抛物线及标准方程

标 准 方 程
l
形 图
y
F
O
准 程 焦 坐 标 方 点 标
y2 = 2px (p>0 )
线 程 准 方
p x=− 2
x
y
F O l
p ,0 2
x
(p>0 )
2
y 2 = −2px
p − ,0 2
p x= 2
p y=− 2
y
F l l
O
x
(p>0 )
x = 2py
( ) 叫做 抛 线 标 方 它所表示的抛物 . 物 的 准 程
p p 线的焦点坐标是 , , 准线方程是 x = − .
探究：在建立椭圆的标准方程时， 探究：在建立椭圆的标准方程时，选 择不同的坐标系， 择不同的坐标系，可以得到不 同形式 的标准方程。那么， 的标准方程。那么，抛物线的标准方 程有哪些形式？ 程有哪些形式？ 探究后请填写下表： 探究后请填写下表：
p 0, 一次变量定焦点 p 一次变量定 y = − 2 2
x 2 = 2 py
( p > 0)
x 2 = −2 py ( p > 0)
开口方向看负正 开口方向看
p 0,− 2
y=
p 2
课 堂 练 习
根据下列条件求抛物线的标准方程？ 根据下列条件求抛物线的标准方程？
y
A
O
F x
ห้องสมุดไป่ตู้
()
图 . −
B
()
课 堂 例 题
A 解 如图 . − ( ), 在接收天 线的轴截面所在平面内建立 直角坐标系, 使接收天线的顶 O F 点 (即抛物线的顶点) 与原点 B () 重合 . 图 . − 设抛物线的标准方程是 y = px( p > ). 由已知条件可得, 点A的坐标是

解：因为 p = 点坐标是 ( 3 ,0)
y
2
= 6x
，
3
，所以抛物线的焦
准线方程是x=3/2
2
(2）已知抛物线的焦点是F(0，-2)，求它的标 准方程。
解：因为抛物线的焦点坐标在Y轴的负半 轴上，且P/2=2，P=4，所以抛物线的标准 方程是
x
2
=-8y
课堂练习： 1根据下列条件写出抛物线的标准方程
2
p x＝ 2 _____
图形
标准方程
焦点坐标 准线方程 p (0， ) 2 p y＝－ 2
x ＝2py(p>0)
2
x ＝－2py(p>0)
2
p (0，－ ) 2
p y= 2 ____
问题探究 在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”， 点的轨迹还是抛物线吗？ 提示：不一定是抛物线．当直线l经过点F时，点
X
y2 = 2px (p>0)
上述方程叫做抛物线的标准方程 焦点坐标F（
P ，0 2
）
p 准线方程是： x = 2
其中p为正常数，它的几何意义是 焦点到准线的距离
2．抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y ＝2px(p>0)
2
p ( ，0) 2 ______
p x＝－ 2
p y ＝－2px(p>0) (－ ，0) 2
的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；
l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．
课堂互动讲练
考点突破
求抛物线的标准方程
求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法．由
于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先
确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式

．
A
y
O
x
2）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px(p>0)，把A（-3，2）代入， 得p= 2
4 9 2= 2 = x ∴抛物线的标准方程为x y或 y 3 2
3
。
课堂小结
1.抛物线的定义; 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式,
每一对焦点和准线对应一种形式; 3.p的几何意义是: 焦点到准线的距离; 4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的 开口方向．
一、引入概念
1、我们先看以下两个熟悉的例题 （1）点M（x,y）与定点F（4，0）的距离和它到定 直线l:x=25/4的距离之比是4/5，求点M的轨迹。 （2）点M（x,y）与定点F（5，0）的距离和它到定 直线l:x=16/5的距离之比是5/4，求点M的轨迹.
( x 4) 2 y 2 4 析：（1） 25 5 x 4 ( x 5) 2 y 2 5 析：（2） 16 4 x 5
先定位，后定量
y 2 8 x 上一点P到y轴的距离是4， 3、设抛物线 则点P到该抛物线焦点的距离是（ B ） A.4 B.6 C.8 D.12
课本P67页 练习第3题
思 考
例题讲解
例2：求过点A（-3，2）的抛物线的 标准方程.
解：1）设抛物线的标准方程为 x2 =2py(p>0)，把A（-3，2）代 9 入， 得p= 4
y M
因为 p =4,
2
所以 P=８.
OF
． ．
x
因为焦点在x轴的正半轴上,所以点M的轨迹方程为 y2=16x
类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认 为如何求抛物线的方程？ Ly
N M
L
N
y

生活中的抛物线
美丽的赵州桥
夜色下的喷泉
绚烂的烟花
我们知道，二次函数 y ax bx c(a 0) 的图象是一条抛物线， 而且还研究过它的顶点坐标、对称轴等问题。那么，抛物 线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？
2
几 何 画 板 演 示
一、抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定 直线l(l不经过点F)的距离相等 的点的轨迹叫抛物线.
8 （0，-2）
焦点坐标 （5，0） 1 （0，—） 5 8
准线方程 x=-5
y= -— x= —
y=2 8 5 8
1
(3)(4) 一 定 要 先 把方程化为标准 方程,再求焦点 坐标和准线方程
例2.已知抛物线y 2 4 x 的焦点为F, P为抛物线上一点， 且点P的横坐标为4，求 PF .
解：由抛物线方程y 4x, 知 准线方程为x 1.
1 4
y2 x
（3）焦点到准线的距离是2
y 2 4x 或 y2 4x 或 x2 4x 或 x2 4x
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2 = 20x (2)x2= 1 y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0
2
(1)
(2)
(3) (4)
（- —，0）
· M
o
F
x
正常数 p的几何意义是
焦点到准线的距离
思考：
你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点， 焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？
﹒ ﹒﹒ ﹒
y y y
o
x
o
x
o
x
o
y
x
(1)