新课标高三文科数学综合测试题与参考答案(八)

2x 8, x 5
（2）由（1）知 a2
b2 4
2 ，因为 ( 1 a

2)2 b

1 a2
4 b2

4 ab
，
所以
1 a24 b2来自4 ab
1 (a2 2

b2 4
)

(
1 a2

4 b2

4) ab

1 2

(
4a2 b2

b2 4a2

4a b

b a
2) ，
又因为 y ex 与 y e 在 (0,) 上单调递增， x
所以当 0 x 1时， f (x) 0 ；当 x 1 时， f (x) 0 , 即 f (x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,) 上单调递增.………………………………………6 分 （2）因为当 m 4e 时， f (x) ex 4e 在 (0,) 上单调递增，
因为 AB AD ， A1AB A1AD ， AA1 AA1 ，
D1
C1
所以 A1AB A1AD ，
A1
B1
所以 A1B A1D ，
又因为 O 是 BD 的中点，所以 A1O BD ， D
另由 BD AC 且 AC A1O O ，
EO
C
所以 BD 平面 A1AC .…………………………A………………………B……………………6 分
当 x 2 时两边平方，并整理得 y2 4x 4 ，
故曲线 C2 的直角坐标方程为 y2 4x 4 .…………………………………………………6 分 （2）联立 C1 与 C2 的方程得 x2 (4 2a)x 4 0 ， 因为 a 0 ，要使 C1 与 C2 有且仅有四个公共点， 则方程 x2 (4 2a)x 4 0 有两个大于 0 的正根，

一、选择题1. 答案：A解析：由题意知，函数y=2x+3在定义域内是增函数，且当x=0时，y=3，所以函数的最小值为3。

2. 答案：B解析：由题意知，等差数列{an}的首项为2，公差为3，所以第10项为2+9×3=29。

3. 答案：C解析：由题意知，函数y=ln(x-1)的导数为y' = 1/(x-1)，所以当x=2时，导数y'=1。

4. 答案：D解析：由题意知，直线l的方程为2x+y-5=0，圆的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，计算圆心到直线的距离d=|2×1+1×(-2)-5|/√(2^2+1^2)=3，所以直线与圆的位置关系为相离。

5. 答案：A解析：由题意知，复数z=1+i的模为|z|=√(1^2+1^2)=√2。

二、填空题6. 答案：-2解析：由题意知，数列{an}的前n项和为Sn=2n^2-n，所以第n项an=Sn-Sn-1=2n^2-n-2(n-1)^2+(n-1)=4n-3，当n=3时，a3=4×3-3=9。

7. 答案：π解析：由题意知，圆的半径为r=√2，所以圆的周长为C=2πr=2π√2。

8. 答案：3解析：由题意知，不等式组$$\begin{cases}x+y>5 \\x-y<3\end{cases}$$的解集为一个平面区域，该区域内的点到原点的距离的最小值为3。

9. 答案：5解析：由题意知，函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为y'=6x^2-6x+4，令y'=0，解得x=1或x=2/3，所以函数的极值点为x=1和x=2/3，计算f(1)=2×1^3-3×1^2+4×1-1=2，f(2/3)=2×(2/3)^3-3×(2/3)^2+4×(2/3)-1=5/27，所以函数的最大值为5。

10. 答案：2解析：由题意知，直线l的方程为x+y-1=0，直线l关于直线x=1的对称直线l'的方程为x+y-3=0，所以直线l'与直线x+y-1=0的距离为d=|1+1-1|/√(1^2+1^2)=√2。

五中2021-2021学年度上学期高三数学文科8月月考试卷创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日〔总分150分 时间是120分〕一、选择题：每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内. 1. 设集合M=｛x │0≤x<2｝,集合N=｛x │x 2-2x-3<0｝,集合M ∩N 为 A. ｛x │0≤x<1｝B. ｛x │0≤x<2｝C. ｛x │0≤x ≤1｝D. ｛x │0≤x ≤2｝2．函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 A. (2,)+∞ B. (,2)-∞ C. (,0)-∞ D. (0,2)3. 函数9x 3ax x )x (f 23-++=, )x (f 在3x -=时获得极值, 那么=aA. 2B. 3C. 4D. 54. 10．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10穴的分蘖数后，计算出样本方差分别为112=甲s ，.234s =乙，由此可以估计A ．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B ．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度一样D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比拟5. 集合M ＝} x |x {12=, 集合N ＝}, x a |x {1=假设NM, 那么a 的值是 ( )A. 1B. －1C. 1或者－1D. 0, 1或者－16. 函数1ax y 2+=的图象与直线x y =相切, 那么=aA.18 B. 41 C. 21D. 1７．全集M={Z a N aa ∈∈-且56|}，那么M=___________ A 、{2，3} B 、{1，2，3，4} C 、{1，2，3，6} D 、{-1，2，3，4}8．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点。

公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后效劳等情况，记这项调查为②。

课时规范练A 组 基础对点练1．(2018·合肥质检)已知圆C ：(x －6)2＋(y ＋8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( C ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25 D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝252．直线x －2y －2k ＝0与直线2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的取值范围为( A ) A ．k <－35或k >35 B.－35<k <35 C ．－34<k <34D.k <－34或k >343．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( A ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝14．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，则ab 的最大值是( B ) A.12 B.18 C.14D.245．(2016·高考天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为__(x －2)2＋y 2＝9__.6．(2016·高考浙江卷)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是__(－2，－4)__，半径是__5__.7．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为__x 2＋(y －1)2＝1__.8．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是__x ＋y －3＝0__.9．在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由⎩⎨⎧36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.10．(2018·广州测试)已知定点M (1,0)和N (2,0)，动点P 满足|PN |＝2|PM |. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若A ，B 为(1)中轨迹C 上两个不同的点，O 为坐标原点．设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2，k .当k 1k 2＝3时，求k 的取值范围． 解析：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )， 因为M (1,0)，N (2,0)，|PN |＝2|PM |， 所以(x －2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， 整理得x 2＋y 2＝2.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2，y ＝kx ＋b消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2bkx ＋b 2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk )2－4(1＋k 2)(b 2－2)>0，得b 2<2＋2k 2.① 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2bk1＋k 2，x 1x 2＝b 2－21＋k 2.②由k 1·k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝kx 1＋b x 1·kx 2＋bx 2＝3，得(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝3x 1x 2，即(k 2－3)x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2＝0.③ 将②代入③，整理得b 2＝3－k 2.④由④得b 2＝3－k 2≥0，解得－3≤k ≤ 3.⑤ 由①和④，解得k <－33或k >33.⑥ 要使k 1，k 2，k 有意义，则x 1≠0，x 2≠0，所以0不是方程(*)的根，所以b 2－2≠0，即k ≠1且k ≠－1.⑦由⑤⑥⑦，得k 的取值范围为[－3，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3]．B 组 能力提升练1．(2018·贵阳监测)经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆的面积S ＝( D ) A ．π B.2π C ．3πD.4π解析：法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的坐标代入圆的方程可得⎩⎨⎧1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋4＋D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4，所以圆的半径r ＝2，所以S ＝4π.故选D.法二 根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心坐标为(1，a )，则r ＝4＋a 2＝|a －2|，所以a ＝0，r ＝2，所以S ＝4π，故选D.2．圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( A ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B.x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D.x 2＋(y ＋3)2＝3解析：依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1，故选A.3．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( D ) A ．一个椭圆B.一个圆C ．两个圆 D.两个半圆解析：由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，故选D.4．已知圆M 的圆心在抛物线x 2＝4y 上，且⊙M 与y 轴及抛物线的准线都相切，则圆M 的方程是( A ) A ．x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2±4x －2y －1＝0 C ．x 2＋y 2±4x －2y ＋4＝0 D ．x 2＋y 2±4x －2y －4＝0解析：抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0>0)，则|x 0|＝y 0＋1，又x 20＝4y 0，所以联立⎩⎨⎧|x 0|＝y 0＋1，x 20＝4y 0，解得⎩⎨⎧x 0＝±2，y 0＝1，因此圆M 的方程为(x ±2)2＋(y －1)2＝22，展开整理得x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0，故选A.5．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( D ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37 解析：如图，易知AC 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0.点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝|－4|5＝455>1，OA ＝(－2)2＋32＝13，OB ＝(－2)2＋(－1)2＝5，OC ＝62＋(－1)2＝37，∴以原点为圆心的圆若与△ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)， ∴圆的半径为1或37，则该圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.故选D.6．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 .解析：由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a >0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.7．已知平面区域⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为__(x －2)2＋(y －1)2＝5__.解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x －2)2＋(y －1)2＝1__.解析：直线mx ＋y －2m ＝0过定点(2,0)，则以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为1，∴半径最大的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.9．直线l ：x 4＋y3＝1与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 内切圆的方程为__(x －1)2＋(y －1)2＝1__.解析：由题意设△OAB 的内切圆的圆心为M (m ，m )，则半径为|m |. 直线l 的方程x 4＋y3＝1可化为3x ＋4y －12＝0，由题意可得|3m ＋4m －12|32＋42＝m ，解得m ＝1或m ＝6(不符合题意，舍去)．∴△OAB 内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.10．如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为 (x －1)2＋(y －2)2＝2 ； (2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 －2－1 .解析：(1)过点C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC (图略)，则|CM |＝|OT |＝1，|AM |＝12|AB |＝1，所以圆的半径r ＝|AC |＝|CM |2＋|AM |2＝2，从而圆心C (1，2)，即圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)令x ＝0得，y ＝2±1，则B (0，2＋1)， 所以直线BC 的斜率为k ＝(2＋1)－20－1＝－1.由直线与圆相切的性质知，圆C 在点B 处的切线的斜率为1，则圆C 在点B 处的切线方程为y －(2＋1)＝1×(x －0)，即y ＝x ＋2＋1.令y ＝0得，x ＝－2－1，故所求切线在x 轴上的截距为－2－1.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若点P 到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解析：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题意可得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上， 从而得⎩⎨⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎨⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎨⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.∴圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.12．(2018·重庆六校联考)已知定点Q (3，0)，P 为圆N ：(x ＋3)2＋y 2＝24上任意一点，线段QP 的垂直平分线交NP 于点M .(1)当P 点在圆周上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝0(O 为坐标原点)，证明直线l 与某个定圆相切，并求出定圆的方程．解析：(1)连接MQ ，依题意可得圆N 的圆心N (－3，0)，半径为26，|MP |＝|MQ |， 则|MN |＋|MQ |＝|MN |＋|MP |＝|NP |＝26>23＝|NQ |，根据椭圆的定义，得点M 的轨迹是以N ，Q 为焦点，长轴的长为26的椭圆， 即2a ＝26，2c ＝23，所以b ＝a 2－c 2＝ 3. 所以点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝6，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， 由Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)>0，得m 2<6k 2＋3.①由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－6k 21＋2k 2.因为OA →·OB →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2m 2－61＋2k 2＋m 2－6k 21＋2k 2＝0，整理得m 2＝2k 2＋2，满足①式， 所以|m |k 2＋1＝2，即原点到直线的距离为2， 所以直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切． 当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝t (－6<t <6)， 不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫t ，6－t 22，B ⎝⎛⎭⎪⎫t ，－6－t 22. 因为OA →·OB →＝0，所以t 2－3＋t 22＝0⇒t ＝±2.此时直线l 的方程为x ＝±2，显然也与圆x 2＋y 2＝2相切． 综上，直线l 与定圆相切，且定圆的方程为x 2＋y 2＝2.。