提高班讲义 第五讲 阅读理解(新)

高二数学竞赛班二试平面几何讲义第五讲 四点共圆（一）班级 姓名一、知识要点：1. 判定“四点共圆”的方法:（1)若对角互补，则四点共圆；（2）若线段同一侧的两点对线段的张角相等，则四点共圆； （3）圆的割线定理成立，则四点共圆； （4）圆的相交弦定理成立，则四点共圆； 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.二、例题精析：例1. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM＝∠CBK.求证：∠DMA ＝∠CKB.（第二届袓冲之杯初中竞赛）A B C D K M ··例2.给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q 四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)例3．A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，△OCA的外心.求证：O，O1，O2，O3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克)AB CKMNPQB′C′A B COOOO123？？三、精选习题：1．⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心.2．△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.3．设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.四、拓展提高：4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N(K与N不同).△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证：∠BMO=90°.(第26届IMO第五题)A BOKN CMG高二数学竞赛班二试平面几何讲义第五讲 四点共圆（一）例1. 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK.∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆⇒∠CMD ＝∠DKC. 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB. 例2. 法1：,,,P Q C C '四点共圆，PK KQ C K KC '⋅=⋅， ,,,M N B B '四点共圆， MK KN BK KB '⋅=⋅，因为90BC C BB C ''∠=∠=， 所以,,,B B C C ''四点共圆，C K KC BK KB ''⋅=⋅所以MK KN PK KQ ⋅=⋅，所以M ，N ，P ，Q 四点共圆.法2：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM.欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证 MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′)或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①，命题得证.例3．分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA.观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B=∠OCB.观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA.由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1⇒O ，O 1，O 2，O 3共圆.利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.1．提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.2．提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°. 4．分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180°⇒C，O，K，M四点共圆.在这个圆中，由OC=OK⇒OC=OK⇒∠OMC=∠OMK.但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°.法2 蒙日定理。

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初一升初二,你准备好了吗?做好衔接，快人一步!假如用一句话概括初中：那就是初一是希望，是习惯养成的关键期；初二是分化期，是同学们差距出现的时候；初三是拼搏，是同学们实现人生理想的第一次真正的奋斗。

初二是初中的一个重要时段，这一阶段你对知识的掌握程度，直接影响着你的中考成绩，学习上并没有初一那样绝对的“轻松”，面对初二的最大问题就是分化，简单概括为好的更好，差的更差。

那么为什么有的同学进入新的学年后，成绩突飞猛进，原本的差生摇身一变上了全班前几名，这到底是为什么呢?那些新学期的优等生是如何炼成的呢?其实优等生的秘密就在暑假里!新学年衔接辅导让很多差生或中等生在暑假里突飞猛进，进入陌生却早已熟悉的新学期后，他们自然早已快人一步，学习倍轻松!在初二，数学、语文、英语、物理要作为重点来安排学习，除了上课认真听讲，课后70%的精力要花在这些主课上。

初二时，每门主科都要做到出现问题立刻解决掉，因为到了初三，未解决的知识漏洞不但会影响新知识的学习，更重要的是没时间来补回前面出现的问题（初三的新知识集中在上学期学完，下学期进入复习，学习任务很繁重）。

名师模块班讲义主讲：顾斐目录第一讲综述 (3)第二讲主旨概括题综述及递进复句 (4)片段阅读 (4)知识点：主旨概括题 (4)知识点：递进复句 (5)第三讲转折复句 (6)知识点：转折复句 (6)第四讲因果复句 (9)知识点：因果复句 (9)第五讲必要条件复句 (12)知识点：必要条件复句 (12)第六讲显性并列复句 (15)知识点：显性并列复句 (15)第七讲行文脉络 (17)知识点：行文脉络 (17)第八讲意图推断题 (20)知识点：意图推断题 (20)第九讲细节判断题（一） (25)知识点：细节判断题 (25)第十讲第十一讲细节判断题（二） (27)词语理解题、代词指代题 (31)知识点：词语理解题 (31)知识点：代词指代题 (33)第十二讲语句排序题 (36)知识点：语句排序题 (36)第十三讲语句衔接题 (40)知识点：语句衔接题 (40)第十四讲标题填入题 (43)知识点：标题填入题 (43)华图网校公职课程第[1]页客服电话：400-678-1009第十五讲选词填空之实词辨析（一） (46)选词填空 (46)知识点：实词辨析 (46)第十六讲第十七讲实词辨析（二） (49)成语辨析 (53)知识点：成语辨析 (53)华图网校公职课程第[2]页客服电话：400-678-1009第一讲综述【考查能力】【题型综述】【做题顺序】华图网校公职课程第[3]页客服电话：400-678-1009第二讲主旨概括题综述及递进复句片段阅读知识点：主旨概括题☒知识点讲解【辨别标志】☒ 这段话的主旨是、这段话主要讲述（谈论、强调、说明、阐明、阐述、分析、介绍等）的是？☒ 对这段文字概括（复述、归纳、总结）最准确的是？【做题原则】1.2.3.4.【解题技巧】。

华图网校公职课程第[4]页知识点：递进复句知识点讲解：【典型格式】不但……，而且……。

如：大别山区不但矿产很丰富，而且自然景色很美。

【关联词语】不但=不仅=不单=不独=不只=不光而且=并=并且=也=还甚至=更=特别=尤其=重要的是=关键的是=核心的是【多重递进】不但……，而且……，甚至……【典型例句】1）黄金不只是一种名贵的金属，也是一种不需要翻译的万能语言。

第一讲“三长两短一并列”，搞定英语长难句 (2)第二讲句子的心脏：谓语动词 (11)第三讲句子的骨架：主干句型 (38)第四讲添乱的“介词短语” (64)第五讲华丽的“三大从句” (83)第六讲高贵的非谓语动词 (103)第七讲段落的秘密 (109)第八讲、阅读理解核心笔记与高频词汇 (121)第九讲、完形填空重点词汇及短语 (138)第十讲、书面表达高分理论 (195)第十一讲、书面表达遣词造句法 (254)第十二讲、提纲记叙文 (275)第十三讲、高考英语书面表达高分攻略之——书信的秘密 (279)第十四讲、高考英语书面表达高分攻略之——看图记叙文的秘密 (295)第十五讲、看图议论文全解析 (314)第十六讲书面表达真题解析-新课标卷 (324)第一讲“三长两短一并列”，搞定英语长难句长难句可谓英语文章中让人头疼的大麻烦。

那么，有没有一种简便的方法能让我们迅速破解长难句呢？当然有。

下面，李辉老师就通过分析英语句子中的重要特点——“三长两短一并列”来教你一套简单而神奇的方法，即“组件分析三步法”，帮你快速理清英语句子结构，轻松破解英语长难句。

下文的讲解虽看似繁琐，但只要你耐心读下去，必会受益无穷！什么是“三长两短一并列”我们先来看两句话：①我是李辉。

(I am Li Hui.) ②我爱你。

(I love you. ) 这两句话中只有“主干成分”而没有“修饰成分”。

像这样的句子，中文和英文的“语序”(单词排列顺序)基本是一致的，都是“主—系—表”或者“主—谓—宾”，理解起来非常容易。

然而，在加上修饰成分后，中文与英文句子之间的语序就会发生变化。

来看两个例子：①我是新东方的李辉。

(I am Li Hui from New Oriental School.) ②我全心全意地爱你。

(I love you with all my heart.) 从例子中可以看出，修饰成分在中英文中出现的位置是不一样的。