元尽可能作成接近正方形形状的单元○8.因为实体单元是3维单元，所以即使有严重的扭曲也没关系×9.将作用有垂直载荷的悬臂梁用多个杆单元作成×杆单元因为不传递弯曲不适用于弯曲分析10.将作用有垂直载荷的两端自由支持的梁用杆单元来模型化×11.三角形单元和四边形单元不能混在一起使用×12.平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案×13.同样形状的话，使用三角形单元和使用四边形单元解是相同的×14.边长为10cm和边长为100cm 的正方形的板，后者的单元数如果是前者的10倍的话，才行×划分的数量不是依形状的大小15.为了校核连续的相同管子剖面内的应力状态，要使用平面应力单元×这种情况使用平面应变单元?？16.对热应力问题，1维单元也好2维单元也好，所求的解都搞不清×？17.对于热传导分析必须输入线膨胀系数×对于热传导分析必需的是热传导率18.热应力随结构的约束状态而变化○19.FEM分析变形越大应力就越高× ？？20.在线性分析中，即使变形变大，如果可以将这部分单元划分得多一些的话，也会保证解的适当正确×线性分析是以微小变形的范围内为对象的21.为了评价应力集中，在网格划分时应该把整个作成一样的单元尺寸×22.板厚并不一致的情况下，一定要用到实体单元×即使是板单元也可以表现厚度的变化23.单元数相同的话，1阶单元、2阶单元的解都一样×24.为了忠实地尽可能表现结构的形状，必须严格按装配顺序来做模型化处理×模型化的顺序与分析结果无关25.节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置×为给出节点载荷必须要在载荷点设置节点26.一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 ○27.仅用TETRA单元的模型与仅用HEXA单元的模型相比，后者的精度要好○28.相接的单元尺寸大小不要变化太厉害○29.在进行特征值分析时，必须输入质量○30.进行热应力分析时，必须输入线膨胀系数○ （比较17题）31.壳单元表面的应力因为与表面内的应力相比精度会降低所以必须注意×在单元的表面精度是不会变化的 ？？？32.象船和火箭那样的结构因为漂浮在水（空）中而没被固定住，所以，FEM分析不可以使用×33.约束条件用全固定或许加上铰固定就能表现完全×也有半固定（例如用弹簧约束）？？？34.一般在特征值分析中一定是采用节点编号连续来编的方法，所得精度要高×连续编号精度并不觉得提高？？？35.用固有振动分析求应力，应力高的部分必须要加强×用固有振动来求的值物理量不同？？？36.屈曲模态并不依赖于约束条件×37.自由度有位移自由度和转角自由度○（3个位移成分和3个转角成分）38.一般在FEM中使用的模型称为刚体模型×39.对比铁更硬的部分所做模型化处理的单元称为刚体单元×40.刚体单元和梁单元和板单元组合在一起进行分析是不可以的×41.一般网格划分过度的话，很费分析时间○42.对啤酒罐的压缩强度要用固有振动分析来评价×（用屈曲分析）？？？43.表示自由度的坐标系有局部坐标系和整体坐标系○44.应力集中的部分是多个载荷所加的部位×应力与周围部分相比要高的部分称为应力集中的部分45.在加上热载的情况下，即使是同一个模型，根据约束条件，所发生的应力有很大的不同○ （约束不同应力不同）46.用有限元法可以对正在动的（移动）物体的结构进行分析○47.对膜（membran）单元也可用面压载荷×（壳）48.可对膜（membran）单元可以用集中载荷○ （47、48）49.施加强迫位移的分析要进行静力分析○？？？？50.一般所给出的载荷的总和与反力的总和相一致○51.即使将不同的局部坐标系下定义好的节点连起来也可定义单元○52.所谓自由度是直接翻译degrees of freedom的○53.所谓实体单元意味着刚体单元的集合×（刚体只有自由度，没有变形）54.杨氏率是纵弹性系数（模量）○55.共鸣现象与固有频率有关○56.杨氏率是评价材龄的基值×杨氏率是表示材料的坚硬程度的常数不是表示年轻与否57.即使是同一种材料，梁单元和板单元也要输入不同的材料性质数值×如果相同的材料，即使单元的种类不同，也要用相同的材料58.泊松比是在纵向加压时发生在纵向的应变和横向的应变的比率○59.用弹性材料可表现塑性化现象×进行塑性分析必须输入塑性材料的特性60.一般线膨胀系数是作为材料常数之一输入○（material properties）61.一般用FEM模型化时，大的结构求得的热变形小×62.约束条件全都没被定义的结构不能分析×63.X、Y、Z全部方向上的位移都是1时称为刚体变形×64.分析结果是对称的模型，使用对称条件可以用较少的单元来进行分析○65.所谓铰约束条件是约束位移自由度而让转角自由度自由○66.强迫位移是一种约束条件○67.即使所有的自由度都约束也会发生变形×（实体内每个节点的所有自由度）68.对于设置了约束的自由度即使输入载荷也发生位移○69.有限单元分析约束条件尽量少则精度好×（静力问题不能没约束还错）70.所谓约束就是消去自由度○71.所谓全约束只要将位移自由度约束住×72.壳单元与实体单元可约束的自由度不同○（壳作面分析）73.线性分析将同样大的载荷加在反向产生位移的绝对值不变○（前提线性分析）74.由分析所得的最大应力受网格划分的影响○75.载荷和应力表示同一件东西×76.主应力并不依赖于基本坐标系○77.在应力分析中，应力小的部位单元尺寸要小，大的部位单元尺寸要大来进行模型化处理×78.实特征值分析是一种求最大应力的手段×（求固有频率）79.具有切口附近的应力集中用FEM不能严密地计算○（不是可以用裂缝单元吗）80.1阶单元是假定单元内的应力都一样的单元×（位移单元一阶插值）81.表现材料的弹性界限是所谓的屈服应力○82.在屈服曲面内材料表现为弹性行为○（仍视为屈服界限内）83.位移能用6个矢量成分来表示○84.转角是一种位移○（广义位移）85.载荷点的位移通常最大×86.线性应力分析也可以得到极大的变形×（位移为一阶插值函数，变形为位移的导数，变形的极大值点是位移的二阶导数值为零的拐点，线性应力无拐点）87.与材料无关的相同变形量产生相同的应力×（材料特性）88.给出同一载荷杨氏率越大则变形也越大×（越小）89.对于静力分析质量是不可缺少的数据×（涉及到重力时才需要）90.实特征值分析中必须定义集中载荷或分布载荷×（固有振动分析没必要的）91.屈曲分析和固有振动分析是类似的特征值问题○（还是弄不懂）92.使用同一模型时，一般特征值分析要比线弹性分析花时间○93.一般求特征值分析所求的模态数多也好少也好，分析时间是一样的×一般求的模态数增加，则分析时间变长？？94.在静力分析中，仅施加左右方向的载荷时，不约束上下方向也可以×必须约束住不至于刚体运动（转动）95.卡车通过时，玻璃窗会别别地振动，这是与玻璃的固有频率有关○96.FEM也被用在医学上○97.有限元法、有限体积法、有限差分法、边界元法这中间FEM是有限差分法×98.有限元法基本的是求解联立方程式○99.FEM理论1950年前开始就有了○100.考虑阻尼的特征值问题成了复特征值问题○第1章引言1. 简要论述求解工程问题的一般方法和步骤；图1‑1 工程问题的一般求解步骤2. 简要论述有限元方法求解问题的一般步骤选择单元、划分网格、设置求解参数、求解3. 说明ANSYS中关于单位制的使用问题第2章弹性力学问题有限元分析4. 出一道由单刚组装总刚的问题5. 为什么位移有限元得到的应力结果的精度低于位移结果？在当前计算结果的基础上如何进一步提高应力结果的精度？有限元分析以有限单元数模拟实体，其自由度小于真实实体自由度，因而位移结果较小。