2020年高二数学 《平面向量概念及运算》练习 沪教版

第二十二章四边形专题22.4 平面向量及其加减运算（基础练）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知在△ABC中，AD 是中线，设＝，＝，那么向量用向量表示为（）A．2﹣2B．2+2C．2﹣2D ．﹣【答案】C【分析】根据向量运算法则即可求出答案．【解答】解：∵＝+＝，∴＝﹣，∴＝2＝2﹣2，故选：C．【知识点】*平面向量2.已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．||＝|| B ．∥，∥C ．+＝0D ．+＝2，﹣＝3【答案】A【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A 、该等式只能表示两、的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；B 、由∥，∥可以判定∥，故本选项不符合题意．C 、由+＝0可以判定、的方向相反，可以判定∥，故本选项不符合题意．D 、由+＝2，﹣＝3得到＝，＝﹣，则、的方向相反，可以判定∥，故本选项不符合题意．故选：A．【知识点】*平面向量3.对于非零向量、，如果2||＝3||，且它们的方向相同，那么用向量表示向量正确的是（）A．＝B．＝C．＝﹣D．＝【答案】B【分析】根据已知条件得到非零向量、的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【解答】解：∵2||＝3||，∴||＝||．又∵非零向量与的方向相同，∴＝．故选：B．【知识点】*平面向量4.已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是（）A．，B．||＝|| C．D．，【答案】B【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、∵，，∴，故本选项错误；B、∵||＝||，∴与的模相等，但不一定平行，故本选项正确；C、∵，∴，故本选项错误；D、∵，，∴，故本选项错误．故选：B．【知识点】绝对值、*平面向量5.如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设，，那么向量用向量、表示为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】G是△ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法则求出即可解决问题．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴AG＝2DG，∴AD＝3DG，∴＝3＝3，∵＝+＝﹣+3，DB＝BD，∴＝2＝6﹣2，故选：C．【知识点】*平面向量、三角形的重心二、填空题（共5小题）6.化简：2（+）﹣（﹣）＝．【分析】直接利用向量加减运算法则去括号合并求出答案．【解答】解：2（+）﹣（﹣）＝2+﹣+＝+2．故答案为：+2．【知识点】*平面向量7.如果向量与向量方向相反，且，那么＝．【分析】根据共线向量的定义解答．【解答】解：∵向量与向量方向相反，且，∴＝﹣．∴＝．故答案是：．【知识点】*平面向量8.如果在平行四边形ABCD中，如果＝，＝，那么向量为．（用和表示）【分析】根据平面向量的平行四边形法则即可写出答案．【解答】解：如图，＝+＝．故答案是：．【知识点】*平面向量、平行四边形的性质9.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC＝3AD，如果＝，＝，那么（用，表示）．【分析】根据＝++，只要求出即可解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，BC＝3AD，∴＝3＝3，∵＝++，∴＝﹣++3＝2+，故答案为2+．【知识点】*平面向量、梯形10.如图，在△ABC中，点D在边AC上，已知△ABD和△BCD的面积比是2：3，＝，那么向量（用向量表示）是﹣．【分析】利用三角形法则可知：＝+，求出即可解决问题．【解答】解：∵△ABD和△BCD的面积比是2：3，∴AD：DC＝2：3，∴AD＝AC，∴＝，∵＝+，∴＝﹣+，故答案为：﹣+．【知识点】三角形的面积、*平面向量三、解答题（共5小题）11.如图，已知点O为平行四边形ABCD所在平面上一点，＝，＝，＝，求（用，，表示）【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD且AB＝CD，结合三角形法则进行解答．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB＝CD，∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣，∴＝＝﹣，又＝，∴＝+＝+﹣．【知识点】*平面向量、平行四边形的性质12.如图，在▱ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE＝AD，设＝，＝．（1）试用向量，表示下列向量：＝﹣；﹣；（2）求作：﹣、+．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结果）．【分析】（1）根据图形可得：＝﹣，＝＝，再由＝+即可得出答案．（2）﹣＝，连接CA即可，延长AB、EC交于一点F，则可证明EF＝2EC，从而可得出+．【解答】解：（1）由题意得，＝﹣，＝＝，故可得：＝﹣，由＝+＝﹣+．故答案是：﹣，＝﹣+．（2）连接AC，则﹣＝；延长AB、EC交于一点F，由题意得，BC＝AD＝DE，故可得BC＝AE，又∵BC∥AE，∴BC是△F AE的中位线，∴EC＝CF，故+＝．【知识点】平行四边形的性质、*平面向量13.如图，已知平行四边形ABCD中，点E、F分别是边DC、AB的中点，AE、CF与对角线BD分别交于点G、H，设＝，＝．试用、分别表示向量、．【分析】首先证明DG＝GH＝HB，利用三角形法则求出，即可求出，在△DGE中，轨迹＝+，＝﹣，＝＝，计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∵DE＝CE，AF＝FB，∴CE＝AF，CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE∥CF，∵EG∥CH，DE＝EC，∴DG＝GH，同理可证BH＝GH，∴DG＝GH＝HB，∵＝，＝，∴＝﹣，AB＝2，∴＝2﹣，∴＝＝＝﹣，∵＝+，＝﹣，＝＝，∴＝+．【知识点】平行四边形的性质、*平面向量14.已知向量、（如图），请用向量加法的平行四边形法则作向量+（不写作法，画出图形）【分析】如图，以AB，AE为邻边构造平行四边形ABCE，对角线即为所求．【解答】解：如图即为所求．【知识点】作图—复杂作图、平行四边形的性质、*平面向量15.如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，设＝，＝．（1）试用向量，表示向量，则＝﹣；（2）在图中求作：、．（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果）．【分析】（1）利用平行四边形的性质，三角形法则即可解决问题．（2）根据三角形法则解决问题即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∵＝+，＝＝，＝﹣＝﹣，∴＝﹣．故答案为：﹣．（2）如图，＝，＝+＝．向量，向量即为所求．【知识点】平行四边形的性质、*平面向量、作图—复杂作图。

专题十三 平面向量的数量积（一）知识梳理：1、平面向量的数量积及运算律（1）向量,的夹角的规定：__________________________________________ 向量,垂直（b a ⊥）的规定：__________________________________（2）平面向量的数量积定义：设b a ,是两个非零向量，它们的夹角为θ，则a b ⋅=r r _______________，叫做a 和b 的数量积（数量积的计算结果为_______）(3) 平面向量的数量积的重要性质：①,_______a b a b ⋅=r r r r 与垂直时；②,_______a b a b ⋅=r r r r 与反向时；③,_______a b a b ⋅=r r r r 与同向时，特别地，2_____a a a =⋅=r r r ；（4）平面向量的数量积的运算律①交换律：_____________；②结合律：_______________________________； ③分配律：_____________________2、平面向量的数量积的坐标表示（1）设),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⋅=r r _______________，特别地2a =_________(2) 距离公式：若),(y x =，则||=__________；若设),(),,(2211y x B y x A ==，则||AB =____________________(3) 夹角公式：设θ是向量与的夹角，),(),,(2211y x b y x a ==，则cos θ=___________ (4)⊥的充要条件：设),(),,(2211y x y x ==，则⊥⇔_______________（二）例题讲解：考点1：平面向量的数量积运算例1（a 级）、下列命题：①a ρ·0r ＝0r ；②0·a ρ＝；③0r －AB u u u r ＝BA u u u r ；④｜a ρ·b ρ｜＝｜a ρ｜｜b ρ｜；⑤若a ρ≠0r ，则对任一非零b ρ有a ρ·b ρ≠０；⑥a ρ·b ρ＝０，则a ρ与b ρ中至少有一个为0r ；⑦对任意向量a ρ，b ρ，c r 都有（a ρ·b ρ）c r ＝a ρ（b ρ·c r ）；⑧a ρ与b ρ是两个单位向量，则a ρ２＝b ρ２其中正确的是 （把正确的序号都填上）易错笔记：例2（a 级）、在ΔABC 中,若03,4,60BA AC BAC ==∠=u u u r u u u r ,则=⋅ ( )A 、6B 、4C 、-6D 、-4易错笔记：考点2：平面向量的垂直运算例3（b 级）、已知向量)1,1(=，)3,2(-=，若b a k 2-与a 垂直，则实数k =（ ）A ．1B ．－1C ．0D ．2易错笔记：例4（b 级）、已知|a r |=1，|b r |=2，a r 与b r 的夹角为600且(3a r +b r )⊥(m a r -b r )，则实数m的值为 ( ) A 、27 B 、27- C 、47 D 、47-易错笔记：考点3：平面向量的模长运算例5（b 级）、已知a r 、b r 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a r +3b r | = （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4易错笔记：例6（b 级）、已知向量a r (cos ,sin )θθ=,向量b r 1)=-，则|2a r －b r |的最大值、最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，0易错笔记：（三）练习巩固：一、选择题1、已知a =r b =r 3a b ⋅=-r r ，则a r 与b r 的夹角是 ( )A 、150︒B 、120︒C 、60︒D 、30︒2、已知a b ⋅=-r r 4||=a ，b a 和的夹角为1350，则||b = （ ）A 、12B 、3C 、6D 、93、已知向量(1,2)a =r ，则||a =r （ ）A ．1B ．2C ．5D ．5 4、已知点M （－2, 3），N ( 2, 0 )，则│MN │= （ ）（A ）3 （B ）5 （C ）9 （D ）255、在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80o ,sin80o ），B(cos20o ,sin20o)，则｜AB ｜的值（ ） 1.2A ； 2.2B ； 3.2C ；D ．1； 6、已知||a r =1,||b r =2,且(a r -b r )与a r 垂直，则a r 与b r 的夹角是 （ ）A 、60°B 、30°C 、135°D 、45°7、已知a v =(λ，２)，b r =(-3,5)，且a v 与b r 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 （ ）A.λ＜310B.λ＞310C.λ≥310D.λ≤310 8、已知两点A(4，1)，B(7，-3)，则与向量同向的单位向量是 （ ）A ．(53，-54) B ．(-53，54) C ．(3，-4) D ．(-3，4) 二、填空题 9、已知a ϖ=（2，1），b ρ=（λ，-2），若a ϖ⊥b ρ，则λ=_______． 10、已知|a ϖ|=6，|b ρ|=4，a ϖ与b ρ的夹角为60°，则（a ϖ+2b ρ）·(a ϖ-3b ρ)=11、已知____|21|,30,4||,3||=+︒==b a b a b a 则的夹角为与 12、已知=(2，4)，=(－1，－3)， 则|3+2|=________．13、若a r =(2,-1)，b r =(1,2)，且|a r +t b r |=15，则实数t= ；14、已知向量a r =(2,x)，b r =(3,4)，且a r 、b r 的夹角为锐角，则x 的取值范围是_________三、解答题15、在边长为2的正∆ABC 中，设AB =c r , =a ϖ, =b ρ，求a ϖ·b ρ+b ρ·c r +c r ·a ϖ的值16、已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求 及D点坐标．17、已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<<r r （1）若θ求,⊥；（2）求|+|的最大值。

平面向量一、选择题：本大题共15题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则AB =u u u r （ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4） 2 若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比λ的值为A.－13B. －15C. 15D. 133、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ．若AC =u u u r a ，BD =u u u r b ，则AF =u u u r （ ） A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a b D ．1233+a b 4、设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r 则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与BC uuu rA.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直5、已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r ，则OC =u u u r （ ）A ．2OA OB -u u u r u u u r B ．2OA OB -+u u u r u u u rC ．2133OA OB -u u u r u u u rD ．1233OA OB -+u u u r u u u r 6、平面向量a r ，b r 共线的充要条件是（ ） A. a r ，b r 方向相同 B. a r ，b r 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=r rD. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r7、在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 8、已知两个单位向量a r 与b r 的夹角为135︒，则||1a b λ+>r r 的充要条件是A.2)λ∈B.(2,0)λ∈-C.(,0)(2,)λ∈-∞+∞UD.(,2)(2,)λ∈-∞+∞U9、若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r , 则BC =u u u r （ ）A ．（1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）10、已知平面向量，(2,)b m =-r ，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--11、设a r =(1，－2), b r =(－3,4),c=(3,2)，则(2)a b c +⋅r r r =A.(15,12)-B.0C.－3D.－1112、已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（ ）A. －1B. 1C. －2D. 2 13、设平面向量(3,5),(2,1),2______==--=则a b a bA ．(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) 14、已知两个单位向量a r 与b r 的夹角为3π，则a b λ+r r 与a b λ-r r 互相垂直的充要条件是（ ） A ．3λ=3λ=B ．12λ=-或12λ= C ．1λ=-或1λ= D ．λ为任意实数 二．填空题：本大题共7小题。

，再作 = ，连接，则 = + − 即为所求.

+−



+

图1




+
+−





图2

题型五：向量减法的运算及几何意义
例5.化简：
(1)( + ) + (− − )；(2) − − .
解：(1)解法一：原式= + + + = ( + ) + ( + )
的规则 ， 可以称之为 “ 首尾规则 ”
例４
一物体受水平方向６Ｎ和铅垂方向８Ｎ的两个力的作用，求合力
的大小以及合力与铅垂方向偏离的角度．（结果精确到０．０１°）
解 如图8-1-9，设力的作用点为O，若向量Ԧ = 表示水平方
向6N的作用力，向量 = 表示铅垂方向8N的作用力，则合
力是. Ԧ = = Ԧ +


= ， = 2，为的的中点.试求：
(1) + ；(2) + + ；

(3) + + + .
解：由已知，得：四边形、四边形均为平行四边形.
(1) + = .
(2) + + = + = .
= + = .
解法二：原式= + − − = + ( − ) −
= + ( − ) = .
(2)解法一：原式= − = .
解法二：原式= − (简下列各式：



(平行四边形法则)如右图所示，首先在平面内任取一点，作向