波动方程推导过程

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达朗贝尔波动方程

达朗贝尔波动方程引言达朗贝尔波动方程（D’Alembert’s wave equation）是描述波的传播和振动的一种数学方程。

它在物理学和工程学的各个领域中都有广泛的应用。

本文将从基本概念、方程的推导、特解以及应用等方面深入探讨达朗贝尔波动方程。

一、基本概念1. 波动波动是指能量在介质或空间中传播的过程。

波可以是机械波、电磁波等不同类型的波动。

波动可以通过振动产生，并以波的形式传递能量。

2. 波动方程波动方程是描述波动过程中物质或场的运动状态的方程。

达朗贝尔波动方程是一维波动方程的一种形式，可用于描述沿一条方向传播的波。

二、方程的推导达朗贝尔波动方程可从牛顿第二定律和胡克定律推导得到。

设在一根弦上的波动，假设弦是均匀的、细长的、不可延伸的，并忽略重力效应。

则在弦元上的受力可表示为：dF=T⋅∂2y ∂x2dx其中，y表示弦元的垂直偏移量，x表示弦元所在位置，T表示弦的张力。

根据牛顿第二定律，弦元的加速度与受力之间存在关系：∂2y ∂t2=Tμ⋅∂2y∂x2其中，t表示时间，μ表示弦的线密度。

由于波沿弦方向传播，假设波的传播速度为v，即：v=dx dt将上述关系带入方程中，得到达朗贝尔波动方程：∂2y ∂t2=v2⋅∂2y∂x2三、特解1. 没有边界当弦的两端没有固定边界时，方程的特解可表示为：y=f(x±vt)其中，f表示初始的波形，正负号分别表示波向左或向右传播。

2. 有边界当弦的两端有固定边界时，方程的特解可表示为：y(x,t)=R(x−vt)+S(x+vt)其中，R和S分别表示左右边界处波的反射情况。

四、应用达朗贝尔波动方程在各个领域都有广泛的应用，如声学、电磁学等。

下面以声学为例，介绍其应用。

1. 空气中的声波传播空气中的声波传播可以用达朗贝尔波动方程进行描述。

如果在一个封闭空间中有声源产生声波，声波将通过空气传播，并在封闭空间的各个位置上引起压强的变化。

通过解达朗贝尔波动方程，可以得到声波在空气中的传播速度、频率和波长等参数。

波动方程或称波方程

波动方程或称波方程（英语：wave equation)是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。

波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域.历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时,都对波动方程理论作出过重要贡献。

波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。

在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）.在弦振动问题中,c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大.而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky)上,波速可以慢到1米/秒.在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量,这种处理对应真实物理世界中的色散现象。

此时，c应该用波的相速度代替：实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程：另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动(譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。

这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。

三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。

绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。

在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂,它必须同时考虑固体中的纵波和横波:式中：•和被称为弹性体的拉梅常数(也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants 或 Lamé moduli)，是描述各向同性固体弹性性质的参数;•表示密度；•是源函数（即外界施加的激振力）；•表示位移；注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以该方程也被称为矢量形式的波动方程。

麦克斯韦方程组以及光的波动方程推导

()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
显示技术中心
波动方程推导
光传播的理想化条件
光波在各种介质中传播实际上就是光与介质相互作用的过程。（1）区域内自由电荷的体密度为0，且媒质是均匀、线性、各向同性的
ρ=0
（2）介质透明，对光没有吸收，为绝缘体，电导率为0
σ=0
显示技术中心
波动方程推导
化简后的麦克斯韦方程组
gB 0 gD E B
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
显示技术中心
麦克斯韦方程组积分形式
(3)
Ñ H
C

dl

(j
S

D) t
ds
全电流定律
任意一个闭合回路上的总磁压等于被这个闭合回线所包围的面内穿过的全部电流的代数和。
全电流=传导电流+位移电流
位移电流是指穿过某曲面的电位移通量随时间的变化率。
显示技术中心

波动方程_精品文档

u
l
=
=
12
50
600
s
=
1
(
)
υ
例题：有一列向x 轴正方向传播的平面简谐波，
它在t = 0 时刻的波形如图所示其波速为：
u = 600m/s 。试写出波动方程。
=
5m
A
24m
l
=
从波形图中可知：
ω
=
π
2
=
π
50
(
)
rad.
s
1
υ
原点处质点的振动方程为：
波动方程为：
y
0
2
π
由旋转矢量法：
u
l
=
=
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
0
1.时间推迟方法
x
x
u
y
o
P
·
A
已知振源（波源）的振动方程为：
振源的振动状态从0点以传播速度u传送到P 点，显然时间要落后：
´
u
x
＝
t
u
x
j
=
t
+
cos
(
)
A
ω
－
j
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
0
´
t
j
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
－
P
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
＝
0

《机械波波动方程》课件

04 机械波的应用
机械波在声学中的应用
声波传播
机械波在声学中用于描述声波的传播规律，包括声音的传播速度、衰减和反射等。
声音合成与处理
通过控制机械波的波形和频率，可以实现声音的合成与处理，如音频信号的调制、滤波和混响等。
声呐技术
利用机械波在介质中的传播特性，声呐技术可用于探测水下目标、测量水深和流速等。
和计算效率。
开展跨学科的研究合作，将机械波波动方程与流体力学、电磁学等领域进行交叉融合，以拓展其应用领域和研究范围。
加强机械波波动方程在各领域的应用研究，探索其在新能源、新材料、生物医学等领域的
应用前景。
注重人才培养和学术交流，加强国内外学术合作与交流，推动机械波波动方程领域的不断发展。
通过研究机械波波动方程，可以深入理解波动现象的内在规律和机制，为工程技术和科学研究提供重要的理论支撑。
机械波波动方程在声学、地震学、波动成像等领域有着广泛的应用，对于这些领域的发展起着至关重要的作用。
机械波波动方程未来的研究方向和展望
深入研究机械波波动方程的求解方法和数值模拟技术，以提高对复杂波动现象的模拟精度
程
波动方程是通过将牛顿第二定律应用于波的传播过程而建立的。它描述了波在传播过程中，各点的位移如何随时间变化。
波的传播过程
波在传播过程中，各点的振动状态会以波的形式传播出去。这种传播过程可以用波动方程来描述。
波的叠加过程
当两个或多个波相遇时，它们会相互叠加，产生干涉、衍射等现象。这些现象也可以通过波动方程来描述。
THANKS
波动方程的物理量
波动方程中的物理量
在波动方程中，通常包含位移、速度、加速度、时间等物理量。这些物理量描述了波在空间和时间中的传播和变化。

第一章_波动方程

u ( 3) 2 x 0 y x 2u 2u 2u ( 4) 2 2 2 sin x xy y x
( 5)
2u x
2
2
3u x y

假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦段(x, x+Δx)上的外力为：

x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：

t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
u T x
x a
k u x a
或
u u 0 x xa
数学物理方程
第一章波动方程
§1.2 定解条件
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边
界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即
个性。初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
y
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'

T
M
gds
x x dx x
数学物理方程

压力波动方程

压力波动方程摘要：一、压力波动方程的定义二、压力波动方程的推导1.基本假设2.波动方程的推导三、压力波动方程的应用1.波动方程在固体力学中的应用2.波动方程在流体力学中的应用四、压力波动方程的局限性及发展前景正文：压力波动方程是描述压力在弹性介质中传播的波动方程。

该方程基于物理模型和数学推导，广泛应用于固体力学和流体力学等领域。

首先，我们需要了解压力波动方程的定义。

压力波动方程是一个描述压力在弹性介质中传播的波动方程，它反映了压力变化对介质中应力和速度的影响。

接下来，我们将推导压力波动方程。

推导过程主要包括基本假设和波动方程的推导两个部分。

在基本假设部分，我们假设弹性介质是线弹性的，即应力与应变之间存在线性关系；同时，假设介质是均匀的，即介质的物理性质在空间上是不变的。

基于这些假设，我们可以得到压力波动方程。

在波动方程的推导部分，我们首先考虑一个简化的模型，即一个弹性杆在端部施加一个集中力。

通过求解该问题，我们可以得到波动方程的一般形式。

然后，通过对该方程进行边界条件处理和求解，我们可以得到压力波动方程。

压力波动方程的应用非常广泛。

在固体力学领域，压力波动方程可以用来分析构件在受到冲击或振动时的应力分布和变形情况。

在流体力学领域，压力波动方程可以用来研究流体在管道中传播的压力变化，以及分析流体的湍流现象。

然而，压力波动方程也存在一定的局限性。

例如，当介质存在非线性特性或非均匀性时，压力波动方程的适用性会受到影响。

此外，压力波动方程无法描述压力波在介质中的衰减和散射等现象。

因此，对于更复杂的问题，需要进一步发展压力波动方程或其他波动方程。

总之，压力波动方程是一个重要的波动方程，它不仅反映了压力在弹性介质中的传播规律，还广泛应用于固体力学和流体力学等领域。

平面简谐波波动方程

0
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
利用关系式 2 T和 2，得uT
y(x,t)
A cos
2 Tt
x
0
y(x,t)
A cos
2
t
x
0
y(x,t) Acos( t k x 0) 其中 k 2
平面简谐波的波动表式
A
cos
t1
x u
0
当t=
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x(1) 和x(2)表示，则
y(t1 )
A
cos
t1
x(1) u
0
y(t1 t )
A
cos
t1
t
x( 2 ) u
0
平面简谐波的波动表式
令x(2)=x(1)+uΔt，得
y(t1 t )
t
2
m
可见此点的振动相位比原点落后，相位差为，2或落
后，T 即4 210-5s。
(4)该两点间的距离 x 10cm 0.，10相m应的相4 位差
为
2
(5)t =0.0021s时的波形为
y
0.1 10 3
cos
25 103
0.0021
5
x 103
m
0.1103 sin 5x m
它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线(波形图)。
y
u
A
x
平面简谐波的波动表式
沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：

阻尼波动方程

阻尼波动方程阻尼波动方程是描述阻尼振动的一种常见数学模型。

本文将通过一步步的思考，详细介绍阻尼波动方程的定义、推导过程，以及在实际应用中的一些示例。

阻尼波动方程是物理学中研究阻尼振动的重要方程，广泛应用于各个领域，包括工程学、物理学和生物学等。

理解阻尼波动方程的定义和推导过程，对于解决实际问题具有重要意义。

阻尼波动方程描述了在有阻尼的情况下，波动传播的过程。

它可以写成如下的偏微分方程形式：∂²u/∂t² = c²∇²u - α∂u/∂t 其中，u表示波动的振幅，t表示时间，c²是波动的传播速度的平方，∇²是二维或三维空间中的拉普拉斯算子，α则表示阻尼系数。

二、阻尼波动方程的推导过程阻尼波动方程可以通过牛顿第二定律的基本原理来推导得到。

假设有一根绳子上的小振动，绳子的运动可以用一维的波动方程来描述：∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x² 其中，u表示绳子上的波动振幅，t表示时间，x表示绳子上的位置，c表示波动在绳子上的传播速度。

考虑绳子上存在阻尼，假设阻尼的作用力与速度成正比，且反向与速度方向相同。

这样，阻尼力可以表示为F = -α∂u/∂t，其中α表示阻尼系数。

将阻尼力考虑进牛顿第二定律的方程中，可以得到阻尼波动方程：∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x² - α∂u/∂t三、阻尼波动方程的实际应用举例阻尼波动方程在实际应用中有着广泛的应用。

以下举例说明其中的几个应用场景： 1. 机械振动系统：在机械工程中，阻尼波动方程用于描述由于阻尼所引起的机械系统的振动。

例如，车辆的避震系统就是利用阻尼波动方程来实现对车身振动的控制。

2. 建筑工程：在建筑工程中，阻尼波动方程用于分析和设计建筑物的抗震能力。

通过研究地震波的传播和建筑物的自振频率，可以确定合适的阻尼方式和参数，以确保建筑物的稳定性和安全性。

Zoeppritz方程推导过程

Zoeppritz 方程的推导一．波函数设有一平面谐纵波入射到两种半无限弹性介质的分界面上。

在这种情况下，波不仅会折回到入射介质中传播，而且会透射到另一种介质中传播；即同时存在反射波和透射射波。

反射波和透射波中都包含纵波和横波两种成份。

P 波在介质分界面上的反射和透射情况如图所示：关于位函数我们首先看：沿任意方向传播的平面波。

设N是一个任意取定的单位方向矢量。

N li m j nk =++（1）下面来看沿N方向的平面波，或称三维平面波的波函数形式。

三维平面波的波函数f 满足三维波动方程，即：2222222221f f f f xyzVt∂∂∂∂++=∂∂∂∂ （2）这里我们通过和一维平面波函数类比，可以得出三维平面波函数的形式。

我们知道，在一维平面波的情况下，空间任意一点(),,x y z 上的波函数值只取决于x 。

于是沿x 正方向传播的平面波的波函数为1(,)()f x t f x Vt =-。

其中的x 实际上是从原点至(),,x y z 点所在波面的垂直距离，即00d x y z =++（一维平面波的传播方向的单位矢量为N i =。

在三维平面波情况下，这一距离应为d lx my nz =++。

因此，将一维平面波函数中的x 以lx my nz++代替应该可以得到三维平面波的波函数）即：1(,,,)()f x y z t f lx my nz Vt =++- （3）同一维平面波一样，式中的t 为波沿N方向的传播时间。

1()f lx m y nz Vt ++-代表一个沿N的正方向传播的平面波。

同理，1(,,,)()f x y z t f lx my nz Vt =+++代表一个沿N的负方向传播的平面波，在一般情况下，沿任意方向N传播的平面波的波函数可写成：11(,,,)()()f x y z t f lx m y nz Vt f lx m y nz Vt =++-++++ （4）二．平面简谐波：平面简谐波是是波函数为简谐形式的平面波，也是数学上最容易处理的一种波。

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例 1.5 一柔软均匀的细弦, 一端固定, 另一端是弹性支承. 设该弦在阻力与速度成正比的介质中作微小的横振动, 试写出弦的位移所满足的定解问题.
解: k, σ 为正常数
utt − a2uxx + kut = 0, u|t=0 = φ(x), ut|t=0 = u|x=0 = 0, (ux + σu)|x=l = 0.
解: 设弦长为 l, 取弦上端点为原点, 取铅垂向下的轴为 x 轴. 设 u(x, t) 为时刻 t, x 处的横向位移. 取位于 (x, x + ∆x) 的微元进行分析, 由绝对柔软的假设, 弦的张力 T 的方向总是沿弦的切
线方向. 又由微小振动的假设 ux ≪ 1. 因此认为弦在振动过程中不伸长, 且张力 T 与时间无关. 考察受力平衡 (α1, α2 为张力 T 的方向与竖直线的夹角)
第一章波动方程
齐海涛山东大学威海分校数学与统计学院
Email: htqisdu@
September 28, 2011
目录
1 方程的导出、定解条件
2
2 达朗贝尔公式、波的传播
4
3 初边值问题的分离变量法
7
4 高维波动方程的柯西问题
10
5 波的传播与衰减
13
6 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
3
2 达朗贝尔公式、波的传播
例 2.1 证明方程
∂ [( x )2 ∂u ] 1 ( x )2 ∂2u
∂x
1− h
∂x
= a2
1− h
∂t2
(h > 0 常数)的通解可以写成
u = F(x − at) + G(x + at) , h−x
其中 F, G 为任意的具有二阶连续导数的单变量函数, 并由此求解它的初值问题:
)
,
其中 ρ 为杆的密度, E 为杨氏模量.
解: 由细杆的假设, 在杆的垂直与杆的每一个截面上的每一点力与位移的情形是相同的. 取杆的左端截面的形心为原点, 杆轴为 x 轴. 任取 (x, x + ∆x) 上的小段 B 为代表加以研
究. t 时刻, B 的两端位移分别记作 u(x, t) 和 u(x + ∆x, t) = u(x, t) + ∆u, B 段的伸长为
解: (1) u(0, t) = u(l, t) = 0;
(2)
端点自由,
即端点处无外力作用.
在左端点
S
E(0)
∂u ∂x
(0,
t)
=
0,
即
∂u ∂x
(0,
t)
=
0.
同理右端
点 ∂∂(ux3()l端, t)点=固0定. 在弹性支承上, 端点受的外力与支撑的变形成比例. 如左端有弹性支承, 弹性
系数设为 k, 则
T (x) = ρg(l − x).
O.
又
sin α2
≈
tan α2
=
∂u ∂x
(x
+
∆x, t),
sin α1
≈
tan α1
=
∂u ∂x
(x,
t).
由 (2) 知
∂ ∂x
[ T
(x)
∂u(x) ∂x
]
=
ρ
∂2u ∂t2
⇒
∂2u ∂t2
[
]
∂ = g∂x
(l
−
x)
∂u ∂x
.
T
x x + ∆x
T x
u(x + ∆x, t) − u(x, t) = ∆u, 相对伸长则为
u(x
+ ∆x, t) ∆x
−
u(x, t)
=
∆u ∆x
=
∂u ∂x
(x,
t),
∆x → 0.
由 Hooke 定律, B 两端的张力分别为 E(x)ux|x, E(x)ux|x+∆x. B 段的运动方程为
S
ρ(x)∆x
∂2u ∂t2
14
1
1 方程的导出、定解条件
例 1.1 细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动, 以 u(x, t) 表示静止时在 x 点处的点在
时刻 t 离开原来位置的偏移. 假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律, 试证明 u(x, t) 满足
方程
∂ ∂t
( ρ(x)
∂u ∂t
)
=
∂ ∂x
( E
∂u ∂x
T (x + ∆x) cos α2 − T (x) cos α1 = −ρg∆x,
(1)
T (x + ∆x) sin α2 − T (x) sin α1 = ρ∆xutt.
(2)
由 (1) 知
dT dx
= −ρg
⇒
而 x = 0 时, T (0) = ρgl, 知 C = ρgl, 所以
T = −ρgx + C.
(x,
t)
=
E(x)S
ux|x+∆x
−
E(x)S
ux|x
其中 S 为细杆截面面积, x 为 B 段重心坐标. 约去 S , 令 ∆x → 0, 有
(
)
(
)
∂ ∂t
ρ(x)
∂u ∂t
∂ = ∂x
∂u E(x) ∂x
.
例 1.2 在杆纵向振动时, 假设 (1) 端点固定, (2) 端点自由, (3) 端点固定在弹性支撑上, 试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.
0<x ψ(x),
<
l, t
>
0,
例 1.6 若 F(ξ), G(ξ) 均为其变元的二次连续可导函数, 验证 F(x − at), G(x + at) 均满足弦振
动方程 (1.11).
例 1.7
验证
u(x,
y,
t)
=
1/
√ t2
−
x2
−
y2
在锥
t2
−
x2
−
y2
> 0 中满足波动方程 utt
= uxx + uyy.
(
)
S
E(0)
∂u ∂x
(0,
t)
=
ku(0,
t),
∂u
− ∂x + hu
=0
x=0
h= k . E(x)S
同理右端:
(
)
∂u ∂x + hu
= 0.
x=l
例 1.3 试证: 圆锥形枢轴的纵向振动方程为
E
∂ ∂x
[( 1
−
x )2 h
] ∂u ∂x
=
ρ
( 1
−
x )2 h
∂2u ∂t2
,
其中 h 为圆锥的高.
2
解: 仿照第一题有 (R 为圆锥的底面半径)
ρV ( x)
∂2u ∂t2
(x,
t)
=
ES
(x
+
∆x)
∂u ∂x
(x
+
∆x,
t)
−
ES
(x)
∂u ∂x
(x,
t)
其中
V ( x)
=
πR2
( 1
−
Байду номын сангаасx )2 ∆x
+
o(∆x),
S (x)
=
πR2
( 1
−
x )2
.
h
h
令 ∆x → 0, 即得结论.
例 1.4 绝对柔软而均匀的弦线有一端固定, 在它本身重力作用下, 此线处于铅垂的平衡位置, 试导出此线的微小横振动方程.
t=0:
u = φ(x),
∂u ∂t
= ψ(x).
解: (1) 令 v(x, t) = (h − x)u(x, t) 并代入方程得
vtt = a2vxx,
进而
u
=
v h−
x
=
F(x − at) + G(x + at) . h−x
(2)
{ vtt = a2vxx,
t = 0 : v = (h − x)φ(x), vt = (h − x)ψ(x).