函 数 解 析 式 的 求 法
一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例 1
设 f (x) 是一次函数，且 f [ f ( x)] 4 x 3 ，求 f ( x)
解：设 f ( x) ax b
(a
0) ，则
f [ f ( x)] af ( x) b
a(ax
b) b a 2 x ab b
a 2
4
a 2
a 2
ab b 3
或
b
3
b 1
f ( x) 2x 1
或
f ( x)
2x 3
二、配凑法：已知复合函数 f [ g( x)] 的表达式，求 f (x) 的解析式， f [ g( x)] 的表达式容易配成 g ( x) 的运算
形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g( x) 的值域。
例 2 已知 f (x
1 ) x
2 1 (x 0) ，求 f ( x) 的解析式
x
x 2
解： f ( x
1
) ( x 1 ) 2 2 ， x 1
2
x x x
f ( x)
x 2
2
( x 2)
三、换元法：已知复合函数 f [ g( x)] 的表达式时，还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。与配凑法一样，要注意
所换元的定义域的变化。
例 3 已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f ( x 1)
解：令 t
x 1 ，则 t 1 ， x
(t
1) 2
Q f ( x 1) x 2 x
f (t ) (t 1) 2 2(t 1) t 2
1,
f (x) x2 1 (x1)
f (x 1) ( x 1) 2 1 x22x ( x0)
四、函数性质法：
1.已知函数奇偶性及部分解析式，求 f ( x) 解析式本类问题的解题思路是“一变”、“二写”、“三转化”。“一变”是取相反数使自变量属于所给区间；“二写”是写出新变量的表达式；“三转化”就是利用函数的奇偶性将上述表达式转化为 f (x) 的表达式。
例 4.1 已知定义在R上的偶函数f ( x)，当x0 时，f ( x)x 22x ，求 f (x) 解析式。
解：当 x0 时，x0 ，
依题有 f (x) (x) 22x x 22x ，
又因为 f ( x) 是定义在R上的偶函数
故 f ( x) f ( x) ，
所以当 x0 时，f ( x)x 22x
所以 f ( x)x22x( x0) x 22x( x0)
2.已知函数周期性及部分解析式求 f ( x) 解析式此类问题的解题思路是“一变”、“二写”、“三转化”。“一变”是通过自变量减周期使自变量属于所给区间；“二写”是写出新变量的表达式；“三转化”就是利用函数的周期性将上述表达式转化为 f ( x) 的表达式。
例4.2已知f ( x) 是定义域为R周期为 2 的函数，对k Z ，用I k表示区间( 2k1,2k1]，当 x I 0时f (x)x3，试求当 x I k时 f (x) 解析式。
解：当 x( 2k1,2k1] 时，则 x2k(1,1]I 0，
故 f ( x 2k )
(x 2k) 3 ，
又∵ f ( x) 的周期为 2 ，
∴ f ( x) f ( x 2k) ，
∴ f ( x)
( x 2k )3 (x I k )
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程
组求得函数解析式。
例 5.1
设 f (x)满足 f ( x) 2 f ( 1
)
x, 求 f ( x)
x
解f ( x) 2 f (1
)
x ①
x
显然 x 0,将 x 换成
1 1 1 ②
，得： f ( ) 2 f ( x)
x
x
x
解① ②联立的方程组，得： f (x)
x 2
3
3x
例 5.2
设 f ( x) 为偶函数， g( x) 为奇函数，又 f ( x)
g( x)
1 , 试求 f (x)和 g( x) 的解析式
x 1
解
f ( x) 为偶函数，
g (x) 为奇函数，
f (
x) f ( x), g ( x)
g (x)
又 f ( x) g (x)
1 ① ，
x
1
用 x 替换 x 得： f ( x)
g ( x)
1 即 f ( x) g( x)
1
x
②
1
x 1
解① ②联立的方程组，得
f (x)
1 ， g( x)
1
2 12 x
x
x
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，
使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例 6 已知： f (0)
1，对于任意实数 x 、 y ，等式 f ( x y) f ( x) y(2x y 1) 恒成立，求 f (x)
解Q 对于任意实数 x 、 y ，等式 f (x y)
f ( x) y( 2x y 1) 恒成立，
不妨令 x
0 ，则有 f ( y)
f (0) y( y 1) 1 y( y 1) y 2 y 1
再令
y x 得函数解析式为： f (x)
x 2 x 1
七、设元代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用设元代入法。
例 7 已知：函数 y
x 2 x 与 y g( x) 的图象关于点 ( 2,3) 对称，求 g ( x) 的解析式
解：设 M ( x, y) 为 y
x
x
2
则
2
y
y
3
2
g( x) 上任一点，且 M ( x , y ) 为 M (x, y) 关于点 ( 2,3) 的对称点
x x 4 ，解得：
，
y
6 y
点 M ( x , y ) 在 y g ( x) 上 y x 2 x 把
x
x 4 代入得：6 y ( x
4) 2 ( x 4)
y
6 y
整理得 y
x 2
7x 6
g(x)
x 2 7x
6
八、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代
等运算求得函数解析式。
例 8设 f ( x)是定义在 N上的函数，满足 f (1) 1，对任意的自然数 a, b 都有f (a) f (b) f (a b)ab ，求 f ( x)
解f (a) f (b) f (a b) ab， a,b N，
不妨令 a x, b1，得： f ( x) f (1) f ( x1)x ，
又 f (1)1, 故 f (x1) f ( x)x 1 ①
分别令①式中的 x1,2 L n1得：
f (2) f (1)2,
f (3) f (2)3,
L L
f (n) f (n1)n,
将上述各式相加得： f ( n) f (1)23n ，
f (n)1 2 3n n(n1) f ( x) 1 x21
x, x N
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函数解析式求法练习
待定系数法
1．已知f ( x)是一次函数，且满足3 f ( x1) 2 f ( x 1) 2x17 ，求 f ( x) . 2．求一个一次函数f ( x)，使得f f f ( x)8x7 .
3 ．设函数F ( x) f (x) g( x) 其中 f ( x) 是x的正比例函数， g( x) 是 x2的反比例函数，又
F (2) F (3) 19,求F (x)的解析式。
4．设f ( x)是一元二次函数, g( x)2x f ( x) ,且 g ( x 1) g( x)2x 1 x2,
求f ( x) 与 g( x) .
5．设二次函数f (x)满足f ( x2) f ( x 2) ,且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为2 2 ,求 f ( x) 的表达式.
配凑法
1．已知f ( x 1 ) x31
3，求 f (x) ；
x x
2．已知f ( x1) x21，求 f ( x) 解析式.
换元法
1．已知f (3x1) 4x 3,求 f (x) 的解析式. 2．若f (3x2) x2x ，求 f (2) ．
3．若f (1
)
x
,求f ( x) . x 1 x
4．已知f (1
x )1x
2
2
，求 f (x) 的解析式. 1x1x
5．设f (x)2x23x 1 , g( x 1) f ( x) ,求 g( x) 及 f g(2) .
函数性质法
1．已知函数y f (x) 是R上的奇函数，当x 0时， f (x) 3x1，求f ( x)的解析式。
2．已知函数f ( x)是定义在 R 上的奇函数，且当x(0, ) 时，f ( x) x(13x) ，求当 x ( ,0)时， f ( x) 的函数解析式。
设元代入法
1．已知函数y f ( x) 的图像与函数g ( x) log2x ( x 0)的图像关于原点对称，求f ( x)的解析式。
构造方程组法
1．已知f ( x) 3 f ( x) 2x 6, 求 f (x) ．
2．定义在区间( 1,1)上的函数f ( x)满足2 f ( x) f ( x) lg( x1) ，求 f ( x) 的表达式。
3．设函数f ( x)是定义在(,0) (0, ) 上的函数,且满足关系式
1
x ,求 f ( x) 的解析式.
3 f (x) 2 f ( ) 4
x
x1
x ,求 f ( x) .
※4．若f ( x) f () 1
x
赋值法
1．设f ( x)是定义在N上的函数,若f (1) 1 ,且对任意的x , y都有：
f (x) f ( y) f (x y) xy ,求 f ( x) .
2．函数f ( x)满足：f (0) 1 ，且对任意x , y R 都有 f ( xy 1) f ( x) f ( y) f ( y) x 2 ，求
f (x)
递推法
1．已知函数f ( x)对任意的实数 x, y 都有f ( x y) f (x) f ( y) 2y( x y) 1，且 f (1) 1，若x N ，试求 f ( x) 的表达式。
又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（12）2]－ 14+m=（x －12）2+414 m - ∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，41 4 m -）． （2）∵顶点在x 轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即41 4 m ->0 ∴m> 14 ∴m>1 4 时，顶点在x 轴上方． （3）令x=0，则y=m ． 即抛物线y=x 2－x+m 与y 轴交点的坐标是A （0，m ）． ∵AB ∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为m ． 当x 2－x+m=m 时，解得x 1=0，x 2=1． ∴A （0，m ），B （1，m ） 在Rt △BAO 中，AB=1，OA=│m │． ∵S △AOB =1 2 OA ·AB=4． ∴ 1 2 │m │·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2－x+8或y=x 2－x －8． 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ，b ，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处． 例2 已知：m ，n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m 为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积； （3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标． 【分析】（1）解方程求出m，n的值．用待定系数法求出b，c的值． （2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积． （3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：①EH=3 2EP，②EH=2 3 EP． 【解答】（1）解方程x2－6x+5=0， 得x1=5，x2=1． 由m 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则 只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（ ） （A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210 7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是 （ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的 图象（ ） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 精锐教育学科教师辅导教案 例3：求函数y=f(x)=cos 2 2x-3cos2x+1的最值. 解 ∵f(x)=(cos2x- 23)2-4 5, ∴当cos2x=1,即x= k π,(k ∈Z)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k π+ 2 π ,( k ∈Z)时，y=max=5. 这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法 y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角?，化为y=22b a +sin （x+?）,利用函数()1sin ≤+?x 即可求解。Y=asin 2 x+bsinxcosx+mcos 2 x+n 型亦可以化为此类。 例4：已知函数()R x x x x y ∈+?+= 1cos sin 2 3cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。 [分析] 此类问题为x c x x b x a y 2 2 cos cos sin sin +?+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为 x b x a y cos sin +=型求解。 解： ().4 7,6,2262,4562sin 21452sin 23 2cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+??? ??+=+???? ??+=++=+?++?=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ 5. 利用数形结合 例5： 求函数y x x = +s in c o s 2的最值。 解：原函数可变形为y x x = ---s i n c o s () .0 2 这可看作点Ax xB (c o s s i n )() ，和，-20的直线的斜率，而A 是单位圆x y 2 2 1+=上的动点。由下图可知，过B ()-20，作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，y y m a x m i n .= =-333 3 ， 6、换元法 例6：若0 二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号 为 ， 例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式） 例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是（ ） 例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y 九年级《三角函数》知识点、例题、中考真题 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2 22c b a =+ 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 斜边的对边A A ∠= sin c a A =sin 1sin 0<A (∠A 为锐角) B A cot tan = B A tan cot = A A cot 1 tan = (倒数) 1cot tan =?A A 余切 的对边 的邻边A A A ∠∠= cot a b A =cot 0cot >A (∠A 为锐角) 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° αsin 0 2 1 2 2 2 3 1 αcos 1 2 3 2 2 2 1 0 αtan 0 3 3 1 3 - αcot - 3 1 3 3 0 6、正弦、余弦的增减性： ) 90cot(tan A A -?=)90tan(cot A A -?= B A cot tan = B A tan cot = )90cos(sin A A -?=) 90sin(cos A A -?= B A cos sin =B A sin cos =A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 斜边 A C B b a c A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 三角函数大题转练 1.已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+-. （Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64 ππ -上的最大值和最小值. 2、已知函数.,1cos 2)3 2sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=π π · （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4 ,4[ππ-上的最大值和最小值. 3、已知函数()tan(2),4 f x x =+π （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （II ）设0,4?? ∈ ? ? ? πα，若()2cos 2,2 f =αα求α的大小 ： 4、已知函数x x x x x f sin 2sin )cos (sin )(-= . （1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间. 5、 设函数2())sin 4 f x x x π = ++. （I ）求函数()f x 的最小正周期； ； （II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2 g x g x π+=，且当[0,]2 x π ∈时， 1 ()()2 g x f x = -，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式. 6、函数()sin()16 f x A x π ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相 邻两条对称轴之间的距离为2 π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2 πα∈，则()22 f α =，求α的值. ' 7、设426 f (x )cos(x )sin x cos x π =ω- ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域 （Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ?? -???? 上为增函数，求 ω的最大 值. 商品利润问题与二次函数典型例题解析 知识链接复习： 1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元 解：设每千克应涨价x 元，读题完成下列填空 问题一：涨价后每千克盈利 元； 问题二：涨价后日销售量减少 千克； 问题三：涨价后每天的销售量是 千克； 问题四：涨价后每天盈利 元 根据题意列方程得： 解方程得： 因为商家涨价的目的是 ；所以 符合题意。 答： 。 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标是x= y= 3、函数y=x 2+2x-3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是 新知解析： 例1、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件。市场调查发现：如果调整价格，每降价1元，那么每天可多卖出两件。请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少 解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得： y=（35-x ）（50+2x ）=-2x 2+20x+1750 x=-a b 2=-) 2(×220=5 因为0<5<35且a=-2<0 所以y=(35-5)(50+10)=1800 答：当降价5元时 销售额最大为1800元。 此类习题注意要点： 1、根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。 2、判断顶点横坐标是否在取值范围内。因为函数的最值不一定是实际问题的最值 3、根据题意求最值。写出正确答案。 例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元租金最高是多少钱 解：设当张价X 元时租金为y 元，根据题意得：y=（100-10 ×2 x ）（10+x ）=-5x 2+50x+1000 x=-a b 2=-)5_( ×250=5 三 角 函 数 1.已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+ -. (Ⅰ)求 ()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]64 ππ -上的最大值和最小值. 2、已知函数.,1cos 2)3 2sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++ =π π (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期;（Ⅱ)求函数)(x f 在区间]4 ,4[π π- 上的最大值和最小值． 3、已知函数()tan(2),4 f x x =+ π （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期; (II)设0,4?? ∈ ?? ? πα，若( )2cos 2,2 f =α α求α的大小 4、已知函数x x x x x f sin 2sin )cos (sin )(-= . （1）求)(x f 的定义域及最小正周期;(2)求)(x f 的单调递减区间. 5、 设函数2())sin 4 f x x x π = ++. (I ）求函数()f x 的最小正周期； (II ）设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π + =,且当[0,]2 x π ∈时， 1 ()()2 g x f x = -，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式. 6、函数()sin()16 f x A x π ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为３， 其图像相邻两条对 称轴之间的距离为 2 π， (1)求函数()f x 的解析式；(2)设(0,)2π α∈,则()22 f α =，求α的值. 7、设 426 f (x )cos(x )sin x cos x π =ω- ω+ω,其中.0>ω (Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域 （Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ?? - ???? 上为增函数,求 ω的最大值． 二次函数知识点总结及典型例题讲解 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1 x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 三、二次函数的性质 三角函数 令狐采学 1.已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+-. （Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64 ππ -上的最大值和最小值. 2、已知函数.,1cos 2)3 2sin()3 2sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=π π （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4 ,4[π π-上的最大值和最小值. 3、已知函数()tan(2),4 f x x =+π （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （II ）设0, 4?? ∈ ?? ? πα，若()2cos 2,2 f =α α求α的大小 4、已知函数x x x x x f sin 2sin )cos (sin )(-= . （1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间. 5、设函数2())sin 24 f x x x π = ++. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2 g x g x π+=，且当[0,]2 x π∈时， 1 ()()2 g x f x = -，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式. 6、函数()sin()16 f x A x π ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3，其图 像相邻两条对称轴之间的距离为2 π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0, )2π α∈，则()22 f α =，求α的值. 7、设426 f (x )cos(x )sin x cos x π =ω-ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )=的值域 （Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ?? -???? 上为增函数，求ω的最 大值. 8、函数 2 ()6cos 3(0)2 x f x x ωωω=+->在一个周期内的图象 如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ?为正三角形. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域； （Ⅱ）若0()f x =，且0102(,)33 x ∈-，求0(1)f x +的值. 9、已知 ,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边， cos sin 0a C C b c --= （1）求A ； （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c . 10、在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosA ＝2 3 ，sinB ． (Ⅰ)求tanC 的值；(Ⅱ)若a ?ABC 的面积． 答案 1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值. 【 精 讲 精 析 】 （ Ⅰ ） 因 为 ()4cos sin()16 f x x x π =+-14cos cos )12x x x =+-高三数学三角函数经典练习题及复习资料精析
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