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波动方程和赫姆霍兹方程

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第四讲上-柱坐标中的分离变量法

第四讲上-柱坐标中的分离变量法
R' ' R' ' ' 2 2 R R
2
' ' 0
2
2
2013-8-9
R' ' R' R 0
2 2
6
R' ' R' R 0
16
0:
2
取 : , 为实数
2 2
A e B e

这不是周期函数

A B 0
2013-8-9 17
总之，本征值问题的本征值为
n ,
2 2
n 0,1,2,3,
本征函数为
A cosn B sin n
C0 D0 ln b 0 n n Cnb Dnb 0
C0 D0 ln b 2n Dn Cnb
D0 ln , n 0 Rn b C n b 2 n n , n 1,2,3, n


2013-8-9
7
亥姆赫兹经分离变量后变为：
Z ' ' z Z z 0
R' ' R' R 0
2 2 2 2
2013-8-9 8
' ' 0
2
二、圆形域上的定解问题
例1 半径为b的“无限长”圆柱形接地导 体，放置在均匀外电场E0中，圆柱的轴线与 E0方向垂直，求电势分布。
5
R' ' R' ' ' Z ' ' z 2 R R Z z

称为亥姆霍兹方程课件

称为亥姆霍兹方程课件

在流体动力学中的应用
流体波动
亥姆霍兹方程可以用于描述流体 中的波动现象，如水波、气波等
。
涡旋运动
在流体动力学中，亥姆霍兹方程 用于研究涡旋的运动规律，如涡
旋的稳定性、演化过程等。
边界层流动
在流体动力学边界层理论中，亥 姆霍兹方程用于描述边界层内的 流动特性，如流动分离、湍流等
现象。
在量子力学中的应用
总结词
描述一维波动现象的基本方程。
详细描述
一维亥姆霍兹方程是描述一维波动现象的基本方程，它将波动函数的导数与波 动函数的自身和其共轭函数联系起来。
二维亥姆霍兹方程
总结词
描述二维波动现象的基本方程。
详细描述
二维亥姆霍兹方程是描述二维波动现象的基本方程，它涉及到波动函数的拉普拉 斯算子和其自身的乘积。
可以与其他学科如数学、物理、工程等进 行交叉研究，拓展研究领域和应用范围。
2023-2026
END
THANKS
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REPORTING
稳定性解
在某些情况下，亥姆霍兹方程的解是稳定的，这意味着当系统受到微小扰动时，解能够 恢复到原始状态或接近原始状态。稳定性解通常与系统的长期行为和平衡状态有关。
稳定性解的意义
稳定性解对于理解系统的长期行为和稳定性至关重要。在物理学和工程学中，稳定性解 可以用于描述系统的平衡状态和稳定性条件，对于控制和设计系统具有重要的实际意义
性规律具有重要意义。
PART 05
亥姆霍兹方程的应用实例
在波动问题中的应用
声波传播
亥姆霍兹方程可用于描述声波在 介质中的传播规律，包括声速、
衰减和反射等。
电磁波传播
在电磁波的传播问题中，亥姆霍兹 方程可以用来描述电磁波的波动性 质，如电磁场的振幅、相位和传播 方向等。

亥姆霍兹涡量方程和亥姆霍兹波动方程

亥姆霍兹涡量方程和亥姆霍兹波动方程

亥姆霍兹涡量方程和亥姆霍兹波动方程
亥姆霍兹涡量方程和亥姆霍兹波动方程都是描述流体动力学的方程，但它们描述的是不同的物理量。

亥姆霍兹涡量方程（或涡旋运动方程）描述的是流体中涡旋的运动状态。

它是纳维-斯托克斯方程的一个变形，描述了在粘性流体中，由于流体粒子的运动和流体内部粘性力的作用，会形成涡旋，并使其发生运动。

这个方程的解可以用来描述涡旋的形状、大小、旋转速度等物理量的变化。

亥姆霍兹波动方程则描述的是流体中的压力分布。

它也是纳维-斯托克斯方程的一个变形，描述了在粘性流体中，由于流体粒子的运动和流体内部粘性力的作用，会形成压力波，并使其发生传播。

这个方程的解可以用来描述压力波的形状、速度、传播方向等物理量的变化。

总的来说，亥姆霍兹涡量方程和亥姆霍兹波动方程都是描述流体动力学中的涡旋和压力波的物理量及其变化的方程，但它们描述的是不同的物理量，因此在应用中需要根据具体的问题来选择使用哪个方程。

亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程

, z) exp[ j (cos
x
cos
y)]d(cos )d(cos )
研究角谱的传播就是要找到上面两个角谱，即 z 0 平面 上的角谱和 z z 平面上的角谱之间的关系
18
复振幅分布及其角程讨论传播规律
19 0 6
将 U(x, y, z) 表达式代入亥姆霍兹方程,改变积分与微分的 顺序，可以推导出，二阶线性微分方程
算得到为
A( f x , f y , z) U (x, y, z) exp[ j (xf x yf y )]dxdy
由于各个不同空间频率 的空间傅里叶分量可看作是沿不同
方向传播的平面波，因此称空间频谱为平面波谱即复振幅
分布的角谱
同时有逆变换为 U (x, y, z) A( f x , f y , z) exp[ j (xf x yf y )]dfxdf y
6
球面波的复振幅表示
19 0 6
从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球形的 波面，称为球面波。一个复杂的光源常常可以看做是许多点 光源的集合,它所发出的光波就是球面波的叠加 这些点光源互不相干时是光强相加，相干时则是复振幅相加。 球面波的等位相面是一组同心球面，每个点上的振幅与该点 到球心的距离成反比 当直角坐标的原点与球面波中心重合时，单色发散球面波在 光场中任何一点产生的复振幅可写作
exp
j
k z
x x
y
y
位相相同的点的轨迹，即等位相线方程为同心圆族
x x y y C
10
平面波的复振幅表示
19 0 6
在任意时刻、与波矢量相垂直的平面上振幅和位相为常数的 光波称为平面波 如波矢量 k 表示光波的传播方向，其大小为 k 2 ，方 向余弦为 cos,cos,cos ，则平面波传播到空间某点的复振 幅的一般表达式为 U (x, y, z) a exp( jk r)

电磁场波动方程

电磁场波动方程

定态波动方程
vv
2E k 2E 0
2
v B
k
2
v B
0
其中：
Helmhotz方程
▪ 定态情况下的电磁场方程可以写成：
vv 2E k2E 0
v
E 0
v B
i
v E
Helmhotz 方程
或者
vv 2B k2B 0
v B 0
v E
i
k2
v B
其中：
是定态下介质电磁特性参数
此处的 Ev、Bv 是电磁场的振幅，时间变化部分不包含在内
v B
0
v 2E
0 0
v 2E t 2
0
v
v 2B
0 0
2B t 2
0
在真空中电磁场满足 “波动方程”
▪ 真空中电、磁场形式上可以分离：
v 2E
1
v 2E
0
c2 t 2
v 2B
1
v 2B 0
c2 t 2
v E 0
v B 0
电波动方程＋横波条件 磁波动方程＋横波条件
其中
称为真空中光速
但不能替代麦克斯韦方程，还需要考虑电场与磁场的联系
二、时谐波（又称定态波）及其方程
▪
任一时域函数
v
Et
，可以视为由频域函数
v
E
叠加而成，反之亦
然。这就是富里叶（Fourier）变换：
v
E t
v E
eit
d
Ev
1
v E
t
eit
dt
2
正变换 逆变换
▪ 对电磁场作富里叶变换：
v
E
v X,t

量子力学中的波动方程与亥姆霍兹方程

量子力学中的波动方程与亥姆霍兹方程

量子力学中的波动方程与亥姆霍兹方程量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论，其核心是波动方程。

波动方程是描述波动现象的数学方程，而亥姆霍兹方程是波动方程的一种特殊形式。

本文将深入探讨量子力学中的波动方程与亥姆霍兹方程的关系和应用。

首先，我们来了解一下波动方程。

波动方程是描述波动现象的数学方程，它可以用来描述光、声波等各种波动现象。

在量子力学中，波动方程被应用于描述微观粒子的行为。

量子力学中的波动方程是薛定谔方程，它描述了微观粒子的波函数随时间和空间的变化。

薛定谔方程可以写成如下形式：Hψ = Eψ其中，H是哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。

薛定谔方程的解决了微观粒子的波函数，从而可以得到粒子的各种性质。

接下来，我们来了解一下亥姆霍兹方程。

亥姆霍兹方程是波动方程的一种特殊形式，它描述了平面波的传播。

亥姆霍兹方程可以写成如下形式：∇²ψ + k²ψ = 0其中，∇²是拉普拉斯算符，ψ是波函数，k是波数。

亥姆霍兹方程描述了波函数在空间中的传播和干涉。

在量子力学中，亥姆霍兹方程被应用于描述波函数的传播和干涉。

量子力学中的波函数具有波粒二象性，既可以看作是粒子的概率幅，又可以看作是波的传播。

亥姆霍兹方程描述了波函数的传播和干涉，从而可以解释一系列量子现象，如干涉、衍射等。

除了描述波函数的传播和干涉，亥姆霍兹方程还被应用于求解量子力学中的一些问题。

例如，在量子力学中，我们常常需要求解粒子在势场中的行为。

亥姆霍兹方程可以用来求解势场中的波函数，从而得到粒子的能量和态函数。

这对于研究微观粒子的行为和性质非常重要。

此外，亥姆霍兹方程还被应用于量子力学中的一些数值计算方法。

例如，有限差分法和有限元法等数值计算方法可以用来求解亥姆霍兹方程的近似解。

这些数值计算方法在量子力学的研究中扮演着重要的角色，可以帮助研究者更好地理解和探索量子世界。

总结起来，量子力学中的波动方程和亥姆霍兹方程是描述微观粒子行为的数学方程。

波动方程和亥姆霍兹方程

应用的数学方法不同：波动方程通常使用数学方法如微积分、线性代数等， 而亥姆霍兹方程则使用电磁学的数学方法。
研究对象不同：波动方程研究的是系统的波动现象，而亥姆霍兹方程研究的 是磁场中电磁波的传播。
波动方程和亥姆霍兹方程在科学研究和工程应用中都有重要意义。波动方程 可用于研究物理现象如振动、波动、声音、热力学等，在工程应用中也有广泛的 应用。亥姆霍兹方程是电磁学的基础方程，用于研究电磁场的特性和电磁波的传 播，在工程应用中也有广泛的应用。

霍兹方程表示电磁场与电流的关系，是电磁学的基础方程。 波动方程和亥姆霍兹方程有以下几点区别：
描述的物理现象不同：波动方程用于描述系统的波动现象，而亥姆霍兹方程 用于描述磁场中电磁波的传播。
应用领域不同：波动方程通常应用于物理学、化学和工程学等领域，而亥姆 霍兹方程则主要应用于电磁学。
公式不同：波动方程的公式因系统的性质而异，而亥姆霍兹方程是电磁学的 基础方程，公式固定。
波动方程是物理学中的一种常见方程，用于描述系统的波动现象。波动方程 的形式因系统的性质而异，常见的波动方程包括波动方程的波动方程、规范的波 动方程、二维波动方程、贝尔方程等。
亥姆霍兹方程是物理学中的一种常见方程，用于描述磁场中电磁波的传播。
亥姆霍兹方程由亥姆霍兹在 1865 年提出，是物理学中最重要的方程之一。亥姆

拉普拉斯方程 泊松方程 亥姆霍兹方程 波动方程

拉普拉斯方程泊松方程亥姆霍兹方程波动方程标题：深度解读拉普拉斯方程、泊松方程、亥姆霍兹方程和波动方程在数学和物理学领域中，拉普拉斯方程、泊松方程、亥姆霍兹方程和波动方程是一些重要的偏微分方程，它们在不同领域中扮演着重要的角色。

本文将从深度和广度的角度来探讨这些方程，并分析它们的意义和应用。

一、拉普拉斯方程1.1 拉普拉斯方程的定义拉普拉斯方程是一个偏微分方程，通常用Δu=0表示，其中Δ表示拉普拉斯算子，u是未知函数。

在数学物理学中，拉普拉斯方程是一个重要的调和方程，它描述了没有源项的稳态温度分布、电势分布或流体流动等物理现象。

1.2 拉普拉斯方程的应用拉普拉斯方程在电磁学、热传导、流体力学等领域有着广泛的应用。

通过求解拉普拉斯方程，可以得到电场、温度场和流速场等物理量的分布规律，从而为工程设计和科学研究提供重要的参考依据。

1.3 个人观点和理解对于拉普拉斯方程，我认为它在自然科学和工程领域中都具有重要意义。

通过深入理解和应用拉普拉斯方程，可以更好地理解和解释大量物理现象，为实际问题的求解提供了有力工具。

二、泊松方程2.1 泊松方程的定义泊松方程是一个偏微分方程，通常用Δu=f表示，其中Δ表示拉普拉斯算子，u是未知函数，f是已知函数。

泊松方程是拉普拉斯方程加上一个源项后得到的方程，它描述了包含源项的稳态温度分布、电势分布或流体流动等物理现象。

2.2 泊松方程的应用泊松方程在电磁学、热传导、流体力学等领域同样有着广泛的应用。

通过求解泊松方程，可以得到包含源项的电场、温度场和流速场等物理量的分布规律，从而更准确地反映实际问题的特性。

2.3 个人观点和理解对于泊松方程，我认为它在描述带有源项的物理现象时具有重要意义。

通过对泊松方程的深入理解和求解，可以更准确地预测现实世界中的电场、温度场和流速场等物理量分布规律，为工程设计和科学研究提供了有力工具。

三、亥姆霍兹方程3.1 亥姆霍兹方程的定义亥姆霍兹方程是一个偏微分方程，通常用Δu+k²u=0表示，其中Δ表示拉普拉斯算子，u是未知函数，k是已知常数。

电磁波波动方程——亥姆霍兹方程

我的笔记：电磁波波动方程——亥姆霍兹 方程
数声风笛离亭晚，我想潇湘君想秦！ December 18, 2012
在没有电荷及电流分布的自由空间（或均匀介质）中电场和磁场满足的 的麦克斯韦方程组为： ⃗ ∂B , ∂t ⃗ ⃗ = ∂D , ∇×H ∂t ⃗ = 0, ∇·D ⃗ = 0. ∇·B ⃗ =− ∇×E (1a) (1b) (1c) (1d)
(4)
⃗ 满足的椭圆形偏微分方程 结合(2)及(4)，我们可以一个E ⃗ − µ0 ϵ0 ∇2 E ⃗ ∂E = 0. ∂t2 (5)
⃗ 满足的方程又可以写为 注意到ϵ0 µ0 = 1/c2 ，c为光速，E ⃗− ∇2 E ⃗ 1 ∂E = 0. c2 ∂t2 (6)
2
介质情况
Hale Waihona Puke ⃗ = ϵ0 E ⃗ +P ⃗ ，其中P ⃗ 为电极化强 在介质中电位移矢量与电场强度满足关系D ⃗ = µ0 H ⃗ 依然成立。此时(2)从 度矢量。同时我们假设介质的磁化不明显，B 新写为 ( ) ) ∂ ( ⃗ ⃗ ∇× ∇×E =− ∇×B ∂t ) ∂ ( ⃗ ∇×H = −µ0 ∂t (7) ⃗ ∂ 2D = −µ0 2 ∂t ⃗ ⃗ ∂ 2E ∂2P = −ϵ0 µ0 2 − µ0 2 . ∂t ∂t ⃗ 满足的微分方程为 结合(6)及(4) 我们得到介质中E ⃗ − µ0 ϵ0 ∇2 E 或者写为 ⃗− ∇2 E ⃗ ⃗ ∂2P 1 ∂E = µ . 0 c2 ∂t2 ∂t2 (9) ⃗ ⃗ ∂E ∂ 2P = µ . 0 ∂t2 ∂t2 (8)
2
1
真空情况
⃗ = ϵ0 E ⃗ ,B ⃗ = µ0 H ⃗ 。取(1a)式的旋度，同时考 在真空情况下，我们有D 虑(1b)式， ( ) 2⃗ ⃗ =−∂ ∇×B ⃗ = −µ0 ϵ0 ∂ E . ∇× ∇×E (2) ∂t ∂t2 利用相关的矢量分析知识 ( ) ( ) ⃗ ⃗ =∇ ∇·E ⃗ − ∇2 E, (3) ∇× ∇×E ⃗ = 0, (3)简化为 考虑限制条件∇ · E ( ) ⃗ ⃗ = −∇2 E. ∇× ∇×E 1

亥姆霍兹方程推导

与其他物理量的关系
亥姆霍兹方程与波动场中的其他物理量，如速度、加速度、位移等密切相关。 通过该方程，可以建立这些物理量之间的联系，为波动现象的研究提供方便。
推导亥姆霍兹方程的目的
揭示波动现象的本质
通过推导亥姆霍兹方程，可以深入了解波动现象的本质和规律，掌握波动场的基 本性质和传播特点。
为实际应用提供理论支持
亥姆霍兹方程的解的性质
解的存在性和唯一性
在一定的边界条件和初始条件下，亥姆霍兹方程存在唯一 解。解的存在性和唯一性可以通过数学方法如分离变量法、 格林函数法等来证明。
解的振荡性质
亥姆霍兹方程的解具有振荡性质，即解在空间中呈现周期 性的变化。这种振荡性质与波的传播和干涉现象密切相关。
解的衰减性质
在某些情况下，亥姆霍兹方程的解会随着距离的增加而逐 渐衰减。这种衰减性质与波的扩散和衰减现象有关。
将亥姆霍兹方程转化为等价的变分问题，即 求泛函的极值问题。
网格剖分
将求解区域剖分为有限个单元，每个单元内的 解用形函数近似表示。
单元分析
对每个单元进行分析，建立单元刚度矩阵和荷载 向量。
总体合成
将所有单元的刚度矩阵和荷载向量按照一定规则合 成总体刚度矩阵和荷载向量。
边界条件处理
根据问题的边界条件，对总体刚度矩阵和荷载向 量进行修正。
进而研究热传导的规律。
05
数值方法求解亥姆霍兹方程
有限差分法
差分格式
将亥姆霍兹方程中的微分项用差分格式近似，从 而将偏微分方程转化为代数方程。
网格划分
在求解区域上划分网格，将连续的空间离散化， 便于计算机处理。
边界条件处理
根据问题的边界条件，对差分方程进行修正，以 保证解的正确性。
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