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特征方程反推（1）概述光纤中的波动方程推导过程光纤数学模型是学习研究和分析光纤通信，光纤导波结构，非线性光纤光学的基础和核心。
光纤数学模型的起源于也是起源伟大的、美妙的麦克斯韦方程组，有其与以光纤作为一导波结构而延伸出的边界条件而构成。
其推导的过程可概述为：1麦克斯韦方程组+光纤自身物理特性（光纤是一种介质光波导，其不存在自由电荷，无传导电流，近似满足线性各向同性），在此条件可以进一步简化麦克斯韦方程，将方程转化为了一个齐次方程了。
在此基础上，根据电场与磁场对应的本构介质方程，加上矢量论中的常用的几个矢量恒等式，很容易实现麦克斯韦方程的电、磁场的分离，即得到电场和磁场独立的各自方程，也就是光纤中的电场强度E和磁场H的波动矢量方程。
此方程是波动的矢量方程，这是因为改方程没有对其折射率做进一步近似，也就是介电常数是空间分布是有变化的，也就是介电常数的梯度存在，因而该方程是基于电磁波理论光纤模型的精准模型。
计算该模型较为复杂，很难得到有效解。
因而，在此基础上，结合光纤的本身特性进一步简化：光纤中的折射率变化缓慢，再加上其自己结构特别横向尺寸较小，为此可以将其折射率在其空间位置上的变化近似忽略，即数学上表述为其折射率分布的梯度为零。
根据这一假定，上述得到的矢量波动方程进一步转化为标量波动方程。
Noting：标量波动方程一般经常被用于各种电磁波问题的假设场景中；该方程仅为近似方程，仅用于分析光纤系统中的一般问题也可以理解为一些共性问题；对于其系统的精密问题还是需要利用矢量波动方程进行求解；2.得到的标量波动方程进一步分析可知：对于E，H的对应的方程，他们都存在空间坐标和时间因子，即每个方程都是四维，四个变量：xyzt(笛卡尔坐标系下)，也就是他们存在时间坐标和空间坐标柔和；而其波动方程两部分，一个是对时间的二阶导数，一个对空间坐标的拉普拉斯算子，这两个算符是单独作用，独立运算的。
因而可以从数学的角度进行分离变量。
波动方程推导过程1.假设波动是在一维空间中发生的，即沿着x轴传播，波的振动方向与x轴垂直。
假设波动是机械波，即需要介质来传播。
同时假设波动是纵波，即介质的波动方向与波的传播方向一致。
2.建立坐标系。
在一维空间中，选择一个坐标系，通常将波的起点设置为坐标原点。
3. 考虑微元上的受力平衡。
取波动方向为y轴，波的纵向位移为y(x,t)。
假设一个很小的区域，长度为dx，在位置x上物质点受到的作用力为F。
由于介质中粒子之间的相互作用，引起的弹力与位移成正比，且反向。
可以使用胡克定律来描述这个弹力关系：F=-k*y(x,t)其中k为弹性系数。
4.考虑微元上的惯性力。
在波的传播过程中，介质中的粒子具有质量，会有惯性力的作用。
由于波的传播方向是沿着x轴，所以x方向上的惯性力对受力平衡没有贡献。
所以只需要考虑y方向上的惯性力。
根据牛顿第二定律，惯性力与加速度成正比。
粒子的加速度可以用纵向速度对时间的导数来表示：F = m * d²y/dt²其中m为单位长度的质量。
5.结合弹力和惯性力。
将弹力和惯性力相加，得到微元受到的总力：F = -k * y(x,t) - m * d²y/dt²6.使用牛顿第二定律来描述微元受到的总力。
根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度。
将微元受到的总力代入方程中，得到：-m * d²y/dt² = -k * y(x,t) - m * d²y/dx²7.化简方程。
将方程重写为标准形式：d²y/dx² = (1/v²) * d²y/dt²其中v²=k/m为波速的平方。
8.一维波动方程的描述。
将标准形式的方程扩展为一维波动方程：d²y/dx² - (1/v²) * d²y/dt² = 0这就是波动方程，它描述了波沿着x轴传播的过程。
![2.3.1 麦克斯韦方程及波动方程_光纤通信技术（第3版）_[共2页]](https://img.taocdn.com/s1/m/77cd10750029bd64783e2cf3.png)
22㊀光纤通信技术(第3版)2.3 用波动理论分析光纤的导光原理要用波动光学的方法分析光纤的导光原理,则必须从电磁场的基本方程式出发㊂2.3.1㊀麦克斯韦方程及波动方程光波既然是一种电磁波,那么,它必须服从电磁场的基本规律㊂而一切宏观电磁现象应遵循的基本规律又是麦克斯韦方程式,因此,光波在光导纤维中传播一定服从麦克斯韦方程,即电磁场的基本方程式㊂这样,当用波动理论方法来研究光在光纤中传播时,显然应从麦克斯韦方程式出发㊂这也正是为什么在一些 光纤通信 的书中,对光纤分析时出现电场强度E和磁感应强度B 这些电磁场参量的原因㊂1.电磁场的基本方程式由物理的电磁学知识知道,当电磁场随时间做简谐(正弦或余弦)规律变化,并在各向同性①㊁无源的均匀质中传播时,麦克斯韦方程式表示为复数形式,而且电流密度矢量J= 0,电荷密度̇ρ=0,这时复数微分形式的麦克斯韦方程式表示为∇ˑ̇H=jωε̇E(2-3-1a)∇ˑ̇E=-jωμ̇H(2-3-1b)∇㊃̇E=0(2-3-1c)∇㊃̇H=0(2-3-1d)需要说明的是:上述表达式是利用了̇D=ε̇E及̇B=μ̇H的关系而获得的;带 ㊃ 的符号均为复矢量㊂式中,E为电场强度矢量,单位是V/m;H为磁场强度矢量,单位是A/m;B为磁感应强度矢量,单位是W b/m2;D为电位移矢量,单位是C/m2;∇ˑ为旋度;∇㊃为散度㊂显然,光在光导纤维中传播时,光波中的E和H应满足上述这种关系式㊂当然,这种关系是不便于求解的,因为在表达式中既有E又有H,还需进一步推导,这就是下面将要讨论的问题㊂2.电磁波的波动现象由麦克斯韦第一方程式看出,时变电场可以产生时变磁场;由第二个方程式则可看出,时变磁场可以产生时变电场㊂当然,这个新产生的时变电场又将产生时变磁场,这个时变磁场又将产生时变电场 如此这样不断地循环下去,电场和磁场之间就这样互相激发,互相支持㊂显然,在这种过程中,电磁场就可以脱离最初的激发源,而由时变电场和时变磁场互相激发,像波浪一样,一环一环㊁由近及远地传播出去,形成电磁波的传播现象㊂①各向同性是指在介质中,不论在什么方向加电场和磁场,介质的参量ε和μ的数值都保持不变㊂。
波动方程的推导过程波动方程是描述波动现象的重要方程之一，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将从基本概念开始，逐步推导波动方程的过程。
我们先来定义一下波动的概念。
波动是指某一物理量在空间和时间上的变化传播。
例如，水波是水面上某一点的起伏变化在水面上的传播，声波是声压的变化在空气中的传播。
在波动现象中，最基本的是波动的传播速度。
传播速度可以用波长和周期来表示。
波长是指波动中一个完整的周期所对应的空间距离，通常用λ表示，单位是米(m)；周期是指波动的一个完整周期所需要的时间，通常用T表示，单位是秒(s)。
波动的传播速度v可以用波长和周期的关系来表示，即v = λ/T。
接下来，考虑一维波动问题，即波沿着一条直线传播。
设波沿x轴方向传播，传播方向为正方向。
我们假设波动的振幅在空间和时间上都是连续变化的，用函数y(x, t)来描述波动的振幅。
其中，x表示空间坐标，t表示时间。
对于一维波动，我们可以通过观察波动传播的方式来推导波动方程。
设波动的传播速度为v，根据波长的定义，我们可以得到一个重要的结论：在一段时间内，波动在空间上传播的距离等于传播速度乘以这段时间。
即Δx = vΔt。
这个结论可以用来推导波动方程。
考虑某一时刻t和某一空间位置x，波动的振幅为y(x, t)。
我们假设在这一时刻和这一位置附近，波动的振幅分布与振幅的空间和时间导数有关。
根据这个假设，我们可以得到一个微分方程：∂²y/∂t² = v²∂²y/∂x²其中，∂²y/∂t²表示波动振幅y关于时间t的二阶导数，∂²y/∂x²表示波动振幅y关于空间x的二阶导数。
这个微分方程就是一维波动方程。
通过对波动方程的推导，我们可以看出波动方程描述了波动振幅随时间和空间的变化规律。
在波动方程中，左边表示波动振幅随时间的变化率，右边表示波动振幅随空间的变化率。
波动方程的解就是波动振幅随时间和空间的变化规律。
一横波在沿绳子传播时的波动方程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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光纤通信报告
1.麦克斯韦方程组
光是电磁波，用波动理论来分析电磁场的分布，获得更准确的光纤的传输特性必须从麦克斯韦方程组出发：
0B
E t
D H J t
D B ρ
∂∇⨯=-
∂∂∇⨯=+∂∇⋅=∇⋅= 光纤不是电的导体，不存在电流，电流，电流密度0J =
光纤中不存在自由电荷，所以电荷体密度0v ρ=
0B
E t
D H t
D B ∂∇⨯=-
∂∂∇⨯=∂∇⋅=∇⋅=
2.波动方程
设光纤无损耗，在光线中传播角频率为ω的单色光，电磁场与时间t 的关系为j t e ω，则波动方程为：
222222
0o o E n k E H n k H ∇+=∇+=
0k 为真空中的波数：
02k c ωπλ=
=
3.柱坐标下的波动方程
利用光纤的圆柱对称性，将波动方程写成圆柱坐标的形式：
电场的z 分量z E 的波动方程为：
2
22222222110z z z z z E E E E n E r r r z c ωφφ∂∂∂∂⎛⎫++++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭
4.边界条件及贝塞尔函数的求解
()()
22222102222222202210010d R dR m n k R r a dr r dr r d R dR m n k R r a dr r dr r ββ⎧⎛⎫++--=≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++--=> ⎪⎪⎝⎭⎩ 上式是贝塞尔函数的微分方程，可以有多种()R r 与β的组合满足方程，每一个组合称为一个模式。
在纤芯中名要求具有振荡特性，即
22210100,n k n k ββ-><
在包层中，要求具有衰减特性，即
22220200,n k n k ββ-><
所以传播传播常数必须满足的条件是
2010n k n k β<<
对于突变型光纤，贝塞尔方程的解得形式为：
()(),()()(),
m m m m AJ r A Y r r a R r BK r B I r r a χχγγ'+≤⎧=⎨'+>⎩
A 、A '、
B 、B '为常数；
m J 为第一类贝塞尔函数；
m Y 为第二类贝塞尔函数；
m K 为第二类变形贝塞尔函数； m I 为第一类变形贝塞尔函数；
χ、γ定义为
2222
10222220n k n k χβγβ=-=-
波动方程的通解的形式为：
()()im i z m z im i z m AJ r e e r a E BK r e e r a φβφβγγ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
同样可以得到：
()()im i z m z im i z m CJ r e e r a H DK r e e r a φβφβγγ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
A 、
B 、
C 、
D 待定。
A 、
B 、
C 、
D 斯格常数表示出了光纤纤芯和包层的电磁场分布情况。
这些常数必须满足电场
E 、磁场H 在纤芯和包层分层界面上切向分量连续的边界条件，即在r a =处有： ()()
()()
()()
()()z z z z E r a E r a E r a E r a H r a H r a H r a H r a φφφφ≤=>≤=>≤=>≤=>
可得A 、B 、C 、D 四个常数必须满足的四个齐次方程。
这些方程只有系数矩阵的行列式为零时，才有平凡解。
在对贝塞尔函数的微分方程的求解过程中，应用纤芯—包层边界条件，求得： 传播常数β的特征方程为
2
22222110()()()()11()()()()m m m m m m m m J a K a J a K a n m J a K a J a n K a n aK χγχγβχχγγχγγγχγ⎡⎤⎡⎤⎛⎫''''⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭ 因无法导出β的解析表达式，只能数值求解
5.光纤的模式及其分布
模式：mn β所对应的这种空间分布，在传播过程中只有相位变化，没有形状的变化，且始终满足边间条件，这种空间分布称为模式。
进入光纤的光分解成为“模式”的离散光束，模式是在光纤内部存在的稳定的电磁场模型。
每个模式可以认为是以特定传播角传播的独立光束。
以不同角度入射到光纤的射线将形成光线中不同的模式
光纤中的电磁场模式不同于平面波导，一般z E 、z H 都不为零。
当方位角模数0m =时：
在传输方向无磁场的模式称为横磁模On TM 。
(0,0;z r H H E φ===仅有z E 、r E 、H φ、)H φ
在传输方向无电场模式称为横电模On TE 。
(0,0;z r E E H φ===仅有z H 、r H 、)E φ
当0m ≠时，电磁场六个分量都存在，E 和H 都拥有纵向（即沿着传播方向z ）分量，这些模式称为混合模。
磁场贡献为主()z z H E >—mn HE
电场贡献为主()z z E H >—mn EH
在弱导光纤中，z E 、z H 都近似零。
存在的摸式线性偏振（linearly Polarrized ）摸—mn LP 。
为了决定截止条件，定义归一化频率V ：
22120122()2aNA V k a n n an πλπλ
⎧⎪⎪=-=⎨⎪⎪⎩归一化频率V 越大，能够传播的模式数就越多。
V 值较高的光纤可以支持较多的模式，称为多模光纤。
模式数目随V 的减少快速减少。
5,7V =个模式。
当V 小于某个值，初11HE 模式外，所有模式被截止。
只支持一个模式（基模）的光纤被称作单模光纤。
单模光纤的截止波长：
单模条件：
2.405V =≤
, 2.405c V λλ==
,c λλ>单模传输。
,c λλ<多模传输。
