波动方程初值问题与行波法

1 x at 1 u d 2 2a x at 1
1 arctan( x at ) arctan( x at ) 2a
例4： 求二阶线性偏微分方程初值问题的解
uxx 2uxy 3u yy 0 2 u | 3 x , u y | y 0 0 y0
2 F 3 x G x 3 x F ' 3 x G ' x 0
1 F 3x G x C 3
9 2 F 3x x C ' 4 G x 3 x 2 C ' 4
P( x, t )
依赖区间
x at
x at
x
区间 [ x at , x at ] 为解的依赖区间。
2.决定区域 该区域中任一点(x, t )的依 赖区间都落在区间[c, d]内 部，因此解在此该区域中的 数值完全由区间[c, d]上的 初始条件决定。
t
x c at
x d at
例5 求二阶线性偏微分方程的通解
uxx 2sin xuxy cos xuyy 0.
2
解：特征方程为
dy
2
2sin xdxdy cos x dx 0
2 2
dy dy 1 sin x 1 sin x 0 dx dx
G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)
u2 G ( x ) ( t 0)
O
at
u2 G ( x at ) ( t t0 )
x0
x x0 at
x
u1 F ( x at )
at
u1 F ( x )
O
x0 at
x x0 F(x+at)=F(x0-at+at)=F(x0)
注： u x, t F x at G x at
是方程
utt a 2uxx ( x , t 0)
的通解, 它包含两个任意函数。 对无限长的自由振动, 利用初始条件, 则：
u |t 0 F x G x x ut |t 0 aF ' x aG ' x x
为原问题的通解，其中 f1 , f 2 是任意二次连续可 微函数。
二. d’Alembert公式物理意义
u x, t F x at G x at
1.考虑 u2 G x at , 若 G ( x ) 的图形已经 给定，那么，随着时间 t 的推移，u2 G x at 的图形以速度a向 x 轴正方向平行移动,故称齐次 波动方程形如 u2 G x at 的解为右行波。 2, u1 F x at 表示一个以速度a 向x 轴负 方向传播的行波，且传播过程中，波形也不变化。 称为左行波。
无界弦自由振动
*无界弦强迫振动 一维波动方程定解问题 行波法
半无界弦自由振动
*半无界弦强迫振动
有限弦振动问题
球对称情形 三维波动方程定解问题
球面平均法
二维波动方程的定解问题 降维法
*一般情形
§3.1 一维波动方程
一.d’Alembert公式推导 初始位移 ( x ) ，初始速度 ( x )的无界弦自由振动
利用复合函数求导法则得 u u u u u x x x
为什么？
u u u u u 2 x x x 2 2 2 u u u 2 2 2
结论：达朗贝尔解表示沿 x 轴正、反向传播的两列波速为a 的波的叠加，故称为行波法。
三.依赖区间、决定区域和影响区域 1.依赖区间 u(x, t) 仅仅依赖于 [ x at , x at ] 内的初始条件，
在区间以外改变初始数据时，解的值不变。
t
1 的直线与 x 轴所截而得到 a
它是过（x，t）点，斜率为 的区间（如右图）。
1 2 F x x C ' 4 G x 3 x 2 C ' 4
代入到 u x, t F 3 x y G x y , 得原问题的解为：
1 3 2 2 u x, y 3 x y x y 3 x 2 y 2 4 4
a 2. 特征方程与特征根： a 0
2 2
x at 3. 变量替换：
=x at
2 u 4. 解方程： 0 u F ( x at ) G ( x at )
5. 利用初始条件解F、G：
1 1 x at u x , t = ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
例2：解定解问题:
2 utt a uxx , x , t 0 u |t 0 sin x , ut |t 0 cos x
解:
1 1 u x, t [sin x at sin( x at )] cos d 2 2a x at
2
2 2 2 u2 u u u 2 a ( 2 2 2) 同理可得： 2 t
将两式代入原方程, 可得：
u 0
2
连续积分两次得
u , F G
其中 F , G 是任意二次连续可微函数，即有
u x, t F x at G x at
x at
1 sin x cos at cos x sin at . a
例3：求解波动方程柯西问题
utt a 2 uxx 0 - < x , t 0 1 , -< x u( x,0) 0 , ut ( x,0) 2 1 x
解：由达朗贝尔公式：
例1：求解无界自由振动波动方程柯西问题：
utt a 2 uxx 0, - x , t 0 u( x , 0) sin x 2 ut ( x , 0) x
解：由达朗贝尔公式：
1 1 x at 2 u sin( x at ) sin( x at ) d 2 2a x at t sin x cos at (3 x 2 a 2 t 2 ) 3
2u 容易验证，经过变换原方程化成 0. 它的通解为 u F G
其中 F , G 是任意二次连续可微函数，即有
u x, t F 3 x y G x y
2 u | 3 x , u y | y 0 0, 把这个函数代入到条件 y 0
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
x at 1 (2)只有初始速度时： u( x , t ) ( )d 2a x at
假使初始速度在区间上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
解: 先确定所给方程的特征曲线。特征方程为：
dy
或者
2
2dxdy 3 dx 0
2
2
dy dy dx 2 dx 3 0.
3 x y C1 它的两族积分曲线为 x y C2
做特征变换 3 x y
x y
c
决定区域
d
x
该区域称为区间[c , d]的决定区域。在区间[c , d]上 给定初始条件，就可以在其决定区域中确定初值 问题的解。
P9
弦拉的越紧,波传播速度越快;密度越小,波传播越快
1 1 x at u( x , t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at
1 (1)只有初始位移时，u( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2
第3章 波动方程与行波法、降维法
§3.1 一维波动方程 一. d’Alembert公式推导 二. d’Alembert公式物理意义 三. 依赖区间、决定区域和影响区域 四. 半无界弦自由振动问题 §4.2 三维波动方程柯西问题 一.三维波动方程和球对称解 二.三维波动方程的Poisson公式 和球对称解
2 u a uxx 0 ( x , t 0) tt u ( x ), u ( x ), x t 0 t t 0
初值问题 (Cauchy问题)
我们可以求出方程的通解,考虑变量代换
x at x at
考虑：u2 G( x at ) 的物理意义,如图给出的特例
u2
t 0
t 1 2
u2 G( x)
u2 G ( x a / 2)
a
a 2
0
u2 u2
a
3a 2
2a
x
x
u2
t 1
u2 G( x a)
x
t 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u2 G( x 2a )
a
3a
x
2 T 千克 米 / 秒 T 行波速度： a = 米/秒 千克/米
无限长弦自由振动的达朗贝尔(d’Alembert)公式.
x at
行波法小结 (注：行波法仅适用于双曲型方程)
2 2u u 2 0 ( x , t 0) 2 a 2 x 1. 波动方程： t u( x ,0) ( x ), u ( x,0) ( x ) t